第一章 多项式
第一章 多项式
§ 1.1 数环和数域
研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的
范围，学习数学也是如此。
比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、
有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分
解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
2 2x ? 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
就可以分解。
2 10x ?? 在实数范围内没有根，在复数范围内就
有根。等等。
第一章 多项式
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数
范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做
这样的限制。
在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减
乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中
代数运算,设 A是一个非空集合，定义在 A上的一个代数运算
是指存在一个法则，它使 A中任意两个元素
都有 A中一个元素与之对应。
AA?
（即运算是否封闭）。
运算封闭,如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在
这个集合中, 则称该集合对这个运算封闭。
例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个
整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、
乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集
对加、减、乘、除（除数不为 0）四种运算都封闭。
同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算
都封闭。
第一章 多项式
根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：
数环和数域。
一、数环
设 S是由一些复数组成的一个非空集合，
如果对,a b S??,总有,,a b a b a b S? ? ? ?
则称 S是一个数环。
整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R，复数集
C都是数环。
例如：
1、除了 Z, Q,R,C外是否还有其他数环？问题：
2、有没有最小的数环？
例 1：设 a是一个确定的整数。令 ? ?S n a n Z??
定义 1：
第一章 多项式
则 S是一个数环。
特别，当 a=2时,S是全体偶数组成的数环。
当 a=0时,? ?0S ?,即只包含一个零组成的数
环，这是最小的数环，称为零环。
问题,3、一个数环是否一定包含 0元？
4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的
数环？
例 2：证明 ? ? ? ?
2,,1Z i a b i a b Z i? ? ? ? ?
是一个数环。
问题,5、除了定义之外，判断一个集合是数环
有没有其他简单的方法？
第一章 多项式
定理 1.1.1,设 S是一个非空数集,S是数环的充
要条件是 S中任两个数的差和积仍在 S中。
二、数域
定义 2,设 F是一个含有不等零的数的数集，如果 F
定义 2?, 设 F是一个数环，如果 ① F内含有一个非
,,a b F?? 0b?零数； ② 对 且,则 a b F?
则称 F是一个数域。
有理数集 Q，实数集 R，复数集 C都是数域，例如：
则称 F是一个数域。
中任两个数的和、差、积、商（除数不为 0）仍在 F中，
且是三个最重要的数域。
第一章 多项式
问题,6、数域与数环之间有什么关系？例 2中的数
集是不是数域？
7、除了 Q,R,C外，是否还有其他的数域？
例 3：证明 ? ? ? ?2 2,Q a b a b Q? ? ?是一个数域。
证明要点：
02 cdQ d? ? ? ?
设 2 0 2 0c d c d? ? ? ? ?（否则当 00dc? ? ? 矛盾；
当,也矛盾）。于是
? ? ? ?
? ? ? ? 1 1 1 1
222
2,,
2 22
a b c dab
a b a b Q
cd c d c d
???
? ? ? ?
? ??
先证 ? ?2Q 有一个非零元 1 1 0 2??
对加、减、乘封闭。再证除法封闭：
，
第一章 多项式
8、一个数域必包含哪两个元素？问题：
9、最小的数域是什么？
定理 1.1.2,任何数域都包含有理数域 Q。
证明：设 F是一个数域，则,0,a F a? ? ?
于是 0,1,a a F a a F? ? ? ? ?
1 1 2,1 2 3,1 3 4,,NF? ? ? ? ? ? ? ?L
0 1 1,0 2 2,0 3 3,,ZF? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L
对,0,,,,ax Q x x a b Z
b? ? ? ? ?
故,.x F Q F??
10、在判断一个数集是不是数域时，实际上问题：
第一章 多项式
要检验几种运算？
设 F是一个含有非零数的数集，则 F定理 1.1.3：
问题,11、在 Q与 R之间是否还有别的数域？在 R与 C
之间是否有别的数域？
例：对任意素数 P,? ? ? ?,Q P a b p a b Q? ? ?
是一个数域。 ? ?Q Q P R??
在 R与 C之间不可能有别的数域。
设有数域 F，使 R F C??,故
,,,x F x R x C? ? ? ?设 x=a+bi，且 0b?
数不为零）仍属于 F。
是一个数域的充要条件是 F中任两个数的差与商（除
第一章 多项式
（若 b=0，则 x a R??,矛盾）。
,,,,,a b R a b F b i F b i b i F? ? ? ? ?Q 可见 F=C。
问题,12、设
1S
和
2S
是数环，试问
1 2 1 2,S S S SIU
是不是数环？若是，给出证明，
若不是举出反例。
若
1S
和 2S 是数域情况又如何？
? ? ? ?2 1 22,,3,S S a b a b Q S a b a b Q? ? ? ? ? ?U1S 不 是 数 域,反 例,
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两
个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。
（
12,FF
是数域，则
12FFU
是数域的充要条件是
12FF?
