2011-7-18 1
第四章 扭 转（ Torsion)
赠言
子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。”
《论语 · 学而第一》
注：罔 —— 蒙蔽，欺骗
殆 —— 疑惑
2011-7-18 2
一、回顾
已经学习了 ——
? 拉、压
? 剪切
? 挤压（受力物体接触问题，外部关系；因注意内部，
不研究它了）
目前 剪切还是近似计算，值得深入研究
二、如何深化对剪切的认识？
沿面内作用的力 —— 剪切力
作用结果 —— 把截面剪断,可作为深化认识的 出发点
?,
2011-7-18 3
给你一个火腿肠，如何在中间截为两段？
? （ 1）刀切开
? （ 2）剪子剪
? （ 3）电锯（轮或平）截 —— 以上用工具，空手呢？
? （ 4）掰（弯）
? （ 5）拉
? （ 6）扭
分析一下：
? （ 1）、（ 3）是动载，因研究静载，故不讲了
? （ 4）属于弯曲，以后讲
? （ 5）拉断的位置不确定，也不讲
? （ 6）断开面两侧相互错动，实际上沿面内有力作用
—— 剪力：扭矩转化过来
2011-7-18 4
? （ 2） （剪子剪） （ 6） （ 扭） 的共同点 —— 剪力作用
? （ 2） （剪子剪） （ 6） （ 扭） 的不同点 ——
（ 2）的剪切面相邻两侧 平行错动
（ 6） 的剪切面相邻两侧 转动错动
可见 扭转现象 同 剪切 相关，本章专门研究它
三、常见的扭转现象
? 扭水龙头
? 用钥匙扭转开门
? 酒瓶软木塞的开瓶器
? 小轿车的方向盘工作
? 自行车的脚蹬工作
? 机器轴的转动
? 改锥上螺丝钉
2011-7-18 5
扭转的例子
2011-7-18 6
本章主要内容
? 4.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图
? 4.2 纯剪切、切应力互等定理、剪切胡克定律
? 4.3 圆轴扭转横截面应力和强度条件
? 4.4 圆轴扭转时的变形和刚度条件
? 4.5 圆轴扭转斜截面上的应力
2011-7-18 7
4.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图
? 外力偶矩 ( Torsion couple )
力偶（ Force couple )作用下产生的力矩
( Force moment)
? 扭矩 ( Torsion torque )
使杆绕轴线发生扭转变形的外力偶矩
? 扭矩图 ( Torsion torque graph)
2011-7-18 8
电机传递扭矩 转动机器
匀速转速 — n转 /分钟
输出功率 — N千瓦
求 扭矩 T（ 图中 T是机器对于
电机扭矩 的反作用力矩）
（弧度）牛顿米）
（弧度）牛顿米）
nT
TW
?
?
2(
(
?
???
（秒）牛顿米）
（秒）千瓦）
601000
60
?
???
(
(
N
NW
牛顿米）(nNn NT 9549260000 ?? ?
解,,出发点 —— 计算一分钟的功 W,
从扭矩看
从电机看
两式得扭矩
2011-7-18 9
注意：第 2个公式不需要记，因为
1 H,P.(马力,horsepower) = 0.7355 kW(千瓦特,k-watt )
所以
n
NT kW9 54 9?
n
NT P.,H7 0 2 4?
?当 N为千瓦
?当 N为马力
（ N m)
（ N m)
扭矩
扭矩
例 4.1[P90] （ 1） 算出外力偶矩
（ 2）外力偶矩要平衡
（ 3）双箭头矢量做，同轴力图类似
)kW(N..)P.H(N,P.H.P.H 73550?
代入第 1式，得
n
N
n
N.
T
.P.H
.P.H
702 4
735 50
954 9 ??
2011-7-18 10
4.2 纯剪切 Pure shear
切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear
stresses
郑玄 — 胡克剪切定律 Zhengxuan — Hooke’s
law in shear
? 纯剪切, 只有切应力的应力状态
切
应
力
互
等
定
理
2011-7-18 11
? 切应力互等定理
单元体上两个互垂面上剪应力的大小相等、方向相反
（共同指向交线或背离交线）
证明：以 d 轴取矩,得 上面剪力 和 右面剪力 平衡方程
ab)tbc(bc)tab( bcab ????? ??
故得 bcab ?? ?
