§ 1.3 整除性理论
第一章 多项式
一、多项式整除的概念
1,多项式的整除性
设 ? ? ? ? ? ?,f x g x F x? ? ? ? ?h x F x?，若存在,使
? ?gx? ? ? ? ? ?f x g x h x?,则说 整除 ? ?fx,记为：
? ? ? ?g x f x
，记为,。? ? ? ?g x f x
当 ? ? ? ?g x f x 时,? ?fx? ?gx 称作 的因式，
? ?fx 称作 ? ?gx 的倍式。
2,整除的基本性质
性质 1：
否则就说 ? ?gx ? ?fx不能整除
? ? ? ? ? ? ? ?,h x g x g x f x若
第一章 多项式
则 ? ? ? ?h x f x 。（传递性）
证,? ? ? ? ? ? ? ?,,h x g x g x f xQ
? ? ? ? ? ?12,m x m x F x?? ?
使 ? ? ? ? ? ?
1,g x h x m x?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2f x g x m x h x m x m x??
? ? ? ?h x f x?
性质 2,若 ? ? ? ? ? ? ? ?,h x g x h x f x，则 。? ?h f g?
证,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12,g x h x m x f x h x m x??Q
? ? ? ? ? ?12,m x m x F x?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?12,f g h x m x m x? ? ? ?? ? ? ?h x f g?
第一章 多项式
性质 3,若 ? ? ? ?h x f x,对 。? ? ? ?g x F x?? h fg有
证,? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,f x h x m x m x F x??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,f x g x h x g x m x?
? ? ? ? ? ?h x f x g x?
性质 4,若 ? ? ? ?,1,2,,,
ih x f x i m? L
则对 ? ? ? ?,1,2,,
ig x F x i m?? L
? ? ? ?1 1 2 2 mmh x f g f g f g? ? ?L有
性质 5,若 ? ? ? ? ? ? ? ?,f x g x g x f x
则 ? ? ? ?,.f x c g x c F? ? ?
第一章 多项式
证,? ?,,g h f f g l f h l? ? ?Q
? ? 0,,h l h l? ? ? 为常数。
性质 6,? ? ? ?,f x F x c F? ? ?且 0c?
则 ? ? ? ? ? ?,c f x c f x f x
性质 7,? ? ? ? ? ?,f x F x f x?? 零 多 项 式
3,带余除法定理
定理 1.3.1,设 ? ? ? ? ? ?,f x g x F x?,且 ? ? 0,gx ?
则存在 ? ? ? ? ? ?,,q x r x F x? 使得 ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x q x r x??
这里 ? ?? ? ? ?? ?r x g x? ? ? 或 ? ?
0rx ?
第一章 多项式
满足条件的 ? ? ? ?
q x r x和
唯一确定。
商式 余式
证：先证存在性。
1、若 ? ? 0fx ? 则取 ? ? ? ?0,0,q x r x??
即知结论成立。
2、设 ? ? ? ?,,f x n g x m? ? ? ?
对 ? ?fx 的次数 n，利用数学归纳法。
当 n<m时，显然取 ? ? ? ? ? ?0,q x r x f x??
下面讨论 nm? 的情况。
假设当次数小于 n时,? ? ? ?,q x r x 的存在性已证
现考虑次数为 n的情况。
，即知结论成立。
第一章 多项式
令,nmax bx 分别是 ? ? ? ?,f x g x 的首项，因而多项式
? ? ? ? ? ?1 1nmf x b a x g x f x???? 的次数小于 n或为 0。
若 ? ?
1 0fx ?
，取 ? ? ? ?1,0nmq x b a x r x????
若 ? ?
1,fn??
由归纳法假设，对 ? ? ? ?,f x g x
有 ? ? ? ?
11,q x r x
存在,使 ? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 1f x q x g x r x??
其中 ? ?? ? ? ?? ?
1r x g x? ? ?
或者 ? ?
1 0rx ?
于是 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
111 nmf x q x b a x g x r x??? ? ?
取 ? ? ? ? ? ? ? ?
11,
nmaq x q x x r x r x
b
?? ? ?
就有 ? ? ? ? ? ? ? ?
f x q x g x r x??
，结论成立；
第一章 多项式
其中 ? ?? ? ? ?? ?r x g x? ? ? 或者 ? ? 0rx ?
再证唯一性。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2,f x g x q x r x r g? ? ? ? ?
若有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 1,f x g x q x r x r g? ? ? ? ?
则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 2 1g x q x q x r x r x? ? ?????
若 ? ? ? ?
12q x q x?
则 ? ? ? ?
12r x r x?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2 1 1 2r x r x g x q x q x g x? ? ? ? ? ? ? ? ?
这与 ? ?? ? ? ? ? ?? ?
21g x r x r x? ? ? ?
矛盾，
故 ? ? ? ?
