§ 1.8 有理系数多项式
第一章 多项式
本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如
何求 Q上多项式的有理根，由于 ? ?fx 与 ? ?cf x 在
? ?Qx 上的可约性相同。因此讨论 ? ?fx 在 Q上的可约
性可转化为求整系数多项式在 Q上的可约性。
一、整系数多项式的可约性
定义 1（本原多项式）：
若整系数多项式 ? ?fx 的系数互素，则称 ? ?fx
是一个本原多项式。
例如,? ? ? ?223 6 4,5 1f x x x g x x? ? ? ? ?
本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多
项式，但相乘之后必是本原多项式。
是本原多项式。
第一章 多项式
引理（高斯定理）：
两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。
证,设 ? ?
01,0ini n nf x a a x a x a x a? ? ? ? ? ? ?LL
? ? 01,0jmj m mg x b b x b x b x b? ? ? ? ? ? ?LL
都是本原多项式
? ? ? ? 01,i j m ni j m nf x g x c c x c x c x????? ? ? ? ? ?LL
若 ? ? ? ?f x g x 不是本原多项式，则存在素数 p，使
,1,2,,,kp c k m n??L由于 ? ? ? ?,f x g x 都是本原多
项式，故 ? ?fx 的系数不能都被 p整除,? ?gx 的系数
也不能被 p整除，
第一章 多项式
可设,0,1,,1,
rp a r i??L
但
ipa
,0,1,,1,sp b s j??L 但,jpb
现考虑
0 1 1 1 1 0,i j i j i j i j i j i jc a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?LL
除了
ijab
这一项外,p能整除其余各项，
,ijpc ?
因此 这是一个矛盾，
故 ? ? ? ?f x g x 是本原多项式。
定理 1.9.1,? ?fx一个整系数 n（ n>0）次多项式
在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。
第一章 多项式
证：充分性显然。
下证必要性。
设 ? ?fx 可分解成 ? ?Qx 中两个次数都小于 n的
多项式 ? ?gx 与 ? ?hx 的乘积，即有 ? ? ? ? ? ?,f x g x h x?
设 ? ?gx 的系数的公分母为 m，则 ? ?mg x
一个整系数多项式，把
是
? ?mg x 系数的公因式 n
提出来,? ? ? ?
1,m g x n g x? ? ?1gx
是本原多项式，
即 ? ? ? ? ? ?
11,
ng x g x r g x
m? ? ?
同理，存在有理数 S，使 ? ? ? ?
1,h x sh x?
? ?1hx 也是本原多项式，
第一章 多项式
于是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
11f x g x h x r s g x h x? ? ?
下证 rs? 是一个整数，
qrs
p??
设 （ p,q互素且 p>0），
由于 ? ? ? ?
11
q g x h x
p
是整系数多项式，
故 p能整除 q与 ? ? ? ?
11g x h x
的每一系数的乘积，
而 p,q互素，故 p能整除 ? ? ? ?
11g x h x
的每一系数，
但由引理 1知,? ? ? ?11g x h x 是本原多项式，
故 p=1，从而 rs是一个整数。
第一章 多项式
C上不可约多项式只能是一次,R上不可约多项
式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式,Q上
不可约多项式的特征是什么？下面的 Eisenstein的判
别法回答了这个问题。
问题：
定理 1.9.2（ Eisenstein判别法）：
设 ? ?
01 nnf x a a x a x? ? ? ?L
是整系数多项式，
若存在素数 p，使
②
0 1 1,,,,np a a a ?L
① ;
npa
③
2 0,pa
则 ? ?fx 在 Q上不可约。
第一章 多项式
证（反证法）：
若 ? ?fx 在 Q上可约 ? ? ?fx 在 Z上可约，
即存在：
? ? 01,kkg x b b x b x? ? ? ?L
? ? ? ?01,llh x c c x c x Z x? ? ? ? ?L
使 ? ? ? ? ? ?,f x g x h x?