类似可证明 —— 每两个邻近边切应力值相等
注意：不仅纯剪切，而且任何平衡力作用，
都成立 切应力互等定理 ( Reciprocal theorem of shear stresses
或 Theorem of conjugate shearing stress )
2011-7-18 12
图（ c） 中最大切应力对应于图（ b） 哪一个切应力？
答：图（ c） 最大切应力对应于图（ b） 右边切应力。
注意：图（ c） 切应力按线性分布，原因再讲
babbdxdy //)( '?? ??切应变的定义
2011-7-18 13
郑玄 — 虎克剪切定律
?? G? ?? E?
?
?
?tgG ?
? ?
?
?
?tgE ?
)1(2 ??
? EG
说明 3个性能只有 2个独立
此式在第 9章给出证明
2011-7-18 14
郑玄 — 虎克剪切定律只是 弹性阶段
本构关系 全程 本构关系如何？
要做纯剪切实验
（如薄壁圆管扭转）
得到 ?? ? 图
—— 剪切比例极限应力（线弹性阶段）
p?
s?
b?
—— 剪切屈服极限应力（进入塑性阶段）
—— 剪切强度极限应力（破坏阶段）
其中 ?
?
p?
s?
b?
2011-7-18 15
4.3 圆轴扭转横截面应力和强度条件
受扭圆轴截面上切应力分布
2011-7-18 16
r
?
dA
?
微元 dA 对轴心产生的力矩
dAdM ???
? ???
A A
dAdMT ??
因切应力是个未知函数 —— 无穷个未知数
而方程只有一个，故为 超静定问题
?静力平衡
2011-7-18 17
2011-7-18 18
?变形协调
平衡不足变形补 ——
先实验，后（推广得）假定
2011-7-18 19
图 (b)是实验结果：
1、圆周线保持形状、大小、间距不变，仅绕轴转动
2、母线仍是直线，仅绕轴转动
图 (c)是由表及里的想象 —— 假定：
1、横截面保持为平面，形状、大小、间距不变
2、半径保持为直线
2011-7-18 20
??? ddx ?
dx
d ?
?? ?
切应变沿半径线性变化，虽然函数解出了，
但是 系数尚不知
2011-7-18 21
上面求出了
代入平衡公式
?本构关系
dAT
A
?? ?? dx
d ?
?? ?
因变量不统一，还是解不出
如何把切应变 切应力？
根据本构关系（郑玄 — 胡克定律）
dx
d
GG
?
??? ??
p
A
I
dx
d
GdA
dx
d
GT
?
?
?
?? ? 2
2011-7-18 22
其中
??
A
p dAI
2?
得
对圆截面
)1(
3232
)(
2 4
4442/
2/
3 ?????? ????? ? DdDdI
D
d
p
pGI
T
dx
d
?
?
代入应变公式
dx
d ?
?? ?
pGI
T
?? ?
还是通过 静力、变形、本构 三方面解决了问题
pI
T
?? ?
??? ddA 2? 于是
2011-7-18 23
最大切应力在截面边缘
其中
r
I
W pt ?
轴半径
r = D/2r
圆轴扭转的强度条件
pI
T
?? ?
tpp W
T
rI
T
I
T
r m a xm a xm a xm a x
/
????
2011-7-18 24
][m a x ?? ?
tW
T m a x
m a x ??
max? maxT
2,对塑性材料 ])[6.05.0(][
t?? ??
注意
1、对阶段轴，要选大的
3、轴类零件考虑到动荷因素，许用切应力值比
静荷下的值小
不是看
2011-7-18 25
例 4.2 [P99] 最好会推出抗扭模量的公式
例 4.3 [P99] （ 1） 有没有更好的解法？
不用切应力相等，用抗扭模
量相等去求解,可否？
（ 2）注意重量的增加，为什么？
习题,[P122] 4.1,4.2,4.4
2011-7-18 26
4.4 圆轴扭转时的变形和刚度条件
1,强度问题 解决了，必然要解决 刚度 （变形） 问
题
2、拉压变形 —— 伸缩，扭转变形？ —— 转角
3、如何解决？仿拉压，从 应变 着手
2011-7-18 27
? ?
最后得 扭转角
pI
T ?? ?
*若为等扭矩、等截面
?拉压
l?
?扭转
pGI
T
G
??? ??
同式
dx
d??? ? 比较 得
pGI
T
dx
d ??
??
l
p
dx
GI
T
0
?
*若为阶梯扭矩、阶梯截面
pGI
Tl??
?
?
