§ 1.8 复数域和实数域上的多项式
第一章 多项式
一,C上多项式
对于 ? ?Fx 上的多项式 ? ?fx,它在 F上未必有根，
那么它在 C上是否有根？
每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有
一个根。
定理 1.8.1（代数基本定理）：
任何 n（ n>0）次多项式在 C上有 n个根（重根按
重数计算）。
定理 1.8.2：
当 n=1时结论显然成立。证：
第一章 多项式
假设结论对 n-1次多项式成立，则当 ? ?fx
? ?fx是 n次多项式时，由于 在 C上至少有一个根，
? ? ? ? ? ?1f x x f x???设为,? 则, ? ?fx 是 C上 n-1次
多项式。由归纳假设知 ? ?
1fx 在 C上有 n-1个根，
推论 1：复数域上任一个次数大于 1的多项式
都是可约的，即 C上不可约多项式只能是一次多
项式。
推论 2,任一个 n（ n>0）次多项式 ? ?fx 在
? ?fx 在 C上的根，所以 ? ?fx
n个根。
它们也是 在 C上有
第一章 多项式
上都能分解成一次因式的乘积，即
? ? 01 nnf x a a x a x? ? ? ?L的标准分解式是：
? ? ? ? ? ? ? ?1212 rk k knrf x a x x x? ? ?? ? ? ?L
其中
1,,r??L
是不同的复数，
1,,rkkL
是自然数且
1
.
r
i
i
kn
?
??
韦达定理,设
12,??
是 2a x b x c?? 的两个根，则
1 2 1 2,
bc
aa? ? ? ?? ? ? ?
? ?Cx
第一章 多项式
C上多项式的根与系数关系：
设 ? ? 1
11nn nnf x x a x a x a? ?? ? ? ? ?L
— （ 1）
是一个 n（ n>0）次多项式，则它在 C中有 n个根，记
? ? ? ? ? ? ? ?12 nf x x x x? ? ?? ? ? ?L
? ?
? ?
1
1
2
12
1
1
nn
n
nn
i j n
i j n
xx
x
??
? ? ? ? ?
?
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ??
L
LL
— （ 2）
比较（ 1）与（ 2）的展开式中同次项的系数，
12,,,n? ? ?L
则为
第一章 多项式
得根与系数的关系为：
? ?11 na ??? ? ? ?L
? ?2 1 2 1 3 1nna ? ? ? ? ? ??? ? ? ?L
? ?3 1 2 3 1 2 4 2 1n n na ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?L
LLLLL
? ? ? ?11 1 2 1 1 3 2 31 nn n n na ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ?L L L L
? ? 121 nnna ? ? ??? L
如果 ? ?
10 1 1nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ?L
根与系数的关系又如何？
第一章 多项式
? ? 10 1 1nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ?L
1 11
0
0 0 0
nn nnaaaa x x x
a a a
? ???? ? ? ? ???
??
L
? ? ? ?01 na x x??? ? ?L
? ?1 0 1 naa ??? ? ? ? ?L
20 ija a a a? ?
LLLLL
? ?
12
1
0
,
1
k
k
k
k r r r
rr
aa ? ? ??? ?
L
L
互
不 相 同
LLLLL
? ?0
1
1
nn
ni
i
aa ?
?
?? ?
第一章 多项式
利用根与系数的关系，可以构造一个 n次多项式，
使其恰以
12,,,n? ? ?L
为根。
例 1.8.1：
它以 1和 4为单根,-2为 2重根。
求一个首项系数为 1的 4次多项式，使
解：设 ? ? 4 3 2
1 2 3 4,f x x a x a x a x a? ? ? ? ?
则 ? ?1 1 4 2 2 1,a ? ? ? ? ? ? ?
? ?2 4 2 2 8 8 4 1 2,a ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?3 8 8 1 6 4 4,a ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? 44 1 1 6 1 6,a ? ? ?
? ? 4 3 21 2 4 1 6,f x x x x x? ? ? ? ?
第一章 多项式
二、实数域上的多项式
定理 1.8.3,? ?fx如果 ? 是实数系数多项式 的
?? 与 有相同的重数。
证：设 ? ? 1
01nn nf x a x a x a?? ? ? ?L
由于 是? ? ?fx 的根，
故有
101 0nn na a a?? ?? ? ? ?L
两边取共轭复数，注意到 01,,,na a aL 和 0都是实数，
则有 1
0 1 1 0nn nna a a a? ? ?? ?? ? ? ?L
可见 ? 也是 ? ?fx 的根。
? ?fx非实复根，则 ? 的共轭复数 ? 也是 的根，且
第一章 多项式
因此多项式：
? ? ? ? ? ? ? ?2g x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
能整除 ? ?fx,即存在多项式,? ?
hx
? ?gx使 ? ? ? ? ? ?,f x g x h x? 是实系数多项式，
故 ? ?
hx 也是实系数多项式。
? ?fx若 ? 是 的重根，由于,???
