§ 1.4 多项式的最大公因式
第一章 多项式
一、两个多项式的最大公因式
定义 1,? ? ? ? ? ? ? ?,,,f x g x h x F x?
若 ? ? ? ? ? ? ? ?,,h x g x h x f x
则 ? ?hx 是 ? ? ? ?,f x g x 的一个公因式。
的一个公因式。
定义 2,设 ? ?dx 是 ? ? ? ?,f x g x 的一个公因式。
若 ? ? ? ?,f x g x 的任一个公因式 ? ?hx 均有 ? ? ? ?,h x d x
则称 ? ?dx 是 ? ? ? ?,f x g x 的最大公因式。
3 3 2,1f x x g x x x? ? ? ? ? ?1hx?? 是
例如
第一章 多项式
问题,1、如何求两个多项式的最大公因式？
2、最大公因式是否唯一？
引理,若 ? ? ? ? ? ? ? ?,f x g x q x r x??
与
公因式和最大公因式。
证,1、设 ? ?hx 是 ? ? ? ?,f x g x 的公因式
? ? ?hx 是 ? ? ? ?,g x r x 的公因式。
反之，设 ? ?hx 是 ? ? ? ?,g x r x 的公因式
? ? ?hx 是 ? ? ? ?,f x g x 的公因式。
则两对多项式 ? ?fx 与 ? ?gx, ? ?gx ? ?rx 有相同的
第一章 多项式
2、设 ? ?dx 是 ? ? ? ?,f x g x 的最大公因式
? ? ?dx 是 ? ? ? ?,g x r x 的公因式，
对 ? ? ? ?,g x r x 的任一公因式 ? ?mx
? ? ?mx 是 ? ? ? ?,f x g x 的公因式 ? ? ? ? ?m x d x
故 ? ?
dx
是 ? ? ? ?,g x r x 的最大公因式。
反之同样成立。
? ? ? ?,f x g x 的最大公因式可以由引理知，要求
转化为求 ? ?gx 与 ? ?rx 的最大公因式。由于
? ?? ? ? ?? ?r x g x? ? ?
根据这种思想，我们可以对
第一章 多项式
? ? ? ?,f x g x 进行如下的辗转相除：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 1
1 2 2 2 1
1 2 3 3 3 2
2 1 1
1 1 1
,,
,,
,,
,,
0,0.
k k k k k k
k k k k
f x g x q x r x r x g x
g x r x q x r x r x r x
r x r x q x r x r x r x
r x r x q x r x r x r x
r x r x q x r x
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ??
?
?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ?
?
LLLLLLLL
（ 1.4.1）
当进行到某一步时，余式为 0。
例如 ? ?
1 0,krx? ?
则上一个式子的余式 ? ?
krx
就是 ? ? ? ?,f x g x 的最大公因式。
第一章 多项式
? ?1 0,krx? ? 于是得
定理 1.4.1,? ? ? ?,f x g x若两个多项式 经辗转相除
后得一系列等式（ 1.4.1），则 ? ? ? ?f x g x与
的最大公因式为 。? ?krx
定理 1.4.2,? ?Fx 中任意两个多项式 ? ? ? ?f x g x与
的最大公因式必存在，且若 ? ?
dx 是 ? ? ? ?,f x g x
? ? ? ? ? ?,u x v x F x?的最大公因式,则必存在,使
由于余式的次数不断降低，而 ? ?gx 的次数是有限
的，故经过有限次辗转相除之后,必然有余式
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,d x f x u x g x v x??
第一章 多项式
证明,1、若 ? ? ? ? 0,f x g x??
则 ? ? ? ?,f x g x 的最大公因式是 0。
显然有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,d x f x u x g x v x?? ? ? ? ?,u x v x 任意。
2、若 ? ? ? ?0,0,f x g x?? 则 ? ? ? ?,f x g x 的最大公
因式是 ? ? ? ? ? ? ? ?
1.f x f x g x v x? ? ?? ?vx
任意。
3、若 ? ? ? ?0,0,f x g x??
使
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?kd x r x f x u x g x v x? ? ?
