§ 1.7 多项式函数与多项式的根
第一章 多项式
一、多项式函数
? ? ? ?01,nnf x a a x a x F x? ? ? ? ?L1,定义：设 对
? ? 01 nnf c a a c a c F? ? ? ? ?L,cF?? 数 称为当
F中的根或零点。
? ? ? ?,f x F x?2,定义（多项式函数）：设 对
,cF?? 作映射 f：
? ?c f c F??
为 F上的多项式函数。
? ? 0,fc ?xc? 时 ? ?fx 的值，若 则称 c为 ? ?fx 在
? ?,fx映射 f确定了数域 F上的一个函数 ? ?fx 被称
第一章 多项式
当 F=R时,? ?fx 就是数学分析中所讨论的多项
式函数。
若 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,,u x f x g x v x f x g x? ? ? ?
则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,.u c f c g c v c f c g c? ? ? ?
二、余式定理和综合除法
所得的余式是 。
用一次多项式 x-c去定理 1.7.1（余式定理）：
除多项式 ? ?,fx ? ?fc
证：由带余除法：设 ? ? ? ? ? ?,f x x c q x r? ? ?
则 。? ?r f c?
第一章 多项式
问题 1,有没有确定带余除法：
? ? ? ? ? ?f x x c q x r? ? ?
的简单方法？中 ? ?qx 和 r
设 ? ? 1
0 1 1nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ?L
? ? 120 1 2 1nn nnq x b x b x b x b?? ??? ? ? ? ?L
? ? ? ? ? ? ? ?10 1 0 1 2 1,nn n n nx c q x r b x b c b x b c b x r c b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L
把 ? ? ? ?,f x q x 代入 ? ? ? ? ? ?f x x c q x r? ? ?
中展开后比较方程两边的系数得：
00ab? 00ba?
第一章 多项式
1 1 0a b cb?? 1 1 0b a cb??
2 2 1a b cb?? 2 2 1b a c b??
LLL LLL
1 1 2n n na b c b? ? ??? 1 1 2n n nb a c b? ? ???
1nna r c b ??? 1nnr a c b ???
因此，利用 ? ?fx 与 ? ?qx 之间的系数关系可以方便
? ?qx 和 r，这就是下面的综合除法：
0 1 2 1nna a a a a?LLc
?
00ba?
0cb
1b
1cb
2b
LL
LL
2ncb ?
1nb?
1ncb ?
r
第一章 多项式
于是得 ? ? 12
0 1 2 1,nn nnq x b x b x b x b?? ??? ? ? ? ?L
1,nnr a c b ???
去除例 1.7.1：求用 2x? ? ?
5 3 22 8 5f x x x x x? ? ? ? ?
的商式和余式。
解：由综合除法
1 0 1 2 8 5?2?
?
1
2?
2?
4
5
10?
8?
16
24
48?
53?
因此 ? ? 4 3 22 5 8 2 4q x x x x x? ? ? ? ?
53r ??
第一章 多项式
利用综合除法求 ? ?qx 与 r时应注意：
1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；
2、除式 xb? 要变为 ? ?xb??
? ? 5 3 22 8 5f x x x x x? ? ? ? ?例 1.7.2：把 表成 2x?
的方幂和。
第一章 多项式
定理 1.7.2（因式定理）：
? ?xc?因式 的充要条件是 。? ? 0fc ?
证明：设 ? ? ? ? ? ?,f x x c q x r? ? ?
若 ? ? 0,fc ? 即 0,r ?
故 ? ?xc? 是 ? ?fx 的一个因式。
若 ? ?fx 有一个因式 ? ?,xc? 即 ? ? ? ?,x c f x?
故 0,r ? 此即 。? ? 0fc ?
