§ 1.5 重因式
第一章 多项式
定义 1,不可约多项式 ? ?px 称为 ? ?fx 的 k重因式
? ?,kN? 如果 ? ? ? ?,kp x f x 而 。? ? ? ?1kp x f x?
当 k=1时,? ?px 就称 ? ?fx 的单因式，
当 k>1时,? ?px 称为 ? ?fx 的重因式。
如果 ? ?
fx
的标准分解式为：
? ? ? ? ? ? ? ?1212,skkknsf x a p x p x p x? L
则 ? ? ? ?
1,,sp x p xL
分别是 ? ?fx 的因式，且分别为
1,,skkL
重。
第一章 多项式
要求 ? ?fx 的重因式，只要把 ? ?fx
式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项
的标准分解
式分解为不可约因式的乘积。
因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重
因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。
定义 2：
的一阶导数指的是多项式：
? ? 112 2 nnf x a a x n a x ?? ? ? ? ?L（形式定义）
? ? 01 nnf x a a x a x? ? ? ?L多项式
一阶导数 ? ?fx? 的导数称为 ? ?fx 的二阶导数,记为
? ?fx??
第一章 多项式
? ?fx?? 的导数称为 ? ?fx 的三阶导数，记为 ? ?fx???
… … … …
? ?fx 的 k阶导数记为 ? ?()kfx
多项式的求导法则：
1,? ? ? ?? ? ? ? ? ? ;f x g x f x g x? ??? ? ?
2,? ?? ? ? ? ;c f x c f x? ??
3,? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;f x g x f x g x f x g x? ????
4,? ? ? ? ? ?1,mmf x mf x f x?? ??? ?
??
第一章 多项式
定理 1.6.1,若不可约多项式 ? ?px 是 ? ?fx
的 k重因式（ k>1），则 ? ?px 是 ? ?fx?
式，特别多项式 ? ?fx 的单因式不是 ? ?fx?
式。
证,? ? ? ? ? ?,kf x p x g x?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1kkf x k p x p x g x p x g x?? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1kp x k p x g x p x g x? ???? ????
? ? ? ? ? ? ? ?,,p x g x p x p x?
的 k-1重因
的因
第一章 多项式
? ? ? ? ? ?,p x p x g x??
从而 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,p x k p x g x p x g x?? ?????
于是 ? ?px 是 ? ?
fx? 的 k-1重因式。
推论 1,若不可约多项式 ? ?px 是 ? ?fx 的 k重因式
不是 ? ?
()kfx 的因式。
证,? ?px 是 ? ?fx? 的 k-1重因式，
? ?px 是 ? ?fx?? 的 k-2重因式，
… … … … …
（ k>1），则 ? ?px 是 ? ? ? ? ? ?' ( 1 ),,,kf x f x f x?L 的因式，但
第一章 多项式
? ?px 是 ? ?( 1)kfx? 的（ k-(k-1)=1）单因式，
因而不是 ? ?
()kfx
的因式。
推论 2,不可约多项式 ? ?px 是 ? ?fx 的重因式的
? ?fx?充要条件是 ? ?px 是 ? ?fx 与 的公因式。
证：必要性由推论 1立得。
充分性，若 ? ?px 是
? ?fx 与 ? ?'fx
的公因式,则
? ?px 不是 ? ?fx 的单因式（否则，由推论 1知
的因式），故
? ?px
不是 ? ?fx? ? ?px 是 ? ?fx 的重因式。
推论 3,? ?fx 无重因式的充要条件是多项式
? ?fx 与 ? ?fx 互素。
第一章 多项式
推论 3表明，判别一个多项式有没有重因式，可
以利用辗转相除法得到。
在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论
多项式有没有重因式。
设多项式 ? ?fx 的标准分解式为：
? ? ? ? ? ? ? ?1212,skkknsf x a p x p x p x? L
由定理 1得：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 11112,skkk sf x p x p x p x g x???? ? L
故 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
12 11112,,skkk sf x f x p x p x p x???? ? L
第一章 多项式
于是,
有没有重因式，只要求1、判别 ? ?fx ? ? ? ?,f x f x?
? ?fx的最大公因式 ? ?,dx 的重因式的重数恰好是 ? ?dx
? ?fx中重因式的重数加 1。此法不能求 的单因式。
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?12,s
n
fxf x p x p x p x
a f x f x
? ??
? L
? ?Qx例 1.6.1 在 中分解多项式
? ? 4 3 22 1 1 1 2 3 6f x x x x x? ? ? ? ?
