赠言
君子之学必日新，日新者日进也。不日新者必日
退，未有不进而不退者。
程灏、程颐
,二程集 ?河南程氏遗书, 卷二十五
第九章 应力状态理论
Theory of Stress State
〈 怎样导致 ---应力状态理论？ 〉
能算应力，会校核
弯
单独
扭
弯 + 扭 ---怎么办？
两个问题
应力叠加
强度标准
应力状态理论
强度理论
FP
材料力学体现了 — 从拆到装的途径
1,组合变形 —
〈 材料力学 — 反映了“西方”思维的特点 〉
思维的差异
2,应力分析 —
东方 —— 整体把握 （ 中医为典型 ）
西方 —— 拆 （ 局部 ） 装 （ 整体 ）
<分析 > <综合 >
拆成简单变形
在点（微元）上分析 寻找整体危险点
应力叠加 + 应力分析
本章（应力状态理论）内容
? 应力状态的概念
? 二向（平面）应力状态的应力分析
? 应力圆
? 主应力、主应力迹线的概念
? 三向应力状态（简介）
? 复杂应力状态的变形
? 变形位 能
§ 9.1 应力状态的概念
1、问题的提出
应力叠加后做什么事？
简单变形
弯 --S截面危险 --危险点
点 1
点 3
扭 --S截面危险 --危险点 (外圆周上的点 )
组合变形 --危险截面？ --危险点 点 1
点 3
危险截面还是不是 S截面？
为此，要进行
一 点 --应力 --状态 --分析
y
x
z
M
z
F
Q y
M
x
4
3
2
1
1
p
x
W
M
=
1
t
z
z
x
W
M
=
1
s
4
3
p
x
W
M
=
3
t
p
x
W
M
=
4
t
z
z
x
W
M
-=
4
s
xz
y
4
3
2
1
S 平面
2,基本概念
? 一点
微元（有结构，不同于数学点）
? 应力
六面体各面上皆有应力（正，切） ? 微 元 或 单元体
（ Element）
无穷小
正六面体
dx,dy,dz ??0
? 状态
? 分析 一点可以用无穷个微元表示，找出之间应力
的关系，称为 应力状态分析
分布 -- 均匀
对应量 -- 相等
对面正应力
邻面切应力
? 微 元 或 单元体
（ Element）
无穷小正六面体
dx,dy,dz ??0
3、结论
（ 1） 无穷个一点的应力状态不独立，可以相互表示
（ 2） 任一点都存在一个主单元体
（六个面只有正应力无切应力）
321 sss ??
（ 3） 三种应力状态
（单向、二向、三向）
过一点不同方向面上应力的集合
称之为这一点的 应力状态
State of the Stresses of a Given Point
应 力
? 哪一点？
? 在哪一个面上？
? 那个面在
哪个方位？
要指明
Three-Dimensional State of Stresses
三向（空间）应力状态
yx
z
sx sy
sz
txy
tyx
tyz
tzytzx
txz
Plane State of Stresses
平面（二向）应力状态
x
y
sx
s y
x
y
sx x
y
tyx
txy
单向应力状态
One Dimensional
State of Stresses
纯剪应力状态
Shearing State of
Stresses
三
向
应
力
状
态
平
面
应
力
状
态
单向应力状态
纯切应力状态特例 特例
§ 9.2 二向 应力状态的应力分析
分析方法, 1 解析法
2 图解法
目的 — 用一点某个微元上的应力表示
其它无限多微元上的应力
伴随结果
?应力极值 — 主应力状态
?从一个 斜截面的应力 构造一个单元体的应力
正
值
的
正
应
力
正应力符号规定
s
拉为正
s
压为负
s
s
负
值
的
正
应
力
切 应 力 符 号
使微元顺时针转动为正
反之为负
角 符 号
t x y' '
t yx
t xy
x'
y' y
x?
?
由 x 轴逆时针转到 x’轴
（斜截面外法线）为正
反之为负
? 平衡对象 —— 用 ???斜截面
一、斜截面应力
? =? 0 yF? =? 0 xF
? 平衡方程 ——
? 参加平衡的力 ——
应力乘以其作用的面积
s y
t yx
?s
?t
x s
t xy
dA
x’
y’
?
截取的微元局部
? =? 0 xF
=?s ?s 2 c o sx ??t c o s s i n xy- ??t c o s s i n yx-?s 2 s iny?