由此定理可知，要判断一个数 c是不是 ? ?fx 的根，
可以直接代入多项式函数,看 ? ?fx 是否等于零；也可
以利用综合除法来判断其余数是否为零。
? ?fx多项式 有一个
第一章 多项式
三、多项式的根
xc?定义 3,若 是 ? ?fx 的一个 k重因式,即有
? ? ? ?,kx c f x? 但 ? ? ? ?1,kx c f x?? xc?则
是 ? ?fx
的一个 k重根。
? ?fx问题 2,若多项式 有重根，能否推出 ? ?fx
? ?fx有重因式，反之，若 有重因式，能否说 ? ?fx
有重根？
由于多项式 ? ?fx 有无重因式与系数域无关,而
? ?fx? ?fx 有无重根与系数域有关，故 有重根
? ? ?fx 有重因式，但反之不对。
第一章 多项式
定理 1.7.3（根的个数定理）,? ?0nn?数域 F上
次多项式至多有 n个根 （重根按重数计算）。
证明（用归纳法）：
当 0n? 时结论显然成立，
假设当 ? ?fx 是 1n? 次多项式时结论成立，
则当 ? ?fx 是 n次多项式时，
设 cF? 是 ? ?fx 的一个根，则有 ? ? ? ? ? ?
f x x c q x??
? ?qx 是 n-1次多项式，由归纳知 ? ?qx 至多只有
1n? 个根，故 ? ?fx 至多只有 n个根。
第一章 多项式
证二：对零次多项式结论显然成立，
数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不
定理 1.7.4：
? ?fx超过 n，若在 F中有 n+1个不同的数使 与 ? ?gx
的值相等，则 。? ? ? ?f x g x?
证明,令 ? ? ? ? ? ?,u x f x g x??
? ? ? ? ? ?,,f x g x F x?设 它们的次数都不
若 ? ? 0,ux ? 又 ? ?? ?,u x n??
把 ? ?fx若 ? ?fx 是一次数 >0的多项式,分解成
? ?fx不可约多项式的乘积，这时 在数域 F中根的个
超过 n。
第一章 多项式
由于 F中有 n+1个不同的数,使 ? ?fx 与 ? ?gx 的值相等，
故 ? ?ux 有 n+1个不同的根，这与定理 1.7.3矛盾，
故 ? ? 0,ux ? 即 ? ? ? ?f x g x?
问题 3、
12,,,na a aL
设 是 F中 n个不同的数，
12,,,nb b bL 是 F中任意 n个数，能否确定一个 n-1次多项
? ?fx式,使
? ?,1,2,,iif a b i n?? L
? ?,1,2,,iif a b i n?? L
利用定理 1.7.4可求一个 n-1次多项式 ? ?,fx 使
第一章 多项式
作函数
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1
1 1 1 1
n
i i i n
i i i i i i i n
b x a x a x a x afx
a a a a a a a a
??
? ??
? ? ? ??
? ? ? ??
LL
LL
则
? ?,1,2,,iif a b i n?? L
这个公式也称为 Lagrange插值公式。
例 1.7.3：求一个次数小于 3的多项式 ? ?,fx
使 。? ? ? ? ? ?2 7,1 2,2 1f f f? ? ? ? ?
解一（待定系数法）：设所求的多项式
? ? 2,f x a x b x c? ? ?
第一章 多项式
由已知条件得线性方程组：
4 2 7
2
4 2 1
a b c
a b c
a b c
? ? ??
?
? ? ??
? ? ? ?
?
解之得
7
6
3
2
2
3
a
b
c
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
解二（利用 Lagrange公式）：
第一章 多项式
利用 Lagrange插值公式可得：
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?7 1 2 2 2 2 2 12 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1x x x x x xfx ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?2 2 27 2 12 4 3 24 3 1 2x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?
27 3 2
6 2 3xx? ? ?
问题 4、用形式定义的多项式与用函数观定义的多
项式是否一致？
第一章 多项式
四、多项式相等与多项式函数相等的关系
1,多项式相等：即
? ? ? ?f x g x?? 对应项的系数相同；
2,多项式函数相等：即
? ? ? ?f x g x?? 对,cF?? 有 ? ? ? ?.f c g c?
定理 1.7.5,? ?fx? ?Fx 中两个多项式 和 ? ?gx
相等的充要条件是它们所确定的在 F上的多项式函
数相等。
证明," ",? 若 ? ? ? ?,f x g x? 它们对应项的系数
,cF??相同，于是对 ? ? ? ?.f c g c?
