1
第六章 弯曲内力 (Bending forces)
赠言
不积跬步，无以至千里；不积小流，
无以成江海。
《荀子 · 劝学》
2
构件 Component,Structural member
杆 bar 梁 beam
拉压杆：承受轴向拉、压力
扭 杆：承受扭矩
梁：承受横向力
为什么梁特别重要？ 地球引力场方向 + 人类需要空间
（另作功能） = 力转 90度传到支座（垂直轴线）
墙
楼板
桥板
3
常用梁截面 纵向对称面
平面弯曲概念
纵向对称面P1 P2 变形前P1 P2
变形后
4
梁载荷的分类
q q(x)
均匀分布载荷
线性（非均匀）
分布载荷
P
集中 力
T
T
集中力偶 T
分布载荷
载荷集度 q(N/m)
5
固定铰支座 (pin support)
滚动铰支座 (roller support)
固定支座 （ fixed support)
XA
YA
YA
YA
XA
支座种类 支座反力
MA
A
A
A
6
简支梁 Simple beam,
Simply supported beam
A B
P2P1
YA YB
XA
梁的种类
悬臂梁 Cantilever beam
A BP1 P2
MA YA
XA
P1 P2
外伸梁 Beam with an overhang (overhangs)
A B
C
YA YB
XA
7
6-1 梁的内力（剪力 Shear force和弯矩 Bending moment）
PQ
Pm
n
x
l 力矩平衡,M + P(l-x) = 0
剪力,Q = P
弯矩,M = - P(l-x)
剪力、弯矩正负号的含义
力平衡,Q - P = 0
M
（按左半边梁，能算出 Q,M吗？）
Q M
8
剪力、弯矩的符号约定
+
Q
Q
顺时针转为正
-
Q
Q
逆时针转为负
上压下拉为正
+
M M
上拉下压为负
-
M M
9
例 题
A B C
2qa q
a a
求 A截面右侧,B截面
左右侧的 剪力 和 弯矩
? ???? 00 qaYY,Y BA
? ??????? 0230 2qaaqaaY,M BA
?
?
?
?
?
?
??
qaY
qaY
B
A
2
5
2
3
(负号表明力方向与标注相反）
（ 1）计算支反力
解,q
YA YB
A B C
2qa
a a
10
（ 2）计算各截面内力
A右截面 B左截面 B右截面
0
0
2 ??
??
右
右
A
AA
Mqa
QY
0
0
2 ???
??
左
左
BA
BA
MaYqa
QY
0
2
1
0
???
??
aqaM
qaQ
B
B
右
右
??
?
?
?
?
???
2
2
3
qaM
qaYQ
A
AA
右
右
?
?
?
?
?
??
???
2
2
1
2
3
qaM
qaYQ
B
AB
左
左
??
?
?
?
??
?
2
2
1 qaM
qaQ
B
B
右
右
A
YA
2qa
MA右
QA右
A
YA
2qa B
a
MB左
QB左
B
C
q
a
MB右
QB右
11
6-2 剪力、弯矩函数和剪力、弯矩图
Pm
n
x
l
剪力函数,PQ ?
弯矩函数：
)( xlPM ???
Pl?
（ -）
弯矩图
PQM
M
Q
（ +）
剪力图
P
12
q
m
n
x
l
)( xlqQ ??
2)(
2
1
2)( xlq
xlxlqM ???????
剪力图
ql
（ +）
弯矩图
2
2
1 ql? （ -）
QxlqdxdM ??? )( qdxdQ ??
QM
M
Q
13
6-3 载荷集度 Distributed load,剪力、弯矩的微分关系
Defferential relationship (三函数关系）
)(xq
P 0M
x
为什么后两个梁微元用 M1,Q1,而不用 dM,dQ？
P
dx 1QQ?
Q 1MM ?
M
0M
dx
1MM ?
M
Q
1QQ?dx dQQ?Q
)(xq
M dMM ?
