§ 1.11 对称多项式
第一章 多项式
对称多项式是多元多项式中常见的一种，也是一
类比较重要的多元多项式，它的应用比较广泛，对称
多项式的来源之一以及它应用的一个重要方面，是一
元多项式根的研究，下面我们从一元多项式的根与系
数的关系谈起。
设 ? ? 1
1nn nf x x a x a?? ? ? ?L
是 ? ?Fx 的一个多项式，
如果 ? ?fx 在 F中有 n个根
12,,,n? ? ?L
（重根按重数计算），
则 ? ?fx 可分解为 ? ? ? ? ? ? ? ?
12,nf x x x x? ? ?? ? ? ?L
把上式展开，比较两边系数，
得根与系数关系如下：
第一章 多项式
? ?
? ?
12
1 1 2
2 1 2 1 3 1
12
,
,
1
1
j
i
n
nn
ki
i k k k
n
nn
a
a
i
a
a
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ? ? ??
?
? ? ? ?
?
?
?
?
??
?
?? ??
?
??
?
?
?
???
?
?
L
L
LLLLL
L
LLLLL
L
所 有 可 能 的 个 不 同 的 的
乘 积 之 和
由此看出，多项式的系数是对称地依赖于方程
的根的，改写上述方程组得
第一章 多项式
1 1 2
2 1 2 1 3 1
12
,
,
n
nn
nn
x x x
x x x x x x
x x x
?
?
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ??
L
L
LLLL
L
— （ 1）
所得 n个 n元多项式是对称地依赖于文字 12,,,nx x xL
下面给出对称多项式的概念。
定义 1.11.1,? ?1,,,nf x xL对于 n元多项式
如果对任意的,,1,i j i j n? ? ?
都有 ? ? ? ?
11,,,,,,,,,,i j n j i nf x x x x f x x x x?L L L L L L
则称这个多项式为对称多项式。
第一章 多项式
例如,? ? 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 2 3 2 3,,f x x x x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?
是一个三元对称多项式，
? ? 2 2 21 1 2,,nnf x x x x x? ? ? ?LL
是一个 n元对称多项式。
都是 n元对称多项式，（ 1）中的 1,,n??L
称为初等对称多项式。
并非每一个多项式都是对称多项式，
例如 ? ? 3
1 2 3 1 2 3,,f x x x x x x??
这时
? ? ? ?333 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 3,,,,f x x x x x x x x x f x x x? ? ? ? ?
第一章 多项式
由定义可以推出：
1、两个 n元对称多项式的和、差、积仍是 n元
对称多项式；
2、如果一个对称多项式 ? ?1,,nf x xL 含有一项
1212,nkkk na x x xL 则 ? ?1,,nf x xL
也一定含有一切形如
1212i i ink k kna x x xL 的项。这里 ? ?12,,,i i ink k kL 是
? ?12,,,nk k kL 的任意一个排列；
3、如果 12,,,mf f fL 是 n元对称多项式，而
? ?12,,,ng y y yL 是任一多项式，那么
? ? ? ?1 2 1,,,,,mng f f f h x x?LL是 n元对称多项式。
第一章 多项式
在对称多项式的理论中，初等对称多项式占有
一个很重要的地位。下面将要证明，每一个 n元对
称多项式都可以唯一地表示成初等对称多项式
12,,,n? ? ?L
的多项式。这是对称多项式的基本定理。
下面不加证明给出一个引理。
引理 1.11.1：设 ? ?
12
121 1 2,,
n
n
iiin i i i nf x x a x x x? ? LLL
是数域 F上一个 n元多项式，以
i?
代替,1,
ix i n??
得关于
1,,n??L
的一个多项式
? ? 12121 2 1 2,,,,nn iiin i i i nfa? ? ? ? ? ?? ? LLL
如果 ? ?
12,,,0,nf ? ? ? ?L
则有 ? ?
12,,,0,nf x x x ?L
第一章 多项式
定理 1.11.1：
数域 F上每个 n元对称多项式 ? ?