? ?fx2、分离重因式，即求 的所有不可约的单
因式：
第一章 多项式
? ? ? ? ? ?2223f x x x? ? ? ?
例 1.6.2：求多项式 3f x px q? ? ? 有重因式的条件。
3x px q??23 xp? 1
3x
3
3
pxx?
? ?1 23pr x x q??
? ?13322 qr x xpp? ? ?
3x
2 93
2
qxx
p?
9
2
q xp
p??
9
2
q
p?
0p?
2
2
9 27
24
qqx
pp??
2
2
27
4
qp
p?
第一章 多项式
1,当 ? ?
1 0rx ?
时，即 0,pq??
这时 f有重因式 3x
2,当 0p? 时，即 324 27 0pq?? 时，
? ? ? ?3f x x p x q? ? ?欲 有重因式，
只需 2
2
27 0,
4
qp
p??
即 324 2 7 0,pq??
重因式是 22
3
p xq???
????
例 1.6.3：用分离因式法（单因式化法）求多项式
? ? 5 4 3 23 5 6 2f x x x x x x? ? ? ? ? ?
在 Q上的标准分解式。
第一章 多项式
解：
? ?' 4 3 25 1 2 3 1 0 6,f x x x x x? ? ? ? ?
利用辗转相除法求得：
? ? ? ?? ? ? ? 2'2,2 1 1f x f x x x x? ? ? ? ?
把 ? ?fx 单因式化，得
? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
3 2 22 2 1 2
,
fx x x x x x
f x f x ? ? ? ? ? ? ??
由于 ? ? ? ?? ? ? ? 2,1,f x f x x? ??
故 ? ?1x? 是 ? ?fx 的 3重因式,2 2x ? 是 ? ?fx 的单因式，
故 ? ?fx 在 Q上的标准分解式为
? ? ? ? ? ?3 212f x x x? ? ?
第一章 多项式
多项式 ? ?fx 在 ? ?Fx 中没有重因式，问题：
? ?fx 在 ? ?Fx
中是否也没有重因式？
由于多项式 ? ?
fx
的导数以及两个多项式互素
与否在由数域 F过渡到含 F的数域 F 时并无改变，
故 ? ?fx 有没有重因式不因数域的扩大而改变。
第一章 多项式
定义 1,不可约多项式 ? ?px 称为 ? ?fx 的 k重因式
? ?,kN? 如果 ? ? ? ?,kp x f x 而 。? ? ? ?1kp x f x?
当 k=1时,? ?px 就称 ? ?fx 的单因式，
当 k>1时,? ?px 称为 ? ?fx 的重因式。
如果 ? ?
fx
的标准分解式为：
? ? ? ? ? ? ? ?1212,skkknsf x a p x p x p x? L
则 ? ? ? ?
1,,sp x p xL
分别是 ? ?fx 的因式，且分别为
1,,skkL
重。
第一章 多项式
要求 ? ?fx 的重因式，只要把 ? ?fx
式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项
的标准分解
式分解为不可约因式的乘积。
因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重
因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。
定义 2：
的一阶导数指的是多项式：
? ? 112 2 nnf x a a x n a x ?? ? ? ? ?L（形式定义）
? ? 01 nnf x a a x a x? ? ? ?L多项式
一阶导数 ? ?fx? 的导数称为 ? ?fx 的二阶导数,记为
? ?fx??
第一章 多项式
? ?fx?? 的导数称为 ? ?fx 的三阶导数，记为 ? ?fx???
… … … …
? ?fx 的 k阶导数记为 ? ?()kfx
多项式的求导法则：
1,? ? ? ?? ? ? ? ? ? ;f x g x f x g x? ??? ? ?
2,? ?? ? ? ? ;c f x c f x? ??
3,? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;f x g x f x g x f x g x? ????
4,? ? ? ? ? ?1,mmf x mf x f x?? ??? ?
??
第一章 多项式
定理 1.6.1,若不可约多项式 ? ?px 是 ? ?fx
的 k重因式（ k>1），则 ? ?px 是 ? ?fx?
式，特别多项式 ? ?fx 的单因式不是 ? ?fx?
式。
证,? ? ? ? ? ?,kf x p x g x?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1kkf x k p x p x g x p x g x?? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1kp x k p x g x p x g x? ???? ????
? ? ? ? ? ? ? ?,,p x g x p x p x?
的 k-1重因
的因
第一章 多项式
? ? ? ? ? ?,p x p x g x??
