强度理论 典型习题解析 1 已知铸铁 的拉伸许用应力 MPa30][ t =σ ， 压缩许用应力 MPa90][ c =σ ， 30.0=μ ， 试对铸 铁零件进行强度校核，危险点的主应力为： （ 1） MPa30 1 =σ ， MPa20 2 =σ ， MPa15 3 =σ ； （ 2） MPa20 1 ?=σ ， MPa30 2 ?=σ ， MPa40 3 ?=σ ； （ 3） MPa10 1 =σ ， MPa20 2 ?=σ ， MPa30 3 ?=σ 。 解题分析 ： 选用强度理论时， 不但要考虑材料是脆性或是塑性， 还要考虑危险点处的应力状 态。 解： （ 1） MPa30 1 =σ ， MPa20 2 =σ ， MPa15 3 =σ ，危险点 处于三向拉 应力状态， 不论材 料本身是塑性材料或是脆性材料，均采用第一强度理论，即： ][0MPa3 t1r1 σσσ === ，安全 （ 2） MPa20 1 ?=σ ， MPa30 2 ?=σ ， MPa40 3 ?=σ ， 危险点处于三向压应力状态， 即使是 脆性材料，也应采用第三或第四强度理论，即： ][MPa20)MPa40(MPa20 t31r3 σσσσ <=???=?= ，安全 ])MPa20MPa40()MPa40MPa30()MPa30MPa20[( 2 1 222 r4 +?++?++?=σ ， ][MPa3.17 t σ<= ，安全。 （ 3） MPa10 1 =σ ， MPa20 2 ?=σ ， MPa30 3 ?=σ ，脆性材料 的危险点处 于以压应力 为主 的应力状态，且许用拉应力与许用压应力不等，宜采用莫尔强度理论，即： ][MPa02MPa)30( MPa90 MPa30 MPa10 ][ ][ t3 c t 1rM σσ σ σ σσ <=??=??= ，安全 2 图示实心 圆轴受轴向外力 F 和外 力偶 M 作用 。已知圆轴直径 d=10 mm， M=Fd/10。 （ 1） 材料为钢时， 许用应力 MPa160][ =σ ； 材料为铸铁时， 许用应力 MPa30][ t =σ 。 试分别计算 圆轴的许可载荷 ； （ 2） 材料为铸铁，且 F=2 kN、 E=100 GPa、][F 25.0=μ ，计算圆轴表面 上与轴线成 30°方位上的 正应变。 1 F 30 o M 题 2 图 解题分析： 本题中， 轴为拉伸和扭转组合变形。 轴的各个横截面上的扭矩、 轴力均相同， 所 以可以任取一截面作为危险截面。 在危险截面上， 轴力引起的拉伸正应力处处相等， 扭矩引 起的切应力在靠近轴外表面的各点处最大， 所以危险点为靠近轴表面的各点。 危险点处的应 力状态如图示。 解： 1、计算 危险点的主应力 轴力引起的正应力 F d F A F 24 2 N m1027.1 π 4 ? ×===σ 扭矩引起的切应力 F d Fd W M W T 24 3 pp m10509.0 10π 16 ? ×====τ 危险点处的极值应力为 2242 2424 min max )m10509.0() 2 m1027.1 ( 2 m1027.1 F FF ? ?? ×+ × ± × =σ 于是主应力为 ，F 24 1 m1045.1 ? ×=σ 0 2 =σ ， F 24 3 m10179.0 ? ×?=σ 2、材料为钢 材时，确定轴的许用载荷 根据第三强度理论，有 MPa160][m1063.1m10179.0m1045.1 242424 31r3 =≤×=×+×=?= ??? σσσσ FFF 得 kN9.82N9820 m101.63 MPa160 ][ 24 == × = ? F 该轴用钢材制造时，许可载荷 kN9.82][ =F 3、材料为铸 铁时，确定轴的许可载荷 按第一强度理论，有 MPa30][m1045.1 t 24 1r1 =≤×== ? σσσ F 得许可载荷 kN2][ =F 4、计算铸铁 轴表面与轴线成 30°方 位上的正应变 2 根据广义胡克定律公式， 要计算与轴线成 30°方 位上的正应变， 必须知道该方向的 正应力和与该方向垂直的方向上的正应力。 