1
矩形梁截面上的切应力分布
Q
bI
Sy
z
z
*
)( ??
z
y
a a1
y
b 右截面
A*
h
)y
h
(
b
)y
h
(b)y
h
(
yAS
*
c
**
z
2
2
42
22
1
2
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12
3bh
I z ? )
41(
2
3)(
2
2
h
y
bh
Qy ???
2
)41(
2
3)(
2
2
h
y
bh
Qy ???
矩形梁截面上的切应力分布
讨 论
1、沿高度方向抛物线
分布
2,y=0时，切应力值
最大
3、梁上下表面处切应
力为零
平均?? 512
3,
bh
Q
m a x ??
3
工字形梁截面上的切应力分布
腹板为矩形截面时
Q
bI
Sy
z
z
*
)( ??
)y
h
(
b
)hH(
B
)y
h
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2
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22
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222
1
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y
z
B
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t
y
A*
腹板
翼板
4
工字形梁腹板上的切应力分布
?
?
?
?
?
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bI
Q)y(
z
2
2
22
428
?
B
h H
讨 论
1、沿腹板高度方向抛物线分布
2,y=0时，切应力值最大
3、腹板上下边处切应力最小
?
?
?
?
?
?
???
88
22 h
)bB(BH
bI
Q
z
m a x? ? ?
22
8
hHB
bI
Q
z
m i n ???
5
工字形梁腹板上的切应力分布
讨 论
4、当 B=10b,H=20b,t=2b时
?max /?min=1.18,大致均匀
分布
5、腹板上能承担多少剪力？
积分 得 ——
总剪力的 95％～ 97％
近似计算公式：
bh
Q??
y
z
B
H h b
t
6
工字形梁翼板上的切应力分布
沿剪力 Q 方向的
切应力分量
沿翼板宽度方向
切应力分量
z
tI
QS
z
z
z ??
翼板上两种方向的切应力与腹板上
切应力相比较小，工程上一般不考虑
z
7
圆形梁截面上的切应力分布
A
Q
m a x 3
4??
实心圆截面：
最大切应力在中性轴上
空心圆环：
最大切应力在中性轴上
A
Q
m a x 2??
z
max?
8
小论文 —— 推导一种截面的切应力公式
实心圆截面 空心圆环
z
max?
沿翼板宽度方向
z
9
弯曲切应力的强度条件
? ??? ?m a x
m a x
*
m a x
m a x QbI
S
z
z??
通常，全梁最大切应力发生在剪力最大的
梁截面的中性轴上
一般讲，梁的强度主要考虑正应力，但在下
列情况下，也校核切应力强度：
1、梁跨度较小，或支座附近有较大载荷
2,T形、工字形等薄壁截面梁
3、焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、
胶合面等进行剪切强度计算
10
习题,7.20; 7.28; 7.34; 7.36
11
或 Shearing center of thin-walled beams
非对称截面
弯曲特点：
尽管外力作用
在形心上，
截面弯曲同时
产生扭转
7.3 弯曲中心 Bending center
12
弯曲中心
P
x
y
z
向 C点化简
主矢 Q
主矩 M=Q1h+Qe’
h
弯曲切应力流
C
e’
Q1
Q
Q2
C
主矢 Q
主矩 M
主矢 Q
主矩 M= Q1h－ Qe＝ 0
向 A点化简
A
e
Q1
Q2
Q
13
弯心作用：
外力作用在弯心上，杆件只弯不扭
弯心 (剪心 )定义：
梁横截面上弯曲切应力合力作用点
非对称截面梁发生平面弯曲的条件：
外力作用在主轴面内，还必须过弯曲中心
14
如何确定弯曲中心的位置
QehQ ?1
弯曲中心位置与外
力大小和材料的性
质无关，是截面图
形的几何性质之一
zI
thb
Q
hQe
4
22
1 ??
弯心处，主矩 M= Q1h－ Qe＝ 0
15
根据切应力流确定弯心位置
思考题
图示截面梁有无弯曲中心？若有，在何处？
16
7.5 提高弯曲强度的措施 ——
从认识到改造世界（人造世界：构件和结构）
目标,1,成本最低 + 满足强度
2,强度最高 + 有限成本
途径：
1,降低 Mmax
支座的安排
载荷的布置 更合理
][WM
z
m a x
m a x ?? ??