则由定理 1.4.1知，经辗转相除后可求出它们的最
由（ 1.4.1）可求得 ? ? ? ?,u x v x大公因式为 ? ?
krx
第一章 多项式
设 ? ? ? ?
12,d x d x
都是 ? ? ? ?,f x g x 的最大公因式，
则有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 2 1 2 1,,d x d x d x d x d x c d x??
即两个最大公因式之间仅差一个零次因子。
若用 ? ? ? ?? ?,f x g x 表示 ? ? ? ?,f x g x 中首项系数为 1的
最大公因式，则 ? ? ? ?? ?,f x g x 唯一确定。
第一章 多项式
例 1.4.1,设 ? ? 4 3 23 4 3,f x x x x x? ? ? ? ?
? ? 323 1 0 2 3,g x x x x? ? ? ?
求 ? ? ? ?? ?
,f x g x
，和 ? ? ? ?,,u x v x
使 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,f x g x u x f x v x g x??
解：（利用辗转相除法）
二、两个多项式互素
? ? ? ? ? ?,,f x g x F x? 若 ? ? ? ?? ?,1,f x g x ?定义 3：
则称 ? ? ? ?,f x g x 互素。
定理 1.4.5,? ? ? ?? ?,1f x g x ?
? ? ? ? ? ?,,u x v x F x?
的充要条件是存在
? ? ? ? ? ? ? ? 1f x u x g x v x??使
第一章 多项式
多项式互素的性质。
性质 1,若 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?,1,,1,f x h x g x h x??
则 ? ? ? ? ? ?? ?,1,f x g x h x ?
证：
1,f u h v f g u h g v g? ? ? ?
( ) ( ) ( ),( ) ( )d x f x g x d x h x
( ) ( ) ( ) 1,d x g x d x??
性质 2,若 ? ? ? ? ? ?,h x f x g x且 ? ? ? ?? ?,1,h x f x ?
则 ? ? ? ?.h x g x
证,1,.h u f v h g u f g v g h g? ? ? ? ?
第一章 多项式
性质 3,若 ? ? ? ? ? ? ? ?,,g x f x h x f x又 ? ? ? ?? ?,1,g x h x ?
则 ? ? ? ? ? ?,g x h x f x
证,1,g u h v g f u f h v f? ? ? ?
11,f g g f h h??
代入上式即知
三、多个多项式的情况
定义 4,设 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1,,,,1,,nif x f x F x h x f x i n??LL
则称 ? ?
hx
是这组多项式的公因式,若 ? ?dx 是
? ? ? ?1,,nf x f xL 的公因式,且这组多项式的任一公因式
? ?dx都能整除 。则称 ? ?dx 是 的最大公? ? ? ?1,,nf x f xL
因式。
第一章 多项式
则称 ? ?
dx 是 ? ? ? ?1,,nf x f xL
的最大公因式。
用 ? ?
12,,nf f fL
表示首一的最大公因式，
则 ? ? ? ?? ? ? ?
1 2 1 1,,,,,n n nf f f f f f d x???LL
性质 1,若 ? ?12,,,nf f f d?L 则 ? ?12,,,,nu u u F x??L
使 。
1 1 2 2 nnf u f u f u d? ? ? ?L
性质 2、若 ? ?
12,,1,nf f f ?L
则称
12,,nf f fL
互素。
性质 3、若 ? ?,1,,,1,,
ijf f i j i j n? ? ? L
则称
12,,nf f fL
两两互素。
性质 4,互素12,,nf f fL
? 12
,,nf f fL 两两互素。
第一章 多项式
例 1.4.2 设
2 2 21 2 34 3,6 8,3 10,f x x f x x f x x? ? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 3,,f f f
互素，但 。? ?
23,2f f x??
? ?1 2 3 1 21,2 2,2,1f x f x f f f x? ? ? ? ? ? ?又 互 素, 但
性质 5、
12,,nf f fL12,,nf f fL
两两互素 ? 互素。
注意,? ?
2nn?
个多项式的最大公因式（互素）
不随数域的扩大而改变。