1
第七章 弯曲应力
Bending stresses
赠 言
前事之不忘，后事之师。
《战国策 ·赵策》
欲穷千里目，更上一层楼。
王之涣《登鹳雀楼》
2
上一章学习了 弯曲内力 —— 弯矩、剪力
（计算内力、画内力图）
目的,为解决弯曲强度“铺路”
地球上的人造结构,弯曲现象最常见,
太重要了！
如何解决 弯曲强度问题？
3
为此，请回顾一下以往的强度问题
拉压、扭转 —— 由 应力 算 强度（已清楚）
弯曲 —— 应力（不了解）
如何求出弯曲应力？
子曰：,温故而知新，可以为师矣。,
,论语,为政篇第二》
4
弯曲 弯矩 M
剪力 Q？
拉（压） 轴力 N
A
N??
应力内力变形形式 构件
扭转 扭矩 T
pI
rT ??
5
通过温故，启迪了知新的思路 ——
应力从内力出发
亦即
由 弯曲内力 求 弯曲应力
弯曲问题的整个分析过程：
弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形
强度问题
刚度问题
6
本章主要内容
7.1 弯曲正应力
7.2 弯曲正应力强度条件
7.3 弯曲切应力及强度条件
7.4 弯曲中心
7.5 提高弯曲强度的一些措施
这一堂课先效仿前人，探求出来 弯曲正应力
公式，然后解决弯曲正应力 强度问题
7
知道公式会用，不知推导，行不行？不行。
为了由 温故 —— 知新, 到 温故 —— 创新； 因此要做到
第一个层次：
把前人的推导作为 创新的案例,予以特别重视，
去 体会 如何提出和解决问题。
第二个层次：
置身历史当中,想象自己如同前人那样去研究，
学会 由无到有地去发现知识。
于是，创新能力的培养得以落实，你 将来会解决新问题！
8
7.1 弯曲正应力 Normal stress in bending beam
Q
M 梁段
横截面上内力
切应力和正应力的分布函数不知道,2个方程确定不了
切应力 无穷个 未知数、正应力 无穷个 未知数,实质是
超静定问题
解决之前，先简化受力状态 —— 理想模型方法
??
A
dAQ ? ??
A
dAyM ?
横截面上正应力横截面上切应力
?
y
z
?
9
横力弯曲与纯弯曲
横力弯曲 ——
剪力 Q不为零
（ Bending by
transverse force ）
例如 AC,DB段
纯弯曲 ——
剪力 Q＝ 0且
弯矩为常数
（ Pure bending ）
例如 CD段
10
以 纯弯曲梁 为对象
研究横截面上的 正应力 分布规律
1、静力平衡（不足）
2、变形几何（补充）
3、本构关系（沟通）
研究思路：温故 —— 创新
回忆 拉压 杆、圆轴 扭转 问题的研究
11
梁横截面上的 静力平衡 方程
0 ?? ?
A
dAN ?
0 ?? ?
A
y dAzM ?
MdAyM
A
z ?? ? ?
y
z
Mz
My
dA
正应力分布不清楚 —— 正应力 无穷个 未知数
3个方程解不出来
静力不足变形补 —— 下面研究 梁变形几何关系
12
研究对象：等截面直梁
研究方法：实验 —— 观察 —— 假定
变形几何关系的建立
13
实验观察 —— 梁表面变形特征
以上是 外部 的情况,内部 如何？
想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度
透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
?横线仍是直线，但发生
相对转动，仍与纵线正交
?纵线弯成曲线，且梁的
下侧伸长，上侧缩短
14
15
总之,由外部去
想象内部 —— 得到
梁弯曲假设,
?横截面保持为平面 ——
变形后，仍为平面，且垂直
于变形后梁的轴线，只是绕
梁上某一轴转过一个角度
?纵向各水平面间无挤压 ——
均为单向拉、压状态
16
17
弯曲中
梁的 中性层 neutral surface —— 既不伸长又不缩短的纵面
截面的 中性轴 neutral axis —— 中性层与横截面的交线
18
y
z
x
?? d)y( ?