2,增大 Wz
同样面积 —— 选 Wz 大的截面
截面放置 —— 使 Wz 大的放置
纵向 —— 物体的形状 或 结构选取
17
提高弯曲强度的措施之 一 —— 局部考虑
1.截面的放置
与
2.同样面积下 W最大
〉 〉 〉 〉 〉
为什么？
18
常见梁截面的 Wz/A 值
Wz/A 的值 大与小，哪个好？为什么？
19
3,截面选择
采用以中性轴对称的截面
或
采用不以中性轴对称的截面
（ +）
（ -）
（拉应力小）
（ +）
（ -）
（压应力小）
][][ ct ?? ?塑性材料
][][ ct ?? ?
脆性材料
][][ ct ?? ?
钢筋混凝土
20
提高弯曲强度的措施之 二 —— 整体考虑
变截面梁的例子
1,梁的纵向 —— 变截面、开孔或等强度
2,梁的变型 —— 单根梁转化为结构
21
1.支座位置
合理布置支座位置，使 M max 尽可能小
提高弯曲强度的措施之 三 —— 改善受力状态
EI
qL.y
m a x
4
0130?
q
L
EI
qL.y
m a x
4
31078750 ???
L/5
q
L/5
8
2qL
M x
402qL
502qL?
M x
22
EI
PL.y
m a x
3
0 2 10?
P
L/2 L/2
EI
PL.y
m a x
3
0 1 40?
P
L/4 3L/4
EI
PL.y
m a x
3
0 0 7 30?
P=qL
L/5 4L/5
对称
2.加载方式 —— 合理布置外力作用，使 M max 尽可能小
M x3PL/16
M xPL/4
M
x
qL2/10
23
EI
qL.y
m a x
4
3103260 ???
超静定梁
q
L/2 L/2
提高弯曲强度的措施之 四 —— 用超静定梁
EI
qL.y
m a x
4
0130?
q
L
M x82qL
322qL?
M
x
512/9 2qL
24
本章小结
1、受弯梁内力 Q和 M分别对应梁截面上切应力和正应力
y
I
M
z
?? ][m ax ?? ?
一般情况下，弯曲正应力决定了梁的强度
（ 1）梁跨度较小，或支座附近有较大载荷
（ 2） T形、工字形等薄壁截面梁
（ 3）焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、胶
合面等进行剪切强度计算
在下列情况下，还要考虑切应力强度条件
25
Q
bI
S
)y(
z
*
z??
切应力计算较复杂，不同截面形状有不同的公 式
其中较重要的 ——
矩形截面计算公式，切应力分布规律
2、弯曲中心（剪切中心）
? ??? ?m a x
弯心,梁横截面上弯曲切应力合力作用点
非对称截面梁发生平面弯曲的条件：
外力作用在主轴面内，还必须过弯曲中心
矩形梁截面上的切应力分布
Q
bI
Sy
z
z
*
)( ??
z
y
a a1
y
b 右截面
A*
h
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12
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2
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2
3)(
2
2
h
y
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Qy ???
矩形梁截面上的切应力分布
讨 论
1、沿高度方向抛物线
分布
2,y=0时，切应力值
最大
3、梁上下表面处切应
力为零
平均?? 512
3,
bh
Q
m a x ??
3
工字形梁截面上的切应力分布
腹板为矩形截面时
Q
bI
Sy
z
z
*
)( ??
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h
(
b
)hH(
B
)y
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腹板
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4
工字形梁腹板上的切应力分布
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bI
Q)y(
z
2
2
22
428
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B
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讨 论
1、沿腹板高度方向抛物线分布
2,y=0时，切应力值最大
3、腹板上下边处切应力最小
?
?
?
?
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???
88
22 h
)bB(BH
bI
Q
z
m a x? ? ?
22
8
hHB
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5
工字形梁腹板上的切应力分布
讨 论
4、当 B=10b,H=20b,t=2b时
?max /?min=1.18,大致均匀
分布
5、腹板上能承担多少剪力？
积分 得 ——
总剪力的 95％～ 97％
近似计算公式：
bh
Q??
y
z
B
H h b
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6
工字形梁翼板上的切应力分布
沿剪力 Q 方向的
切应力分量
沿翼板宽度方向
切应力分量
z
tI
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z
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z ??
翼板上两种方向的切应力与腹板上
切应力相比较小，工程上一般不考虑
z
7
圆形梁截面上的切应力分布
A
Q
m a x 3
4??
实心圆截面：
最大切应力在中性轴上
空心圆环：
最大切应力在中性轴上
A
Q
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max?
8
小论文 —— 推导一种截面的切应力公式
实心圆截面 空心圆环
z
max?