? sy =0[t dA( cos )xy dA( sin )]sin?? ?-
s?[- )cos(dAx dA( sin ] ) cosdAs ??
? ?tyx?
sy
tyx
?s
?t
x s
txy dA
x’
y’
?
? =? 0 yF
= ?t ??s c o s s i nx ?t 2c o sxy? ??s c o ss i ny- ?t 2s inyx-
?[txy dA( cos ) =0-sy dA( sin )]cos? ? ?
-t dA ?[sx dA( cos )-tyx dA( sin ) ]sin
????
sy
tyx
?s
?t
x s
txy dA
x’
y’
?
= ?s ?s ? 2c o s ??t c o ss i nxy- ??t c o ss i nyx-?s 2s iny?
= ?t ??s c o ss inx ?t 2c o sxy? ??s c o ss i ny- ?t 2s inyx-
最后，得到以下两个方程：
??? s i n 2c o ss i n2 =引入
2
2c o s1c o s 2 ?? ?=
2
2c o s1s i n 2 ?? -=
?t?sssss ? 2s i n2c o s22 xyyxyx --??=
?t?
ss
t ? 2c o s2s i n
2 xy
yx ?-=
2?? ?
x?s y?s
yx ??t xy ??t
用 斜截面截取2?? ?
?
得到微元的另一截面的公式
s x' = ?s 2c o sx ??t c o ss i nxy- ??t c o ss i nyx-?s 2si ny?
t x y' ' = ??s c o ss i nx
?t 2c o sxy?
??s c o ss i ny-
?t 2s i nyx-
最后，得到以下四个方程
= y's ?s 2c o sy? ??t c o ss i nxy? ??t c o ss i nyx??s 2sinx
t x y' ' = ??s c o ss i nx-
?t 2c o sxy?
??s c o ss i ny?
?t 2s i nyx-
=??
?
?
??
?
?
' ''
' ''
yxy
yxx
st
ts
??
?
?
??
?
?
yyx
xyx
st
ts
???
?
???
? -
??
??
c oss i n
s i nc os
???
?
???
?
- ??
??
c oss i n
s i nc os
将上式写成矩阵形式
其中 tｘ y＝ tyｘ
上述表明,一点的应力状态，在不同坐标系
中有不同的形式，但它们之间是可以转换的 ——
称为 应力的坐标变换
简称 应力变换 Transformation of Stresses
韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线
低碳钢
为什么脆性材料扭转沿 45o螺旋面断开
铸铁
sy
tyx
txy
sxx
y
x-y坐标系
tx y' '
sy'
ty x' '
sx'
x'
x’－ y’坐标系
y'
sy''
sx''
yp
xp
xp-yp坐标系
应力变换的实质 ——
同一点的应力状态可以有无穷种描述方式
? ? 0222 00
0
=---=
=
?t?ss
?
s
??
? c o ss i n
d
d:
xyyx令
二,应力极值
yx
xy
ss
t
?
-
-=
2
2tg 0 由此得两个驻点：
2
? 和两个极值：）、（
0101 ?? ?
极值正应力就是主应力\= 00?t
） 2
2
22 xy
yxyx
m in
m ax tssss
s
s
?-±?=
?
?
?
（
x
y
sx
txy
sy
O
s??在切应力相对的方向上，
且偏向于 sx 及 sy大的一侧
0
1
=
=???
t ?
d
d 令
xy
yxtg
t
ss
?
2
2 1
-
=
22
2 x y
yx
min
max tss
t
t ?-±=
??
?
?
? ）（
0
10 4 45,成即极值剪应力面与主面
??? ?=
m i n2m a x1 ; ssss ?=??=?
sy
x
y txy
O
主
单元体
2s?
1s?
sx
例,分析受扭构件的破坏规律
解,?确定危险点并画其
原始单元体
?求极值应力
0== yx ss
P
n
xy W
M== tt
22
2
1
22 xy
yxyx tssss
s
s
?
-
?
?
=
?
?
?
?
?
）（
tt ?=?= 2xy
txyC
tyx
M
C
x
y
O
txy
tyx
?破坏分析
tt
ss
t
t
?=?
-
?=
?
?
?
?