故 ? 必是 ? ?hx 的根,? ?hx 是实系数，故 ? 也是
? ?hx 的根,故 ? 也是 ? ?fx 的重根。
与重复应用这个推理方法知 的重数相同。? ?
第一章 多项式
唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的
1?定理 1.8.4 每个次数 的实系数多项式都可
乘积。
()fx( ( )) 1fx?? 就是一次因式子，结论成立。若,
()fx证明,的次数作数学归纳。对
假设对结论次数 <n的多项式结论成立，
现考虑 ( ( ))f x n??,由代数基本定理，
有一复根 。
()fx
?
1( ) ( ) ( )f x x f x???若 为实数 则?
，其中
1( ) 1fn? ? ?
不为实数，则?若 也是 的复根，于是? ()fx
第一章 多项式
222( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )f x x x f x x x f x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
设 a b i? ??,则,2,a bi a R? ? ?? ? ? ? ?
22a b R?? ? ? ?
2 ()xx? ? ? ?? ? ?
是一个二次实系数不可约多项式，且
2( ) 2fn? ? ?
不可约多项式的乘积，故结论成立。
2 ()fx
由归纳假设知
1()fx
可分解成一次因式与二次
。即在 R 上，
推论 3 ? ?Rx 中不可约多项式除一次多项式外，
只有含非实共轭复根的二次多项式。
第一章 多项式
推论 4 n（ n>0）次实系数多项式 ? ?fx
具有标准分解式：
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
1
1
01
22
11
r
t
kk
r
ll
tt
f x a x b x b
x p x q x p x q
? ? ?
? ? ? ?
L
L
2 iix p x q?? 不可约，即满足
2 4 0,1,2,,.iip q i t? ? ? L
在 R上
第一章 多项式
例 1.8.2,设 1 2 3 4,,,? ? ? ? 是多项式
? ? 4 3 20 1 2 3 4f x a x a x a x a x a? ? ? ? ?
的非零根，
求以
1 2 3 4
1 1 1 1,,,
? ? ? ?
为根的四次多项式。
解：
设 ? ? 4 3 2
1 2 3 4g x x b x b x b x b? ? ? ? ?
为多求多项式。
? ?1 1 2 3 4
0
a
a ? ? ? ?? ? ? ? ?Q
? ?2 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4
0
a
a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ?3 1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4
0
a
a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
第一章 多项式
4
1 2 3 4
0
a
a ? ? ? ??
2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ?
3
03
1
4 4
0
a
aa
b
a a
a
?
? ? ? ? ?
20 2
2
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 4 0 4
1 1 1 1 1 1 aa a b
a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
10 1
3
1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4 4 0 4
1 1 1 1 aa a b
a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ?
第一章 多项式
0
4
1 2 3 4 4
1 a b
a? ? ? ? ??
? 所求多项式是：
? ? 4323021
4 4 4 4
aaaag x x x x x
a a a a? ? ? ? ?
或 4 3 24 3 2 1 0a x a x a x a x a? ? ? ?
第一章 多项式
一,C上多项式
对于 ? ?Fx 上的多项式 ? ?fx,它在 F上未必有根，
那么它在 C上是否有根？
每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有
一个根。
定理 1.8.1（代数基本定理）：
任何 n（ n>0）次多项式在 C上有 n个根（重根按
重数计算）。
定理 1.8.2：
当 n=1时结论显然成立。证：
第一章 多项式
假设结论对 n-1次多项式成立，则当 ? ?fx
? ?fx是 n次多项式时，由于 在 C上至少有一个根，
? ? ? ? ? ?1f x x f x???设为,? 则, ? ?fx 是 C上 n-1次
多项式。由归纳假设知 ? ?
