§ 9.3 应力圆 （ Stresses Circle ）
为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle )？
首先由 Otto Mohr（ 1835-1918）提出
( 又是一位工程师 )
,来由,
一点无穷多个微元上的应力
能否在一张图上表示？
或者说，
as
a?
把 a看成参数,能否找到 与 的函数关系？
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a?a
ss
?
a?a
ssss
s
a
a
2c o s2s i n
2
2s i n2c o s
22
xy
yx
xy
yxyx
2
2
2
2
22 xy
yxyx ?ss?sss
aa ???
?
?
???
? ???
???
?
???
? ??
往下是关键的一步 ---平方和相加，得
一、斜截面应力
y
0
sy ?xy
sx
sa
?a
a
x ?
n
sx
?xy
sy
x
y
O
在 - 坐标系中,与
落在一个圆上
（ 应力圆 或 莫尔圆 ）
as a? as a?
圆心？ — 半径？ —
)0,2( yx ss ? 2
2
2 xy
yxR ?ss ?
???
?
???
? ??
二、应力圆的画法
?第一种画法
（ 1）在 sa轴上作出
A0(sx,0),B0(sy,0)
（ 2） A0,B0的中点为圆心 C
（ 3）过 A0垂直向上取 ?xy得
A,CA为半径
0
sa
?a
C A
0
B0
A
B
ys
xs（ 4）以 C 为圆心,CA为半径
画圆
第二种画法
（ 1） 坐标系内画出点
A(s x,?xy)
B (sy,?yx)
（ 2） AB与 sa 轴的
交点 C是圆心
（ 3） 以 C 为圆心
以 AC为半径
画 圆 ——
应力圆 或 莫尔圆
sx
?xy
sy
x
y
O
n
sa
?a
a
A(sx,?xy)
O
sa
?a
C
B(sy,?yx)
x
2a
n D( sa,?a)
以上由单元体公式 应力圆（原变换）
下面寻求：
由应力圆 单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
a
?a?a
ss
aaaa
aaaa
??
?
?
??
?????
22
2
2222
2222180
00
00
c o ss i n
c o s)c o sR(s i n)c o sR(
)s i n(R)](s i n[RDE
xy
yx
o
a
sa?a
ssss
aaaa
ss
aa
ss
aa
ss
??
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
???
?
?
??
22
22
2222
2
22
2
22180
2
00
0
0
s i nc os
)s i ns i nc os( c osR
)c os (R
)](c os [R
ECOCOE
xy
yxyx
yx
yx
oyx
0
sa
?a
C
A(sx,?xy)
B(sy,?yx)
x
2a
n D( sa,?a)
E
2a0
单元体与应力圆的对应关系
（ 1）单元体的右侧立面 ——
应力圆的 A 点（ 2a 0 ）
（ 2）斜截 面和 应力 (sa, ? a)
—— 应力圆上一点 D 点
和坐标 (sa, ? a)
（ 3） 单元体上夹角 a ——
应力圆上 CA 与 CD 夹角
2a 且转向一致
sx
?xy
sy
x
y
O
n
sa
?a
a
O
sa
?a
C
A(sx,?xy)
B(sy,?yx)
x
2a
n D( sa,?a)
2a0 （ 4）主 单元体上 s1所在面法向
是由 x 轴 逆时针转 a 0 ——
s a轴上应力圆最右端
22
3
1
22
xy
yxyx
R OC
?
ssss
s
s
?
?
?
?
???
?
?
?
）（
半径
四、应力极值
22
m i n
m a x
2
xy
yx
R
?
ss
?
?
?
?
??
??
?
?
?
）（
半径
A(sx,?xy)
max?
CO s
a
?a
B(sy,?yx)
x
2a1
min?
2a0
s1s2s3
五、平面应力状态的分析方法
1、解析法
精确、公式不好记 —— 7个
一般公式 2个（正、切应力），极值应力 5个
（极大与极小正应力，极大与极小切应力，
主单元体方位角）
2、图解法
不必记公式、数值不精确
有没有 集二者优点, 避二者缺点 的方法？
我提出了这种方法 ——
3、图算法
? 前半部 —— 画莫尔圆
? 后半部 —— 看图精确计算
30080 ???? ?ss,,yx
例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体
30
80
单位,MPa
80
30
s
?
1s3s O
A (?80? 30)
B
C
xs ys
D
1、取 的中点 C为圆心
yx,ss
以 AC 为半径画莫尔圆
2、算出心标 0C = -40，半径
3、算出主应力、切应力极值
5022 ???? DCADACR
4、算出方位角
?