14
0???? dQQq d xQ
02 ????? Q d xdMMdx)qdx(M
qdxdQ ?
QdxdM ?
qdxdQdx Md ??2
2
q
l
指明弯矩图凹凸方向
ql(+)剪力图
斜率为 q
2
2
1ql
(+)
弯矩图
斜率为 0
斜率最大
q为正，弯矩图凹口向上
dx dQQ?Q
)(xq
M
dMM ?
15
01 ???? QQPQ
010 ????? Qd xMMMM
02 1 ????? Q d x)MM(dxPM
PQ ?1
dxQQdxPM )(2 11 ????
00 1 ?? M,dx
01 ??? QQQ 01 ?Q
Q d xMM ?? 01
010 MM,dx ??
在力偶作用点，弯矩突变！剪力不变
在集中力作用点，剪力突变！弯矩不变
0M
dx
1MM ?
M
Q
1QQ?
P
dx 1QQ?
Q 1MM ?
M
16
例题
YB
A B
简支梁
YA
q
a a
C D
xD
作剪力图和弯矩图
STEP 1,求反力
0
2
1
2
0
????
???
aqaaY
qaYY
A
BA
qaY
qaY
B
A
4
3
4
1
?
?
STEP 2,分段求值
截面
Q
M
A右 C B左
241 qa
qa43?
0 0
qa41qa
41
17
STEP 3,作剪力图和弯矩图
AC段：
0?? qdxdQ
CB段：
qdxdQ ??
qa
qa
a
x D 43?
水平线
下斜直线
A
qa41
C
（ +） B
D
qa43?
xD
（ -）
截面
Q
A右 C B左
qa41 qa41 qa43?
ax D 43?
18
AC段：
qaQdxdM 41??
CB段：
qdxMd ??2
2
二次曲线
在 D处,M取极值
QdxdM ?
上斜直线
A C
B
D
2
329 qa241 qa
ax D 43?
（ +）
A
qa41
C
B
D
qa43?
xD（ +）
（ -）
截面
M
A右 C B左
241 qa0
0
上凸曲线
0?? QdxdM
19
6-4 平面刚架 Plane frame
的内力图 Internal force
刚性结点的特点：
1、外力作用下夹角不变
2、能传递力和力矩
STEP 1,求反力
021,0 ?????? aYaqaM AC
刚性结点
AY
CX
CY
q
AB
C
a
a
qaY A 21?
?
?
?
?
0
0
y
x
F
F qaXqaY
CC ???,2
1
20
STEP 2,分段求值
AB段：
0
2
1
2
1
1
11
1
?
?
??
N
qa xM
qaQ
BC段：
qaN
qxqaxM
qxqaQ
2
1
2
1
2
2
222
22
?
??
??
A
qa
q
B
C
a
a
qa21
qa21
1x
2x
21
AB段,0
2
1
2
1
1111 ???? N,q a xM,qaQ
BC段：
qaN,qxqaxM,qxqaQ 2121 2222222 ?????
STEP 3,作内力图
规定 —— 正内力画在刚架外侧或
上侧，负内力反之；注明正负号
qa21
（ +）
N图 AB
C
在该观察点，
内力正负号
约定同梁。
1x
qa
q
AB
C
a
a
qa21
qa21
2x
2
2
1qa
2
2
1qa
（ +）
（ +）
M图
qa
qa21
（ -）
（ +） Q图
22
6-5 叠加原理
21 ??? ??
=
+
21 MMM ?? 21 QQQ ??,..
1?
1P 2P
2?
1P 2P
?
23
叠加原理：
几个载荷共同作用的效果，等于
各个载荷单独效果之和
叠加原理成立的前提条件：
（ 1）小变形
（ 2）材料满足郑玄 —— 虎克定理（线性本构关系）
“效果” ——
指载荷引起的反力、内力、应力或变形
“之和” —— 代数和