赠 言
子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
,论语 ·雍也篇,
孔子说：知道学问不如喜好它，喜好它不如以它为快
乐。
孟子曰：羿之教人射，必志于彀；学者亦必志于彀。
大匠诲人必以规矩，学者也必以规矩。
,孟子 ·告子上,彀（ gou):张满弓弩
孟子说：后羿教人射箭，必意向拉满弓。学习者也要
“拉满弓”。大匠人以规矩教诲人，学习者也要守规
矩
第十七章 简单弹塑性问题
?概述
?简单桁架的弹塑性分析
?圆轴的弹塑性扭转
?梁的弹塑性弯曲
? 到现在为止，研究的材料性能都是考虑弹性阶
段，强度问题为：
n
u??? ?? ][
m a x
?
?
??
b
s
u ?
??
脆性材料过了 ?b就发生了脆性断裂，可是塑性材料过了
?s,进入 屈服阶段,接着还有 强化阶段,最后进入 局部变
形阶段,然后 破坏 。
极限应力
安全系数
屈服极限 (塑性 )
抗拉强度或抗压
强度 (脆性 )
§ 17-1 概述
?认为屈服就破坏，这是 弹性设计 的概念。按照
弹性设计的构件工作时只允许发生弹性变形。
?安全性与经济性的平衡：工程师必须考虑的问题
?弹塑性设计：充分利用材料的塑性变形，化有害
为有利。
?
?
塑性材料应力应变关系
column
beam
joint Joint with short link
钢结构,较好的抗震性能，易于建造，造型优美
Joint 通过塑性变形消耗大部分能量，从而增强
抗震作用。
几种简化弹塑性应力应变关系
?
?
线弹性应力应
变关系
?
?
?
?
s?
双线性模型
s?
?
?
?
?
s?
理想弹塑性模型
s?
?
?
简单构件：杆、扭转轴、梁
更复杂结构的弹塑性行为要借助有限元
等数值分析工具来计算。
§ 17-2 简单桁架的弹塑性分析
?c o s221
PNN ??
A
N 1
21 ?? ??
两杆同时进入塑性，
AN ss ???? ??? 121,
us PAP ?? ?? c o s2这时，
n
PPP u?? ][
m a x
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P
1 2
B
uPP ?
B点向下
无限运动
：极限载荷
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P
1 2
3
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3
2
21 c o s21
c o s
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PNN
PNN ?? 31 c o s2 ?
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1
3
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平衡方程
协调方程
?33 c o s21 ??
PN
杆 3 首先进入塑性，这时
)c o s21( 3 ?? ?? AP se,弹性极限载荷
? ?
P
1 2
3
继续增大载荷,1,2,3
杆全部进入塑性：
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§ 17-3 圆轴的弹塑性扭转
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§ 17-4梁的弹塑性弯曲
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(+)
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Pl
b
h
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M
W
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弹性范围
?
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理想弹塑性模型
P
(+)
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Pl
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开始屈服
?
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理想弹塑性模型6
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Pl
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进入屈服
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理想弹塑性模型6
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1)
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整截面屈服
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理想弹塑性模型
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?
5.146 ??
e
u
M
M
P
塑性铰
的形成
塑性铰（ plastic hinge)的力学模型
与普通铰相比，塑性铰
?是个概念或力学模型
?能承受弯矩 Mu
?单向铰
uM uM
注意 Mu的方向
极限弯矩对应的外载荷称为极限载荷
4
lPM
uu ? lMP uu /4?
载荷极限
形状系数
弹性应力：
zW
M?? zW 抗弯截面模量 6 2bhWz ?
5.146 ???
z
s
W
Wkzs kWW ?
[p530]表 1对常见的截面给出了形状系数 k。
塑性应力：
s
u
s W
M??
4
2bhW
s ?sW
塑性截面抗弯模量
梁弯曲时，总轴力为零，
确定塑性中性轴的位置
0)( ????? ???? ?? AAdAdAN sA sA s ???
2
AAA ??
??
塑性中性轴
T形梁的弹性中性轴与塑性中性轴不重合
有一个对称轴截面的塑性中性轴不一定是
这个对称轴；有两个对称轴截面的塑性中
性轴就是其中一个对称轴。
塑性铰与机构
P
P
静定梁
一个塑性铰
N度超静定梁
N+1个塑性铰
可变机构
超静定梁极限载荷的确定
P 1度超静定梁
2个塑性铰＝极限状
态
Pl163
Pl325
A
BC 塑性铰先出现在 A
静定梁P
uM
C
C出现塑性铰时，梁
失去承载能力 P
u
利用 极限定理 确定极限载荷
极限定理,在各种可能的机构中，形成机构最
小的载荷，就是结构的极限载荷。
方法：
（ 1）设定梁成为可动机构的所有可能塑性铰情况
（ 2）利用虚功原理，计算每种可动机构的极限载荷
（ 3）选取所有极限载荷中最小者，为结构的极限载荷
虚功原理,外力在任何可能位移上所作的虚功恒
等于内力在虚位移导致的虚变形上所作的虚功。
P
A
C
B 需要 2个塑性铰，才能成可动机构
只有 A,C可能成为
塑性铰
只有一种可能的
可动机构情况
根据虚功原理 ???? ????????
uuuu MMM
lP
2
外力虚功 内力虚功
Pu
uM
C
uM uM
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l
MP u
u 6?