直线段 aa 变为曲线
弧长为：
线应变为
dx
dx )(???
纯弯中，纵向线应变沿
截面高度线性分布
? 为曲率半径 radius of curvature
?/1 为曲率 curvature???
???? y
d
ddy ???? )(
19
纯弯中，纵向 线应变为：
?
? y?
这是 变形几何 方程 —— 对 静力平衡 方程的补充
可是二者表达的变量并不相同，怎么办？
还是拉压、扭转给我们启迪：
用 本构关系 沟通 静力平衡 方程 和 变形几何 方程
即采用
郑玄（ 127-200 ） - 胡克 （ R,Hooke,1635-1702） 定律
20
本构关系的运用
?
? y?
yEE
?
?? ??
梁截面上正应力
1、沿 y 轴线性分布
2、与 z 坐标无关
3、与 x 坐标呢？ （课后思考）
z
y什么地方最大，什么地方最小？
为了从这个 梁横截面（ cross section） 应变分布
得到 正应力分布 规律，启用本构关系
21
体现了 本构 与 变形 代入 静力 方程中
yE?? ?
? ??
A
dAN 0 ?
0 ?? ?
A
y dAzM ?
MdAyM
A
z ?? ? ?
? ?
A
dAy 0
0??
A
yzd A
MdAyE
A
?? 2?
0?yzI
zEI
M?
?
1
0?zS
y
z
Mz
My
dA
yE
?
? ?
纯弯曲梁正应力公式的得到
y
I
M
z
??
22
y
I
M
z
?? rI
T
p
??
类似扭转切应力公式
m a xcm i n
z
m i n yI
M ?? ???
m a xtm a x
z
m a x yI
M ?? ??
y
I
M
z
??
实验力学 验证, 弹性力学 印证 了公式的精确性
非常成功！
23
注意 —— 对弯曲应力线性分布的认识，得之不易
y
I
M
z
??
伽利略（ G.Galiieo,1564-1642） 的研究中认为：
弯曲应力是均匀分布的
（《两门新科学的对话,1638年出版 ）
因而得不到正确的公式
大科学家有时也弄错
24
正应力计算公式适用范围
yIM
z
??
?横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立
但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于 5（即为细长梁）时
弹性力学指出：上述公式近似成立
?截面惯性积 Iyz = 0
?推导时用到郑玄 -胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
s?? ?m a x s?? ?m a x
25
方法总结
（ 1）理想模型法,纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）
（ 2）“实验 — 观察 — 假设”法,梁弯曲假设（横、纵面）
（ 3）白箱法（“层层剥笋”法）：
外力 内力
平衡（力学）
本构（物理）
变形（几何）
（ 4）超静定解法
微分 单元体
积分 应力合成内力
横力弯曲
应力
（ 5）数学方法
（多学科综合法）
26
7.2 弯曲正应力强度条件
y
I
M
z
??
z
m a x
m a x
z
m a x
m a x W
My
I
M ???
m a x
z
z y
IW ?
Strength criterion of normal stress in bending
称为截面 抗弯模量，单位,m3,mm3
27
][m a x ?? ?
强度条件
][ cm a xc ?? ?
][ tm a xt ?? ?
宽 b,高 h的矩形
6
2
2
12
3 bh
y
I
W
h
bh
m a x
z
z ???
直径为 d的圆截面
32
3d
W z ??
脆性材料梁，因其抗拉强度和抗压强度相差甚大
故要对最大拉应力点和最大压应力点分别校核强度：
轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 WZ 从型钢表中查得
28
弯曲应力例题
例 1 简支梁
求：
（ 1） 1— 1截面上 1,2两点的
正应力；
（ 2）此截面上的最大正应力；
（ 3）全梁的最大正应力；
（ 4）已知 E = 200 GPa，
求 1— 1截面的曲率半径。
q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
1 2
120
180z
y
30
29
M
x+
8
2qL
M1 Mmax
k N m5.678/2m a x ?? qLM
45
3
m10832.5
12
???? bhI
z
34m a x m1048.6/ ???? yIW zz
M Pa7.6110
8 32.5
6060 5
1
21
???