?
?
??????
?
M Pa
M PaRC
90
100
3
1
s
s
M P aR - m i nm a x 50??? ??
5、画出主单元体
（ 1） A点对应于右垂面
（ 2）右垂面逆时针转
s
?
1s3s O
A (?80? 30)
B
C
xsys
D
oa2
?
??
?
5771
2
86361 80
8636
0,
.
.
DC
AD
tg a r cA C D
?
?
?
???
a
30
80
单位,MPa
80 2s
1s
oa
得主单元体的最大
拉应力所在的面
（ 3）垂直做主单元体的
另一个面
oa
例 求图示单元体的主应力及主平面的位置 (单位,MPa)
解：
(1)主应力坐标系如图
(3)AB的垂直平分线与 sa
轴的交点 C 即 是圆心，
以 C 为圆心，以 AC为
半径画圆 ——
应力圆
)325,45(B
)325,95(A
(2)在 坐标系内画出点
s1
s2 a
0
45
325
325
95
150
°
s3 s
1s2
B A
C sa
?a
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
02a
(4)按 图计算 心标 和 半径
OC = (A 横坐标 + B 横坐标 )/2
= 70
0
20
120
3
2
1
?
???
???
s
s
s
ROC
ROC
?60
2 0
??
?
FC
AF
tg ar ca
45325
325
95
s1
a0s2
AB
(5)计算 主应力 及 方位角
5022 ???? DCADACR
s3 s
1s2
B A
C sa
?a
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
02a
E
D
F
?300 ??a
(6)在 图上画 主单元体, 主应力
§ 9.4 梁的主应力及其主应力迹线
z
z
xy Ib
QS ???
z
x I
My?s
梁发生横力弯曲，
M与 Q > 0，试确定截面上
各点主应力大小及主平面
位置
单元体上：
22
3
1
22 xy
xx ?ss
s
s
???
?
?
? ）（
q
s15
s31
s3
s1
3
–45°
s1
s3
a0
s3
s1
a0
s
?
A1A2 D2D1
C O
A2
s
D2
D1
C
A1
O
?
2a0
D2
s
?
D1
C
D1
O
2a0= –90°
?
s
D2
A1O2a0
C
D1
A2
s
?
A2D2 D1
C
A1
O
主应力迹线（ Stress Trajectories)
主应力方向线的包络线 ——
曲线上每一点的切线
都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位
实线表示主拉应力迹线
虚线表示主压应力迹线
主应力迹线的画法x
y
1
1
截
面
2
2
截
面
3
3
截
面
4
4
截
面
i
i
截
面
n
n
截
面
ba
c
d
q
s3
s1
§ 9.5 三向应力状态 ——应力圆法
x
y
z
s2
s1
s3
1s2
s3s
as
a?
1、空间应力状态
2、三向应力分析
（ 1） 弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面上
的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点
（ 2） 整个单元体内的最大剪应力为
2
31
m a x
ss? ??
s1
x
y
z 图 a
s2
s3
图 b
?max
1s2
s3s
as
a?
例 求图示单元体的主应力和最大剪应力（ MPa）
解：
(1)由上图知
y z面为主
面之一 50
1??s
（ 2） 建立应力坐标
系，画应力圆
27
50
58
3
12
1
??
??
?
s
ss
s
'
44m a x ??
x
y
z
5040
30
A
B
C
(MPa)
sa
（ MPa ）?a
s1s2s3
?max
§ 9.6 复杂应力状态下的单元体的变形
——（ 广义 郑玄 - 虎克定律 ）
一、单拉下的本构关系
E
x
x
s? ?
xy E s
?? ??
xz E s
?? ??
二、纯剪的本构关系
G
xy
xy
?
? ?
)x,y,zi,j ( ij ?? 0?
)x,y,zi( i ?? 0?
0?? zxyz ??
x
y
z
sx
x
y
z
?xy
三、复杂状态下的本构关系
依叠加原理,得
? )? ?
zyx
zyx
x
E
EEE
ss?s
s
?
s
?
s
?
???
???
1
? )? ?xzyy E ss?s? ??? 1
? )? ?yxzz E ss?s? ??? 1
G
xy
xy
?? ?
G
yz
yz
?? ?
G
zx
zx
?? ?
