赠 言
平者，水停之盛也。其可以为法也，内保之而外
不荡也。, 庄子 ·德充符,
孔子对鲁哀公讲的话
注释,平，是水停止在容器的状况，它可以成为一
种方法，内部保持平静且外部也不振荡。
接着孔子将其引申到修养道德上
理解,解决科学和工程问题，列方程亦然 —— 等式
两边相等，如水停之状，其内部物理量之间保持平
衡，方程的求解也不振荡。
1、概述
2、力法求解超静定
力法正则方程
3,利用对称性简化超静定系统的计算
内力超静定系统
Statically Indeterminate System
第十三章 超静定系统
§ 13-1概述
超静定分类：
?外力超静定
?内力超静定
?既有内力超静定，又有外力超静定
1 32
q
如何求解？
1,静力不定
2,变形方程补充
3,物理方程在静力平衡与变形协调之间架
桥
§ 13-2 用力法求解超静定系统,力法正则方程
（ Canonical Equations of Force Method)
解除
杆件或支座结构静定化
静定基（不唯一，以
方便为准）
? 思想是十分简单易懂的
建立在未知力处 变形协调条件
借助
Mohr积分变形条件
补充方程（力法）
求解
线性方程
力法方程 未知力
1
2
3
4
以一例说明解法
? 位移协调条件
0,0,0 321 ??????
1X 2X 3X
? 静定基（含未知数）
1 32
q
建立方程的过程
q
q
qXXX
qXXX
XXX
dx
EI
MM
dx
EI
MM
Xdx
EI
MM
Xdx
EI
MM
X
dx
EI
xMM
dx
EI
xMM
dx
EI
xMM
dx
EI
MM
dx
EI
xMMMMM
dx
EI
xMxM
1313212111
113
3
12
2
11
1
1111
1
1
1
)()()(
)()()()(
321
321
?????
????
????
???
???
????
????
??
???
以 ?1为例说明
1X 2X 3X
qXXX 13132121111 ?????? ???
qXXX 23232221212 ?????? ???
qXXX 33332321313 ?????? ???
利用协调条件：
q
q
q
XXX
XXX
XXX
3333232131
2323222121
1313212111
?????
?????
?????
???
???
???
协调方程的矩阵形式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
q
q
q
X
X
X
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
???
???
???
jiij ?? ?
（位移互等定理）
（力法正则方程）
影响系数
)3,2,1;3,2,1( ?? jiij?
在 Xj处施加单位力，在 Xi点处 Xi方向的位移
q
X1
A B静定基
EI3
Ldx)x(M)x(M
EI
1 3
11
L
0
11 ???? ?
A B
X1
2
11 qx2
1)x(M ??
EI8
qL
dxxqx
2
1
EI
1
dx)x(M)x(M
EI
1
4
11
L
0
2
1
11
L
0
1P1
?????
???
?
?
0X P1111 ????
0EI8qLXEI3L
4
1
3
??
8
qL3X
1 ?
q
A B
X1
11 x)x(M ?
X1 =1
A
例 13.1
A
P B
2
l
2
l
解, 1,判定超静定度数
2,释放多余约束,构造静定基
3,补充协调方程
A
P B
2l 2l 1X
静定基 x
?
?
?
?
?
???
?
?
22
2
1
1
l
x
l
xPxX
l
xxX
xM
),(
,
)(
0
0
??? ? dx
EI
xMxMl
B
)()(
A
P0
=1 B
xxM ??)(
如果 B处支撑为弹簧
（弹簧系数 K）？
例
解
A
P B
2l 2l
静定基
A
P B
2l 2l 1X
x
?
?
?
?
?
???
?
?
2
),
2
(
2
,
)(
1
1
l
x
l
xPxX
l
xxX
xM
K
X
dx
EI
xMxMl
B
1
0
)()(
??? ? A
P0
=1 B
xxM ??)(
§ 13-3 利用对称性简化超静定系统的计算 （ Simplifying
Calculation for Statically Indeterminate System by
Using Symmetry ） 和内力超静定系统 （ Statically
Indeterminate System of Internal Forces ）
利用对称性减少未知力数目，简化计算
对称性,几何形状对称，约束条件对称，物性对称
X2=0
X2X2
X3=0
X3X3
内力超静定：多余未知力为内力
P
P
P
P
M Q
N
由对称性知,Q＝ 0
N＝ P/2,M＝？
2
P
X
静定基
解：
协调条件 —— D截面转
角为零
A
D?
0
)()(2/
0
?? ? ?
??
?
?
