子曰：
好学近乎知，
力行近乎仁，
知耻近乎勇。
知斯三者，则知所以修身。
知所以修身，则知所以治人。
知所以治人，则知所以治天下国家矣。
,中庸,
第十二章 求变形的能量方法
Energy Method for Calculating
Deformation
前面解决了强度问题（简单变形 ——组合变形）
刚度问题怎么办？
1、能否避免组合变形的微分方程？
2、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线
用 揭示本质法 寻根 —— 能量法
3
本章就寻找能量方法，用于求位移
优点：
1,不管中间过程，只算最终状态
2,能量是标量，容易计算
质
点
力
学
挠
曲
线
能量方法？
内 容
§ 12–1 杆件 变形位能的计算
§ 12–2 卡氏定理
§ 12–3 莫尔定理
§ 12–4 计算莫尔积分的图乘法
§ 12–5 互等定理
§ 12–6 虚功原理
§ 12–1 杆件 变形位能的计算 Calculating Potential
Energy of Component Deformation
一、条件
大前提,1、小变形； 2、服从郑玄 —胡克定律
线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线
性函数
小前提,缓慢加载
变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能）
二、变力做功 —贮能
外力缓慢做功 W,无损失地转化为变形位能 U，
贮存于弹性体内部,U = W
进而计算可变形固体的位移、变形和内力，称
为能量方法
P 广义力（力，力偶）
广义位移（线，角位移
）P
?
?
?d
三、杆件变形能的计算
1.轴向拉压杆的变形能计算
微元 dx 上轴力 N(x)做功
2.扭转杆的变形能计算
微元 dx 上扭矩 T(x)做功
3.弯曲杆的变形能计算
微元 dx 上弯矩 M(x)做功
四、变形能的普遍表达式
1、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直,相互不做功
2、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力
的影响）
v
E
x
v
G
x
E
x
x
EI
xM
x
GI
xT
x
EA
xN
U
L
w
LL
n
LL
P
L
d
)(
d
)(
dv
)(
d
)(
d
)(
d
)(
???
???
???
???
222
222
222
222
???
11
内力表达的变形位能 应力表达的变形位能
结 论
1,变形位能是状态函数
（同最终的力和变形有关）
2,变形位能的计算不能用叠加原理
13
如何解释交叉项？
单独作用时
则
载荷 在载荷 引起的位移上做的功
交叉项是两个载荷相互作用的外力功
〈 解释 1〉
14
〈 解释 2〉
载荷 在载荷 引起的位
移上做的功
注意,1.载荷交互作用作功，不同于自力做功是
变载由零一点一点增大，而是常力做功
2.实质是虚功原理
3.因,也包含互等定理
15
五 利用功能原理求位移
根据外力功 W 全部转成变形位能 U
W = U
可以求出一个集中力下的位移
例 12.1 [P352]
要点：
1,求出截面内力函数 （ 弯矩, 扭矩等 ）
2,积分求变形位能 U
3,W = U,求出位移
例 12.2 同上三个要点
16
六, 引向卡氏定理
例 12.1
例 12.1
后面的偏微分关系是巧合, 还是必然？
实际是 卡氏定理
说明要善于发掘更本质的东西
例 半圆形等截面曲杆位于水平面内，在 A点受铅
垂力 P的作用,求 A点的垂直位移（备用题）
解：用能量法（外力功等于应变能）
Q
MN
MT
A
A
P N
B
j
T
① 求内力
A
P R
③ 外力功等于应变能
② 变形能
§ 12–2 卡氏定理
Castigliano Theory
设法推导出（不是简单的证明）
推导的出发点
只有第 i 号外力有增量
当
即卡氏定理
我得到另一结论，因
意大利工程师 — 阿尔伯托 ·卡斯提格里安诺
(Alberto Castigliano,1847～ 1884)
当
所以
二、使用卡氏定理的注意事项
① U —— 整体结构在外载作用下
的线弹性变形能
② Pi 视为变量，结构反力和变形
能等都必须表示为 Pi的函数
③ ?i 为 Pi 作用点沿 Pi方向的 变形
例 求等截面直梁 C点的挠度
解：
应用对称性得
思考：分布荷载时求 C 点位移？ q
Ca a
A
P
B
f
例 求 A 点的挠度
③ 变形
① 求弯矩
解：
② 求变形能
A
L
PEI
x O
思考：如何求 A 点转角
例 用卡氏定理 求 B点 的挠度
解,B点 加一个力 Q 最后令 Q = 0
① 求弯矩
P
A
L
a
B C
f
xO
x1
② 求变形能
③ 变形
实际引向了 Mohr定理
原载荷和虚载荷各自对应的变形能不必计算
只需计算二者交互的变形能
前面的两个思考题也可以这样解
如何计算任一点 A的位移？
在实载荷下得到
相应内力如弯矩为 M(x)
q(x)
A
1,在 A点加虚单位力
2,计算 实、虚载荷交互的变形能
§ 12–3 莫尔定理
Mohr Theory
求任意点 A的位移 f A
A
fA
q(x)
A
=1P0
弯矩 M ( x ) 弯矩
前面讲变形能不能迭加的交互项
因 P0 = 1
莫尔定理 (单位力法 )
普遍形式的莫尔定理
x
EI
xMxMx
GI
xTxTx
EA
xNxN
LL
P
LA
d)()(d)()(d)()( ??? ??? 000?