? )? ?zyxx E ss?s? ??? 1
x
y
z
sz
sy
?xy
sx
主单元体本构关系
四、平面状态下的应力 --应变关系
0??? zxyzz ??s
? )? ?1322 1 ss?s? ??? E
? )? ?1233 1 ss?s? ??? E
? )? ?3211 1 ss?s? ??? E
? ?yxx E ????s ??? 21
xyxy G ?? ?
? ?xyy E ????s ??? 21用 应力 表示 应变
的本构关系
三个弹性常数之间的关系
? )??? 12
EG
五、体积应变与应力分量间的关系
dz dy dxV ?
)(dz dy dx
)(dz)(dy)(dxV
321
3211
1
111
???
???
????
????
321
1 ??? ??????
V
VV
体积应变：
)(
21
)(
21
321
zyx
E
E
sss
?
sss
?
??
?
?
??
?
??
代入本构关系，得到
体积应变与应力分量间的关系,
例 构件表面上某点的两个面内主应变为 ?1=240?10-6
?2= –160?10-6,E=210GPa,?=0.3,求该点的
主应力及另一主应变
03 ??s自由面上解,
? ?
M P a.).(
.
E
3441016030240
301
10210
1
6
2
9
2121
????
?
?
?
?
?
??
?
???
?
s
故为平面应力状态
? ?
M P a.).(
.
E
3201024030160
301
10210
1
6
2
9
1222
??????
?
?
?
?
?
??
?
???
?
s
1s?
2s?
? )
6
6
9
1322
10334
10344320
1021 0
30
1
?
???
???
?
??
???
.
)..(
.
][
E
ss?s?
M P a,
M P a.
320
0
344
3
2
1
??
?
??
s
s
s
例 为测量薄壁容器所承受的内压力,用电阻应变片
测得容器表面环向应变 ?t =350× l06；容器平均直径
D = 500 mm，壁厚 ? =10 mm,E =210GPa,? =0.25
求,1.横截面和纵截面上的正应力表达式
2.内压力
p
p
p
x
s1
sm
l
p
OD
x
A B
y
1、轴向应力 ( Longitudinal stress)
解：容器的环向和纵向应力表达式
容器截开后受力如图所示,据平衡方程
? ) 42DpDm ???s ??
?
s
4
pD
m ?
p
sm
sm
xD
纵截面将容器截开后受力
2、环向应力 (Hoop stress)
? ) Dlplt ??? ?s 2
?s 2
pD
t?
3、内压（以应力应变关系求之）
? ? ? ????ss? ???? 241 EpDE mtt
M P a.
).(.
.
)(D
E
p t
363
250250
10350010102104
2
4
69
?
??
?????
?
?
?
?
?
??
st
sm
外表面
y
ps
t s tD
?
d? )d2( ???Dlp
z O
§ 9.7 变形位能
332211 2
1
2
1
2
1 ?s?s?s ???u
)(31 321 ssss ???m
s2
s3
s1
s3-sm
s1-sm
s2-sm
)(Ea 32121 sss? ?????
? )? ?312321232221 22 1 ssssss?sss ?????? E
sm
sm
sm
为了剖析 变形位能 同 体积变形 和
形状 变形 的关系, 引入
为什么？
因 是体积应变
按迭加原理得左图
交互项
应力迭加没有交互项，位能迭加有
)(Ea 32121 sss? ?????
0??c因
故第 3项 应力状态 同 体积应变 无关,只与 形状变化
有关，称为 畸变 （或 偏斜 ） 应力
相应地分成：
ab )(E ????
???
321
21 sss?
s3-sm
s1-sm
s2-sms2
s3
s1 sm
sm
sm
交互项
体积应变 比能, 畸变 比能 （形状改变比能）
vu fu
体积应变比能
s2
s3
s1 s1-sm
s3-sm
s2-sm
sm
sm
sm
交互项
畸变比能
?vu
?fu
vffv
i
f
i
v
i
f
i
v
i
uuu))((
u
??????
???
?
?
3
1
332211
2
1
2
1
2
1
2
1
??ss
?s?s?s
交互项
fu
?
?
3
12
1
i
v
i
v
i ?s
?
?
3
12
1
i
f
i
f
i ?s
0
2
1 3
1
??? ?
?i
f
i
f
i
v
i
v
i )( ?s?s
? ) ? ) ? )? ?21323222161 ssssss? ??????? Eu f
体积应变比能
畸形比能
2
3216
21 )(
Eu v sss
? ????
例 用能量法证明三个弹性常数间的关系
Gu 22
1 2??? ??
