北京工业大学：材料力学：能量法典型习题解析

1 能量法 典型习题解析 1 线弹性杆件受力如图 11.2.1 所示，若两杆的拉压刚度均为 EA。试利用外力功与应变能 之间的关系计算加力点 Ｂ 的竖直位移。 解题分析： 外力作用在线弹性杆系上，外力所作的功完全转化为杆系的应变能。利用该关系 可以计算 B 点位移。 解： 1、计算各杆轴力 由节点 B的静力平衡条件求得各杆轴力： FF AB 4 5 ,N = ， FF BC 4 3 ,N = 2、计算杆系的应变能 杆系的应变能为两杆应变能之和,即 EI lF EI lF VVV BCBCABAB BCAB 22 2 ,N 2 ,N ,ε,εε +=+= 式中 ll AB = ， l.l BC 60= ,则 () EI lF EI lF EI lF V 2 9.1 2 6.0 4 3 2 4 5 2 22 ε = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? = 3、计算 B 点位移 设 B 点竖直位移为 B ? ，外力 F 由零逐渐增加过程中， F 与 B ? 始终保持正比关系， 外力所作的功为 B F?W 2 1 = ，并和杆系的应变能相等，即 EI lF F? B 2 9.1 2 1 2 = 得 EI Fl ? B 9.1 = 讨论 ：本题解法利用了线弹性体最基本的功能关系。其局限性也是明显的，例如要计算非力 作用点的变形或力作用点处与力不同方向上的位移时，该方法不方便。 2 一杆自重为 F， 另一杆不考虑自重，而在下端有一 F 力作用。已知杆的拉压刚度为 EA， 试比较两杆的应变能，并用单位载荷法计算各杆下端的位移。 解题分析： 考虑重力作用时，轴力沿杆轴线性变化。 α F N,AB l 0.8l 0.6l F N,BC B C F A B F 题 1 图 α 2 解： 首先计算考虑杆自重的情况。 1、计算应变能 单位长度上重量为 l F q = （图 a） 于是杆的 x截面上的轴力为（图 b）， x l F xqxF ?=?=)( N 　 杆的应变能为　 ∫∫ === ll EA lF xx l F EA x EA xF V 0 2 2 2 2 0 2 N 6 d 2 1 d 2 )( ε 　 2、用单位载荷法求 B 点位移 在 B 点加向下单位力，于是有 1)( N =xF 。 由单位载荷法，得 　　 EA Fl xx lAE F x EA x l F x EA xFxF ? l l B 2 dd 1 d )()( 0 NN == ? = ? = ∫∫∫ 下面计算不考虑杆自重，而在 B 端施加力 F（图 d）的情况。 3、杆的应变能　 这种情况下，杆的轴力沿轴线为一常量，即 FxF =)( N 。 所以杆的应变能为 EA lF x EA F x EA xF V ll 6 d 2 d 2 )( 2 0 2 0 2 N === ∫∫ ε 　 是考虑杆自重时应变能的 3 倍。 4、用单位载荷法求 B 点的位移。 在 B 点加向下单位力，于是有 1)( N =xF 。由单位载荷法，得 EA Fl x EA F x EA xFxF ? ll B = ? = ? = ∫∫ d 1 d )()( NN 是考虑杆自重时位移的 2 倍。 3 已知图示刚架各部分弯曲刚度均为 E I， 用单位载荷法计算 B 点水平位移、 C 点铅垂位移 和 C 点转角。不计轴力对刚架变形的影响。 1 (d) F (e) 1 (b) (a) (c) dx B q A F N (x) F N (x)+dF N (x) F N (x) l 题 2 图 x 3 解题分析 ：本题中，弯矩方程必须分段列出。利用单位载荷法公式时，相应地要分段积分。 ED 部分除弯矩外还有轴力， 按题意不考虑轴力对刚架变形的影响。 解： 1、写出各段弯矩方程 在 AD 段， 以 A 为 x 坐标原点： a Fx x F xM 2 )( 2 ?= ４ 在 DE 段，以 D 为 x 坐标原点： 4 )( Fa xM ?= 在 CB 段，以 C 为 x 坐标原点： FxxM ?=)( 在 BE 段，以 B 为 x 坐标原点： FaFxaxFFxxM ?=+?= 4 3 )( 4 7 )( 2、计算 B 点水平位移 B u 在 B 点加水平单位力，则各段的 )(xM 为 在 AD 段，以 A 为原点： 2 )( x xM ?= 在 DE 段，以 D 为原点： x a xM +?= 2 )( 在 CB 段，以 C 为原点： 0)( =xM 在 BE 段，以 B 为原点： 2 )( x xM = 应用单位载荷法公式，得 IE Fa x x FaFxxx aFa x x a Fx x F EI u aaa B 48 5 d 24 3 d 24 d 224 1 3 000 2 ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+? ? ? ? ? ? +?