电测应力分析 典型习题解析 1 为用电测 法测量材料的弹性模量 E 和泊松比 μ ,将材料加工成矩形截面拉伸试件。 试设计 解题分析 ： 试 件 受 轴 向 拉 力 ， 横 实验时的布片方案和接桥方案。 截 面 上 正 应 力 方 向 与 加 载 方 向 平 行 。 为 测 定 弹 性 模 量 E ， 需要知道加载方向应变大小和应力大小；为测定泊松比 μ ， 需 要 知 道 纵 向 应 变 和 横 向 应 。 解： 1、 布 片 方案： 沿拉伸试件的纵向和横向各贴一片应变片 1 R 和 1 R 变 ′，如 图 a 所示。 根据 圣 维南原理，测点位置应尽可能靠近试件中间位置，以减小加载端复杂应力场的影响。 2、测量弹性 模量的接线方案：测量时，将应变片 1 R 、温度补偿片 2 R 按图 c 接 成 半 桥 ， 试件受拉伸载荷 F 作用时，工作片感受拉伸应变 N ε 和 温 度 应 变 t ε 。温度补偿片只感受 温度应变 t ε 。 由电桥原 理 知，半桥 读 数为： NtN2 εεεεεε = t1 ?+=?=）（ε 。轴 向拉 应 力由公式 AF /=σ 算出，然后由胡克定律 N εσ E= 算出材料的弹性模量。 料 的 泊 松3、 测 量 材 比 μ 时的接线方案：只需将横向应变片 1 R′与补偿片 2 R 按图 d 接成 另一个半桥， 测量纵向应变的同时， 也由图 d 电桥 测得横向应变 ε′， 然后由横向应变 ε′ 与纵向应变 N ε 之比计算泊松比。 CA 题 1 图 (c) (b) F (a) 补偿片 D (d) F B B R 2R 1 R' 1R' 1 R 2 C A R 3 R 4 R 3 R 4 D R 1 R 2 1 讨 论 并保证最大载荷不超过试件屈服时载荷的 80％。 （ 2） 2 图 a 所 ： （ 1） 测 量时， 应 采 用 增 量 加 载 法 ， 测量前， 先 加一初载 ， 大小为最 大 载荷的 10％，以消除 内 摩擦和加 载 装置间隙 的 影 响。 （ 3） 横 向 和纵向应变片应贴在试件中部， 以减小加载端局部应力的干扰。 应变片 1 R′应尽可能靠近 1 R ，因为计算泊松比用的是同一点处的纵、横应变值。 示 为受纯弯曲的矩形截面梁。已知， 材料的弹性模量 E 、泊松比 μ。 要 求 测 出 最 解题分析 ： 发 生 弯 大的弯曲应力。试设计布片和接桥方案。 题 2 图 (b) (a) (d) (c) 梁的上下表面各点处为单向应力状态，且正应力方向平行于梁的轴线。 解 I： 在梁的上下表面沿主应力方向各贴一片应变片 1 R 、 2 R ，按图 b 接成半 桥 。 梁 曲变形时，应变片感受的是弯曲应变 M ε 和温度应变 t ε 。 即 梁 上 表 面 应 变 片 tM1 ， εεε += ， 下表面应变片 tM2 εεε +?= 。应变仪读数为 M21 2εεε =?=ε ，测点处的弯曲应变为 ε 1 M =ε 。 由 胡 上 的 最 大 弯 曲 应 力 2 克 定 律 得 到 梁 M σ 为 ε?= E 1 。 b 所 示 的 半 桥 接 线 法 ， 可 以 自 动 补 偿 温 度 应 片 。 σ ?= εE 2 MM 讨论： 图 效 ， 无 需 接 入 温 度 补 偿 变 分 别 为解 II： 也可采 用图 c 的布 片方案和图 d 的全桥接桥 方案， 这时， 各 应 变 片 感 受 的 应 ；；－；； tM4tM3tM2tM1 εε εεεεεεεεεε +=+=+?=+= μμ M4321 )1(2 εεεεε με +=+??= 应变仪的读数为 2 梁 的 最 大 弯 曲 应 变 和 应 力 分 别 为 )1(2 )1(2 MMM σ μ ε =?= + = εE μ εε + ?E 讨论： （ 1） 全桥桥接线法可以自动补偿温度效应， 无需接入温度补偿片。 （ 2）比 较 图 a、图 c 两个测量方 案，采用图 c 的方案精度 较高，因为读数绝对值较大。 3 受偏心拉 伸的矩形截面杆， 如图所示。 已知材料的弹性模量 E 和 泊 松 比 μ， 截面宽度为 b、 高为 h。要求 用电测法测出拉力 F 和偏心距 e，设计 布 片 方 式 和 接 桥 方 案 。 M，即可求出拉力 解题分析 ： 变 形 的 组 别测出轴力 和弯矩偏心拉伸变 形为轴向拉 伸 变 形 和 弯 曲 合。若能分 N F F 和偏心距 e。 解： 在杆的 上下表面沿纵向和横向各贴一片应变片，如图 a 所 示 。 构 件 受 偏 心 拉 力 F 时， 各应变片感受的应变分别为 , , tMF2tMF1 εεε εεεεε +?=++= MF4tMF3 , εεεεεεε ++ t ?=+??= μμεμμ 式 中 F ε 为将 F 移 至 截 面 形 心 并 单 独 作 用 时 杆 中 各 点 的 正 应 变 ， M ε 为弯矩 单独 作用时杆上下表面的正应变值。 轴 FeM = 1、 测 向 拉 力 F 将各个应变片接成图 b 所 示 的 全 桥 。 应 变 仪 读 数 为 ： (c) 题 3 图 (b) (a) h b 3 F tMFtMFtMFtMF 4231 εεεε )12 ε εεεεεεεεεεεε μ μμμμ ε += ++??+?++???++= ?+?= （ ）（）（）（）（ 于是 ）（μ ε + = 12 F ε 。 定 律 ， 得 相 应 应 力 为由 胡 克 的 正 ）（μ ε σ + ? =?= 12 F E εE 所以拉力 F 大小为 σ =?= AF ε μ)1(2 + bhE 2、 变 片 按 图 c 方案接成全 桥，应变仪读数为： 测 量 弯 矩 M 将图 a 中各 应 M tMFtMFtMFtMF 3421 ()()()( εεεεεεεεεεε μμμμ )1(2 ) ε ε εεεε μ ε += + ? ???++?++??++= +?=′ 于是 ）（μ ε + ′ = 12 M ε 。 克 定 律 ， 并 由 正 应 力 公 式 得 弯 矩 为 代 入 胡 弯 曲 εεσ ′==?= 2 Ebh EWWM μ+ )1(12 Mzz 由关系 得偏心距 FeM = ε ε 6 ′ == h F M e 。 讨论 ： 通 算 ” 功 能 ， 达到单测弯曲正应变或单测 作用，已知材料的弹性模量 过 设计桥路接线方式， 可以利用桥路的 “ 运 拉压正应变的目的。 4 圆截面直 杆受扭矩 T E 和泊松比 μ。 （ 1）要 测最大扭转切应 题 4 图 (b) (a) (d) (c) 4 力 max τ ， 设计布片方案和接桥方案； （ 2） 再附加弯矩， 试设计布片方案和接桥方案， 分别测 扭矩和弯矩的大小。 ： 圆截面直杆扭转时， 表面上的任一点均处于纯剪切应力状态。 如图 a 所示 。 主 应 力 解题分析 1 σ 和 3 σ 与母线的夹角分别为－ °和 45°， 且45 max31 τσσ =?= ， 可以通过测量 1 σ（或 3 σ ） 来求 max τ 。 解： 1、 半桥测 量： 在圆柱表面上与母线成－ 45°的 方位， 即主应变 1 ε 的方位贴一片工作片 ， 为温度补偿片， 贴在补偿块上。 如图 a。用 和 组成半桥， 如图 b 所示。 应变仪读 数即为－ 45°方向的主应变 1 R 2 R 1 R 2 R 1 ε ，由广义胡克定律 max31 )( τμσσ EE =?= 得 1 11 μ ε + 1max 1 ε E μ τ + = 。 2、全桥测量 ：为了提高测量精度，也可采用图 c所示的布片方案和图 d所 示的全桥接法。 与主应力 1 σ 和 3 σ 对应的主应变 1 ε 、 31 εε ?= 3 ε 之间的关系为 。 应变片 、 感受主应 1 R 3 R 变 1 ε ； R 2 、 R 4 感受主应变 3 ε 。