（ 1） 纯剪单元体的比能为
（ 2） 纯剪单元体比能的主应力表示为
? )? ?312321232221 22 1 ssssss?sss ?????? Eu
? )? ?????? )(002)(02 1 22 ???????? E
21 ??
E
??
? )???? 12
EG
?xy
A
s1
s3
自己阅读书 [ P 281] 例 9.8从变形上的证明
为什么叫莫尔圆 ( Mohr’s Circle )？
首先由 Otto Mohr（ 1835-1918）提出
( 又是一位工程师 )
,来由,
一点无穷多个微元上的应力
能否在一张图上表示？
或者说，
as
a?
把 a看成参数,能否找到 与 的函数关系？
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a?a
ss
?
a?a
ssss
s
a
a
2c o s2s i n
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22
xy
yx
xy
yxyx
2
2
2
2
22 xy
yxyx ?ss?sss
aa ???
?
?
???
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?
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往下是关键的一步 ---平方和相加，得
一、斜截面应力
y
0
sy ?xy
sx
sa
?a
a
x ?
n
sx
?xy
sy
x
y
O
在 - 坐标系中,与
落在一个圆上
（ 应力圆 或 莫尔圆 ）
as a? as a?
圆心？ — 半径？ —
)0,2( yx ss ? 2
2
2 xy
yxR ?ss ?
???
?
???
? ??
二、应力圆的画法
?第一种画法
（ 1）在 sa轴上作出
A0(sx,0),B0(sy,0)
（ 2） A0,B0的中点为圆心 C
（ 3）过 A0垂直向上取 ?xy得
A,CA为半径
0
sa
?a
C A
0
B0
A
B
ys
xs（ 4）以 C 为圆心,CA为半径
画圆
第二种画法
（ 1） 坐标系内画出点
A(s x,?xy)
B (sy,?yx)
（ 2） AB与 sa 轴的
交点 C是圆心
（ 3） 以 C 为圆心
以 AC为半径
画 圆 ——
应力圆 或 莫尔圆
sx
?xy
sy
x
y
O
n
sa
?a
a
A(sx,?xy)
O
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?a
C
B(sy,?yx)
x
2a
n D( sa,?a)
以上由单元体公式 应力圆（原变换）
下面寻求：
由应力圆 单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
a
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ss
aaaa
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)s i n(R)](s i n[RDE
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C
A(sx,?xy)
B(sy,?yx)
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n D( sa,?a)
E
2a0
单元体与应力圆的对应关系
（ 1）单元体的右侧立面 ——
应力圆的 A 点（ 2a 0 ）
（ 2）斜截 面和 应力 (sa, ? a)
—— 应力圆上一点 D 点
和坐标 (sa, ? a)
（ 3） 单元体上夹角 a ——
应力圆上 CA 与 CD 夹角
2a 且转向一致
sx
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sy
x
y
O
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O
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C
A(sx,?xy)
B(sy,?yx)
x
2a
n D( sa,?a)
2a0 （ 4）主 单元体上 s1所在面法向
是由 x 轴 逆时针转 a 0 ——
s a轴上应力圆最右端
22
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xy
yxyx
R OC
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四、应力极值
22
m i n
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A(sx,?xy)
max?
CO s
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B(sy,?yx)
x
2a1
min?
2a0
s1s2s3
五、平面应力状态的分析方法
1、解析法
精确、公式不好记 —— 7个
一般公式 2个（正、切应力），极值应力 5个
（极大与极小正应力，极大与极小切应力，
主单元体方位角）
2、图解法
不必记公式、数值不精确
有没有 集二者优点, 避二者缺点 的方法？
我提出了这种方法 ——
3、图算法
? 前半部 —— 画莫尔圆
? 后半部 —— 看图精确计算
30080 ???? ?ss,,yx
例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体
30
80
单位,MPa
80
30
s
?
1s3s O
A (?80? 30)
B
C
xs ys
D
1、取 的中点 C为圆心
yx,ss
以 AC 为半径画莫尔圆
2、算出心标 0C = -40，半径
3、算出主应力、切应力极值
5022 ???? DCADACR
4、算出方位角
?
?
?
??????
?
M Pa
M PaRC
90
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3
1
s
s
M P aR - m i nm a x 50??? ??
5、画出主单元体
（ 1） A点对应于右垂面
（ 2）右垂面逆时针转
s
?
1s3s O
A (?80? 30)
B
C
xsys
D
oa2
?
??