Rd
EI
MM
D
本章小结
超静定系统
力法一般步骤
对称性的利用
习题 13.10
平者，水停之盛也。其可以为法也，内保之而外
不荡也。, 庄子 ·德充符,
孔子对鲁哀公讲的话
注释,平，是水停止在容器的状况，它可以成为一
种方法，内部保持平静且外部也不振荡。
接着孔子将其引申到修养道德上
理解,解决科学和工程问题，列方程亦然 —— 等式
两边相等，如水停之状，其内部物理量之间保持平
衡，方程的求解也不振荡。
1、概述
2、力法求解超静定
力法正则方程
3,利用对称性简化超静定系统的计算
内力超静定系统
Statically Indeterminate System
第十三章 超静定系统
§ 13-1概述
超静定分类：
?外力超静定
?内力超静定
?既有内力超静定，又有外力超静定
1 32
q
如何求解？
1,静力不定
2,变形方程补充
3,物理方程在静力平衡与变形协调之间架
桥
§ 13-2 用力法求解超静定系统,力法正则方程
（ Canonical Equations of Force Method)
解除
杆件或支座结构静定化
静定基（不唯一，以
方便为准）
? 思想是十分简单易懂的
建立在未知力处 变形协调条件
借助
Mohr积分变形条件
补充方程（力法）
求解
线性方程
力法方程 未知力
1
2
3
4
以一例说明解法
? 位移协调条件
0,0,0 321 ??????
1X 2X 3X
? 静定基（含未知数）
1 32
q
建立方程的过程
q
q
qXXX
qXXX
XXX
dx
EI
MM
dx
EI
MM
Xdx
EI
MM
Xdx
EI
MM
X
dx
EI
xMM
dx
EI
xMM
dx
EI
xMM
dx
EI
MM
dx
EI
xMMMMM
dx
EI
xMxM
1313212111
113
3
12
2
11
1
1111
1
1
1
)()()(
)()()()(
321
321
?????
????
????
???
???
????
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???
以 ?1为例说明
1X 2X 3X
qXXX 13132121111 ?????? ???
qXXX 23232221212 ?????? ???
qXXX 33332321313 ?????? ???
利用协调条件：
q
q
q
XXX
XXX
XXX
3333232131
2323222121
1313212111
?????
?????
?????
???
???
???
协调方程的矩阵形式
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
q
q
q
X
X
X
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
???
???
???
jiij ?? ?
（位移互等定理）
（力法正则方程）
影响系数
)3,2,1;3,2,1( ?? jiij?
在 Xj处施加单位力，在 Xi点处 Xi方向的位移
q
X1
A B静定基
EI3
Ldx)x(M)x(M
EI
1 3
11
L
0
11 ???? ?
A B
X1
2
11 qx2
1)x(M ??
EI8
qL
dxxqx
2
1
EI
1
dx)x(M)x(M
EI
1
4
11
L
0
2
1
11
L
0
1P1
?????
???
?
?
0X P1111 ????
0EI8qLXEI3L
4
1
3
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8
qL3X
1 ?
q
A B
X1
11 x)x(M ?
X1 =1
A
例 13.1
A
P B
2
l
2
l
解, 1,判定超静定度数
2,释放多余约束,构造静定基
3,补充协调方程
A
P B
2l 2l 1X
静定基 x
?
?
?
?
?
???
?
?
22
2
1
1
l
x
l
xPxX
l
xxX
xM
),(
,
)(
0
0
??? ? dx
EI
xMxMl
B
)()(
A
P0
=1 B
xxM ??)(
如果 B处支撑为弹簧
（弹簧系数 K）？
例
解
A
P B
2l 2l
静定基
A
P B
2l 2l 1X
x
?
?
?
?
?
???
?
?
2
),
2
(
2
,
)(
1
1
l
x
l
xPxX
l
xxX
xM
K
X
dx
EI
xMxMl
B
1
0
)()(
??? ? A
P0
=1 B
xxM ??)(
§ 13-3 利用对称性简化超静定系统的计算 （ Simplifying
Calculation for Statically Indeterminate System by
Using Symmetry ） 和内力超静定系统 （ Statically
Indeterminate System of Internal Forces ）
利用对称性减少未知力数目，简化计算
对称性,几何形状对称，约束条件对称，物性对称
X2=0
X2X2
X3=0
X3X3
内力超静定：多余未知力为内力
P
P
P
P
M Q
N
由对称性知,Q＝ 0
N＝ P/2,M＝？
2
P
X
静定基
解：
协调条件 —— D截面转
角为零
A
D?
0
)()(2/
0
?? ? ?
??
?
?
Rd
EI
MM
D
本章小结
超静定系统
力法一般步骤
对称性的利用
习题 13.10