??
?
??
z
I
yM
??
2 求应力
解,1 画 M 图求有关弯矩
k N m60)22( 1
2
1 ??? ?x
qxq L xM
1 2
120
180z
y
30
q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
30
M Pa6.921048.6 60 41m a x1 ????
zW
M?
m4.1 9 41060 8 3 2.52 0 0
1
1 ??
???
M
EI z?
M Pa2.1041048.6 5.67 4m a xm a x ????
zW
M?
3 求曲率半径
31
例 2 外伸梁
T形梁截面，用铸铁制成，
mmymmymmI z 60,140,100.4 2147 ????
M P aM P a ct 100][,35][ ?? ??
校核梁的强度。
C
y2
y1
2m
q=10kN/mA
DB E
P＝ 20kN
2m 2m
32
解,（ 1） 梁的内力分析，找出危险截面
q=10kN/mA
DB E
P＝ 20kN
5kN 35kN
A DB E
10kN*m
20kN*m
(-)
(+)
包含反力的
全部外载荷
画弯矩图：
可省去制表
危险截面：
B,D？
33
（ 2） 找出危险截面上的危险点
危险点：
a,b,d
C
y2
y1
A DB E
10kN*m
20kN*m
(-)
(+)
B截面 D截面
压应力
拉应力
a
b
e
d
拉应力
压应力
y
I
M
z
??
34
（ 3）计算 危险点应力
校核强度
（拉）M P a
I
yM
z
B
a
30
2
?
???
（压）M P a
I
yM
z
B
b
70
1
??
??
（拉）M P a
I
yM
z
d
d
35
1
?
??
最大压应力：
][70m a x cbc M P a ??? ????
最大拉应力：
][35m a x tdt M P a ??? ???
梁的强度符合要求
B截面 D截面
压应力
拉应力
a
b
e
d
拉应力
压应力
35
习题,7.5; 7.9; 7.11; 7.16
36
思考题
1、弯矩和剪力分别由什么应力组成?
2、研究梁的正应力的基本思路是什么？
3、什么是梁的中性层、中性轴？证明矩形梁的中
性轴必通过横截面的形心。
4、什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越
大曲率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也
越小，对吗？为什么？
37
6、写出截面抗弯模量的数学式，对圆截面，抗弯和
抗扭截面模量有何关系？
7、总结材料力学解决应力问题的一般方法和步骤。
8、由直径为 D的圆木切割出 一矩形梁，求出 使梁的
强度最大的高宽比。
5、叙述纯弯曲梁的正应力公式使用条件和范围
可否推广到一般梁？
38
?正应力公式仍然适用
?假定切应力在横截面上的分布规律，然后
根据平衡条件导出切应力的计算公式
?不再用变形、物理和静力关系进行推导
7.3 弯曲切应力及其强度条件
纯弯曲 （ M＝ const.,Q=0) —— 只有正应力，无切应力
横力弯曲 ( M,Q均不为零） —— 一般情况，有正应力和
切应力
研究方法
研究对象 ?矩形梁截面
?工字形梁截面
?圆形梁截面
?其它形状
39
矩形梁截面上的切应力
假定：
?截面上各点切应力
方向与 Q方向一致
?切应力研截面宽度
方向均匀分布。
弹性力学指出：
对于 h>b 的矩形截
面上述假定足够准确
剩下的问题是,沿高度方向切应力如何分布？
40
矩形梁截面上的切应力
? 取微梁段 dx,左截面
mm,右截面 nn
? 应力分布如图
? 切应力沿截面高度
分布未知，
? 沿截面宽度方向
均匀分布
m n
m n
z
y
c a a a1
y
b 右截面
)(y?
从微梁段上再取
下面一段
41
N1,N2,正应力在左
右两截面上的合力
N1
c
aa1
m
n
c1
m1
)(y?
)(y?
N2
dxb静力平衡方程：
21 )( NdxbyN ???? ?
m n
m n
z
y
c a a a1
y
b 右截面
)(y?