12,q x q x?
从而 ? ? ? ?
12r x r x?
第一章 多项式
推论 1,若 ? ? ? ? ? ?,f x g x F x? 且 ? ? 0,gx ?
则 ? ? ? ?g x f x 的充要条件是：
? ?gx 除 ? ?fx 的余式 ? ? 0rx ?
证,充分性。
若 ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x q x r x?? 且 ? ? 0rx ?
则有 ? ? ? ?g x f x
必要性。
若 ? ? ? ?g x f x,则 ? ? ? ? ? ?f x g x q x?
例 1.3.1 设 ? ? 4 3 25 2 3 7 1,f x x x x x? ? ? ? ?
? ? 2 23g x x x? ? ?求 ? ?gx 除 ? ?fx 所得的余式和商式。
第一章 多项式
例 1.3.2,证明 ? ? ? ?1kx f x k ? 的充要条件是 ? ?
x f x
证,充分性显然。
下证必要性,设 ? ? ? ?f x x q x c??
于是 ? ? ? ? ? ?
1
kkkf x x q x c x q x c? ? ? ?????
由于,? ?
kx f x
故 。0,0kcc??
多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变，那么
问题,数域 F上的多项式 ? ?fx 与 ? ?gx 的整除性
是否会因数域的扩大而改变？
多项式的整除性不因数域的扩大而改变
第一章 多项式
设 FF?,若在 F上 ? ? ? ?g x f x
是否在 F 上也有 ? ? ? ?g x f x？
结论, 设 FF?,而 ? ? ? ? ? ?,f x g x F x?,
? ?Fx 中,? ? ? ?g x f x在
则在 ? ?
Fx
中也有 ? ? ? ?g x f x
（多项式的整除性不因数域的扩大而改变）
证,若 ? ? 0gx ? 则在 ? ?Fx 中,? ? ? ?g x f x ? ? 0fx??
因此在 ? ?Fx 中,? ? ? ?g x f x
若 ? ? 0gx ? 则在 ? ?Fx 中有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,0f x g x q x r x r x? ? ?
第一章 多项式
但 ? ?Fx 中的多项式 ? ? ? ?,q x r x 仍是 ? ?Fx 的多项式。
因而在 ? ?Fx 中,这一等式仍然成立。
由 ? ? ? ?,q x r x 的唯一性知，
在 ? ?Fx 中 ? ? ? ?g x f x
第一章 多项式
一、多项式整除的概念
1,多项式的整除性
设 ? ? ? ? ? ?,f x g x F x? ? ? ? ?h x F x?，若存在,使
? ?gx? ? ? ? ? ?f x g x h x?,则说 整除 ? ?fx,记为：
? ? ? ?g x f x
，记为,。? ? ? ?g x f x
当 ? ? ? ?g x f x 时,? ?fx? ?gx 称作 的因式，
? ?fx 称作 ? ?gx 的倍式。
2,整除的基本性质
性质 1：
否则就说 ? ?gx ? ?fx不能整除
? ? ? ? ? ? ? ?,h x g x g x f x若
第一章 多项式
则 ? ? ? ?h x f x 。（传递性）
证,? ? ? ? ? ? ? ?,,h x g x g x f xQ
? ? ? ? ? ?12,m x m x F x?? ?
使 ? ? ? ? ? ?
1,g x h x m x?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2f x g x m x h x m x m x??
? ? ? ?h x f x?
性质 2,若 ? ? ? ? ? ? ? ?,h x g x h x f x，则 。? ?h f g?
证,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12,g x h x m x f x h x m x??Q
? ? ? ? ? ?12,m x m x F x?
? ? ? ? ? ? ? ?? ?12,f g h x m x m x? ? ? ?? ? ? ?h x f g?
第一章 多项式
性质 3,若 ? ? ? ?h x f x,对 。? ? ? ?g x F x?? h fg有
证,? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,f x h x m x m x F x??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,f x g x h x g x m x?
? ? ? ? ? ?h x f x g x?
性质 4,若 ? ? ? ?,1,2,,,
ih x f x i m? L
则对 ? ? ? ?,1,2,,
ig x F x i m?? L
? ? ? ?1 1 2 2 mmh x f g f g f g? ? ?L有
性质 5,若 ? ? ? ? ? ? ? ?,f x g x g x f x
则 ? ? ? ?,.f x c g x c F? ? ?
第一章 多项式
证,? ?,,g h f f g l f h l? ? ?Q
? ? 0,,h l h l? ? ? 为常数。
性质 6,? ? ? ?,f x F x c F? ? ?且 0c?
则 ? ? ? ? ? ?,c f x c f x f x
性质 7,? ? ? ? ? ?,f x F x f x?? 零 多 项 式
3,带余除法定理
定理 1.3.1,设 ? ? ? ? ? ?,f x g x F x?,且 ? ? 0,gx ?