第一章 多项式
故这两个多项式函数相等；
" ",? 若对,cF?? 有 ? ? ? ?.f c g c?
令 ? ? ? ? ? ?,u x f x g x??
此时 ? ?ux 有无穷多个根，故 ? ? 0,ux ?
此即 。? ? ? ?f x g x?
第一章 多项式
一、多项式函数
? ? ? ?01,nnf x a a x a x F x? ? ? ? ?L1,定义：设 对
? ? 01 nnf c a a c a c F? ? ? ? ?L,cF?? 数 称为当
F中的根或零点。
? ? ? ?,f x F x?2,定义（多项式函数）：设 对
,cF?? 作映射 f：
? ?c f c F??
为 F上的多项式函数。
? ? 0,fc ?xc? 时 ? ?fx 的值，若 则称 c为 ? ?fx 在
? ?,fx映射 f确定了数域 F上的一个函数 ? ?fx 被称
第一章 多项式
当 F=R时,? ?fx 就是数学分析中所讨论的多项
式函数。
若 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,,u x f x g x v x f x g x? ? ? ?
则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,.u c f c g c v c f c g c? ? ? ?
二、余式定理和综合除法
所得的余式是 。
用一次多项式 x-c去定理 1.7.1（余式定理）：
除多项式 ? ?,fx ? ?fc
证：由带余除法：设 ? ? ? ? ? ?,f x x c q x r? ? ?
则 。? ?r f c?
第一章 多项式
问题 1,有没有确定带余除法：
? ? ? ? ? ?f x x c q x r? ? ?
的简单方法？中 ? ?qx 和 r
设 ? ? 1
0 1 1nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ?L
? ? 120 1 2 1nn nnq x b x b x b x b?? ??? ? ? ? ?L
? ? ? ? ? ? ? ?10 1 0 1 2 1,nn n n nx c q x r b x b c b x b c b x r c b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L
把 ? ? ? ?,f x q x 代入 ? ? ? ? ? ?f x x c q x r? ? ?
中展开后比较方程两边的系数得：
00ab? 00ba?
第一章 多项式
1 1 0a b cb?? 1 1 0b a cb??
2 2 1a b cb?? 2 2 1b a c b??
LLL LLL
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1nna r c b ??? 1nnr a c b ???
因此，利用 ? ?fx 与 ? ?qx 之间的系数关系可以方便
? ?qx 和 r，这就是下面的综合除法：
0 1 2 1nna a a a a?LLc
?
00ba?
0cb
1b
1cb
2b
LL
LL
2ncb ?
1nb?
1ncb ?
r
第一章 多项式
于是得 ? ? 12
0 1 2 1,nn nnq x b x b x b x b?? ??? ? ? ? ?L
1,nnr a c b ???
去除例 1.7.1：求用 2x? ? ?
5 3 22 8 5f x x x x x? ? ? ? ?
的商式和余式。
解：由综合除法
1 0 1 2 8 5?2?
?
1
2?
2?
4
5
10?
8?
16
24
48?
53?
因此 ? ? 4 3 22 5 8 2 4q x x x x x? ? ? ? ?
53r ??
第一章 多项式
利用综合除法求 ? ?qx 与 r时应注意：
1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；
2、除式 xb? 要变为 ? ?xb??
? ? 5 3 22 8 5f x x x x x? ? ? ? ?例 1.7.2：把 表成 2x?
的方幂和。
第一章 多项式
定理 1.7.2（因式定理）：
? ?xc?因式 的充要条件是 。? ? 0fc ?
证明：设 ? ? ? ? ? ?,f x x c q x r? ? ?
若 ? ? 0,fc ? 即 0,r ?
故 ? ?xc? 是 ? ?fx 的一个因式。
若 ? ?fx 有一个因式 ? ?,xc? 即 ? ? ? ?,x c f x?
故 0,r ? 此即 。? ? 0fc ?