? 22
2 xy
yx
m i n
m a x ）（
tssts -=== 321 0 ;;
?4522
00 =\?=--= ?ss
t
?
yx
xytg
0022 11 =\=-= ?t ss?
xy
yxtg
M P a;M P a ss,200240 == ts低碳钢
M Pa~;M Pa~
M Pa~
byb
Lb:
300198960640
28098
==
=
ts
s灰口铸铁
君子之学必日新，日新者日进也。不日新者必日
退，未有不进而不退者。
程灏、程颐
,二程集 ?河南程氏遗书, 卷二十五
第九章 应力状态理论
Theory of Stress State
〈 怎样导致 ---应力状态理论？ 〉
能算应力，会校核
弯
单独
扭
弯 + 扭 ---怎么办？
两个问题
应力叠加
强度标准
应力状态理论
强度理论
FP
材料力学体现了 — 从拆到装的途径
1,组合变形 —
〈 材料力学 — 反映了“西方”思维的特点 〉
思维的差异
2,应力分析 —
东方 —— 整体把握 （ 中医为典型 ）
西方 —— 拆 （ 局部 ） 装 （ 整体 ）
<分析 > <综合 >
拆成简单变形
在点（微元）上分析 寻找整体危险点
应力叠加 + 应力分析
本章（应力状态理论）内容
? 应力状态的概念
? 二向（平面）应力状态的应力分析
? 应力圆
? 主应力、主应力迹线的概念
? 三向应力状态（简介）
? 复杂应力状态的变形
? 变形位 能
§ 9.1 应力状态的概念
1、问题的提出
应力叠加后做什么事？
简单变形
弯 --S截面危险 --危险点
点 1
点 3
扭 --S截面危险 --危险点 (外圆周上的点 )
组合变形 --危险截面？ --危险点 点 1
点 3
危险截面还是不是 S截面？
为此，要进行
一 点 --应力 --状态 --分析
y
x
z
M
z
F
Q y
M
x
4
3
2
1
1
p
x
W
M
=
1
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4
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4
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4
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2
1
S 平面
2,基本概念
? 一点
微元（有结构，不同于数学点）
? 应力
六面体各面上皆有应力（正，切） ? 微 元 或 单元体
（ Element）
无穷小
正六面体
dx,dy,dz ??0
? 状态
? 分析 一点可以用无穷个微元表示，找出之间应力
的关系，称为 应力状态分析
分布 -- 均匀
对应量 -- 相等
对面正应力
邻面切应力
? 微 元 或 单元体
（ Element）
无穷小正六面体
dx,dy,dz ??0
3、结论
（ 1） 无穷个一点的应力状态不独立，可以相互表示
（ 2） 任一点都存在一个主单元体
（六个面只有正应力无切应力）
321 sss ??
（ 3） 三种应力状态
（单向、二向、三向）
过一点不同方向面上应力的集合
称之为这一点的 应力状态
State of the Stresses of a Given Point
应 力
? 哪一点？
? 在哪一个面上？
? 那个面在
哪个方位？
要指明
Three-Dimensional State of Stresses
三向（空间）应力状态
yx
z
sx sy
sz
txy
tyx
tyz
tzytzx
txz
Plane State of Stresses
平面（二向）应力状态
x
y
sx
s y
x
y
sx x
y
tyx
txy
单向应力状态
One Dimensional
State of Stresses
纯剪应力状态
Shearing State of
Stresses
三
向
应
力
状
态
平
面
应
力
状
态
单向应力状态
纯切应力状态特例 特例
§ 9.2 二向 应力状态的应力分析
分析方法, 1 解析法
2 图解法
目的 — 用一点某个微元上的应力表示
其它无限多微元上的应力
伴随结果
?应力极值 — 主应力状态
?从一个 斜截面的应力 构造一个单元体的应力
正
值
的
正
应
力
正应力符号规定
s
拉为正
s
压为负
s
s
负
值
的
正
应
力
切 应 力 符 号
使微元顺时针转动为正
反之为负
角 符 号
t x y' '
t yx
t xy
x'
y' y
x?
?
由 x 轴逆时针转到 x’轴
（斜截面外法线）为正
反之为负
? 平衡对象 —— 用 ???斜截面
一、斜截面应力
? =? 0 yF? =? 0 xF
? 平衡方程 ——
? 参加平衡的力 ——
应力乘以其作用的面积
s y
t yx
?s
?t
x s
t xy
dA
x’
y’
?