三、使用莫尔定理注意事项
④ M0(x)与 M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标
系可自由建立
⑤ 莫尔积分必须遍及整个结构
② M0 —— 沿所求 广义位移 的 方向加 广义单位力
（虚载荷） 时结构产生的内力
① M(x) —— 结构在原载荷（实载荷）下的内力
③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功
的量纲
例 求等截面直梁 C点的挠度和转角（ 例 12.3 [P356]）
2)(
2qx
aqxxM ??
解,① 画单位载荷图
② 求内力
BA
a aC
0P =1BA
a aC
q
x
对称性
③ 变形
BA
a aC
q
x
0P =1 BA
a aC
④ 求转角，重建坐标系（如图）
q
BA
a aC
x2x1
BA
a a
C
MC0=1
d)()(
)()(
)(0
0
)(0
0
?
?
?
?
a
BC
a
AB
xEI xMxM
dxEI xMxM
35
各种方法比较
方 法 应 用 范 围 补救范围 计 算 量
注,卡氏定理求含参数积分，再求导；
莫尔定理是纯数值积分；
所以莫尔定理计算量小
功能原理 单个集中载荷 方向的位移 无法补救 1.积分求变形能
2.求外力功
卡氏定理
多种载荷中,任
一集中载荷方向
的位移
任意位移
( 给出虚载
荷 P，最后
令 P= 0 )
1.积分求变形能
2.求偏导数
莫尔定理 任意位移 积分求交互能量
36
例 12.4 [P357]
例 12.6 [P360]
实质是刚架
梁、刚架
杆、桁架
例 12.5 [P359]
§ 12–4 计算莫尔积分的图乘法 Multiplicative Graph
Method for Calculating Mohr Integration
为了简化 Mohr积分计算
坐标原点取直线与 轴的交点
对原点的形心坐标
的面积对应弯矩 的值
在单位力作用下,是一条直线
1
P1
2
f11 f21
2
P2
f22f12
1
§ 12–5 互等定理
Reciprocal Theory
1,功的互等定理（ Reciprocal Theory of Work）
功的互等定理
2,位移互等定理（ Reciprocal Theory of
Displacement）
212121 fPfP ?
如果
则有
位移互等定理，又叫 Maxwell位移互等定理
书上讲法的缺点；
功的互等定理 —— 神秘色彩
位移互等定理 —— 先验论
例题 12.15,P377
对于
§ 12–6 虚功原理
Principle of Virtual Work
1 虚位移
对于刚体：约束条件许可的无限小位移
对于变形体：约束条件和变形协调条件许可的
无限小位移
212121 fPfP ?
功的互等定理中
12f
不是 发生的位移，只是位置 1处的一种可能
位移，或叫虚位移 1P
2,虚功原理
对于刚体：
平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚
功之和为零
对于变形体：
平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚
功恒等于内力在虚变形上的虚功（虚变形位能）
3 虚功的计算
外力,P1,P2,……,内力,N,M,…
外力虚功：
We=P1a1+P2a2+……..