?
l
i p
ii
i
GI
lT
1
?
（ rad)
2011-7-18 28
?圆轴扭转的刚度条件
化为单位长度上的扭转角 （ rad/m)
pGI
T
l
?? ??
为保证刚度，要求 ——
单位扭转角 的 最大值 小于许用值
][ma x ?? ?
许用值根据重要性确定
见 [P102]
2011-7-18 29
例题提示
?例 4.4 [P102] 分别按强度、刚度设计直径，然后呢？
?例 4.5 [P103] 1、变截面：直径函数 —— 极惯性矩函数
2、扭矩函数
3、变截面、变扭矩，怎么求转角？
在 微分长度 上 —— 视它们为常数
然后 —— 积分
4、怎么 积分？ —— 变量变换
? 例 4.6 [P104] 1、共同工作，变形相同
2、三方面 —— 平衡、协调、本构
2011-7-18 30
4.5 圆轴扭转斜面上的应力
扭转轴的破坏（想一想：为什么这样？）
为什么研究斜截面应力？
☆ 逻辑上，正截面 —— 斜截面
☆ 实际上，见下面的实验结果，原因？
2011-7-18 31
途径,1、仿正截面过程； 2、用正截面推导斜截面应力
2011-7-18 32
?? ??,
为计算斜面上应力
列出
?? ??
和 两个方向的平衡方程：
0000 ??? ??????? ? s i n)c o sA(c o s)s i nA(A
?????? ? 22 s i nc o ss i n ????
0000 ??? ??????? ? c o s)c o sA(s i n)s i nA(A
?????? ? 2c o s)s in( c o s 22 ???
第九章《应力状态理论》对于
切应力方向规定 —— 使单元体
顺时针转动的切应力为正
方位角方向规定 —— 以 x 轴为起点
逆时针转到斜面外法线的角为正 ?
?? ??
A0
x’
y’
?
? ? x
2011-7-18 33
??? ? 2 s i n??
??? ? 2 c o s?
00??
045??
′
???? ??? ?? m a x00,0
0,45m i n45 ???? ?? ????
0,45m a x45 ??? ???? ????045???
090??
在 - 45?的斜截面上,有最大拉应力 —— 可解释破坏现象 。
???? ????? ?? m a x9090,0
上述公式可得到如下结论 。
2011-7-18 34
拉应力是脆性材料破坏的主要原因
第四章 扭 转（ Torsion)
赠言
子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。”
《论语 · 学而第一》
注：罔 —— 蒙蔽，欺骗
殆 —— 疑惑
2011-7-18 2
一、回顾
已经学习了 ——
? 拉、压
? 剪切
? 挤压（受力物体接触问题，外部关系；因注意内部，
不研究它了）
目前 剪切还是近似计算，值得深入研究
二、如何深化对剪切的认识？
沿面内作用的力 —— 剪切力
作用结果 —— 把截面剪断,可作为深化认识的 出发点
?,
2011-7-18 3
给你一个火腿肠，如何在中间截为两段？
? （ 1）刀切开
? （ 2）剪子剪
? （ 3）电锯（轮或平）截 —— 以上用工具，空手呢？
? （ 4）掰（弯）
? （ 5）拉
? （ 6）扭
分析一下：
? （ 1）、（ 3）是动载，因研究静载，故不讲了
? （ 4）属于弯曲，以后讲
? （ 5）拉断的位置不确定，也不讲
? （ 6）断开面两侧相互错动，实际上沿面内有力作用
—— 剪力：扭矩转化过来
2011-7-18 4
? （ 2） （剪子剪） （ 6） （ 扭） 的共同点 —— 剪力作用
? （ 2） （剪子剪） （ 6） （ 扭） 的不同点 ——
（ 2）的剪切面相邻两侧 平行错动
（ 6） 的剪切面相邻两侧 转动错动
可见 扭转现象 同 剪切 相关，本章专门研究它
三、常见的扭转现象
? 扭水龙头
? 用钥匙扭转开门
? 酒瓶软木塞的开瓶器
? 小轿车的方向盘工作
? 自行车的脚蹬工作
? 机器轴的转动
? 改锥上螺丝钉
2011-7-18 5
扭转的例子
2011-7-18 6
本章主要内容
? 4.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图
? 4.2 纯剪切、切应力互等定理、剪切胡克定律
? 4.3 圆轴扭转横截面应力和强度条件
? 4.4 圆轴扭转时的变形和刚度条件
? 4.5 圆轴扭转斜截面上的应力
2011-7-18 7
4.1 外力偶矩、扭矩和扭矩图
? 外力偶矩 ( Torsion couple )
力偶（ Force couple )作用下产生的力矩
( Force moment)
? 扭矩 ( Torsion torque )
使杆绕轴线发生扭转变形的外力偶矩
? 扭矩图 ( Torsion torque graph)
2011-7-18 8
电机传递扭矩 转动机器
匀速转速 — n转 /分钟
输出功率 — N千瓦
求 扭矩 T（ 图中 T是机器对于
电机扭矩 的反作用力矩）
（弧度）牛顿米）
（弧度）牛顿米）
nT
TW
?
