第十一章 组合变形
Combined Deformation
赠 言
君子强学而力行。
扬雄, 法言 · 修身,
操千曲而后晓声，观千剑而后识器。
刘勰, 文心雕龙 ·知音,
概 述
§ 11.1 斜弯曲
§ 11.2 拉 (压 )与弯曲的组合
§ 11.3 弯曲与扭转的 组合
一、组合变形
在复杂外载作用下，构件的变形常包含几种简单
变形，当它们的应力属同一量级时，均不能忽略，变
形可以看成简单变形的组合，称为组合变形
M
P
R
z
x
y
P
P
P
hg
水坝
q
P
hg
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
前提：线弹性，小变形
（ 1）外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解
（ 2）内力分析：求每个外力分量对应的内力图，确
定危险面
（ 3）应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立
危险点的强度条件
一、斜弯曲
杆件在通过横截面形心的外载下产生弯曲变形
二、斜弯曲的研究方法
1.分解：外载沿横截面的两个形心主轴分解，得到两个
正交的平面弯曲
x
y
z P
y
Pz
P
Pz
Py
y
z
P
j
§ 11.1 斜弯曲
2.叠加
研究两个平面弯曲；然后叠加计算结果
x
y
z P
y
Pz
P
Pz
Py
y
z
P
j
js i nPP y ? jc o sPP z ?
解,1.将外载沿横截面的形心主轴分解
2.分别研究两个平面弯曲
（ 1）内力
jj M s i n x ) s i nP( Lx ) (LPM yz ?????
jc o sMM y ?
Pz
Py
y
z
P
j
x
y
z P
y
Pz
PL
m
mx
j? c o s
I
M
I
zM
yy
y z?????
j? s i nI MI yM
zz
z y??????
)s i nI yc o sI z(M
zy
jj??? ????????
（ 2）应力
M z引起的应力
合应力
L
Pz
Py
y
z
P
j
x
y
z P
y
Pz
PL
m
mx
My引起的应力
（ 4）最大正应力
（ 5）变形计算
000 ???? )s i nIyc o sIz(M
zy
jj?
（ 3）中性轴方程
j? c t gIIzytg
y
z??
0
0
可见：仅当 Iy = Iz，中性轴与外力才垂直
距中性轴的两侧最远点为拉压最大正应力点
1Dm a xL ?? ? 2Dm a xy ?? ?
22
zy fff ??
z
y
f
ftg ??
当 j = ? 时，即为平面弯曲
Pz
Py
y
z
P
j
D1
D2
?
中性轴
f
fz
fy
?
例 力 P过形心且与 z轴成 j角,求梁的最大应力与挠度
最大正应力 变形计算
2
1
D
y
y
z
z
Dm a xL
W
M
W
M
?
??
???
??
2
3
2
3
22
33
)
EI
LP
()
EI
LP
(
fff
y
z
z
y
zy
?
???
j? tgIIfftg
z
y
z
y ??当 I
y = Iz时，发生平面弯曲
解：危险点分析如图
f
fz
fy
?
y
z
L
x
Py
Pz
P
h
b P
z
Py
y
z
P
j
D2
D1
?
中性轴
例 2 矩形截面木檩条跨长 L=3m,均布力集度为 q=800N/m
[?]=12MPa,容许挠度,L/200, E=9GPa，选择
截面尺寸并校核刚度
N / m.s i nqq y 3 5 84 4 708 0 0 ???? ?
解：
? ??? ???
y
y
z
z
m a x W
M
W
M
N/ m.c o sqq z 7 1 58 9 408 0 0 ???? ?
NmLqM ym a xz 4038 33588
22
????
NmLqM zm a xz 8 0 48 37 1 58
22
????
? ?26° 34′
y zq
q
L
A B
一、拉 (压 )弯组合变形,杆件同时受横向力和轴向力的
作用而产生的变形P R
x
yz P
My
MzP
x
yz P
My
§ 11.2 拉 (压 )与弯曲的组合
P MZ My
A
P
xP ??
z
z
xM I
yM
z
???
y
y
xM I
zM
y
??
y
y
z
z
x I
zM
I
yM
A
P ????
二、应力分析：
x
yz P
My
Mz
000 ????
y
y
z
z
x I
zM
I
yM
A
P?
四、危险点
（距中性轴最远的点）
三、中性轴方程
对于偏心拉压问
题
01
2
0
2
0
2
0
2
0
???
???
)
i
zz
i
yy
(
A
P
Ai
zPz
Ai
yPy
A
P
y
P
z
P
y
P
z
P
y
y
z
z
m a x W
M
W
M
A
P ????
y
y
z
z
m a x W
M
W
M
A
P ????
01 2 02 0 ???
y
P
z
P
i
zz
i
yy
中性轴
y
z
五、（偏心拉、压问题的）截面核心：
ay
az 01 2 ??
z
yP
i
ay
01 2 ??
y
zP
i
az
已知 ay,az 后
当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力
可求 P力的一个作用点
),( PP yz
01 2 02 0 ???
y
P
z
P
i
zz
i
yy
中性轴 ),( PP yzP
截面核心
M P a..,APm a x 75820203 5 0 0 0 02 ?????
???
11
1
z
m a x W
M
A
P?
M P a.
....
711
3020
650350
3020
350000
2
?
?
??
?
?
解,两柱均为 压应力
例 图示力 P=350kN，求出两柱内的绝对
值最大正应力
P
300
200
P
200 M
P
Pd
mmz C 51020101 0 0 201020 ???? ???
2
3
51 0 010121 0 010 ?????
Cy
I
4mm.
][
5
2
3
10277
252010
12
2010
??
???
?
?
例 钢板受力 P=100kN,求最大正应力；若将缺口移至
板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度
为多少？ 解,挖孔处的形心
NmPM 5 0 0105 3 ??? ?
P
P
P
P
M
N
20 10020
y
z
yC
P
P
M
N yc
m a x
m a x I
zM
A
N ???
M P a.,81 6 28371 2 5 ???
7
3
6
3
10277
10555 0 0
108 0 0
101 0 0
?
?
? ?
???
?
??
.
孔移至板中间时
)x(mm.
.
NA 2
m a x
???
?
??? 100109631
108162
10100
6
3
?
mm.x 836??
20 10020
y
z
yC
M P a..W T
n
735107 0 0 016 3 ????? ??
M P a.
.A
P
376
10
10
504 3
2
?
?
?
?
??
?
?
解,拉扭组合,危险点 应力状态如图
例 圆杆直径为 d = 0.1m,T = 7kNm,P = 50kN
[? ]=100MPa,按 第三强度理论校核强度
故安全
223 4 ??? ???
?
?
A
A P
P
T
T
§ 11.3 弯曲与扭转的 组合
FP
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?? ?2132322214 21 ??????? ???????
][ ??? ??? 22 3
][ ?????? ?????? 22313 4
?
?
?
?
?
D2
O
D1
3? 1?
?
221 22 ???? ????? ）（半径心标 //
22
3 22 ???? ????? ）（半径心标 //