设要计算的方位为－ 30°， 则 与其垂直的方 位为 60°， 首先计算－ 30°、 60°两 方位上的正应力。 与轴线平行方向上的正应力、切应力分别为 MPa4.25N102m1027.1m1027.1 32424 =×××=×= ?? Fσ MPa18.10N102m100509.0m10509.0 32424 =×××=×= ?? Fτ 于是 MPa87.27)]30(2sin[18.10)]30(2cos[ 2 MPa4.25 2 MPa4.25 )]30(2sin[)]30(2cos[ 22 30 =?×??×+= ?×??×+= ? DD DD D τ σσ σ MPa47.2)602sin(MPa18.10)602cos( 2 MPa4.25 2 MPa4.25 )602sin()602cos( 22 60 ?=×?×+= ×?×+= DD DD D τ σσ σ 由广义胡克定律，轴表面与轴线成 30°方位上的 正应变为 6 3603030 10285MPa))47.2(25.0MPa87.27( MPa10100 1 )( 1 ? ?? ×=?×? × =?= DDD μσσε E 讨论： 该题 中正应 变的 计算也 可以 用公式 α γ α εεεε ε α 2sin 2 2cos 22 xyyxyx ? ? + + = ，但 和上 面方法相比，要麻烦得多。 3 图示钢轴 有两个皮 带 轮 A 和 B，两轮的直径 D=1m，轮 的自 重 Q=5kN，轴的许 用 应 力 MPa80][ =σ 。试确定轴的直径 d。 解题分析： 本题轮轴为弯扭组合变形。 首先要将所有外力向轴线上简化， 并绘制内力图， 以 便寻找危险截面。找到危险截面和危险点后，即可按强度条件设计轴直径。 解： 1、计 算轴上的载荷 取 如图示坐标系，则外力偶矩 mkN1.5 2 1m kN2)-(5 2 kN2)-(5 ee ?=×= == D MM BA xy平面支反 力 F Cy =12.5 kN， F Dy =4.5 kN xz平面支反力 F Cz =9.1 kN， F Dz =2.1 kN 2、画内力图 ，确定危险截面 3 轴 AB 段的扭 矩为 （图 c） ，弯 矩 和 如图 d、 e 所示。 从内力图 看出，危险截面是 C 或 B 截面。分别计算 C、 B 两截面的总弯矩： mkN1.5 ?=T y M z M mkN58.2mN1058.2 m)N105.1(m)N101.2( 3 2323 ?=?×= ?×+?×= C M mkN49.2mN1049.2 m)N1025.2(m)N1005.1( 3 2323 ?=?×= ?×+?×= B M 比较两者大小，可知危险截面为 C 截面。 5kN 3、确定轴的 直径 按第三 强度 理论设 计轴 的直径 。直 接采用 圆轴弯扭组合情况下的强度条件，得 ][ 22 r3 σσ ≤ + = W TM mm4.72m104.72 Pa1080π m)N105.1(m)N1058.2(32 ][π 32 3 6 2323 3 22 3 =×= ×× ?×+?× = + ≥ ? σ TM d 如果按第四强度理论设计轴的直径，则 ][ 75.0 22 r4 σσ ≤ + = W TM mm6.71m106.71 Pa1080π m)N105.1(75.0m)N1058.2(32 ][π 75.032 3 6 2323 3 22 3 =×= ×× ?××+?× = + ≥ ? σ TM d 比较可得按第三强度理论设计的轴径比按第四强度理论设计的轴径略大。 4 一端固定 的轴线为半圆形的正方形截面杆，受力情况如图， F=1000N，试求 B 和 C 截面 上危险点处的相当应力 r3 σ 。 解题分析 ： 本题为非圆截面弯扭组合变形问题。