1
第八章 弯曲变形 Bending deformation
赠言：
大过，栋橈，利有攸往，亨。
,周易上经 ·大过,
注释,
? 大过，卦名；非常过度的意思
? 栋，即梁
? 橈（ rao），挠（ nao）曲的树木称为橈
? 攸，即所；利有攸往，意思 —— 有利于所往的方向
? 亨，亨通
理解,
事物发展得非常过度，好象栋梁挠曲，有利于所
往方向的继续发展，达到亨通。
2
以上理解有 2个关键,1、横看卦象； 2、阴爻看成支座。
“小过”卦可以佐证 ——
小过，亨，利贞，可小事，不可大事,…
3
弯曲问题的分析过程：
弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形
解决刚度问题
尽量从理论上分析 —— 一般
然后实验上验证 —— 个别
4
拉压 伸长量
扭转 转角
弯曲 挠度 deflection转角 rotation
工程上的梁变形问题不容忽视
?影响使用
?引发破坏
?产生不安全感
?减少冲击、振动
?利用变形作为开关
提高性能
5
本章的任务
1,建立小变形 挠度、转角曲线 微分方程
2,用 积分法 和 叠加法 求梁的挠度和转角
研究范围：等直梁在弯曲时（线、角）位移
的计算
研究目的,①对梁作刚度校核
②解超静定梁
6
8.1 梁变形的基本概念
Basic concepts of beam deformation
变形后梁轴
线挠曲线
挠度,y
变形后梁截面：仍为平面
梁截面转角,?
P
x
y
C
?
C1
f
变形前梁截面：平面
7
1.挠度,横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移
用 y 表示，与坐标 f 同向为正，反之为负
2.转角,横截面绕其中性轴转动的角度,用 ? 表示
顺时针转动为正,反之为负
3.挠曲线,梁变形后，轴线变成的光滑曲线
其方程为 y = f (x)
8
5,刚度校核
][m a x yy ?
][m a x ?? ?
许用挠度见 [P220]表 8.1
4,转角与挠曲线的关系：
d dtg yx f ???? y???
小变形
x
P
y
C
?
C1
f
9
zEI
xM )(1 ?
?
已知曲率为
z
z
EI
xMxf )()( ?????
)(
)1(
)(1
2
32 xf
f
xf ????
??
??
??
?
小变形
f
xM>0
0)( ??? xf
f
x
M<0
0)( ??? xf 弯矩与 2阶导数的符号相反上式取负号
8.2 梁挠曲的近似微分方程
Differential Equation of beam deformation
10
—— 挠曲线近似微分方程
)()( xMxfEI ????
对于等截面直梁，可写成如下形式：
EI
xMxf )()( ????
11
)()( xMxfEI ????
1d))(()( CxxMxfEI ???? ?
21d)d))((()( CxCxxxMxEI f ???? ? ?
1.微分方程的积分
???? )(,)( xfyxf
8.3 积分法求梁变形
利用位移边界条件确定积分常数
12
?支点位移条件
?连续条件
?光滑条件
?? ? CC ff
?? ? CC ??
右左或写成 CC ?? ?
右左或写成 CC ff ?
0?Df 0?D?
固定支座
P
D
0?Af 0?Bf
2.位移边界条件
铰支座
P
A BC
13
积分法求梁变形
①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲
②可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、
连续条件）确定
④优点 —— 使用范围广，精确； 缺点 —— 计算较繁
右左 CC ff ? 右左 CC ?? ?
铰连接
P
D C
14
积分法求梁变形的基本步骤：
①写出 弯矩方程 ；若弯矩不能用一个函数给出
要分段写出
②由 挠曲线近似微分方程,积分出转角、挠度函数
③利用 边界条件, 连续条件 确定积分常数
如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数
)()( xMxfEI ????
15
例 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角
?建立坐标系并写出弯矩方程
)()( LxPxM ??