1fx 在 C上有 n-1个根，
推论 1：复数域上任一个次数大于 1的多项式
都是可约的，即 C上不可约多项式只能是一次多
项式。
推论 2,任一个 n（ n>0）次多项式 ? ?fx 在
? ?fx 在 C上的根，所以 ? ?fx
n个根。
它们也是 在 C上有
第一章 多项式
上都能分解成一次因式的乘积，即
? ? 01 nnf x a a x a x? ? ? ?L的标准分解式是：
? ? ? ? ? ? ? ?1212 rk k knrf x a x x x? ? ?? ? ? ?L
其中
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是不同的复数，
1,,rkkL
是自然数且
1
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是 2a x b x c?? 的两个根，则
1 2 1 2,
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第一章 多项式
C上多项式的根与系数关系：
设 ? ? 1
11nn nnf x x a x a x a? ?? ? ? ? ?L
— （ 1）
是一个 n（ n>0）次多项式，则它在 C中有 n个根，记
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— （ 2）
比较（ 1）与（ 2）的展开式中同次项的系数，
12,,,n? ? ?L
则为
第一章 多项式
得根与系数的关系为：
? ?11 na ??? ? ? ?L
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10 1 1nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ?L
根与系数的关系又如何？
第一章 多项式
? ? 10 1 1nn nnf x a x a x a x a? ?? ? ? ? ?L
1 11
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第一章 多项式
利用根与系数的关系，可以构造一个 n次多项式，
使其恰以
12,,,n? ? ?L
为根。
例 1.8.1：
它以 1和 4为单根,-2为 2重根。
求一个首项系数为 1的 4次多项式，使
解：设 ? ? 4 3 2
1 2 3 4,f x x a x a x a x a? ? ? ? ?
则 ? ?1 1 4 2 2 1,a ? ? ? ? ? ? ?
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? ? 4 3 21 2 4 1 6,f x x x x x? ? ? ? ?
第一章 多项式
二、实数域上的多项式
定理 1.8.3,? ?fx如果 ? 是实数系数多项式 的
?? 与 有相同的重数。
证：设 ? ? 1
01nn nf x a x a x a?? ? ? ?L
由于 是? ? ?fx 的根，
故有
101 0nn na a a?? ?? ? ? ?L
两边取共轭复数，注意到 01,,,na a aL 和 0都是实数，
则有 1
0 1 1 0nn nna a a a? ? ?? ?? ? ? ?L
可见 ? 也是 ? ?fx 的根。
? ?fx非实复根，则 ? 的共轭复数 ? 也是 的根，且
第一章 多项式
因此多项式：
? ? ? ? ? ? ? ?2g x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
能整除 ? ?fx,即存在多项式,? ?
hx
? ?gx使 ? ? ? ? ? ?,f x g x h x? 是实系数多项式，
故 ? ?
hx 也是实系数多项式。
? ?fx若 ? 是 的重根，由于,???
故 ? 必是 ? ?hx 的根,? ?hx 是实系数，故 ? 也是
? ?hx 的根,故 ? 也是 ? ?fx 的重根。
与重复应用这个推理方法知 的重数相同。? ?
第一章 多项式
唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的
1?定理 1.8.4 每个次数 的实系数多项式都可
乘积。
()fx( ( )) 1fx?? 就是一次因式子，结论成立。若,
()fx证明,的次数作数学归纳。对
假设对结论次数 <n的多项式结论成立，
现考虑 ( ( ))f x n??,由代数基本定理，
有一复根 。
()fx
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1( ) ( ) ( )f x x f x???若 为实数 则?
，其中
1( ) 1fn? ? ?
不为实数，则?若 也是 的复根，于是? ()fx
第一章 多项式
222( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( )f x x x f x x x f x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
设 a b i? ??,则,2,a bi a R? ? ?? ? ? ? ?
22a b R?? ? ? ?
2 ()xx? ? ? ?? ? ?
是一个二次实系数不可约多项式，且
2( ) 2fn? ? ?
不可约多项式的乘积，故结论成立。
2 ()fx
由归纳假设知
1()fx
可分解成一次因式与二次
。即在 R 上，
推论 3 ? ?Rx 中不可约多项式除一次多项式外，
只有含非实共轭复根的二次多项式。
第一章 多项式
推论 4 n（ n>0）次实系数多项式 ? ?fx
具有标准分解式：
? ? ? ? ? ?
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1
1
01
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2 iix p x q?? 不可约，即满足
2 4 0,1,2,,.iip q i t? ? ? L
在 R上
第一章 多项式
例 1.8.2,设 1 2 3 4,,,? ? ? ? 是多项式
? ? 4 3 20 1 2 3 4f x a x a x a x a x a? ? ? ? ?
的非零根，
求以
1 2 3 4
1 1 1 1,,,
? ? ? ?
为根的四次多项式。
解：
设 ? ? 4 3 2
1 2 3 4g x x b x b x b x b? ? ? ? ?
为多求多项式。
? ?1 1 2 3 4
0
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0
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第一章 多项式
4
1 2 3 4
0
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2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
1 2 3 4 1 2 3 4
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第一章 多项式
0
4
1 2 3 4 4
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? 所求多项式是：
? ? 4323021
4 4 4 4
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或 4 3 24 3 2 1 0a x a x a x a x a? ? ? ?