则存在 ? ? ? ? ? ?,,q x r x F x? 使得 ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x q x r x??
这里 ? ?? ? ? ?? ?r x g x? ? ? 或 ? ?
0rx ?
第一章 多项式
满足条件的 ? ? ? ?
q x r x和
唯一确定。
商式 余式
证：先证存在性。
1、若 ? ? 0fx ? 则取 ? ? ? ?0,0,q x r x??
即知结论成立。
2、设 ? ? ? ?,,f x n g x m? ? ? ?
对 ? ?fx 的次数 n，利用数学归纳法。
当 n<m时，显然取 ? ? ? ? ? ?0,q x r x f x??
下面讨论 nm? 的情况。
假设当次数小于 n时,? ? ? ?,q x r x 的存在性已证
现考虑次数为 n的情况。
，即知结论成立。
第一章 多项式
令,nmax bx 分别是 ? ? ? ?,f x g x 的首项，因而多项式
? ? ? ? ? ?1 1nmf x b a x g x f x???? 的次数小于 n或为 0。
若 ? ?
1 0fx ?
，取 ? ? ? ?1,0nmq x b a x r x????
若 ? ?
1,fn??
由归纳法假设，对 ? ? ? ?,f x g x
有 ? ? ? ?
11,q x r x
存在,使 ? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 1f x q x g x r x??
其中 ? ?? ? ? ?? ?
1r x g x? ? ?
或者 ? ?
1 0rx ?
于是 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
111 nmf x q x b a x g x r x??? ? ?
取 ? ? ? ? ? ? ? ?
11,
nmaq x q x x r x r x
b
?? ? ?
就有 ? ? ? ? ? ? ? ?
f x q x g x r x??
，结论成立；
第一章 多项式
其中 ? ?? ? ? ?? ?r x g x? ? ? 或者 ? ? 0rx ?
再证唯一性。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2,f x g x q x r x r g? ? ? ? ?
若有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 1,f x g x q x r x r g? ? ? ? ?
则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 2 1g x q x q x r x r x? ? ?????
若 ? ? ? ?
12q x q x?
则 ? ? ? ?
12r x r x?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?2 1 1 2r x r x g x q x q x g x? ? ? ? ? ? ? ? ?
这与 ? ?? ? ? ? ? ?? ?
21g x r x r x? ? ? ?
矛盾，
故 ? ? ? ?
12,q x q x?
从而 ? ? ? ?
12r x r x?
第一章 多项式
推论 1,若 ? ? ? ? ? ?,f x g x F x? 且 ? ? 0,gx ?
则 ? ? ? ?g x f x 的充要条件是：
? ?gx 除 ? ?fx 的余式 ? ? 0rx ?
证,充分性。
若 ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x q x r x?? 且 ? ? 0rx ?
则有 ? ? ? ?g x f x
必要性。
若 ? ? ? ?g x f x,则 ? ? ? ? ? ?f x g x q x?
例 1.3.1 设 ? ? 4 3 25 2 3 7 1,f x x x x x? ? ? ? ?
? ? 2 23g x x x? ? ?求 ? ?gx 除 ? ?fx 所得的余式和商式。
第一章 多项式
例 1.3.2,证明 ? ? ? ?1kx f x k ? 的充要条件是 ? ?
x f x
证,充分性显然。
下证必要性,设 ? ? ? ?f x x q x c??
于是 ? ? ? ? ? ?
1
kkkf x x q x c x q x c? ? ? ?????
由于,? ?
kx f x
故 。0,0kcc??
多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变，那么
问题,数域 F上的多项式 ? ?fx 与 ? ?gx 的整除性
是否会因数域的扩大而改变？
多项式的整除性不因数域的扩大而改变
第一章 多项式
设 FF?,若在 F上 ? ? ? ?g x f x
是否在 F 上也有 ? ? ? ?g x f x？
结论, 设 FF?,而 ? ? ? ? ? ?,f x g x F x?,
? ?Fx 中,? ? ? ?g x f x在
则在 ? ?
Fx
中也有 ? ? ? ?g x f x
（多项式的整除性不因数域的扩大而改变）
证,若 ? ? 0gx ? 则在 ? ?Fx 中,? ? ? ?g x f x ? ? 0fx??
因此在 ? ?Fx 中,? ? ? ?g x f x
若 ? ? 0gx ? 则在 ? ?Fx 中有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,0f x g x q x r x r x? ? ?
第一章 多项式
但 ? ?Fx 中的多项式 ? ? ? ?,q x r x 仍是 ? ?Fx 的多项式。
因而在 ? ?Fx 中,这一等式仍然成立。
由 ? ? ? ?,q x r x 的唯一性知，
在 ? ?Fx 中 ? ? ? ?g x f x