其中,0,.k l n k l n? ? ? ?
0 0 0 0,a b c p a?Q
故
0pb
或 0pc
但两者不能同时成立。 ? ?
2
0paQ
第一章 多项式
不妨设
0pb
但 。
0pc
由于,n k la b c? 由
npa
知 ? ?gx 的系数不能都被 p
即
01,,,sp b p b ?L
但
spb
现考虑
0 1 1 0,.s s s sa b c b c b c s n?? ? ? ? ?L
00,,ssp b p c p b c?
但 p能整除其它项，故 spa 与已知矛盾。
假设
sb
是第一个不能被 p整除的系数，整除，
? ?fx? 在 ? ?Zx 中不可约
? ?fx? 在 ? ?Qx 中不可约。
第一章 多项式
由 Eisenstein判别法知,Q上存在任意次不可约
多项式。
例 1.9.1,nxp? 是 Q上不可约多项式,p是素数。
例 1.9.2,判断 ? ? 631 0 2,f x x x? ? ?
? ? 435 6 1 2 6g x x x x? ? ? ?
在 Q上是否可约？
解：分别取 p=2,p=3即知。
解：取素数 p即知。
第一章 多项式
Eisenstein是判别多项式在 Q上不可约的充分
条件，但不是必要条件。
注意,
例,2 1x ? 不可约，但找不到素数 p。
系数多项式。 特别地，若 ? ?fx 是本原的，则 ? ?hx
也是本原的。
? ? ? ?,f x g x推论：设 ? ? ? ? ? ?,f x g x h x? 若 都是
? ?hx整系数多项式，且 ? ?gx 是本原的，则 必是整
? ? ? ? ? ?1h x q h x q f x?? 的所有系数。）（若不是
第一章 多项式
二、整系数多项式的有理根
定理 1.9.3,设
? ? 110,nnnnf x a x a x a??? ? ? ?L
是一个整系数多项式，若有理数
uv
是整系数
多项式 ? ?fx 的一个根，这里 u,v是互素的整数，
则 ① ? ? ? ? ? ? ? ?
,,uf x x q x q x Z xv??? ? ?????
②
0,nv a u a
证,（ 1） uvQ 是 ? ?fx 的根，
? ?fx? 有一次因式 ? ?,ux v?
第一章 多项式
即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
1uf x x q x v x u q x v x u q x
v v? ? ? ? ? ?
因为 vx u? 是本原多项式 ? ?
1qx?
是整系数多项式，
故 ? ? ? ?
1q x v q x?
是整系数多项式。
（ 2）设 ? ? 11 1 1 0,nnq x b x b x b??? ? ? ?L
0 1 1,,,nb b b ?L
是整数。
比较 ? ? ? ? ? ?
1f x v x u q x??
两边 n次项与常数项系数得：
1 0 0,nna v b a ub???
0,nv a u a?
第一章 多项式
由定理 1.9.3，要求整系数多项式 ? ?fx 的有理根，
只要求出最高次项系数的因数
12,,,kv v vL
以及常数项
0a
的因数 12,,,tu u uL 。然后对形如
i
j
u
v?有理数用综合除法来检验，如果最高次系数为 1，则
整系数多项式 f的有理根只能是整根。
这样的
例 1.9.3：求 ? ? 4 3 22 5 7 7 1f x x x x x? ? ? ? ?的有理根。
解,2的因数是 1,2,1?? 的因数是 1,?
故 ? ?fx 可能的有理根只能是 1
1,2??
对 11,
2??
用综合除法逐一检验知：
? ?fx 的有理根只能是 。12
第一章 多项式
定理 1.9.4：
设,uv 是互素的整数，且 u
v
是整系数多项式 ? ?fx
的根，则 ? ? ? ? ? ? ? ?1,1,v u f v u f? ? ?
证：由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,.f x v x u g x g x Z x? ? ?
把 1? 代入得：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1,1,f v u g g Z x? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1,1,f v u g g Z x? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?1,1,v u f v u f? ? ? ?