42
计算 N1,N2
*
z
z
A
z
A
S
I
)dMM(
dA
I
y)dMM(
dAN
*
*
?
?
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*
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**
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m n
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y
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y
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第七章 弯曲应力
Bending stresses
赠 言
前事之不忘，后事之师。
《战国策 ·赵策》
欲穷千里目，更上一层楼。
王之涣《登鹳雀楼》
2
上一章学习了 弯曲内力 —— 弯矩、剪力
（计算内力、画内力图）
目的,为解决弯曲强度“铺路”
地球上的人造结构,弯曲现象最常见,
太重要了！
如何解决 弯曲强度问题？
3
为此，请回顾一下以往的强度问题
拉压、扭转 —— 由 应力 算 强度（已清楚）
弯曲 —— 应力（不了解）
如何求出弯曲应力？
子曰：,温故而知新，可以为师矣。,
,论语,为政篇第二》
4
弯曲 弯矩 M
剪力 Q？
拉（压） 轴力 N
A
N??
应力内力变形形式 构件
扭转 扭矩 T
pI
rT ??
5
通过温故，启迪了知新的思路 ——
应力从内力出发
亦即
由 弯曲内力 求 弯曲应力
弯曲问题的整个分析过程：
弯曲内力 弯曲应力 弯曲变形
强度问题
刚度问题
6
本章主要内容
7.1 弯曲正应力
7.2 弯曲正应力强度条件
7.3 弯曲切应力及强度条件
7.4 弯曲中心
7.5 提高弯曲强度的一些措施
这一堂课先效仿前人，探求出来 弯曲正应力
公式，然后解决弯曲正应力 强度问题
7
知道公式会用，不知推导，行不行？不行。
为了由 温故 —— 知新, 到 温故 —— 创新； 因此要做到
第一个层次：
把前人的推导作为 创新的案例,予以特别重视，
去 体会 如何提出和解决问题。
第二个层次：
置身历史当中,想象自己如同前人那样去研究，
学会 由无到有地去发现知识。
于是，创新能力的培养得以落实，你 将来会解决新问题！
8
7.1 弯曲正应力 Normal stress in bending beam
Q
M 梁段
横截面上内力
切应力和正应力的分布函数不知道,2个方程确定不了
切应力 无穷个 未知数、正应力 无穷个 未知数,实质是
超静定问题
解决之前，先简化受力状态 —— 理想模型方法
??
A
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A
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横截面上正应力横截面上切应力
?
y
z
?
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横力弯曲与纯弯曲
横力弯曲 ——
剪力 Q不为零
（ Bending by
transverse force ）
例如 AC,DB段
纯弯曲 ——
剪力 Q＝ 0且
弯矩为常数
（ Pure bending ）
例如 CD段
10
以 纯弯曲梁 为对象
研究横截面上的 正应力 分布规律
1、静力平衡（不足）
2、变形几何（补充）
3、本构关系（沟通）
研究思路：温故 —— 创新
回忆 拉压 杆、圆轴 扭转 问题的研究
11
梁横截面上的 静力平衡 方程
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A
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A
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MdAyM
A
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y
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正应力分布不清楚 —— 正应力 无穷个 未知数
3个方程解不出来
静力不足变形补 —— 下面研究 梁变形几何关系
12
研究对象：等截面直梁
研究方法：实验 —— 观察 —— 假定
变形几何关系的建立
13
实验观察 —— 梁表面变形特征
以上是 外部 的情况,内部 如何？
想象 —— 梁变形后，其横截面仍为平面，且垂直
于变形后梁的轴线，只是绕梁上某一轴转过一个角度
透明的梁就好了，我们用计算机模拟 透明的梁
?横线仍是直线，但发生
相对转动，仍与纵线正交
?纵线弯成曲线，且梁的
下侧伸长，上侧缩短
14
15
总之,由外部去
想象内部 —— 得到
梁弯曲假设,
?横截面保持为平面 ——
变形后，仍为平面，且垂直
于变形后梁的轴线，只是绕
梁上某一轴转过一个角度
?纵向各水平面间无挤压 ——
均为单向拉、压状态
16
17
弯曲中
梁的 中性层 neutral surface —— 既不伸长又不缩短的纵面
截面的 中性轴 neutral axis —— 中性层与横截面的交线
18
y
z
x
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直线段 aa 变为曲线
弧长为：
线应变为
dx
dx )(???