首先应找出 B 和 C 截 面的危险点，并确定 危险点处的应力状态，然后计算相当应力。 解： 1、计 算截面有关的几何性质 杆的横截面面积 262 m10900mm900mm30mm30 ? ×==×== bhA 1.5 kN·m T 1.5 kN·m 题 3 图 Mz 2.25kN·m 1.05 kN·m (c) My 2.1 kN·m B 500 (b) M eA 7kN F Cy 5kN z 12kN (a) 500 300 y M eB F Cz A 2kN 2kN 5kN F Dy F Dz C D x (d) (e) 4 抗弯截面系 数 393 22 m104500mm4500 6 mm)30(mm30 6 ? ×== × == bh W 1mm30mm/30/ ==bh ，查表 208.0=β 抗扭截面系数 p m105620mm5620mm30(8 ? ×==×=W 2 内 力 39333 )20.0=bβ 、计算 B 截 面 的 剪力 1000N S == FF 弯矩 m200N0.2m1000N ?=×== FRM 扭矩 m200N0.2m1000N ?=×== FRT B 截 面的危险点及危险点处的应力状态（图 b） cd 各点，顶边受拉应力，底 3、 确 定 截面上弯矩引起的最大正应力发生在截面顶边 ab 和底边 边受压应力，大小为 MPa.444Pa104.44 m104500 mN200 == M σ 6 39 =×= × ? ? W 最大弯曲切应力发生在截面中性轴 h f 线上各点， 方向向下，大小为 1.67MPaPa101.67 N100033 6 26 S 1 =×=×== ? F τ m10900 22 × A 扭转引起的最大切应力发生在截面四边中点 e、 f、 g、 h 处， 方向平行于所在边， 且 e 点 处 方 向向右、 f 点 处向下、 g 点 处向左、 h 点 处向上。扭转切应力大小均为 35.6MPaPa106.53 mN200 6 39 2 =×= ? == ? T τ m105620 p × W 考虑弯曲切应力、弯曲正应力和扭转切应力共同作用， e 点 处为单向拉伸应力状 态 如 图 c 所示 ， MPa.444=σ ， MPa35.6 2 ==ττ 。 g 点 处应力状态与 e 点处类 似，只 是 正 应 力 为 压 应 力 纯 剪 应 力 大 小 为 MPa3.73MPa6.35MPa67.1 21 。 f 点 处 为 切 应 力 状 态 ， 切 =+=+= τττ 30 30 B 200 B F C A e a 题 4 图 b σ hf c g d a e b hf d c g (b) B 截面 (x－ x 方向视图 ) (c) e 点应力状 态 y y x ( x a) (d) C 截面 (y－ y 方向视图 ) 5 h 点处应力状 态也为纯剪切，切应力大小为 MPa93.33MPa67.1-MPa6.35 12 ==?= τττ 。 比较四点处的应力状态，可知 e 点为 B 截面的 危险点。按第三强度理论计算其相当应 力为 MPa9.83MPa)6.35(4MPa)4.44(4 2222 r3 =×+=+= τσσ 4、计算 C 截 面上内力和应力 剪力 == FF =0 扭矩 1000N S 弯矩 M 2 m400N0.2m1000N2 ?=××=FR 5、计算 截 面危险点的应力（图 d） C 截面轴内侧中点，即图 d 中 值为 =T C C 截面各点处均为纯剪切应力状态，最大切应力发生在 f 点处，其 MPa9.72Pa109.72) m1030208.0 m102002 2 3 ( m)1030( N1000 ) 2 2 3 ( 2 2 3 2 3 S max = F τ 6 3 3 23 22 p =×= ×× ×× + × = +=+=+ ? ? ? b R b F b FR A F W T A β β 按第三强度理论计算相当应力 145.8MPaMPa9.722244 2 max 22 r3 =+= ττσσ max =×== τ 5 图示 薄壁 容器承受内 压 p。