从而 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,p x k p x g x p x g x?? ?????
于是 ? ?px 是 ? ?
fx? 的 k-1重因式。
推论 1,若不可约多项式 ? ?px 是 ? ?fx 的 k重因式
不是 ? ?
()kfx 的因式。
证,? ?px 是 ? ?fx? 的 k-1重因式，
? ?px 是 ? ?fx?? 的 k-2重因式，
… … … … …
（ k>1），则 ? ?px 是 ? ? ? ? ? ?' ( 1 ),,,kf x f x f x?L 的因式，但
第一章 多项式
? ?px 是 ? ?( 1)kfx? 的（ k-(k-1)=1）单因式，
因而不是 ? ?
()kfx
的因式。
推论 2,不可约多项式 ? ?px 是 ? ?fx 的重因式的
? ?fx?充要条件是 ? ?px 是 ? ?fx 与 的公因式。
证：必要性由推论 1立得。
充分性，若 ? ?px 是
? ?fx 与 ? ?'fx
的公因式,则
? ?px 不是 ? ?fx 的单因式（否则，由推论 1知
的因式），故
? ?px
不是 ? ?fx? ? ?px 是 ? ?fx 的重因式。
推论 3,? ?fx 无重因式的充要条件是多项式
? ?fx 与 ? ?fx 互素。
第一章 多项式
推论 3表明，判别一个多项式有没有重因式，可
以利用辗转相除法得到。
在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论
多项式有没有重因式。
设多项式 ? ?fx 的标准分解式为：
? ? ? ? ? ? ? ?1212,skkknsf x a p x p x p x? L
由定理 1得：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 11112,skkk sf x p x p x p x g x???? ? L
故 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
12 11112,,skkk sf x f x p x p x p x???? ? L
第一章 多项式
于是,
有没有重因式，只要求1、判别 ? ?fx ? ? ? ?,f x f x?
? ?fx的最大公因式 ? ?,dx 的重因式的重数恰好是 ? ?dx
? ?fx中重因式的重数加 1。此法不能求 的单因式。
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?12,s
n
fxf x p x p x p x
a f x f x
? ??
? L
? ?Qx例 1.6.1 在 中分解多项式
? ? 4 3 22 1 1 1 2 3 6f x x x x x? ? ? ? ?
? ?fx2、分离重因式，即求 的所有不可约的单
因式：
第一章 多项式
? ? ? ? ? ?2223f x x x? ? ? ?
例 1.6.2：求多项式 3f x px q? ? ? 有重因式的条件。
3x px q??23 xp? 1
3x
3
3
pxx?
? ?1 23pr x x q??
? ?13322 qr x xpp? ? ?
3x
2 93
2
qxx
p?
9
2
q xp
p??
9
2
q
p?
0p?
2
2
9 27
24
qqx
pp??
2
2
27
4
qp
p?
第一章 多项式
1,当 ? ?
1 0rx ?
时，即 0,pq??
这时 f有重因式 3x
2,当 0p? 时，即 324 27 0pq?? 时，
? ? ? ?3f x x p x q? ? ?欲 有重因式，
只需 2
2
27 0,
4
qp
p??
即 324 2 7 0,pq??
重因式是 22
3
p xq???
????
例 1.6.3：用分离因式法（单因式化法）求多项式
? ? 5 4 3 23 5 6 2f x x x x x x? ? ? ? ? ?
在 Q上的标准分解式。
第一章 多项式
解：
? ?' 4 3 25 1 2 3 1 0 6,f x x x x x? ? ? ? ?
利用辗转相除法求得：
? ? ? ?? ? ? ? 2'2,2 1 1f x f x x x x? ? ? ? ?
把 ? ?fx 单因式化，得
? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
3 2 22 2 1 2
,
fx x x x x x
f x f x ? ? ? ? ? ? ??
由于 ? ? ? ?? ? ? ? 2,1,f x f x x? ??
故 ? ?1x? 是 ? ?fx 的 3重因式,2 2x ? 是 ? ?fx 的单因式，
故 ? ?fx 在 Q上的标准分解式为
? ? ? ? ? ?3 212f x x x? ? ?
第一章 多项式
多项式 ? ?fx 在 ? ?Fx 中没有重因式，问题：
? ?fx 在 ? ?Fx
中是否也没有重因式？
由于多项式 ? ?
fx
的导数以及两个多项式互素
与否在由数域 F过渡到含 F的数域 F 时并无改变，
故 ? ?fx 有没有重因式不因数域的扩大而改变。