应变仪读数： 1 4ε=ε ，即： 4 31 ε =?ε 由 胡 克 =ε ， 广 义 定 律 ： ε μμ μ μ στ )1(4)1( )( 1 131 2 1max + = + =+ ? == E ε E εε E 3、弯扭组合 作用时，扭矩的测量 为直接测出扭矩， 可通过设计桥路接入方式， 去除读数中弯矩引起的应变。 布片方 案 中 贴法，则各片感受的应变为（没有写出温度应变）采用图 e 。 ; ; ( )e (f) 题 4 图 2TM1 ; TM4TM3TM εεεεεεεεεεεε +＝＝??+??＝＝ 5 其中， M ε 为弯矩 M 引起的 1 R 处 （母线－ 45°方向上） 的正应变； T ε 为扭矩 T 引起的 处 采用图 f 接线法，则电桥读数为 1 R 的 正 应 变 。 εε 4 1 T = 。 6 T423 4 1 εεε εεε =?? ，+= 而 p maxT 11 W T EE μ τ μ ε + = + = ， 所以 ε μ ε μ ? + =? + = )4(11 p T P EW EW T 4、弯扭组合 变 形 时 ， 弯 矩 的 测 量 将图 e 中 各片按图 g 所示接入 电桥，则电桥读数为 M 4ε= ，ε εε 4 1 M = ，而 EW M E 2 )1( 2 )1 M μμσ ε ? = ? = （ ， 所以 μμ ?? 121 εε == 1 2 M EWEW M 5 受弯曲、 扭转组合 变 形的圆轴 ， 在圆轴表 面 实 验测得应 变花的各个应变值分别为 10400 ? ×=ε ， ， ， 材料的弹性 模量 测点上贴 一 应变花， 如 图所示。 6 0° 6 45 10250 ? ° ×=ε 6 90 10200 ? ° ×?=ε E =200GPa，泊松比 μ =0.28。计算圆轴 表面该点的主应力大小和方向。 解题分析 ： 将应变花的 0°敏感栅方向定位 (g) 题 4 图 题 5 图 1 3 90 o 45 o 0 o x 轴， 90°敏感栅方 向定位 轴，则 10200 10400 ? ° ? ° ×?== ×= εε ε y 103001025021020010400 ???? ×?=××?×?×= y 6 90 6 0 = ε x 45900 2 °°° ?+= εεε xy γ 6666 解： 22 1 222 ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + = xyyxyx εεεε ε γ 66 2 010)20000(4 ? ?×? 2 6 1043510 2 300 2 20004 2 ?? ×=×? ? ? ? ? ? +? ? ? ? ? + += 66 22 6 22 3 222 ? ? ? ? ? ? ? ? 1023510 2 300 2 200004 2 10)20000(4 ?? ? ×?=×? ? ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? + ? ×? = ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + = xyyxyx γεεεε ε 2 1 10)200400( 10300 2tan 6 6 0 = ×+ × = ? = ? ? yx xy εε γ α ； '1713 0 °=α 。 主应变 1 ε 方向为从 x 轴逆时针旋转 '1713 0 °=α 。主应力方向与主应变方向一致。 主应力值为 MPa1.8010)23528.0435( 28.01 MPa10200 )( 1 6 2 3 31 2 1 =××?× ? × =+ ? = ? εε E μ μ σ MPa6.2410)43528.0235( 28.01 MPa10200 )( 1 6 2 3 13 2 3 ?