截取的微元局部
? =? 0 xF
=?s ?s 2 c o sx ??t c o s s i n xy- ??t c o s s i n yx-?s 2 s iny?
? sy =0[t dA( cos )xy dA( sin )]sin?? ?-
s?[- )cos(dAx dA( sin ] ) cosdAs ??
? ?tyx?
sy
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?s
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x s
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x’
y’
?
? =? 0 yF
= ?t ??s c o s s i nx ?t 2c o sxy? ??s c o ss i ny- ?t 2s inyx-
?[txy dA( cos ) =0-sy dA( sin )]cos? ? ?
-t dA ?[sx dA( cos )-tyx dA( sin ) ]sin
????
sy
tyx
?s
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x’
y’
?
= ?s ?s ? 2c o s ??t c o ss i nxy- ??t c o ss i nyx-?s 2s iny?
= ?t ??s c o ss inx ?t 2c o sxy? ??s c o ss i ny- ?t 2s inyx-
最后，得到以下两个方程：
??? s i n 2c o ss i n2 =引入
2
2c o s1c o s 2 ?? ?=
2
2c o s1s i n 2 ?? -=
?t?sssss ? 2s i n2c o s22 xyyxyx --??=
?t?
ss
t ? 2c o s2s i n
2 xy
yx ?-=
2?? ?
x?s y?s
yx ??t xy ??t
用 斜截面截取2?? ?
?
得到微元的另一截面的公式
s x' = ?s 2c o sx ??t c o ss i nxy- ??t c o ss i nyx-?s 2si ny?
t x y' ' = ??s c o ss i nx
?t 2c o sxy?
??s c o ss i ny-
?t 2s i nyx-
最后，得到以下四个方程
= y's ?s 2c o sy? ??t c o ss i nxy? ??t c o ss i nyx??s 2sinx
t x y' ' = ??s c o ss i nx-
?t 2c o sxy?
??s c o ss i ny?
?t 2s i nyx-
=??
?
?
??
?
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' ''
' ''
yxy
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?
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yyx
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?
???
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??
??
c oss i n
s i nc os
???
?
???
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- ??
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c oss i n
s i nc os
将上式写成矩阵形式
其中 tｘ y＝ tyｘ
上述表明,一点的应力状态，在不同坐标系
中有不同的形式，但它们之间是可以转换的 ——
称为 应力的坐标变换
简称 应力变换 Transformation of Stresses
韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线
低碳钢
为什么脆性材料扭转沿 45o螺旋面断开
铸铁
sy
tyx
txy
sxx
y
x-y坐标系
tx y' '
sy'
ty x' '
sx'
x'
x’－ y’坐标系
y'
sy''
sx''
yp
xp
xp-yp坐标系
应力变换的实质 ——
同一点的应力状态可以有无穷种描述方式
? ? 0222 00
0
=---=
=
?t?ss
?
s
??
? c o ss i n
d
d:
xyyx令
二,应力极值
yx
xy
ss
t
?
-
-=
2
2tg 0 由此得两个驻点：
2
? 和两个极值：）、（
0101 ?? ?
极值正应力就是主应力\= 00?t
） 2
2
22 xy
yxyx
m in
m ax tssss
s
s
?-±?=
?
?
?
（
x
y
sx
txy
sy
O
s??在切应力相对的方向上，
且偏向于 sx 及 sy大的一侧
0
1
=
=???
t ?
d
d 令
xy
yxtg
t
ss
?
2
2 1
-
=
22
2 x y
yx
min
max tss
t
t ?-±=
??
?
?
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0
10 4 45,成即极值剪应力面与主面
??? ?=
m i n2m a x1 ; ssss ?=??=?
sy
x
y txy
O
主
单元体
2s?
1s?
sx
例,分析受扭构件的破坏规律
解,?确定危险点并画其
原始单元体
?求极值应力
0== yx ss
P
n
xy W
M== tt
22
2
1
22 xy
yxyx tssss
s
s
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-
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?
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txyC
tyx
M
C
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y
O
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tt
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t
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yx
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xy
yxtg
M P a;M P a ss,200240 == ts低碳钢
M Pa~;M Pa~
M Pa~
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Lb:
300198960640
28098
==
=
ts
s灰口铸铁