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ∫∫∫ 负号表示真实位移与所加单位力方向相反，即实际位移方向向左。 3、计算 C 点铅垂位移 C w 在 C 截面加铅垂单位力，则各段的 )(xM 为 在 AD 段，以 A 为原点： 2 )( x xM ?= 在 DE 段，以 D 为原点： 2 )( a xM ?= 在 CB 段，以 C 为原点： xxM ?=)( 1/2a 1/2a 1/2 1 3/2 1/2 1 1 B 1/2 1 D a a F/4 A F/a E a 7F/4 C B F A D E B A D E C A D E B C 题 3 图 a 4 在 BE 段，以 B 为原点： a x axxxM ?=+?= 2 )( 2 3 )( 则 ()() ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ∫∫∫ xxFxx aFa x x a Fx x F EI w aaa C dd 24 d 224 1 000 2 －－ IE aF xa x FaFx a 48 47 d 24 3 3 0 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?+ ∫ 4、计算 C 点转角 C θ 在 C 截面加单位力偶，计算各段 )(xM 在 AD 段，以 A 为原点： x a xM 2 1 )( ?= 在 DE 段，以 D 为原点： 2 1 )( ?=xM 在 CB 段，以 C 为原点： 0)( =xM 在 BE 段，以 B 为原点： 1 2 )( ?= a x xM ()() ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ∫∫∫ xFxx Fa x a x a Fx x F EI aaa C d1d 2 1 4 d 224 1 000 2 －－θ EI Fa x a x FaFx a 48 55 d1 24 3 3 0 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?+ ∫ 讨论： 使用单位载荷法时，只要求同一积分号下的 )(xM 与 )(xM 取的坐标系一致，不要求一 个构件采用一个统一的坐标系。所以，计算时可根据简便原则选取坐标系。读者可以自己计 算，当考虑轴力时，对前面计算的各点的位移有多大影响？ 4 用单位载荷法求图示曲杆 A、 B 两点间的相对位移 AB ? 。 忽略轴力及剪力对曲杆变形的影 响。 解题分析： 利用对称性，可以取曲 杆一半计算，这样可以减少一半积 分工作量。但是注意，在应用单位 载荷法公式时，要在积分号前乘以 2。 解： 1、列弯矩方程 AD 段以 A 为 x 坐标原点： B F θ RC O D A F B 1 O C R θ D A 1 题 4 图 l l 5 FxxM =)( DC 段取极坐标如图示，则 )sin()( θθ RlFM += ， 2 π 0 ≤≤θ 2、计算 A、 B 的相对位移 AB ? 在 A、 B 两点加单位力，则 )(xM 为 AD 段： xxM =)( ； DC 段： θθ sin)( RlM += 。于是得 ? ? ? ? ? ? ? ? +++= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+?+= ? ? ? ? ? ? ? ? ++?= ∫∫ )2 4 π 2 π ( 3 2 ) 4 2sin 2 (cos2 3 2 d)sin(d 2 2 2 3 2 0 322 3 2 π 0 2 0 lR R lR l EI F RlRRl l EI F RRlFxxFx EI ? l AB π θθ θθ θθ 5 求图示刚架 A 截面的转角和 C 点的挠度，已知各部分弯曲刚度为 EI。　 解题分析 ：本题采用图乘法计算。利用对称性，可以减少作图和计算工作量。 解： 1、作 )(xM 图，计算 ω （图 b） 由于图形对称，只需计算 ω 1、 ω 2及对应的 C M 值 16 3 1 qa ?=ω ， 48283 1 32 2 qaaqa ?=???=ω 2、 计算 A 截面转角 A θ 在截面 A 和 B 加一对对称的单位力偶，作 C M 图（图 c） a A qa/8 (a) qa/2 B a/2 C q A B 1/4 1/4 (b) (d) (c) 题 5 图 1 1/2 1/2 1 A B 3a/8 qa 2 /8 M M C1 C 1 C a/4 ω 1 M M 1/a a/2 qa/2 qa/8 ω 4 ω 2 ω 3 1/a a/4 M C1 M C2 6 3 1 1 = C M ， 0 2 = C M 则 EI qaqa EI MM EI CCA 48 ) 3 1 16 ( 1 )( 1 33 21 21 ?=??=+= ωωθ 3、 计算 C 点挠度 C w 在 C 处加铅垂单位力，作 C M 图（图 d） 643 2 1 aa M C ?