=××+?× ? × =+ ? = ? εε E μ μ σ 6 一直径为 D的圆杆， 受图示集中力 F 作用。 今用电阻应变仪测得圆杆正上方一点 A处沿轴 线方向应变 1 ε 及与轴线成 45°方向的应 变 2 ε ， 已知 E =200 GPa， μ =0.25， l=2 m， D=100 mm， 1 ε =1×10 -3 ， 2 ε =0.5×10 -3 ，求 F 与 a的 值 。 解 题 分 析 ： F 作 用 下 圆 杆 为弯扭组合 变形， A 点 处弯矩为 ，扭矩为 。 解： A 点处 弯曲正应力和扭转切应力分别为 1 a 2 题 6 图 Fl Fa p , W Fa W Fl xx == τσ ， WEE Fl x ×== 1 1 σ ε N98 0 m 232 -2933 = ? ll 2 32 )m10π(10Pa10200101π 3 11 × × ××× =×== DEεWEε F MPa200Pa10200 )m 1010(ππ 6 323 =×= ×× m 2N 98203232 ×× == ? x σ D Fl 7 x x x x x xx σσ σ °+= 90s τ σ στ σ τ ?=+=°+ °?° 2 2 90sinco 22 4545 又 ? ? ? ? ? ? ++ ? = ? ? ? ? ? ?+=?= °?°° x x EE μτμσσε ( 2 1 )( 1 454545 ? ? xxx x E τμσ μ τ σσ )1( 2 11 ) 2 ? ? ? ? ? ? ?1 ? + = ° xx E σ μ ε μ τ 21 1 45 MPa 20Pa1020]Pa10200 2 25.01 105.0Pa10200[ 25.01 1 6639 =×=×× ? ?×××× + = ? x τ m 0.4 16 )m10π(10 N9820 Pa1020 16 π 3-263 p = × × × =×== D FF W a x x τ τ 7 试通过电 测法确定 圆 轴的工作 载 荷 F 。圆轴 受 力如图所 示 ， F 力作用 在 垂直轴线 的 平 面 内， 作用点在轴表面， 作用线与圆周切线成 °30＝α 角。 轴的直径 D=100 mm， E =210 GPa， μ =0.3。 试在轴 的表面上标出粘贴应变片 （只限一片） 的位置和方向。 写出 F 力的计算公式， 并求当所测应变 时力 6 103 ? ×=ε F 的大小。 解题分析： 力 题 7 图 (a) (b) 45 o 1 中性轴 30 o F 作用在与轴线垂直的平面内， 所以 F 力不会产生轴力； 将 F 力向圆心简化， 得到主矢 F 和扭转力偶矩 FD D FT 42 3 30cos =×°= ， 圆轴发生弯曲、 扭转组合变形。 中性 轴为与 F 的方向垂直的直径。 解： 如图 b，在自由端横截面上画出中性轴， A 点处为纯剪切应力状态，切应力由扭转切 应力和弯曲切应力组成，其大小为 223 p FT π D 26.12 4 π 3 4 16 π 4 3 4 F D F D FD A F W T =×+=×+=+= τττ AB 线上任意点的应力状态都与 A 点相同。在 3 从 A 点出发，平行于轴线画直线 AB， 则 AB 线上任一点沿 °45 方向粘贴应变片，其应变值应为 8 μ ττ μ μσσ =?= )( 311 EE ε 又因为 + = + 1 , 11 1 Eε 从而得到 2 π 26.12 D =τ ，故 F N 104139 )3.01(26.12 Pa 10210)m 1010(πππ 5 922 1 22 εε EεDD F ×= ×××× === ? τ )1(26.1226.12 11 +×+μ 当测得 时， 讨论： 测量 前正确分析测点处的应力状态十分重要。 