虚位移,a1,a2,…….,虚变形：
内力虚功：
由 We=Wi
虚功原理是最一般的功能原理
对于梁，施加单位力 P=1,力 P产生的内力
则有：
莫尔定理
小结：
1 变形位能的概念
2 卡氏定理
3 莫尔定理
4 互等定理
5 虚功原理
作业,12.19,12.20
好学近乎知，
力行近乎仁，
知耻近乎勇。
知斯三者，则知所以修身。
知所以修身，则知所以治人。
知所以治人，则知所以治天下国家矣。
,中庸,
第十二章 求变形的能量方法
Energy Method for Calculating
Deformation
前面解决了强度问题（简单变形 ——组合变形）
刚度问题怎么办？
1、能否避免组合变形的微分方程？
2、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线
用 揭示本质法 寻根 —— 能量法
3
本章就寻找能量方法，用于求位移
优点：
1,不管中间过程，只算最终状态
2,能量是标量，容易计算
质
点
力
学
挠
曲
线
能量方法？
内 容
§ 12–1 杆件 变形位能的计算
§ 12–2 卡氏定理
§ 12–3 莫尔定理
§ 12–4 计算莫尔积分的图乘法
§ 12–5 互等定理
§ 12–6 虚功原理
§ 12–1 杆件 变形位能的计算 Calculating Potential
Energy of Component Deformation
一、条件
大前提,1、小变形； 2、服从郑玄 —胡克定律
线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线
性函数
小前提,缓慢加载
变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能）
二、变力做功 —贮能
外力缓慢做功 W,无损失地转化为变形位能 U，
贮存于弹性体内部,U = W
进而计算可变形固体的位移、变形和内力，称
为能量方法
P 广义力（力，力偶）
广义位移（线，角位移
）P
?
?
?d
三、杆件变形能的计算
1.轴向拉压杆的变形能计算
微元 dx 上轴力 N(x)做功
2.扭转杆的变形能计算
微元 dx 上扭矩 T(x)做功
3.弯曲杆的变形能计算
微元 dx 上弯矩 M(x)做功
四、变形能的普遍表达式
1、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直,相互不做功
2、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力
的影响）
v
E
x
v
G
x
E
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x
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xN
U
L
w
LL
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LL
P
L
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222
222
222
222
???
11
内力表达的变形位能 应力表达的变形位能
结 论
1,变形位能是状态函数
（同最终的力和变形有关）
2,变形位能的计算不能用叠加原理
13
如何解释交叉项？
单独作用时
则
载荷 在载荷 引起的位移上做的功
交叉项是两个载荷相互作用的外力功
〈 解释 1〉
14
〈 解释 2〉
载荷 在载荷 引起的位
移上做的功
注意,1.载荷交互作用作功，不同于自力做功是
变载由零一点一点增大，而是常力做功
2.实质是虚功原理
3.因,也包含互等定理
15
五 利用功能原理求位移
根据外力功 W 全部转成变形位能 U
W = U
可以求出一个集中力下的位移
例 12.1 [P352]
要点：
1,求出截面内力函数 （ 弯矩, 扭矩等 ）
2,积分求变形位能 U
3,W = U,求出位移
例 12.2 同上三个要点
16
六, 引向卡氏定理
例 12.1
例 12.1
后面的偏微分关系是巧合, 还是必然？
实际是 卡氏定理
说明要善于发掘更本质的东西
例 半圆形等截面曲杆位于水平面内，在 A点受铅
垂力 P的作用,求 A点的垂直位移（备用题）
解：用能量法（外力功等于应变能）
Q
MN
MT
A
A
P N
B
j
T
① 求内力
A
P R
③ 外力功等于应变能
② 变形能
§ 12–2 卡氏定理
Castigliano Theory
设法推导出（不是简单的证明）
推导的出发点
只有第 i 号外力有增量
当
即卡氏定理
我得到另一结论，因
意大利工程师 — 阿尔伯托 ·卡斯提格里安诺
(Alberto Castigliano,1847～ 1884)
当
所以
二、使用卡氏定理的注意事项
① U —— 整体结构在外载作用下
的线弹性变形能
② Pi 视为变量，结构反力和变形
能等都必须表示为 Pi的函数
③ ?i 为 Pi 作用点沿 Pi方向的 变形
例 求等截面直梁 C点的挠度
解：
应用对称性得
思考：分布荷载时求 C 点位移？ q
Ca a
A
P
B
f
例 求 A 点的挠度
③ 变形
① 求弯矩
解：
② 求变形能
A
L
PEI
x O
思考：如何求 A 点转角
例 用卡氏定理 求 B点 的挠度
解,B点 加一个力 Q 最后令 Q = 0
① 求弯矩
P
A
L
a
B C
f
xO
x1
② 求变形能
③ 变形
实际引向了 Mohr定理
原载荷和虚载荷各自对应的变形能不必计算
只需计算二者交互的变形能
前面的两个思考题也可以这样解
如何计算任一点 A的位移？
在实载荷下得到
相应内力如弯矩为 M(x)
q(x)
A
1,在 A点加虚单位力
2,计算 实、虚载荷交互的变形能
§ 12–3 莫尔定理
Mohr Theory
求任意点 A的位移 f A
A
fA
q(x)
A
=1P0
弯矩 M ( x ) 弯矩
前面讲变形能不能迭加的交互项
因 P0 = 1
莫尔定理 (单位力法 )
普遍形式的莫尔定理
x
EI
xMxMx
GI
xTxTx
EA
xNxN
LL
P
LA
d)()(d)()(d)()( ??? ??? 000?
