压 杆 稳 定
典型习题解析
1 图示№ 20a工字钢， 在温度 20℃时 安装， 这时杆不受力， 试问： 当温度升高多少度时， 工
字钢将丧失稳定？钢的线膨胀系数 α=12.5× 10
-6
1/℃。
解题分析 ： 计算 λ时，取 i 的最小值。此题是
一度静不定问题，利用变形协调方程求解。
6m
解： 1 、求 柔度 λ ，查表№ 20a 工字 钢
。 cm12.2
nim
=i
№ 20a
题 1 图
p
2
142
m1012.2
m65.0
λ
μ
λ >=
×
×
==
?
i
l
c
2、求失稳时 的温度
杆为细长杆，临界应力公式为
2
2
cr
)(
π
λ
σ
E
=
当温度上升 ?T 时，杆内的应力 TE ?
T
??=ασ
若温度上升 ?T 时，杆开始失稳，则有
Tcr
σσ =
或 TE
E
???=α
λ
2
2
)(
π
于是 C2.39
142C1/105.12
ππ
?
26
2
2
2
D
D
=
××
??==
?
ET α
αλ
安装时的温度为 20℃， 故失稳时的温度为
°=?+°= 2.5920 TT
2 图示结构 中， AB及 AC均为圆截面杆，直径 d = 80 mm，材 料为 Q235 钢 ，求此结构的临界
载荷 F
cr
。
F
F
解题分析 ： 分 别计算各杆可承担的临界载荷， 取
小值。
解： 1、计算 在 F 力作用 下各杆的轴力
FFF
2
1
60cos
N1
==
D
，
1N
2FF =
FFF
2
3
60sin
N2
==
D
，
2N2N
15.1
3
2
FFF ==
F
N1
C
B
A
1
2
F
N2
60
O
30
O
4m
题 2 图
1
2、计算各杆 的柔度
173
4/mm08
cos30mm40001
l
l
1
=
××
==
D
i
lμ
λ
100
4/mm08
30sinmm40001
2
2
2
=
××
==
D
i
lμ
λ
两杆均为大柔度杆
3、分别计算 各杆的临界轴力，确定结构的临界载荷
kN7.330N107.330
)30cosm41(
64
m)1080(π
Pa10200π
)(
π
3
2
43
92
2
1
2
N1
=×=
××
××
××
==
?
D
l
EI
F
μ
kN4.6612
N1cr1
== FF
kN990N10990
)30sinm41(
64
m)1080(π
Pa10200π
)(
π
3
2
43
92
2
2
2
N2
=×=
××
××
××
==
?
D
l
EI
F
μ
kN113915.1
2N2cr
== FF
该结构的 临界载荷取两者中较小者，即 F
cr
=661.4 kN
3 图示结构 中， 分布载荷 q = 20 kN/m。 梁的截面 为矩形， b = 90 mm， h = 130 mm。柱 的 截
面为圆形，直径 d = 80 mm。梁和柱均 为 Q235 钢， ［ σ］ =160 MPa，稳定安全因数 。
试校核结构的安全。
3
ts
=n
解题分析： 本题结构中， 应校核梁的强度和柱的稳定性， 两者分别符合强度、 稳定性条件才
能保障结构的安全。
q
q
解： 1、校核 梁的强度
根据图 b 所示 ，得0=
∑ A
M kN5.62=
B
F
作梁的弯矩图，如图 c 所示， mkN2.35
max
?=M
(b)
题 3 图
(c)
35.2 kN·m
A
B
F
BD
A
F
C
(a)
B D
d
4m
4m 1m
b
A
h
M
2
梁的最大弯曲正应力为
][MPa9.138Pa109.138
)m10130(m1090
mN102.3566
6
233
3
2
maxmax
max
σ
σ
<=×=
×××
?××
===
??
bh
M
W
M
所以梁的强度足够。
2、柱的稳定 性校核
柱的轴向压力为 kN5.62==
B
FF ，柱两端铰支
1=μ ， mm20
4
mm08
4
===
d
i ， 200
mm02
mm4000
===
i
lμ
λ
λ>λ
p
，故 BC杆是大柔度杆。
kN248N10248
64
)m1080(π
)m41(
Pa10200π
)(
π
3
43
2
92
2
2
cr
=×=
××
×
×
××
==
?