?
2(
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???
（秒）牛顿米）
（秒）千瓦）
601000
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牛顿米）(nNn NT 9549260000 ?? ?
解,,出发点 —— 计算一分钟的功 W,
从扭矩看
从电机看
两式得扭矩
2011-7-18 9
注意：第 2个公式不需要记，因为
1 H,P.(马力,horsepower) = 0.7355 kW(千瓦特,k-watt )
所以
n
NT kW9 54 9?
n
NT P.,H7 0 2 4?
?当 N为千瓦
?当 N为马力
（ N m)
（ N m)
扭矩
扭矩
例 4.1[P90] （ 1） 算出外力偶矩
（ 2）外力偶矩要平衡
（ 3）双箭头矢量做，同轴力图类似
)kW(N..)P.H(N,P.H.P.H 73550?
代入第 1式，得
n
N
n
N.
T
.P.H
.P.H
702 4
735 50
954 9 ??
2011-7-18 10
4.2 纯剪切 Pure shear
切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear
stresses
郑玄 — 胡克剪切定律 Zhengxuan — Hooke’s
law in shear
? 纯剪切, 只有切应力的应力状态
切
应
力
互
等
定
理
2011-7-18 11
? 切应力互等定理
单元体上两个互垂面上剪应力的大小相等、方向相反
（共同指向交线或背离交线）
证明：以 d 轴取矩,得 上面剪力 和 右面剪力 平衡方程
ab)tbc(bc)tab( bcab ????? ??
故得 bcab ?? ?
类似可证明 —— 每两个邻近边切应力值相等
注意：不仅纯剪切，而且任何平衡力作用，
都成立 切应力互等定理 ( Reciprocal theorem of shear stresses
或 Theorem of conjugate shearing stress )
2011-7-18 12
图（ c） 中最大切应力对应于图（ b） 哪一个切应力？
答：图（ c） 最大切应力对应于图（ b） 右边切应力。
注意：图（ c） 切应力按线性分布，原因再讲
babbdxdy //)( '?? ??切应变的定义
2011-7-18 13
郑玄 — 虎克剪切定律
?? G? ?? E?
?
?
?tgG ?
? ?
?
?
?tgE ?
)1(2 ??
? EG
说明 3个性能只有 2个独立
此式在第 9章给出证明
2011-7-18 14
郑玄 — 虎克剪切定律只是 弹性阶段
本构关系 全程 本构关系如何？
要做纯剪切实验
（如薄壁圆管扭转）
得到 ?? ? 图
—— 剪切比例极限应力（线弹性阶段）
p?
s?
b?
—— 剪切屈服极限应力（进入塑性阶段）
—— 剪切强度极限应力（破坏阶段）
其中 ?
?
p?
s?
b?
2011-7-18 15
4.3 圆轴扭转横截面应力和强度条件
受扭圆轴截面上切应力分布
2011-7-18 16
r
?
dA
?
微元 dA 对轴心产生的力矩
dAdM ???
? ???
A A
dAdMT ??
因切应力是个未知函数 —— 无穷个未知数
而方程只有一个，故为 超静定问题
?静力平衡
2011-7-18 17
2011-7-18 18
?变形协调
平衡不足变形补 ——
先实验，后（推广得）假定
2011-7-18 19
图 (b)是实验结果：
1、圆周线保持形状、大小、间距不变，仅绕轴转动
2、母线仍是直线，仅绕轴转动
图 (c)是由表及里的想象 —— 假定：
1、横截面保持为平面，形状、大小、间距不变
2、半径保持为直线
2011-7-18 20
??? ddx ?
dx
d ?
?? ?