在容 器外表面沿 平行于轴向 贴电阻应变 片 A，测 得 弹性模量 E=2 -6 10100×= A ε ，在垂直于轴向贴电阻应变片 B，测得 10350×= B ε 。已知制成容器材料的 00 GPa， 25.0= -6 μ ，试计算筒壁内轴向及周向应力，并确定内压 p。 解题分析 ： 一 点 处 的 轴 向 和 周 正 应 变 ， 可由广义胡克 定律计算出轴向和周向正应力，然后直接应用教材中给出的压力容器的公式计算内压 p。 题 5 图 p B A 10 500 本 题 为 薄 壁 压 力 容 器 问 题 。 已 知 筒 壁 向 6 解： 1、计算 出轴向和周向正应力 为计算方便，在测点处建立坐标系。设轴向为 x 轴， y轴 为 测 点 沿 圆 周 的 切 线 方 向，则 A 应 变 片 测 出 的 是 轴 向 正 应 变 ， B 片测出的是该点处周向正应变。即 由平面应力状态下的广义胡克定律，得 -4 101×== Ax εε ， -4 105.3 ×== By εε 40MPa 0.2511 2 ??μ 10100)350(0.25MPa10200 )( 2 -63 = ×+××× = + = εμε σ xy x E (轴向正应力 ) 80MPa 0.251 10350)100(0.25MPa10200 1 )( 2 -63 2 = ? ×+××× = ? + = μ εμε σ yx y E (周向正应力 ) 2、求内压 p 根据公式 δ σ 4 pD x = （或 δ σ 2 pD y = ） ，可确定内压 MPa2.3 m10500 m)1010()Pa10404( 3 36 = × ×××× == ? ? D p δ 6 一个内半 径为 r， 两端封闭的圆柱形薄壁压力容器， 由厚度为 4 x σ δ 、 宽度为 b 的板条 滚压成 螺旋状并焊接而成 (图 a)。 假设焊口 处的强度条件为： 正应 力 σ 不得超过 1 7.0 σ 和切应力 τ 不 得超过 1 5.0 σ ， 1 σ 为筒壁上一点处的最大正应力。为满足上述强度要求，试确定半径 r 和板 条的宽度 b 之间应满足的关系。 解题分析： 在 焊口处截取微体， 则焊缝为微体的斜截面。 计算该斜截面上的正应力和切应力， 使 其 满 足 给 定 的 强 度 条 件 ， 并 由 强 度 条 件 与 r 的关系 。 状 态 特 点 ， 可知轴向正应 确 定 b 解： 1、计算 焊接面上的正应力和切应力 取微体如图所示， 根 据 薄 壁 压 力 容 器 筒 壁 任 一 点 处 的 应 力 力为 2 σ ，周向 正应力为 1 σ ，且 1 σ 为 最 大 。 设焊缝切向 与轴向夹角 为 α ，亦即斜 截面 （焊缝）法向与轴向夹角。于是得焊接面上的应力为 ((a) (b) σ α c) σ 2 α α 2 π r σ 1 τ α b b 题 6 图 7 ασσ 2cos 13 11 ?= ，σ α 44 αστ α 2sin 1 1 ，其中 4 = δ σ pr = 1 2、利用强度 条件确定 b 与 r 应满足的关系 根据题中给出的强度条件，有 111 7.02cos 44 σασσσ α ≤?= ， 13 11 5.02sin 4 1 σαστ α = ≤ 由 第 一 式 得 2.02cos ≥α 或 .39≤α D 2 ， 由第二式得 α 可以为任何角度。 所以， 最后确 定取 何关系知 D 2.39≤α 。 由图 c 的 几 r br)π cos 22 ? ，于是有 π2 2( =α D 2.39cos π2 r )π2( 22 ≥ ?br 或 b≤ 3.97r≈ 4r 讨论 ： 由确 定 α 角的过程可知，无论 α 为何值，焊缝处切应力强度条件始终满足。 过 5%，仍然 安全。 8