纯弯中，纵向线应变沿
截面高度线性分布
? 为曲率半径 radius of curvature
?/1 为曲率 curvature???
???? y
d
ddy ???? )(
19
纯弯中，纵向 线应变为：
?
? y?
这是 变形几何 方程 —— 对 静力平衡 方程的补充
可是二者表达的变量并不相同，怎么办？
还是拉压、扭转给我们启迪：
用 本构关系 沟通 静力平衡 方程 和 变形几何 方程
即采用
郑玄（ 127-200 ） - 胡克 （ R,Hooke,1635-1702） 定律
20
本构关系的运用
?
? y?
yEE
?
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梁截面上正应力
1、沿 y 轴线性分布
2、与 z 坐标无关
3、与 x 坐标呢？ （课后思考）
z
y什么地方最大，什么地方最小？
为了从这个 梁横截面（ cross section） 应变分布
得到 正应力分布 规律，启用本构关系
21
体现了 本构 与 变形 代入 静力 方程中
yE?? ?
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A
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纯弯曲梁正应力公式的得到
y
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22
y
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类似扭转切应力公式
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M ?? ???
m a xtm a x
z
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y
I
M
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实验力学 验证, 弹性力学 印证 了公式的精确性
非常成功！
23
注意 —— 对弯曲应力线性分布的认识，得之不易
y
I
M
z
??
伽利略（ G.Galiieo,1564-1642） 的研究中认为：
弯曲应力是均匀分布的
（《两门新科学的对话,1638年出版 ）
因而得不到正确的公式
大科学家有时也弄错
24
正应力计算公式适用范围
yIM
z
??
?横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立
但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于 5（即为细长梁）时
弹性力学指出：上述公式近似成立
?截面惯性积 Iyz = 0
?推导时用到郑玄 -胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
s?? ?m a x s?? ?m a x
25
方法总结
（ 1）理想模型法,纯弯曲（剪力为零，弯矩为常数）
（ 2）“实验 — 观察 — 假设”法,梁弯曲假设（横、纵面）
（ 3）白箱法（“层层剥笋”法）：
外力 内力
平衡（力学）
本构（物理）
变形（几何）
（ 4）超静定解法
微分 单元体
积分 应力合成内力
横力弯曲
应力
（ 5）数学方法
（多学科综合法）
26
7.2 弯曲正应力强度条件
y
I
M
z
??
z
m a x
m a x
z
m a x
m a x W
My
I
M ???
m a x
z
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IW ?
Strength criterion of normal stress in bending
称为截面 抗弯模量，单位,m3,mm3
27
][m a x ?? ?
强度条件
][ cm a xc ?? ?
][ tm a xt ?? ?
宽 b,高 h的矩形
6
2
2
12
3 bh
y
I
W
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bh
m a x
z
z ???
直径为 d的圆截面
32
3d
W z ??
脆性材料梁，因其抗拉强度和抗压强度相差甚大
故要对最大拉应力点和最大压应力点分别校核强度：
轧制型钢（工字钢、槽钢等）的 WZ 从型钢表中查得
28
弯曲应力例题
例 1 简支梁
求：
（ 1） 1— 1截面上 1,2两点的
正应力；
（ 2）此截面上的最大正应力；
（ 3）全梁的最大正应力；
（ 4）已知 E = 200 GPa，
求 1— 1截面的曲率半径。
q=60kN/m
A B
1m 2m
1
1
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2 求应力
解,1 画 M 图求有关弯矩
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1 2
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M Pa6.921048.6 60 41m a x1 ????
zW
M?
m4.1 9 41060 8 3 2.52 0 0
1
1 ??
???
M
EI z?
M Pa2.1041048.6 5.67 4m a xm a x ????
zW
M?