8 壁厚为 6 1 103 ? ×=ε N 1243.2103N 104139 -65 =×××=F mm 10＝δ ，直径 D=1 m的锅炉受内压 p，如图所示。材料弹性模量 E =210 GPa， μ =0.28，由电桥原理，为使温度引起的电阻变化，得以自动 补偿，如图接线。试验时，内 压由 0 升为 p时，电阻应变仪读数为 580×10 -6 。求内压 p。 解题分析： 题 8 图 20/D<δ ，所以该 锅 炉可看作 薄 壁压力容 器 。薄壁圆 筒 表面任一 点 处为二向应 力状态。设应变片 处应变为 1 1 R ε ，应力为 1 σ ；应变片 处应变为 2 2 R ε ，应力为 2 σ 。 ： 对 薄 壁 圆 筒 来 说 ， 其筒壁上任意点处主应力为 解 δ σ 2 1 = （周向） 和 pD δ σ 4 2 = （轴向） 。 pD 由广义胡克定律，有 ][ 1 ][ 1 122211 μσσμσσ ?=?= E ε E ε， 6 21 10580 ? ×=?= εεε 应变仪读数为 6 10580 4 1 ? ×=× + δ μ pD E 于是有 MPa 81.3Pa1081.3 28.01m1 m1010Pa10210410580 6 396 =×= +× ×××××× = ?? ）（ p 9 9 水轮机主 轴承受轴向拉伸与扭转的联合作用， 如图 a 示 。 为测定拉力 F 和 扭 T，所 矩 在 主 的 方 现 测 得 主轴等速 转 动时，轴 向 应变平均值 ° ε 应变平均 值 10 ? ε 。已 知轴 的 直 径 D=300 mm， 材料的弹性模量 轴上沿轴线方向和与轴线夹角 45° 向 各 贴 一电阻应 变 片 。 6 1025 ? ×= ， 45°方向 90 6 45 140 ° ×= E =210 GPa，泊松比 μ =0.28。试求 拉力 F 和扭矩 T。 解题分析： 主 轴 在 拉 伸 与 扭 转 的 联 合 向 应 变 片 测 得 的 应 变 只 与 轴 向 拉 力 有 是 由 扭 矩 引 起 的 。 解 ： 力 轴向拉伸正应力 (a) (c) 3 (b) 1 题 9 图 作 用 下 ， 外表面各点的应力状态如图 b 所示 。 沿轴线方 关 ； 45°方 向应变片测得的应变由两部分组成： 一是由 轴 力 引 起 的 ， 二 1、 计算 轴 向 拉 2 A ==σ π 4 D FF 2 90 E ε = ° π 4 DE F = σ N 10371 1025 4 )m3.0(πPa10210 π 6 90 2 ×× ××× = = ? ° ε DE F 4 3 29 ×= 2、计算扭矩 将图 b 所示 应力状态分解为单向拉伸应力状态和纯剪切应力状态， 如图 c 所示。 则 容 易 求得 和 方向的正应力为 °45 °135 10 τ σ σ 135 τ σ σ ?=+= °° 2 , 2 45 其中 σ 为轴向拉力引起的轴向正应力，其值为 1025Pa10210 669 90 ×=×××== ? D εσ E 由广义胡克定律 Pa1025.5 ? ? ? ? ? ? ++?= ? ? ? ? ? ? ??+=?= °°° τμ σ μτ σ μτ σ μσσ )1( 2 )1( 1 ) 2 () 2 ( 1 )( 1 1354545 EEE ε Pa10 49.21 2 Pa1025.5 )28.01(10140Pa10210 28.0121 45 ? ? + ° 所以 1 )1( 1 6 6 69 ×= ? ? ? ? ? ? ? ? × ??××× + = ? ? ? ? ??= ? σ με μ τ E 由扭转切应力公式 3 p π 16 D T W T ==τ 得扭矩 mN10 9.113Pa1049.21 16 )m3.0(π 16 π 36 33 ?×=×× × == τ D T 11