?
5771
2
86361 80
8636
0,
.
.
DC
AD
tg a r cA C D
?
?
?
???
a
30
80
单位,MPa
80 2s
1s
oa
得主单元体的最大
拉应力所在的面
（ 3）垂直做主单元体的
另一个面
oa
例 求图示单元体的主应力及主平面的位置 (单位,MPa)
解：
(1)主应力坐标系如图
(3)AB的垂直平分线与 sa
轴的交点 C 即 是圆心，
以 C 为圆心，以 AC为
半径画圆 ——
应力圆
)325,45(B
)325,95(A
(2)在 坐标系内画出点
s1
s2 a
0
45
325
325
95
150
°
s3 s
1s2
B A
C sa
?a
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
02a
(4)按 图计算 心标 和 半径
OC = (A 横坐标 + B 横坐标 )/2
= 70
0
20
120
3
2
1
?
???
???
s
s
s
ROC
ROC
?60
2 0
??
?
FC
AF
tg ar ca
45325
325
95
s1
a0s2
AB
(5)计算 主应力 及 方位角
5022 ???? DCADACR
s3 s
1s2
B A
C sa
?a
(MPa)
(MPa)
O
20MPa
02a
E
D
F
?300 ??a
(6)在 图上画 主单元体, 主应力
§ 9.4 梁的主应力及其主应力迹线
z
z
xy Ib
QS ???
z
x I
My?s
梁发生横力弯曲，
M与 Q > 0，试确定截面上
各点主应力大小及主平面
位置
单元体上：
22
3
1
22 xy
xx ?ss
s
s
???
?
?
? ）（
q
s15
s31
s3
s1
3
–45°
s1
s3
a0
s3
s1
a0
s
?
A1A2 D2D1
C O
A2
s
D2
D1
C
A1
O
?
2a0
D2
s
?
D1
C
D1
O
2a0= –90°
?
s
D2
A1O2a0
C
D1
A2
s
?
A2D2 D1
C
A1
O
主应力迹线（ Stress Trajectories)
主应力方向线的包络线 ——
曲线上每一点的切线
都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位
实线表示主拉应力迹线
虚线表示主压应力迹线
主应力迹线的画法x
y
1
1
截
面
2
2
截
面
3
3
截
面
4
4
截
面
i
i
截
面
n
n
截
面
ba
c
d
q
s3
s1
§ 9.5 三向应力状态 ——应力圆法
x
y
z
s2
s1
s3
1s2
s3s
as
a?
1、空间应力状态
2、三向应力分析
（ 1） 弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面上
的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点
（ 2） 整个单元体内的最大剪应力为
2
31
m a x
ss? ??
s1
x
y
z 图 a
s2
s3
图 b
?max
1s2
s3s
as
a?
例 求图示单元体的主应力和最大剪应力（ MPa）
解：
(1)由上图知
y z面为主
面之一 50
1??s
（ 2） 建立应力坐标
系，画应力圆
27
50
58
3
12
1
??
??
?
s
ss
s
'
44m a x ??
x
y
z
5040
30
A
B
C
(MPa)
sa
（ MPa ）?a
s1s2s3
?max
§ 9.6 复杂应力状态下的单元体的变形
——（ 广义 郑玄 - 虎克定律 ）
一、单拉下的本构关系
E
x
x
s? ?
xy E s
?? ??
xz E s
?? ??
二、纯剪的本构关系
G
xy
xy
?
? ?
)x,y,zi,j ( ij ?? 0?
)x,y,zi( i ?? 0?
0?? zxyz ??
x
y
z
sx
x
y
z
?xy
三、复杂状态下的本构关系
依叠加原理,得
? )? ?
zyx
zyx
x
E
EEE
ss?s
s
?
s
?
s
?
???
???
1
? )? ?xzyy E ss?s? ??? 1
? )? ?yxzz E ss?s? ??? 1
G
xy
xy
?? ?
G
yz
yz
?? ?
G
zx
zx
?? ?
? )? ?zyxx E ss?s? ??? 1
x
y
z
sz
sy
?xy
sx
主单元体本构关系
四、平面状态下的应力 --应变关系
0??? zxyzz ??s
? )? ?1322 1 ss?s? ??? E
? )? ?1233 1 ss?s? ??? E
? )? ?3211 1 ss?s? ??? E
? ?yxx E ????s ??? 21
xyxy G ?? ?