?写出 微分方程，并积分
?用边界条件 求积分常数
)()( xLPxMfEI ??????
1
2)(
2
1 CxLPfEI ????? 213)(61 CxCxLPE I f ????
061)0( 23 ??? CPLE I f
021)0()0( 12 ?????? CPLfEIEI ?
3
2
2
1 6
1 ;
2
1 PLCPLC ????
解,a P
L x
f
16
?写出弹性曲线方程并画出曲线
? ?323 3)(6)( LxLxLEIPxf ????
EI
PLLff
3
)(
3
m a x ??EI
PLL
2
)(
2
m a x ?? ??
?最大挠度及最大转角
a P
L x
f
17
解,?建坐标系、写弯矩方程
?
?
?
??
???
?
)( 0
)0( )(
)(
Lxa
axaxP
xM
?写出 微分方程，并积分
??
?
?
?
???
??
1
1
2)(
2
1
D
CxaP
fEI
??
?
?
?
?
???
?
21
21
3)(
6
1
DxD
CxCxaP
E I f
?
?
?
??
??????
)( 0
)0( )(
Lxa
axxaPfEI
例, 求梁的变形
a P
L x
f
18
?应用位移边界条件和连续条件 求积分常数
061)0( 23 ??? CPaE I f
021)0( 12 ???? CPaEI ?
3
22
2
11 6
1 ;
2
1 PaDCPaDC ??????
)()( ?? ? afaf
)()( ?? ? aa ?? 11 DC ??
2121 DaDCaC ????
a P
L x
f
19
?写出弹性曲线方程并画出曲线
? ?
? ?
?
?
?
??
?
?
???
?????
?
)(a 3
6
)0( 3)(
6
)(
32
323
Lx axa
EI
P
ax axaxa
EI
P
xf
? ?aLEIPaLff ??? 36)( 2m a x
EI
Paa
2)(
2
m a x ?? ??
?最大挠度及最大转角 a P
L x
f
总结：分段求弯矩，分段积分
利用 边界条件、连续条件 求常数
20
边界条件、连续条件应用举例
a＝
2m
a
q=10kN/mA
DB E
a
P＝ 20kN
A DB E
10kN?m
20kN?m
(-)
(+)
弯矩图三段，共 6个
积分常数
需 6个边界条件和
连续条件
?? ?? BBBfB ??,0 点：
???? ?? DDDD ffD ??,点：
?? ?? BBEfE ??,0 点：
21
右左点,BB ffB ?
右左右左点,CCCC ffC ?? ??
边界条件、连续条件应用举例
A B
C D
弯矩图分三段，共
6个积分常数
需 6个边界条件和
连续条件
0,0 ?? AAfA ?点：
0 ?DfD 点：
铰连接
P
A C D
22
0 ?AA ?点：
Pa
(+)
弯矩图分二段，
共 4个积分常数
需 4个边界条件
和连续条件
P
A
B
C
0 ?CfC 点：
右左右左点,BBBB ffB ?? ??,
边界条件、连续条件应用举例
23
叠加原理：
承受复杂载荷时，可 分解 成几种
简单载荷, 利用 简单载荷作用下的 位
移计算结果, 叠加后得在复杂载荷作
用下的挠度和转角
条件：
材料服从 胡克定律 和 小变形
挠度和转角均与载荷成线性关系
8.4 叠加法求梁变形
24
例 按叠加原理
求 A点转角 和 C点挠度
解,?载荷分解如图
?查梁的简单载荷变形表，
得到变形
EI
Paf
PC 6
3
?
EI
Pa
PA 4
2
??
EI
qLf
qC 24
5 4?
EI
qa
qA 3
3
??
A
qP
B
C
a a
=
+
P
A B
q
A B
25
EI
Paf
PC 6
3
?
EI
Pa
PA 4
2
??
EI
qLf
qC 24
5 4?
EI
qa
qA 3
3
??
?叠加
qAPAA ??? ??