切应变沿半径线性变化，虽然函数解出了，
但是 系数尚不知
2011-7-18 21
上面求出了
代入平衡公式
?本构关系
dAT
A
?? ?? dx
d ?
?? ?
因变量不统一，还是解不出
如何把切应变 切应力？
根据本构关系（郑玄 — 胡克定律）
dx
d
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I
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GdA
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GT
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?
?
?? ? 2
2011-7-18 22
其中
??
A
p dAI
2?
得
对圆截面
)1(
3232
)(
2 4
4442/
2/
3 ?????? ????? ? DdDdI
D
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p
pGI
T
dx
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?
代入应变公式
dx
d ?
?? ?
pGI
T
?? ?
还是通过 静力、变形、本构 三方面解决了问题
pI
T
?? ?
??? ddA 2? 于是
2011-7-18 23
最大切应力在截面边缘
其中
r
I
W pt ?
轴半径
r = D/2r
圆轴扭转的强度条件
pI
T
?? ?
tpp W
T
rI
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r m a xm a xm a xm a x
/
????
2011-7-18 24
][m a x ?? ?
tW
T m a x
m a x ??
max? maxT
2,对塑性材料 ])[6.05.0(][
t?? ??
注意
1、对阶段轴，要选大的
3、轴类零件考虑到动荷因素，许用切应力值比
静荷下的值小
不是看
2011-7-18 25
例 4.2 [P99] 最好会推出抗扭模量的公式
例 4.3 [P99] （ 1） 有没有更好的解法？
不用切应力相等，用抗扭模
量相等去求解,可否？
（ 2）注意重量的增加，为什么？
习题,[P122] 4.1,4.2,4.4
2011-7-18 26
4.4 圆轴扭转时的变形和刚度条件
1,强度问题 解决了，必然要解决 刚度 （变形） 问
题
2、拉压变形 —— 伸缩，扭转变形？ —— 转角
3、如何解决？仿拉压，从 应变 着手
2011-7-18 27
? ?
最后得 扭转角
pI
T ?? ?
*若为等扭矩、等截面
?拉压
l?
?扭转
pGI
T
G
??? ??
同式
dx
d??? ? 比较 得
pGI
T
dx
d ??
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0
?
*若为阶梯扭矩、阶梯截面
pGI
Tl??
?
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ii
i
GI
lT
1
?
（ rad)
2011-7-18 28
?圆轴扭转的刚度条件
化为单位长度上的扭转角 （ rad/m)
pGI
T
l
?? ??
为保证刚度，要求 ——
单位扭转角 的 最大值 小于许用值
][ma x ?? ?
许用值根据重要性确定
见 [P102]
2011-7-18 29
例题提示
?例 4.4 [P102] 分别按强度、刚度设计直径，然后呢？
?例 4.5 [P103] 1、变截面：直径函数 —— 极惯性矩函数
2、扭矩函数
3、变截面、变扭矩，怎么求转角？
在 微分长度 上 —— 视它们为常数
然后 —— 积分
4、怎么 积分？ —— 变量变换
? 例 4.6 [P104] 1、共同工作，变形相同
2、三方面 —— 平衡、协调、本构
2011-7-18 30
4.5 圆轴扭转斜面上的应力
扭转轴的破坏（想一想：为什么这样？）
为什么研究斜截面应力？
☆ 逻辑上，正截面 —— 斜截面
☆ 实际上，见下面的实验结果，原因？
2011-7-18 31
途径,1、仿正截面过程； 2、用正截面推导斜截面应力
2011-7-18 32
?? ??,
为计算斜面上应力
列出
?? ??
和 两个方向的平衡方程：
0000 ??? ??????? ? s i n)c o sA(c o s)s i nA(A
?????? ? 22 s i nc o ss i n ????
0000 ??? ??????? ? c o s)c o sA(s i n)s i nA(A
?????? ? 2c o s)s in( c o s 22 ???
第九章《应力状态理论》对于
切应力方向规定 —— 使单元体
顺时针转动的切应力为正
方位角方向规定 —— 以 x 轴为起点
逆时针转到斜面外法线的角为正 ?
?? ??
A0
x’
y’
?
? ? x
2011-7-18 33
??? ? 2 s i n??
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0,45m i n45 ???? ?? ????
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090??
在 - 45?的斜截面上,有最大拉应力 —— 可解释破坏现象 。
???? ????? ?? m a x9090,0
上述公式可得到如下结论 。
2011-7-18 34
拉应力是脆性材料破坏的主要原因