或
21FF?
）。
第一章 多项式
§ 1.1 数环和数域
研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的
范围，学习数学也是如此。
比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、
有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分
解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
例如
2 2x ? 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
就可以分解。
2 10x ?? 在实数范围内没有根，在复数范围内就
有根。等等。
第一章 多项式
我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数
范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做
这样的限制。
在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减
乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中
代数运算,设 A是一个非空集合，定义在 A上的一个代数运算
是指存在一个法则，它使 A中任意两个元素
都有 A中一个元素与之对应。
AA?
（即运算是否封闭）。
运算封闭,如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在
这个集合中, 则称该集合对这个运算封闭。
例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个
整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、
乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集
对加、减、乘、除（除数不为 0）四种运算都封闭。
同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算
都封闭。
第一章 多项式
根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：
数环和数域。
一、数环
设 S是由一些复数组成的一个非空集合，
如果对,a b S??,总有,,a b a b a b S? ? ? ?
则称 S是一个数环。
整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R，复数集
C都是数环。
例如：
1、除了 Z, Q,R,C外是否还有其他数环？问题：
2、有没有最小的数环？
例 1：设 a是一个确定的整数。令 ? ?S n a n Z??
定义 1：
第一章 多项式
则 S是一个数环。
特别，当 a=2时,S是全体偶数组成的数环。
当 a=0时,? ?0S ?,即只包含一个零组成的数
环，这是最小的数环，称为零环。
问题,3、一个数环是否一定包含 0元？
4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的
数环？
例 2：证明 ? ? ? ?
2,,1Z i a b i a b Z i? ? ? ? ?
是一个数环。
问题,5、除了定义之外，判断一个集合是数环
有没有其他简单的方法？
第一章 多项式
定理 1.1.1,设 S是一个非空数集,S是数环的充
要条件是 S中任两个数的差和积仍在 S中。
二、数域
定义 2,设 F是一个含有不等零的数的数集，如果 F
定义 2?, 设 F是一个数环，如果 ① F内含有一个非
,,a b F?? 0b?零数； ② 对 且,则 a b F?
则称 F是一个数域。
有理数集 Q，实数集 R，复数集 C都是数域，例如：
则称 F是一个数域。
中任两个数的和、差、积、商（除数不为 0）仍在 F中，
且是三个最重要的数域。
第一章 多项式
问题,6、数域与数环之间有什么关系？例 2中的数
集是不是数域？
7、除了 Q,R,C外，是否还有其他的数域？
例 3：证明 ? ? ? ?2 2,Q a b a b Q? ? ?是一个数域。
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对加、减、乘封闭。再证除法封闭：
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第一章 多项式
8、一个数域必包含哪两个元素？问题：
9、最小的数域是什么？
定理 1.1.2,任何数域都包含有理数域 Q。
证明：设 F是一个数域，则,0,a F a? ? ?
于是 0,1,a a F a a F? ? ? ? ?
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10、在判断一个数集是不是数域时，实际上问题：
第一章 多项式
要检验几种运算？
设 F是一个含有非零数的数集，则 F定理 1.1.3：
问题,11、在 Q与 R之间是否还有别的数域？在 R与 C
之间是否有别的数域？
例：对任意素数 P,? ? ? ?,Q P a b p a b Q? ? ?
是一个数域。 ? ?Q Q P R??
在 R与 C之间不可能有别的数域。
设有数域 F，使 R F C??,故
,,,x F x R x C? ? ? ?设 x=a+bi，且 0b?
数不为零）仍属于 F。
是一个数域的充要条件是 F中任两个数的差与商（除
第一章 多项式
（若 b=0，则 x a R??,矛盾）。
,,,,,a b R a b F b i F b i b i F? ? ? ? ?Q 可见 F=C。
问题,12、设
1S
和
2S
是数环，试问
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是不是数环？若是，给出证明，
若不是举出反例。
若
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和 2S 是数域情况又如何？
? ? ? ?2 1 22,,3,S S a b a b Q S a b a b Q? ? ? ? ? ?U1S 不 是 数 域,反 例,
两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两
个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。
（
12,FF
是数域，则
12FFU
是数域的充要条件是
12FF?
或
21FF?
）。