=??= ， 16 3 44 3 2 aa M C ?=??= 则 EI qaaqaaqa EI MM EI w CCC 384 11 ) 16 3 () 48 () 6 () 16 ( 2 )( 2 433 21 21 = ? ? ? ? ? ? ? ? ???+???=+= ωω 讨论： 计算 A θ 时，只用半边结构的弯矩图计算，如果按整个结构的弯矩图计算（即乘以系 数 2），得到的是 A、 B 两截面的相对转角。计算 C w 时，必须使用整个结构上的弯矩 图。 6 图示为一水平放置的四分之一小曲率圆弧形曲杆。试计算在铅垂方向力 F 作用下，自由 端 B 的铅垂位移。杆的 EI 和 GI p 均为已知。（不计剪力影响） 解题分析： 力 F 作用下，曲杆发生弯曲和扭转组合变形。 解： 1、写出弯矩方程和扭矩方程 取图示极坐标系，则有 弯矩方程 ?? sin)( FRBDFM == ， 扭矩方程 )cos1()( ?? ?== FRDCFT 2、计算 B 端铅垂位移 在 B 处铅垂方向加单位力，则 ?? sin)( RM = ， )cos1()( ?? ?= RT F B O C R A 1 D D A R C B F O A R C B O 题 6 图 ? ? ? 7 ()() )2π 4 3 ( 4 π d)cos1()cos1( 1 dsinsin 1 d )()( 1 d )()( 1 p 33 2 π 0 p 2 π 0 p ?+= ??+= += ∫∫ ∫∫ GI FR EI FR RRFR GI RRFR EI sxTxT GI sxMxM EI w SS B ?????? 7 在图示桁架中，五根杆的 EA 相同，求 F 力作用下节点 A 的水平位移和铅垂位移，以及 AB 杆的转角。 解题分析： 计算 AB 杆的转角时，可以先求出 A、 B 点的水平位移，然后用公式 ABBAAB luu /)( ?=θ 计算。 解： 1、计算各杆的轴力 i F N ，各杆轴力值标于图 b。　 2、计算 A 点水平位移 A u 在 A 点加水平方向的单位力，计算 i F N （ i=1,…,5），各值标于图 c。 由 ∑ = ? = n i iii EA lFF ? 1 NN 得 [])221(2)2)(2(1 1 5 1 NN +=??+??== ∑ = EA Fl lFlF EAEA lFF u i ii A i 3、计算 A 点铅垂位移 A w 在 A 点加铅垂方向的单位力, 计算 i F N （ i=1,…,5），各值标于图 d。 EA Fl F EA w A ?=??= )1( 1 4、计算 AB 杆转角 AB θ D F B 1 B B (a) (b) (c) ( F ) F D N 0 F D 1 1 N (F ) 0 C F 0 0F 1 F A 0 C A C 1 0 A 1 1 1 B D (d) (e) D 1 (F ) N 0 B N ( F ) 0 0 0 0 -1 0 0 0C A C 0 A 题 7 图 l l 8 在 B 点加水平单位力，计算 i F N （ i=1,…,5），各值标于图 e。于是 B 点水平位移为 0)( 1 5 1 NN =?= ∑ =i iiB FF EA u ， AB 杆转角为 )221( += ? = EA F l uu BA AB θ ，绕 B 点顺时针转动。 8 已知梁的弯曲刚度 EI 和支座 B 的弹簧常量 k（引起单位变形所需的力），求 C 点的挠度。 解题分析： C 处有挠度方向上的作用力，采用卡氏第二定理较方便。 但注意，要用整个系 统（包括梁和弹簧）的应变能计算。　 解： 1、计算支反力 3 2F F Ay = , 3 F F By = 2、写出梁的弯矩方程 AC 段，以 A 为 x 坐标原点： () FxxFxM Ay 3 2 == ； BC 段，以 B 为 x 坐标原点： () FxxFxM By 3 1 == 弹簧的变形 k F ? 3 = 3、 计算应变能　　 梁的应变能为 EI lF xFxxFx EI x EI xM V ll l 243 2 d) 3 1 (d) 3 2 ( 2 1 d 2 )( 32 3 0 3 2 0 22 2 1ε = ? ? ? ? ? ? +== ∫∫∫ 弹簧应变能等于外力对弹簧做的功，作用在弹簧上的力为 By F ，弹簧的变形为 k F k F ? By 3 == ，所以弹簧应变能为 k F ?FV By 182 1 2 ε2 =?= 。 总应变能 k F EI lF VVV 18243 2 232 ε2ε1ε ＋＝＋＝ 4、 计算C点挠度 由卡氏第二定理，得 k F EI Fl F V w C 9243 4 3 ε ＋= ? ? = EI aq ? Ky 24 17 4 = ； EI aF ? Kx 3 19 )b( 3 = ， 0= Ky ? l/3 2l/3 F Ay = 3 2 F A w c C B F 题 11.2.8 图 F By = 3 1 F