沿翼板宽度方向
z
9
弯曲切应力的强度条件
? ??? ?m a x
m a x
*
m a x
m a x QbI
S
z
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通常，全梁最大切应力发生在剪力最大的
梁截面的中性轴上
一般讲，梁的强度主要考虑正应力，但在下
列情况下，也校核切应力强度：
1、梁跨度较小，或支座附近有较大载荷
2,T形、工字形等薄壁截面梁
3、焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、
胶合面等进行剪切强度计算
10
习题,7.20; 7.28; 7.34; 7.36
11
或 Shearing center of thin-walled beams
非对称截面
弯曲特点：
尽管外力作用
在形心上，
截面弯曲同时
产生扭转
7.3 弯曲中心 Bending center
12
弯曲中心
P
x
y
z
向 C点化简
主矢 Q
主矩 M=Q1h+Qe’
h
弯曲切应力流
C
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Q1
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Q2
C
主矢 Q
主矩 M
主矢 Q
主矩 M= Q1h－ Qe＝ 0
向 A点化简
A
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Q1
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13
弯心作用：
外力作用在弯心上，杆件只弯不扭
弯心 (剪心 )定义：
梁横截面上弯曲切应力合力作用点
非对称截面梁发生平面弯曲的条件：
外力作用在主轴面内，还必须过弯曲中心
14
如何确定弯曲中心的位置
QehQ ?1
弯曲中心位置与外
力大小和材料的性
质无关，是截面图
形的几何性质之一
zI
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4
22
1 ??
弯心处，主矩 M= Q1h－ Qe＝ 0
15
根据切应力流确定弯心位置
思考题
图示截面梁有无弯曲中心？若有，在何处？
16
7.5 提高弯曲强度的措施 ——
从认识到改造世界（人造世界：构件和结构）
目标,1,成本最低 + 满足强度
2,强度最高 + 有限成本
途径：
1,降低 Mmax
支座的安排
载荷的布置 更合理
][WM
z
m a x
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2,增大 Wz
同样面积 —— 选 Wz 大的截面
截面放置 —— 使 Wz 大的放置
纵向 —— 物体的形状 或 结构选取
17
提高弯曲强度的措施之 一 —— 局部考虑
1.截面的放置
与
2.同样面积下 W最大
〉 〉 〉 〉 〉
为什么？
18
常见梁截面的 Wz/A 值
Wz/A 的值 大与小，哪个好？为什么？
19
3,截面选择
采用以中性轴对称的截面
或
采用不以中性轴对称的截面
（ +）
（ -）
（拉应力小）
（ +）
（ -）
（压应力小）
][][ ct ?? ?塑性材料
][][ ct ?? ?
脆性材料
][][ ct ?? ?
钢筋混凝土
20
提高弯曲强度的措施之 二 —— 整体考虑
变截面梁的例子
1,梁的纵向 —— 变截面、开孔或等强度
2,梁的变型 —— 单根梁转化为结构
21
1.支座位置
合理布置支座位置，使 M max 尽可能小
提高弯曲强度的措施之 三 —— 改善受力状态
EI
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4
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502qL?
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22
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L/4 3L/4
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3
0 0 7 30?
P=qL
L/5 4L/5
对称
2.加载方式 —— 合理布置外力作用，使 M max 尽可能小
M x3PL/16
M xPL/4
M
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23
EI
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3103260 ???
超静定梁
q
L/2 L/2
提高弯曲强度的措施之 四 —— 用超静定梁
EI
qL.y
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4
0130?
q
L
M x82qL
322qL?
M
x
512/9 2qL
24
本章小结
1、受弯梁内力 Q和 M分别对应梁截面上切应力和正应力
y
I
M
z
?? ][m ax ?? ?
一般情况下，弯曲正应力决定了梁的强度
（ 1）梁跨度较小，或支座附近有较大载荷
（ 2） T形、工字形等薄壁截面梁
（ 3）焊接、铆接、胶合而成的梁，要对焊缝、胶
合面等进行剪切强度计算
在下列情况下，还要考虑切应力强度条件
25
Q
bI
S
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z
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z??
切应力计算较复杂，不同截面形状有不同的公 式
其中较重要的 ——
矩形截面计算公式，切应力分布规律
2、弯曲中心（剪切中心）
? ??? ?m a x
弯心,梁横截面上弯曲切应力合力作用点
非对称截面梁发生平面弯曲的条件：
外力作用在主轴面内，还必须过弯曲中心