12,,,nf x x xL
都可以表成关于初等对称多项式
12,,,n? ? ?L
的多项式
? ?12,,,ng ? ? ?L 且这种表示方法是唯一的。
证明：
1、设对称多项式 ? ?1,,nf x xL 按字典排列的首项是
1212 nkkk nx x xL
— （ 2）
则这一项的幂指数
12,,,nk k kL
必满足不等式：
12,nk k k? ? ?L
第一章 多项式
不然，设有某个 i，使
1.iikk??
由于 ? ?
1,,nf x xL
是对称多项式，故 ? ?
1,,nf x xL
也含有项 11
11i i nk k kk i i nax x x x? ?LL
— （ 3）
而按字典排列法，（ 3）项应在（ 2）项之前，
这与（ 2）项是首项矛盾。
2、令 2 3 1121 1 2 1n n nk k k k kkk nnga ? ? ? ????? ?? L
由
12 nk k k? ? ?L
知，每一个 i? 的幂指数都是非负
整数，而作为一些初等对称的幂的乘积,1g 是
1,,nxxL
的一个对称多项式，
1g
的首项是
第一章 多项式
? ? ? ? ? ?2 3 1121 1 2 1 2 1 1 2n n nk k k k kkk nna x x x x x x x x x???? ?L L L
1111,i i nk k kk i i nax x x x? ?? LL
它等于 f的首项。因此令
11.f f g??
1f 是一个 n元对称多项式，且 1f
的首项，对
的首项小于 f
1f
对称多项式
重复上述消去首相的方法，我们得到
2 1 2,f f g?? 2g
是 F上的初等对称多项式的
幂的乘积,2f 的首项小于 1f 的首项。
如此继续作下去，这个过程一定在有限步后终
止，即存在一个自然数 m，使 0.mf ?
第一章 多项式
这是因为，若
1212 nlll nbx x xL — （ 4）
是某个
if
的首项。
由于
if
是对称多项式。所以这一项的幂指数
12,,,nl l lL
必须满足不等式
12,nl l l? ? ?L
另一方面，（ 4）项小于项（ 2），故
11kl?
且
1,2,,.ik l i n?? L
1k
是有限数，满足这样的数组只能是有限多组。
因此经过有限步后，必有一 0,
mf ?
于是我们得一串等式
11f f g?? 2 1 2f f g??
LLL
1 2 1m m mf f g? ? ??? 10m m mf f g????
第一章 多项式
把这一串等式相加，即得 12 mf g g g? ? ? ?L
这里每一
ig
都是 F上关于初等对称多项式
i?
的幂的乘积，可是 f可以表成
12,,,n? ? ?L
的多项式。
下证表方法是唯一的。
如果多项式 ? ?
1,,nf x xL
有两种表达式：
? ? ? ?1 1 2,,,,,,nnf x x g ? ? ??LL
? ?12,,,.nh ? ? ?? L
? ?12,,,ng ? ? ?L 和 ? ?12,,,nh ? ? ?L 都是
12,,,n? ? ?L
的多项式。
? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2,,,,,,,,,0n n nu g h? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?L L L
第一章 多项式
由引理 1.11.1,? ?
1,,0nu x x ?L
故 ? ? ? ?
11,,,,.nng x x h x x?LL
因此 ? ? ? ?
1 2 1 2,,,,,,.nngh? ? ? ? ? ??LL
基本定理的证明同时给出一个用初等对称多
项式来表示对称多项式的方法。
例 1：用初等对称多项式表示 n元对称多项式
2 2 212 nf x x x? ? ? ?L
f的首项是 21,x 对应的 n元数组为 ? ?2,0,,0,L
故取 2 0 0 0 2
1 1 2 1ng ? ? ? ???? L
于是 ? ? 22 2 2
1 1 1 2 1 2nnf f g x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?LL
第一章 多项式
? ?1 2 12 nnx x x x?? ? ? ?L
22???