3 求曲率半径
31
例 2 外伸梁
T形梁截面，用铸铁制成，
mmymmymmI z 60,140,100.4 2147 ????
M P aM P a ct 100][,35][ ?? ??
校核梁的强度。
C
y2
y1
2m
q=10kN/mA
DB E
P＝ 20kN
2m 2m
32
解,（ 1） 梁的内力分析，找出危险截面
q=10kN/mA
DB E
P＝ 20kN
5kN 35kN
A DB E
10kN*m
20kN*m
(-)
(+)
包含反力的
全部外载荷
画弯矩图：
可省去制表
危险截面：
B,D？
33
（ 2） 找出危险截面上的危险点
危险点：
a,b,d
C
y2
y1
A DB E
10kN*m
20kN*m
(-)
(+)
B截面 D截面
压应力
拉应力
a
b
e
d
拉应力
压应力
y
I
M
z
??
34
（ 3）计算 危险点应力
校核强度
（拉）M P a
I
yM
z
B
a
30
2
?
???
（压）M P a
I
yM
z
B
b
70
1
??
??
（拉）M P a
I
yM
z
d
d
35
1
?
??
最大压应力：
][70m a x cbc M P a ??? ????
最大拉应力：
][35m a x tdt M P a ??? ???
梁的强度符合要求
B截面 D截面
压应力
拉应力
a
b
e
d
拉应力
压应力
35
习题,7.5; 7.9; 7.11; 7.16
36
思考题
1、弯矩和剪力分别由什么应力组成?
2、研究梁的正应力的基本思路是什么？
3、什么是梁的中性层、中性轴？证明矩形梁的中
性轴必通过横截面的形心。
4、什么是梁的曲率？它与什么有关？抗弯刚度越
大曲率半径也越大，抗弯刚度越小曲率半径也
越小，对吗？为什么？
37
6、写出截面抗弯模量的数学式，对圆截面，抗弯和
抗扭截面模量有何关系？
7、总结材料力学解决应力问题的一般方法和步骤。
8、由直径为 D的圆木切割出 一矩形梁，求出 使梁的
强度最大的高宽比。
5、叙述纯弯曲梁的正应力公式使用条件和范围
可否推广到一般梁？
38
?正应力公式仍然适用
?假定切应力在横截面上的分布规律，然后
根据平衡条件导出切应力的计算公式
?不再用变形、物理和静力关系进行推导
7.3 弯曲切应力及其强度条件
纯弯曲 （ M＝ const.,Q=0) —— 只有正应力，无切应力
横力弯曲 ( M,Q均不为零） —— 一般情况，有正应力和
切应力
研究方法
研究对象 ?矩形梁截面
?工字形梁截面
?圆形梁截面
?其它形状
39
矩形梁截面上的切应力
假定：
?截面上各点切应力
方向与 Q方向一致
?切应力研截面宽度
方向均匀分布。
弹性力学指出：
对于 h>b 的矩形截
面上述假定足够准确
剩下的问题是,沿高度方向切应力如何分布？
40
矩形梁截面上的切应力
? 取微梁段 dx,左截面
mm,右截面 nn
? 应力分布如图
? 切应力沿截面高度
分布未知，
? 沿截面宽度方向
均匀分布
m n
m n
z
y
c a a a1
y
b 右截面
)(y?
从微梁段上再取
下面一段
41
N1,N2,正应力在左
右两截面上的合力
N1
c
aa1
m
n
c1
m1
)(y?
)(y?
N2
dxb静力平衡方程：
21 )( NdxbyN ???? ?
m n
m n
z
y
c a a a1
y
b 右截面
)(y?
42
计算 N1,N2
*
z
z
A
z
A
S
I
)dMM(
dA
I
y)dMM(
dAN
*
*
?
?
?
?
?
?
? ?2
*
z
z
A
z
A
S
I
M
dA
I
My
dAN
*
*
?
?
?
?
? ?1
21 )( NdxbyN ???? ?
Q
bI
S
dx
dM
bI
Sy
z
z
z
z
**
)( ???
m n
m n
z
y
c a a a1
y
b 右截面
)(y?