l
EI
F
μ
稳定校核
kN7.82
3
kN248
kN5.62
st
cr
==<=
n
F
F
B
柱的稳定性足够，所以结构安全。
4 图示 支柱 由四根 80× 80× 6 的角 钢所组 成。 支柱的 两端 为铰支 ，柱 长 ，压 力为
450kN。若材 料为 Q235 钢 ，许用应力
m6=l
MPa170][ =σ 。试求支柱横截面边长 a 的尺寸。
解题分析： 本题用折减系数法先确定 ?值， 再确 定 λ和 I
z
，根 据 I
z
计算边长 a。 用折减系 数法时
不用先判断压杆的类别。
解： 查型钢 表， 80 mm× 80 mm× 6 mm角钢的横截 面面积 A=9.397× 10
-4
m
2
， 对于图示形心轴
的惯性矩
C
z
C
z
I =57.35× 10
-8
m
4
z
z
C
80× 80× 6
h
21.9
a
a
题 4 图
3
1、根据稳 定性条件确定 ? 值
AF ?≤ ][][ σ?
)m10397.9Pa(410170N10504
2463 ?
××××≤× ?
从而要求 704.0≥? ，由表可得相应 λ≤ 84.5
2、确定组合 截面形心轴 z 应有的惯性矩
5.84
m10397.9
m61
4
4
24
≤
×
×
==
?
zz
I
A
I
lμ
λ
根据上式可得每个角钢对组合截面形心轴 z 应有的惯性矩
48242
m10473m10397.9)
5.84
m6
(
??
×=××≥
z
I
3、确定 a 值
I
z
= +Ah
C
z
I
2
57.35× 10
-8
m
4
+9.397× 10
-4
m
2
h
2
≥ 473× 10
-8
m
4
h
2
≥ 44.2× 10
-4
m
2
，即 h≥ 6.65× 10
-2
m
于是得 a≥ 2(2.19× 10
-2
m +6.65× 10
-2
m) = 0.177 m
可取 a = 0.177 m=177 mm
5 三角形木 屋架的尺寸及所受载荷如图所示， F = 9.7 kN。 斜腹杆 CD 为矩形截面，按构造
要求最小截面尺寸为 1 000 mm× 100 mm，材料为 松木，其顺纹抗压许用应力 MPa10][ =σ ，
若按两端铰支考虑，试校核该压杆的稳定性。
F
F
解题 分析 ： 本题用折减 系数法。在 工程中，桁 架压杆的稳 定校核非常 重要，利用 λ查 ?可用
内插法。
解： 1、计算 CD 杆的轴力及应力
以截面 1-1 以左为分离 体。容易算 出， CH = 3 m× 3/4=2.25 m， HD = 1.5m ，
α
F
1
K
F
F
8× 1.5m=12m
F
F/2
α
C
F
H
3m
F/2
A
B
D
1
题 5 图
4
m7.2)m5.1()m25.2(
22
=+=CD ， AK=AD× cosα= 4× 1.5 m× 2.25/2.70 = 5.0 m。
故由 ∑ M
A
=0 有 -F
N
，
CD
AK-F× 3× 1.5-F× 2× 1.5-1.5F=0
于是得 F
N
，
CD
= - 9F /AK= - 9m× 9.7 kN /(5.0 m) =17.5 kN
σ
CD
= F
N
，
CD
/A= 17.5× 10
3
N/(1× 1× 10
-2
m
2
) =1.75 MPa
2、 CD 杆的 稳定性校核
压杆 CD 的柔度为
9.93
12
m10100
m70.21
3
=
×
×
==
?
i
lμ
λ
根据 λ=93.9 利用内插法，求得 ? =0.34，于是
［ σ
st
］ =? ［ σ］ =0.34× 10 MPa =3.4 MPa
σ
CD
=1.75 MPa<［ σ
st
］ =3.4 MPa
所以 CD 杆满足稳定性要求。
5