故 2
1 1 1 22f g f ??? ? ? ?
对于复杂的对称多项式，可以利用待定系数法来求。
设 1212 nkkk na x x xL 是 F上一个单项式，用符号
12
1
12
,,
n
n
kkk
n
xx
a x x x?
L
L
— （ 5）
表示这个单项式经过
12,,,nx x xL
的一切置换所得的所有不同项的和。
第一章 多项式
1、（ 5）式是一个对称多项式，并且是齐次的。
例如
1
2 2 2 2
1 1 2
,,n
n
xx
x x x x? ? ? ??
L
L
1
2 2 2 2
1 2 1 2 1 3 1
,,
2 2 2 2 2 2
2 1 2 3 2 1 2 1
n
n
xx
n n n n n
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
L
L
L L L
例 2：用初等对称多项式表示 n元对称多项式
1
22
12
,,nxx
f x x? ?
L
由定理 1.11.1的证明知道，所求的表示式的各项 ig
完全取决于相应的对称多项式
1,,ff L
的首项，
第一章 多项式
这些首项必须满足以下条件：
1,每个
if
的首项都小于 f的首项，如果 i>j，则
if
的首项小于
jf
的首项；
2,每一首项的指数组
12,,,nk k kL
满足不等式
12 ;nk k k? ? ?L
3,每一首项的次数都等于 4
（因为 f是一个四次齐式，因此每一 if
也是四次齐次）；
由 f的首项的指数组开始，写出满足上述条件
的一切可能的指数组，以及对应的 12,,,n? ? ?L
第一章 多项式
的幂的乘积，列表如下：
指数组 对应的
i?
的幂的乘积
2 2 0 0 0 0L 2 2 2 0 21 2 2? ? ??? ?
2 1 1 0 0 0L 2 1 1 1 1 01 2 3 1 3? ? ? ? ???? ?
11110 0L 1 1 1 1 1 1 1 01 2 3 4 4? ? ? ? ????? ?
于是多项式 f可以表成
22 1 3 4f a b? ? ? ?? ? ?
其中 a,b是待定系数，要确定 a,b的值，
只要对
12,,,nx x xL
取一些特殊值代入即可求出。
第一章 多项式
例如对例 2，可以先取 1 2 3 1,x x x? ? ?
4 0,nxx? ? ?L
对于这组值,3,f ? 而
1 2 3 43,3,1,0,? ? ? ?? ? ? ?
由于 3 9 3 a? ? ? 得 2a ??
再取
1 2 3 4 1,x x x x? ? ? ?5 0,nxx? ? ?L
这时 6,f ?
1 2 3 44,6,4,1,? ? ? ?? ? ? ?
故由 6 3 6 2 4 4 1b? ? ? ? ? ?得 2.b?
于是 2
2 1 3 422f ? ? ? ?? ? ?
2、如果所给的对称多项式不是齐次多项式，
则可以先把它写成一些齐次多项式的和，然后
第一章 多项式
再对每一齐次多项式应用待定系数法。
考虑 12,,,nx x xL 的差积的平方
? ? 2ij
ij
D x x
?
???
D是一个重要的对称多项式。由基本定理，
D可以表示成
? ? ? ?1 1 2 2,,,1,,1knk k n na a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?LL
的多项式 ? ?
12,,,,nD a a aL
由根与系数的关系知，
12,,,nx x xL
是
? ? 11nn nf x x a x a?? ? ? ?L的根。
第一章 多项式
于是若 ? ?
1,,0,nD a a ?L
则 ? ?fx 在 C上有重根，反之也成立
故 ? ?
1,,nD a aL
为一元多项式 ? ?fx 的判别式。
例：设 ? ? 2
12f x x a x a? ? ?
求 ? ?fx 的判别式。
解：
设 ? ?fx 的根为
12,xx
? ? 212D x x?? 221 2 1 22x x x x? ? ?
? ? 21 2 1 24x x x x? ? ? 221 2 1 24 4,aa??? ? ? ?