)43(12
2
qaPEIa ??
EI
Pa
EI
qaf
C 624
5 34 ??
A
qP
B
C
a a
=
+
P
A B
q
A B
26
结构形式叠加（逐段刚化法 ) 原理说明
+
等价
等价
BC
PL2
f1
x
f
21 fff ??
=
A x
PL1 L2
BC
f f
PA
BC刚化
AC段
P
L1 L2
A
BC
刚化 BC段
PL1 L2
f2
A
BC M x
f
27
例题：已知 P,E,G，求 C点铅垂位移 P
A B
C
尺寸,l,d 尺寸,a,b,h
分析：
AB —— 弯曲 + 扭转变形, BC —— 弯曲变形
故 C点的挠度由三部分组成 ——
? AB弯曲 引起的 B点下沉 ＋
? AB扭转 引起 C点位移 ＋
? BC弯曲 引起 C点下沉
28
解,采用逐段刚化法
(1)将 AB刚化,计算 BC弯曲变形引起的
C点的挠度,
P
B(固定端 )
C尺寸,a,b,h
3)(
12
1 bhI BC
z ?
)(4
3 3
33
)1( ???
E b h
Pa
EI
Paf
BC
C
29
(2) 将 BC刚化,即去掉 BC，但保留 BC对 AB的
作用力，计算 AB弯曲引起的 C点的挠度
P
A B尺寸,l,d
T
4)(
64
1 dI AB
z ??
)(
3
64
3 4
33
)2( ????
dE
Pl
EI
Plff
AB
BC ?
30
(3) 将 BC刚化计算 AB扭转变形引起的 C点的挠度
计算 B截面扭转角
4
32
dG
P a l
GI
P a l
GI
Tl
pp
B ?? ???
)(32 4
2
)3( ????
dG
lPaaf
BC ?? B C
B?
)3(Cf
所以,C点位移为：
)3()2()1( CCCC ffff ???
P
A B尺寸,l,d
T
31
8.5 提高弯曲刚度的一些措施
1、减小梁的跨度
2、选择合理截面形状
3、改善梁的受力和支座位置
4、预加反弯度
5、增加支座
32
L
q0
MA B
A
q0
L RBA
B
x
EI
q0
LA
B
f
或
8.6 用变形比较法解简单超静定 梁
处理方法,3种方程（变形协调、物理、平衡）相结合，
求全部未知力
解,?建立静定基
确定超静定次数
用反力代替多余约束
得新结构
—— 静定基
等价
33
?几何方程 —— 变形协调方程
0??? BBRBqB fff
q0
L RBA
B
=
+ RBA B
q0
A B
?物理方程
?补充方程
EI
LRf
EI
qLf B
BRBq B 3;8
34
???
038
34
?? EILREIqL B
8
3 qLR
B ??
?求解其它问题
（反力、应力、变形等）
34
?几何方程 ——
变形协调方程
解,?建立静定基
BCBRBqB Lfff B ????
例 10 求 B点反力
=
LBCEA
x
f
q0
L RBA
B
C
q0
L RBA
B
EI =
RBA
B
+ q0
A B
35
+
?物理方程 ——
变形与力的关系
?补充方程
EI
LRf
EI
qLf B
BRBq B 3 ; 8
34
???
EA
LR
EI
LR
EI
qL BCBB ??
3 8
34
)
3
(8
3
4
EI
L
A
LI
qLR
BC
B
?
??
EA
LRL BCB
BC ??
LBCEA
x
f
q0
L RBA
B
C
=
RBA
B
q0
A B
?求解其它问题
（反力、应力、变形等）
36
本章小结：
1、微分方程的导出
2、微分方程的解法 —— 积分法求变形
3、叠加法求变形
4、变形比较法 —— 超静定梁
EI
xMxf )()( ????