三、使用莫尔定理注意事项
④ M0(x)与 M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标
系可自由建立
⑤ 莫尔积分必须遍及整个结构
② M0 —— 沿所求 广义位移 的 方向加 广义单位力
（虚载荷） 时结构产生的内力
① M(x) —— 结构在原载荷（实载荷）下的内力
③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功
的量纲
例 求等截面直梁 C点的挠度和转角（ 例 12.3 [P356]）
2)(
2qx
aqxxM ??
解,① 画单位载荷图
② 求内力
BA
a aC
0P =1BA
a aC
q
x
对称性
③ 变形
BA
a aC
q
x
0P =1 BA
a aC
④ 求转角，重建坐标系（如图）
q
BA
a aC
x2x1
BA
a a
C
MC0=1
d)()(
)()(
)(0
0
)(0
0
?
?
?
?
a
BC
a
AB
xEI xMxM
dxEI xMxM
35
各种方法比较
方 法 应 用 范 围 补救范围 计 算 量
注,卡氏定理求含参数积分，再求导；
莫尔定理是纯数值积分；
所以莫尔定理计算量小
功能原理 单个集中载荷 方向的位移 无法补救 1.积分求变形能
2.求外力功
卡氏定理
多种载荷中,任
一集中载荷方向
的位移
任意位移
( 给出虚载
荷 P，最后
令 P= 0 )
1.积分求变形能
2.求偏导数
莫尔定理 任意位移 积分求交互能量
36
例 12.4 [P357]
例 12.6 [P360]
实质是刚架
梁、刚架
杆、桁架
例 12.5 [P359]
§ 12–4 计算莫尔积分的图乘法 Multiplicative Graph
Method for Calculating Mohr Integration
为了简化 Mohr积分计算
坐标原点取直线与 轴的交点
对原点的形心坐标
的面积对应弯矩 的值
在单位力作用下,是一条直线
1
P1
2
f11 f21
2
P2
f22f12
1
§ 12–5 互等定理
Reciprocal Theory
1,功的互等定理（ Reciprocal Theory of Work）
功的互等定理
2,位移互等定理（ Reciprocal Theory of
Displacement）
212121 fPfP ?
如果
则有
位移互等定理，又叫 Maxwell位移互等定理
书上讲法的缺点；
功的互等定理 —— 神秘色彩
位移互等定理 —— 先验论
例题 12.15,P377
对于
§ 12–6 虚功原理
Principle of Virtual Work
1 虚位移
对于刚体：约束条件许可的无限小位移
对于变形体：约束条件和变形协调条件许可的
无限小位移
212121 fPfP ?
功的互等定理中
12f
不是 发生的位移，只是位置 1处的一种可能
位移，或叫虚位移 1P
2,虚功原理
对于刚体：
平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚
功之和为零
对于变形体：
平衡的条件是所有外力在任意虚位移上所作的虚
功恒等于内力在虚变形上的虚功（虚变形位能）
3 虚功的计算
外力,P1,P2,……,内力,N,M,…
外力虚功：
We=P1a1+P2a2+……..
虚位移,a1,a2,…….,虚变形：
内力虚功：
由 We=Wi
虚功原理是最一般的功能原理
对于梁，施加单位力 P=1,力 P产生的内力
则有：
莫尔定理
小结：
1 变形位能的概念
2 卡氏定理
3 莫尔定理
4 互等定理
5 虚功原理
作业,12.19,12.20