? ?xyy E ????s ??? 21用 应力 表示 应变
的本构关系
三个弹性常数之间的关系
? )??? 12
EG
五、体积应变与应力分量间的关系
dz dy dxV ?
)(dz dy dx
)(dz)(dy)(dxV
321
3211
1
111
???
???
????
????
321
1 ??? ??????
V
VV
体积应变：
)(
21
)(
21
321
zyx
E
E
sss
?
sss
?
??
?
?
??
?
??
代入本构关系，得到
体积应变与应力分量间的关系,
例 构件表面上某点的两个面内主应变为 ?1=240?10-6
?2= –160?10-6,E=210GPa,?=0.3,求该点的
主应力及另一主应变
03 ??s自由面上解,
? ?
M P a.).(
.
E
3441016030240
301
10210
1
6
2
9
2121
????
?
?
?
?
?
??
?
???
?
s
故为平面应力状态
? ?
M P a.).(
.
E
3201024030160
301
10210
1
6
2
9
1222
??????
?
?
?
?
?
??
?
???
?
s
1s?
2s?
? )
6
6
9
1322
10334
10344320
1021 0
30
1
?
???
???
?
??
???
.
)..(
.
][
E
ss?s?
M P a,
M P a.
320
0
344
3
2
1
??
?
??
s
s
s
例 为测量薄壁容器所承受的内压力,用电阻应变片
测得容器表面环向应变 ?t =350× l06；容器平均直径
D = 500 mm，壁厚 ? =10 mm,E =210GPa,? =0.25
求,1.横截面和纵截面上的正应力表达式
2.内压力
p
p
p
x
s1
sm
l
p
OD
x
A B
y
1、轴向应力 ( Longitudinal stress)
解：容器的环向和纵向应力表达式
容器截开后受力如图所示,据平衡方程
? ) 42DpDm ???s ??
?
s
4
pD
m ?
p
sm
sm
xD
纵截面将容器截开后受力
2、环向应力 (Hoop stress)
? ) Dlplt ??? ?s 2
?s 2
pD
t?
3、内压（以应力应变关系求之）
? ? ? ????ss? ???? 241 EpDE mtt
M P a.
).(.
.
)(D
E
p t
363
250250
10350010102104
2
4
69
?
??
?????
?
?
?
?
?
??
st
sm
外表面
y
ps
t s tD
?
d? )d2( ???Dlp
z O
§ 9.7 变形位能
332211 2
1
2
1
2
1 ?s?s?s ???u
)(31 321 ssss ???m
s2
s3
s1
s3-sm
s1-sm
s2-sm
)(Ea 32121 sss? ?????
? )? ?312321232221 22 1 ssssss?sss ?????? E
sm
sm
sm
为了剖析 变形位能 同 体积变形 和
形状 变形 的关系, 引入
为什么？
因 是体积应变
按迭加原理得左图
交互项
应力迭加没有交互项，位能迭加有
)(Ea 32121 sss? ?????
0??c因
故第 3项 应力状态 同 体积应变 无关,只与 形状变化
有关，称为 畸变 （或 偏斜 ） 应力
相应地分成：
ab )(E ????
???
321
21 sss?
s3-sm
s1-sm
s2-sms2
s3
s1 sm
sm
sm
交互项
体积应变 比能, 畸变 比能 （形状改变比能）
vu fu
体积应变比能
s2
s3
s1 s1-sm
s3-sm
s2-sm
sm
sm
sm
交互项
畸变比能
?vu
?fu
vffv
i
f
i
v
i
f
i
v
i
uuu))((
u
??????
???
?
?
3
1
332211
2
1
2
1
2
1
2
1
??ss
?s?s?s
交互项
fu
?
?
3
12
1
i
v
i
v
i ?s
?
?
3
12
1
i
f
i
f
i ?s
0
2
1 3
1
??? ?
?i
f
i
f
i
v
i
v
i )( ?s?s
? ) ? ) ? )? ?21323222161 ssssss? ??????? Eu f
体积应变比能
畸形比能
2
3216
21 )(
Eu v sss
? ????
例 用能量法证明三个弹性常数间的关系
Gu 22
1 2??? ??
（ 1） 纯剪单元体的比能为
（ 2） 纯剪单元体比能的主应力表示为
? )? ?312321232221 22 1 ssssss?sss ?????? Eu
? )? ?????? )(002)(02 1 22 ???????? E
21 ??
E
??
? )???? 12
EG
?xy
A
s1
s3
自己阅读书 [ P 281] 例 9.8从变形上的证明