???? )(,)( xfyxf
习题,8.6,8.7,8.22,8.29
第八章 弯曲变形 Bending deformation
赠言：
大过，栋橈，利有攸往，亨。
,周易上经 ·大过,
注释,
? 大过，卦名；非常过度的意思
? 栋，即梁
? 橈（ rao），挠（ nao）曲的树木称为橈
? 攸，即所；利有攸往，意思 —— 有利于所往的方向
? 亨，亨通
理解,
事物发展得非常过度，好象栋梁挠曲，有利于所
往方向的继续发展，达到亨通。
2
以上理解有 2个关键,1、横看卦象； 2、阴爻看成支座。
“小过”卦可以佐证 ——
小过，亨，利贞，可小事，不可大事,…
3
弯曲问题的分析过程：
弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形
解决刚度问题
尽量从理论上分析 —— 一般
然后实验上验证 —— 个别
4
拉压 伸长量
扭转 转角
弯曲 挠度 deflection转角 rotation
工程上的梁变形问题不容忽视
?影响使用
?引发破坏
?产生不安全感
?减少冲击、振动
?利用变形作为开关
提高性能
5
本章的任务
1,建立小变形 挠度、转角曲线 微分方程
2,用 积分法 和 叠加法 求梁的挠度和转角
研究范围：等直梁在弯曲时（线、角）位移
的计算
研究目的,①对梁作刚度校核
②解超静定梁
6
8.1 梁变形的基本概念
Basic concepts of beam deformation
变形后梁轴
线挠曲线
挠度,y
变形后梁截面：仍为平面
梁截面转角,?
P
x
y
C
?
C1
f
变形前梁截面：平面
7
1.挠度,横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移
用 y 表示，与坐标 f 同向为正，反之为负
2.转角,横截面绕其中性轴转动的角度,用 ? 表示
顺时针转动为正,反之为负
3.挠曲线,梁变形后，轴线变成的光滑曲线
其方程为 y = f (x)
8
5,刚度校核
][m a x yy ?
][m a x ?? ?
许用挠度见 [P220]表 8.1
4,转角与挠曲线的关系：
d dtg yx f ???? y???
小变形
x
P
y
C
?
C1
f
9
zEI
xM )(1 ?
?
已知曲率为
z
z
EI
xMxf )()( ?????
)(
)1(
)(1
2
32 xf
f
xf ????
??
??
??
?
小变形
f
xM>0
0)( ??? xf
f
x
M<0
0)( ??? xf 弯矩与 2阶导数的符号相反上式取负号
8.2 梁挠曲的近似微分方程
Differential Equation of beam deformation
10
—— 挠曲线近似微分方程
)()( xMxfEI ????
对于等截面直梁，可写成如下形式：
EI
xMxf )()( ????
11
)()( xMxfEI ????
1d))(()( CxxMxfEI ???? ?
21d)d))((()( CxCxxxMxEI f ???? ? ?
1.微分方程的积分
???? )(,)( xfyxf
8.3 积分法求梁变形
利用位移边界条件确定积分常数
12
?支点位移条件
?连续条件
?光滑条件
?? ? CC ff
?? ? CC ??
右左或写成 CC ?? ?
右左或写成 CC ff ?
0?Df 0?D?
固定支座
P
D
0?Af 0?Bf
2.位移边界条件
铰支座
P
A BC
13
积分法求梁变形
①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲
②可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的位移
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、
连续条件）确定
④优点 —— 使用范围广，精确； 缺点 —— 计算较繁
右左 CC ff ? 右左 CC ?? ?
铰连接
P
D C
14
积分法求梁变形的基本步骤：
①写出 弯矩方程 ；若弯矩不能用一个函数给出
要分段写出
②由 挠曲线近似微分方程,积分出转角、挠度函数
③利用 边界条件, 连续条件 确定积分常数
如果分 n 段写出弯矩方程，则有 2 n 个积分常数
)()( xMxfEI ????
15
例 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角
?建立坐标系并写出弯矩方程
)()( LxPxM ??