例题
P
A
C
B D
a a a
P
需要 2个塑性铰，
才能成可动机构
A,B,C都可能成为
塑性铰
有三种可能的可
动机构情况
第一种：
A,B处出现塑性铰
P
uM
uM uM
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?2
?
?2
P
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a
MP u5?
第二种：
A,C处出现塑性铰
P
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P
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第三种：
B,C处出现塑性铰
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P
u M
u M
u M
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P
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比较知，三种情况中，最小者为
a
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作业,17.5,17.12（ e)
本章小结
? 构件的弹塑性设计
? 理想弹塑性模型
? 弹性极限载荷, 极限载荷
? 塑性铰
? 极限定理
子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
,论语 ·雍也篇,
孔子说：知道学问不如喜好它，喜好它不如以它为快
乐。
孟子曰：羿之教人射，必志于彀；学者亦必志于彀。
大匠诲人必以规矩，学者也必以规矩。
,孟子 ·告子上,彀（ gou):张满弓弩
孟子说：后羿教人射箭，必意向拉满弓。学习者也要
“拉满弓”。大匠人以规矩教诲人，学习者也要守规
矩
第十七章 简单弹塑性问题
?概述
?简单桁架的弹塑性分析
?圆轴的弹塑性扭转
?梁的弹塑性弯曲
? 到现在为止，研究的材料性能都是考虑弹性阶
段，强度问题为：
n
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脆性材料过了 ?b就发生了脆性断裂，可是塑性材料过了
?s,进入 屈服阶段,接着还有 强化阶段,最后进入 局部变
形阶段,然后 破坏 。
极限应力
安全系数
屈服极限 (塑性 )
抗拉强度或抗压
强度 (脆性 )
§ 17-1 概述
?认为屈服就破坏，这是 弹性设计 的概念。按照
弹性设计的构件工作时只允许发生弹性变形。
?安全性与经济性的平衡：工程师必须考虑的问题
?弹塑性设计：充分利用材料的塑性变形，化有害
为有利。
?
?
塑性材料应力应变关系
column
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钢结构,较好的抗震性能，易于建造，造型优美
Joint 通过塑性变形消耗大部分能量，从而增强
抗震作用。
几种简化弹塑性应力应变关系
?
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线弹性应力应
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双线性模型
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理想弹塑性模型
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简单构件：杆、扭转轴、梁
更复杂结构的弹塑性行为要借助有限元
等数值分析工具来计算。
§ 17-2 简单桁架的弹塑性分析
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A
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两杆同时进入塑性，
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§ 17-4梁的弹塑性弯曲
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塑性铰
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塑性铰（ plastic hinge)的力学模型
与普通铰相比，塑性铰
?是个概念或力学模型
?能承受弯矩 Mu
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注意 Mu的方向
极限弯矩对应的外载荷称为极限载荷
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载荷极限
形状系数
弹性应力：
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M?? zW 抗弯截面模量 6 2bhWz ?
5.146 ???
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[p530]表 1对常见的截面给出了形状系数 k。
塑性应力：
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塑性截面抗弯模量
梁弯曲时，总轴力为零，
确定塑性中性轴的位置
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塑性中性轴
T形梁的弹性中性轴与塑性中性轴不重合
有一个对称轴截面的塑性中性轴不一定是
这个对称轴；有两个对称轴截面的塑性中
性轴就是其中一个对称轴。
塑性铰与机构
P
P
静定梁
一个塑性铰
N度超静定梁
N+1个塑性铰
可变机构
超静定梁极限载荷的确定
P 1度超静定梁
2个塑性铰＝极限状
态
Pl163
Pl325
A
BC 塑性铰先出现在 A
静定梁P
uM
C
C出现塑性铰时，梁
失去承载能力 P
u
利用 极限定理 确定极限载荷
极限定理,在各种可能的机构中，形成机构最
小的载荷，就是结构的极限载荷。
方法：
（ 1）设定梁成为可动机构的所有可能塑性铰情况
（ 2）利用虚功原理，计算每种可动机构的极限载荷
（ 3）选取所有极限载荷中最小者，为结构的极限载荷
虚功原理,外力在任何可能位移上所作的虚功恒
等于内力在虚位移导致的虚变形上所作的虚功。
P
A
C
B 需要 2个塑性铰，才能成可动机构
只有 A,C可能成为
塑性铰
只有一种可能的
可动机构情况
根据虚功原理 ???? ????????
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外力虚功 内力虚功
Pu
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C
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例题
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A
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需要 2个塑性铰，
才能成可动机构
A,B,C都可能成为
塑性铰
有三种可能的可
动机构情况
第一种：
A,B处出现塑性铰
P
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第二种：
A,C处出现塑性铰
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作业,17.5,17.12（ e)
本章小结
? 构件的弹塑性设计
? 理想弹塑性模型
? 弹性极限载荷, 极限载荷
? 塑性铰
? 极限定理