由此定理可知，要判断一个数 c是不是 ? ?fx 的根，
可以直接代入多项式函数,看 ? ?fx 是否等于零；也可
以利用综合除法来判断其余数是否为零。
? ?fx多项式 有一个
第一章 多项式
三、多项式的根
xc?定义 3,若 是 ? ?fx 的一个 k重因式,即有
? ? ? ?,kx c f x? 但 ? ? ? ?1,kx c f x?? xc?则
是 ? ?fx
的一个 k重根。
? ?fx问题 2,若多项式 有重根，能否推出 ? ?fx
? ?fx有重因式，反之，若 有重因式，能否说 ? ?fx
有重根？
由于多项式 ? ?fx 有无重因式与系数域无关,而
? ?fx? ?fx 有无重根与系数域有关，故 有重根
? ? ?fx 有重因式，但反之不对。
第一章 多项式
定理 1.7.3（根的个数定理）,? ?0nn?数域 F上
次多项式至多有 n个根 （重根按重数计算）。
证明（用归纳法）：
当 0n? 时结论显然成立，
假设当 ? ?fx 是 1n? 次多项式时结论成立，
则当 ? ?fx 是 n次多项式时，
设 cF? 是 ? ?fx 的一个根，则有 ? ? ? ? ? ?
f x x c q x??
? ?qx 是 n-1次多项式，由归纳知 ? ?qx 至多只有
1n? 个根，故 ? ?fx 至多只有 n个根。
第一章 多项式
证二：对零次多项式结论显然成立，
数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不
定理 1.7.4：
? ?fx超过 n，若在 F中有 n+1个不同的数使 与 ? ?gx
的值相等，则 。? ? ? ?f x g x?
证明,令 ? ? ? ? ? ?,u x f x g x??
? ? ? ? ? ?,,f x g x F x?设 它们的次数都不
若 ? ? 0,ux ? 又 ? ?? ?,u x n??
把 ? ?fx若 ? ?fx 是一次数 >0的多项式,分解成
? ?fx不可约多项式的乘积，这时 在数域 F中根的个
超过 n。
第一章 多项式
由于 F中有 n+1个不同的数,使 ? ?fx 与 ? ?gx 的值相等，
故 ? ?ux 有 n+1个不同的根，这与定理 1.7.3矛盾，
故 ? ? 0,ux ? 即 ? ? ? ?f x g x?
问题 3、
12,,,na a aL
设 是 F中 n个不同的数，
12,,,nb b bL 是 F中任意 n个数，能否确定一个 n-1次多项
? ?fx式,使
? ?,1,2,,iif a b i n?? L
? ?,1,2,,iif a b i n?? L
利用定理 1.7.4可求一个 n-1次多项式 ? ?,fx 使
第一章 多项式
作函数
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1
1 1 1 1
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这个公式也称为 Lagrange插值公式。
例 1.7.3：求一个次数小于 3的多项式 ? ?,fx
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解一（待定系数法）：设所求的多项式
? ? 2,f x a x b x c? ? ?
第一章 多项式
由已知条件得线性方程组：
4 2 7
2
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a b c
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解二（利用 Lagrange公式）：
第一章 多项式
利用 Lagrange插值公式可得：
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? ? ? ? ? ?2 2 27 2 12 4 3 24 3 1 2x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?
27 3 2
6 2 3xx? ? ?
问题 4、用形式定义的多项式与用函数观定义的多
项式是否一致？
第一章 多项式
四、多项式相等与多项式函数相等的关系
1,多项式相等：即
? ? ? ?f x g x?? 对应项的系数相同；
2,多项式函数相等：即
? ? ? ?f x g x?? 对,cF?? 有 ? ? ? ?.f c g c?
定理 1.7.5,? ?fx? ?Fx 中两个多项式 和 ? ?gx
相等的充要条件是它们所确定的在 F上的多项式函
数相等。
证明," ",? 若 ? ? ? ?,f x g x? 它们对应项的系数
,cF??相同，于是对 ? ? ? ?.f c g c?
第一章 多项式
故这两个多项式函数相等；
" ",? 若对,cF?? 有 ? ? ? ?.f c g c?
令 ? ? ? ? ? ?,u x f x g x??
此时 ? ?ux 有无穷多个根，故 ? ? 0,ux ?
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