?写出 微分方程，并积分
?用边界条件 求积分常数
)()( xLPxMfEI ??????
1
2)(
2
1 CxLPfEI ????? 213)(61 CxCxLPE I f ????
061)0( 23 ??? CPLE I f
021)0()0( 12 ?????? CPLfEIEI ?
3
2
2
1 6
1 ;
2
1 PLCPLC ????
解,a P
L x
f
16
?写出弹性曲线方程并画出曲线
? ?323 3)(6)( LxLxLEIPxf ????
EI
PLLff
3
)(
3
m a x ??EI
PLL
2
)(
2
m a x ?? ??
?最大挠度及最大转角
a P
L x
f
17
解,?建坐标系、写弯矩方程
?
?
?
??
???
?
)( 0
)0( )(
)(
Lxa
axaxP
xM
?写出 微分方程，并积分
??
?
?
?
???
??
1
1
2)(
2
1
D
CxaP
fEI
??
?
?
?
?
???
?
21
21
3)(
6
1
DxD
CxCxaP
E I f
?
?
?
??
??????
)( 0
)0( )(
Lxa
axxaPfEI
例, 求梁的变形
a P
L x
f
18
?应用位移边界条件和连续条件 求积分常数
061)0( 23 ??? CPaE I f
021)0( 12 ???? CPaEI ?
3
22
2
11 6
1 ;
2
1 PaDCPaDC ??????
)()( ?? ? afaf
)()( ?? ? aa ?? 11 DC ??
2121 DaDCaC ????
a P
L x
f
19
?写出弹性曲线方程并画出曲线
? ?
? ?
?
?
?
??
?
?
???
?????
?
)(a 3
6
)0( 3)(
6
)(
32
323
Lx axa
EI
P
ax axaxa
EI
P
xf
? ?aLEIPaLff ??? 36)( 2m a x
EI
Paa
2)(
2
m a x ?? ??
?最大挠度及最大转角 a P
L x
f
总结：分段求弯矩，分段积分
利用 边界条件、连续条件 求常数
20
边界条件、连续条件应用举例
a＝
2m
a
q=10kN/mA
DB E
a
P＝ 20kN
A DB E
10kN?m
20kN?m
(-)
(+)
弯矩图三段，共 6个
积分常数
需 6个边界条件和
连续条件
?? ?? BBBfB ??,0 点：
???? ?? DDDD ffD ??,点：
?? ?? BBEfE ??,0 点：
21
右左点,BB ffB ?
右左右左点,CCCC ffC ?? ??
边界条件、连续条件应用举例
A B
C D
弯矩图分三段，共
6个积分常数
需 6个边界条件和
连续条件
0,0 ?? AAfA ?点：
0 ?DfD 点：
铰连接
P
A C D
22
0 ?AA ?点：
Pa
(+)
弯矩图分二段，
共 4个积分常数
需 4个边界条件
和连续条件
P
A
B
C
0 ?CfC 点：
右左右左点,BBBB ffB ?? ??,
边界条件、连续条件应用举例
23
叠加原理：
承受复杂载荷时，可 分解 成几种
简单载荷, 利用 简单载荷作用下的 位
移计算结果, 叠加后得在复杂载荷作
用下的挠度和转角
条件：
材料服从 胡克定律 和 小变形
挠度和转角均与载荷成线性关系
8.4 叠加法求梁变形
24
例 按叠加原理
求 A点转角 和 C点挠度
解,?载荷分解如图
?查梁的简单载荷变形表，
得到变形
EI
Paf
PC 6
3
?
EI
Pa
PA 4
2
??
EI
qLf
qC 24
5 4?
EI
qa
qA 3
3
??
A
qP
B
C
a a
=
+
P
A B
q
A B
25
EI
Paf
PC 6
3
?
EI
Pa
PA 4
2
??
EI
qLf
qC 24
5 4?
EI
qa
qA 3
3
??