第一章 多项式
本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如
何求 Q上多项式的有理根，由于 ? ?fx 与 ? ?cf x 在
? ?Qx 上的可约性相同。因此讨论 ? ?fx 在 Q上的可约
性可转化为求整系数多项式在 Q上的可约性。
一、整系数多项式的可约性
定义 1（本原多项式）：
若整系数多项式 ? ?fx 的系数互素，则称 ? ?fx
是一个本原多项式。
例如,? ? ? ?223 6 4,5 1f x x x g x x? ? ? ? ?
本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多
项式，但相乘之后必是本原多项式。
是本原多项式。
第一章 多项式
引理（高斯定理）：
两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。
证,设 ? ?
01,0ini n nf x a a x a x a x a? ? ? ? ? ? ?LL
? ? 01,0jmj m mg x b b x b x b x b? ? ? ? ? ? ?LL
都是本原多项式
? ? ? ? 01,i j m ni j m nf x g x c c x c x c x????? ? ? ? ? ?LL
若 ? ? ? ?f x g x 不是本原多项式，则存在素数 p，使
,1,2,,,kp c k m n??L由于 ? ? ? ?,f x g x 都是本原多
项式，故 ? ?fx 的系数不能都被 p整除,? ?gx 的系数
也不能被 p整除，
第一章 多项式
可设,0,1,,1,
rp a r i??L
但
ipa
,0,1,,1,sp b s j??L 但,jpb
现考虑
0 1 1 1 1 0,i j i j i j i j i j i jc a b a b a b a b a b? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?LL
除了
ijab
这一项外,p能整除其余各项，
,ijpc ?
因此 这是一个矛盾，
故 ? ? ? ?f x g x 是本原多项式。
定理 1.9.1,? ?fx一个整系数 n（ n>0）次多项式
在有理数域上可约的充要条件是它在整数环上可约。
第一章 多项式
证：充分性显然。
下证必要性。
设 ? ?fx 可分解成 ? ?Qx 中两个次数都小于 n的
多项式 ? ?gx 与 ? ?hx 的乘积，即有 ? ? ? ? ? ?,f x g x h x?
设 ? ?gx 的系数的公分母为 m，则 ? ?mg x
一个整系数多项式，把
是
? ?mg x 系数的公因式 n
提出来,? ? ? ?
1,m g x n g x? ? ?1gx
是本原多项式，
即 ? ? ? ? ? ?
11,
ng x g x r g x
m? ? ?
同理，存在有理数 S，使 ? ? ? ?
1,h x sh x?
? ?1hx 也是本原多项式，
第一章 多项式
于是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
11f x g x h x r s g x h x? ? ?
下证 rs? 是一个整数，
qrs
p??
设 （ p,q互素且 p>0），
由于 ? ? ? ?
11
q g x h x
p
是整系数多项式，
故 p能整除 q与 ? ? ? ?
11g x h x
的每一系数的乘积，
而 p,q互素，故 p能整除 ? ? ? ?
11g x h x
的每一系数，
但由引理 1知,? ? ? ?11g x h x 是本原多项式，
故 p=1，从而 rs是一个整数。
第一章 多项式
C上不可约多项式只能是一次,R上不可约多项
式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式,Q上
不可约多项式的特征是什么？下面的 Eisenstein的判
别法回答了这个问题。
问题：
定理 1.9.2（ Eisenstein判别法）：
设 ? ?
01 nnf x a a x a x? ? ? ?L
是整系数多项式，
若存在素数 p，使
②
0 1 1,,,,np a a a ?L
① ;
npa
③
2 0,pa
则 ? ?fx 在 Q上不可约。
第一章 多项式
证（反证法）：
若 ? ?fx 在 Q上可约 ? ? ?fx 在 Z上可约，
即存在：
? ? 01,kkg x b b x b x? ? ? ?L
? ? ? ?01,llh x c c x c x Z x? ? ? ? ?L
使 ? ? ? ? ? ?,f x g x h x?