?叠加
qAPAA ??? ??
)43(12
2
qaPEIa ??
EI
Pa
EI
qaf
C 624
5 34 ??
A
qP
B
C
a a
=
+
P
A B
q
A B
26
结构形式叠加（逐段刚化法 ) 原理说明
+
等价
等价
BC
PL2
f1
x
f
21 fff ??
=
A x
PL1 L2
BC
f f
PA
BC刚化
AC段
P
L1 L2
A
BC
刚化 BC段
PL1 L2
f2
A
BC M x
f
27
例题：已知 P,E,G，求 C点铅垂位移 P
A B
C
尺寸,l,d 尺寸,a,b,h
分析：
AB —— 弯曲 + 扭转变形, BC —— 弯曲变形
故 C点的挠度由三部分组成 ——
? AB弯曲 引起的 B点下沉 ＋
? AB扭转 引起 C点位移 ＋
? BC弯曲 引起 C点下沉
28
解,采用逐段刚化法
(1)将 AB刚化,计算 BC弯曲变形引起的
C点的挠度,
P
B(固定端 )
C尺寸,a,b,h
3)(
12
1 bhI BC
z ?
)(4
3 3
33
)1( ???
E b h
Pa
EI
Paf
BC
C
29
(2) 将 BC刚化,即去掉 BC，但保留 BC对 AB的
作用力，计算 AB弯曲引起的 C点的挠度
P
A B尺寸,l,d
T
4)(
64
1 dI AB
z ??
)(
3
64
3 4
33
)2( ????
dE
Pl
EI
Plff
AB
BC ?
30
(3) 将 BC刚化计算 AB扭转变形引起的 C点的挠度
计算 B截面扭转角
4
32
dG
P a l
GI
P a l
GI
Tl
pp
B ?? ???
)(32 4
2
)3( ????
dG
lPaaf
BC ?? B C
B?
)3(Cf
所以,C点位移为：
)3()2()1( CCCC ffff ???
P
A B尺寸,l,d
T
31
8.5 提高弯曲刚度的一些措施
1、减小梁的跨度
2、选择合理截面形状
3、改善梁的受力和支座位置
4、预加反弯度
5、增加支座
32
L
q0
MA B
A
q0
L RBA
B
x
EI
q0
LA
B
f
或
8.6 用变形比较法解简单超静定 梁
处理方法,3种方程（变形协调、物理、平衡）相结合，
求全部未知力
解,?建立静定基
确定超静定次数
用反力代替多余约束
得新结构
—— 静定基
等价
33
?几何方程 —— 变形协调方程
0??? BBRBqB fff
q0
L RBA
B
=
+ RBA B
q0
A B
?物理方程
?补充方程
EI
LRf
EI
qLf B
BRBq B 3;8
34
???
038
34
?? EILREIqL B
8
3 qLR
B ??
?求解其它问题
（反力、应力、变形等）
34
?几何方程 ——
变形协调方程
解,?建立静定基
BCBRBqB Lfff B ????
例 10 求 B点反力
=
LBCEA
x
f
q0
L RBA
B
C
q0
L RBA
B
EI =
RBA
B
+ q0
A B
35
+
?物理方程 ——
变形与力的关系
?补充方程
EI
LRf
EI
qLf B
BRBq B 3 ; 8
34
???
EA
LR
EI
LR
EI
qL BCBB ??
3 8
34
)
3
(8
3
4
EI
L
A
LI
qLR
BC
B
?
??
EA
LRL BCB
BC ??
LBCEA
x
f
q0
L RBA
B
C
=
RBA
B
q0
A B
?求解其它问题
（反力、应力、变形等）
36
本章小结：
1、微分方程的导出
2、微分方程的解法 —— 积分法求变形
3、叠加法求变形
4、变形比较法 —— 超静定梁
EI
xMxf )()( ????
???? )(,)( xfyxf
习题,8.6,8.7,8.22,8.29