其中,0,.k l n k l n? ? ? ?
0 0 0 0,a b c p a?Q
故
0pb
或 0pc
但两者不能同时成立。 ? ?
2
0paQ
第一章 多项式
不妨设
0pb
但 。
0pc
由于,n k la b c? 由
npa
知 ? ?gx 的系数不能都被 p
即
01,,,sp b p b ?L
但
spb
现考虑
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00,,ssp b p c p b c?
但 p能整除其它项，故 spa 与已知矛盾。
假设
sb
是第一个不能被 p整除的系数，整除，
? ?fx? 在 ? ?Zx 中不可约
? ?fx? 在 ? ?Qx 中不可约。
第一章 多项式
由 Eisenstein判别法知,Q上存在任意次不可约
多项式。
例 1.9.1,nxp? 是 Q上不可约多项式,p是素数。
例 1.9.2,判断 ? ? 631 0 2,f x x x? ? ?
? ? 435 6 1 2 6g x x x x? ? ? ?
在 Q上是否可约？
解：分别取 p=2,p=3即知。
解：取素数 p即知。
第一章 多项式
Eisenstein是判别多项式在 Q上不可约的充分
条件，但不是必要条件。
注意,
例,2 1x ? 不可约，但找不到素数 p。
系数多项式。 特别地，若 ? ?fx 是本原的，则 ? ?hx
也是本原的。
? ? ? ?,f x g x推论：设 ? ? ? ? ? ?,f x g x h x? 若 都是
? ?hx整系数多项式，且 ? ?gx 是本原的，则 必是整
? ? ? ? ? ?1h x q h x q f x?? 的所有系数。）（若不是
第一章 多项式
二、整系数多项式的有理根
定理 1.9.3,设
? ? 110,nnnnf x a x a x a??? ? ? ?L
是一个整系数多项式，若有理数
uv
是整系数
多项式 ? ?fx 的一个根，这里 u,v是互素的整数，
则 ① ? ? ? ? ? ? ? ?
,,uf x x q x q x Z xv??? ? ?????
②
0,nv a u a
证,（ 1） uvQ 是 ? ?fx 的根，
? ?fx? 有一次因式 ? ?,ux v?
第一章 多项式
即 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
1uf x x q x v x u q x v x u q x
v v? ? ? ? ? ?
因为 vx u? 是本原多项式 ? ?
1qx?
是整系数多项式，
故 ? ? ? ?
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是整系数多项式。
（ 2）设 ? ? 11 1 1 0,nnq x b x b x b??? ? ? ?L
0 1 1,,,nb b b ?L
是整数。
比较 ? ? ? ? ? ?
1f x v x u q x??
两边 n次项与常数项系数得：
1 0 0,nna v b a ub???
0,nv a u a?
第一章 多项式
由定理 1.9.3，要求整系数多项式 ? ?fx 的有理根，
只要求出最高次项系数的因数
12,,,kv v vL
以及常数项
0a
的因数 12,,,tu u uL 。然后对形如
i
j
u
v?有理数用综合除法来检验，如果最高次系数为 1，则
整系数多项式 f的有理根只能是整根。
这样的
例 1.9.3：求 ? ? 4 3 22 5 7 7 1f x x x x x? ? ? ? ?的有理根。
解,2的因数是 1,2,1?? 的因数是 1,?
故 ? ?fx 可能的有理根只能是 1
1,2??
对 11,
2??
用综合除法逐一检验知：
? ?fx 的有理根只能是 。12
第一章 多项式
定理 1.9.4：
设,uv 是互素的整数，且 u
v
是整系数多项式 ? ?fx
的根，则 ? ? ? ? ? ? ? ?1,1,v u f v u f? ? ?
证：由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,.f x v x u g x g x Z x? ? ?
把 1? 代入得：
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1,1,f v u g g Z x? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?1,1,v u f v u f? ? ? ?
