§ 1.10 多元多项式
第一章 多项式
前面介绍了一元多项式的基本性质，但是除了
一元多项式外；还有含多个文字的多项式，即多元
多项式，如
22 2,x y x y?? 3 3 2 23 3,x y x y x y? ? ?
下面简单介绍有关多元多项式的一些概念。
设 F是一个数域,12,,,nx x xL 是 n个文字，
形如
1212 nkkk na x x xL — （ 1）
的式子，
其中
12,,,,na F k k k? L
是非负整数，称为一个单项式。
如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么
它们就称为同类项。一些单项式的和
12
12
12
12
,,,
n
n
n
kkk
k k k n
k k k
a x x x? L
L
L
第一章 多项式
就称为 n元多项式，简称多项式，
记为 ? ?
12,,,nf x x xL
— （ 2）
和一元多项式一样,n元多项式也可以定义相
等，相加、相减、相乘。
1,相等,如果 F上两个 n元多项式有完全相同的项
（或者只差一些系数为零的项），则称
这两个多项式是相等的。
2,相加,F上两个 n元多项式 ? ?
12,,,nf x x xL
与
? ?12,,,ng x x xL 的和指的是把分别出现
在这两个多项式中对应的同类项的系数相
加多得的 n元多项式。
第一章 多项式
例如,设 ? ? 3 2 2 3 2 3
1 2 3 1 1 2 1 2 2 3 3,,3 2f x x x x x x x x x x x? ? ? ? ?
? ? 2 2 3 2 31 2 3 1 2 1 2 2 3 3,,2 3 3 2g x x x x x x x x x x? ? ? ?
则 f与 g的和是
? ? ? ? 3 2 2 3 2 31 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 2 3 3,,,,5 2f x x x g x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?
3,相减,? ?,f g f g? ? ? ?
设 ? ?
12,,,,ng F x x x? L
? ?12,,,.ng F x x x?? L
把 g的系数都换成各自的相反数，所得多项式
叫做 g的负多项式，记为,g?
第一章 多项式
4,相乘,F上两个 n元多项式 ? ?
12,,,nf x x xL
与
? ?12,,,ng x x xL
与 g的每一项相乘，然后把这些乘积相加
（合并同类项）所得的多项式称为 f与 g的
积，记为 fg。
的乘积指的是，先把 f的每一项
例如 ? ? 22
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3,,2f x x x x x x x x x x? ? ?
? ? 3 2 3 21 2 3 1 2 1 2 2 3,,3g x x x x x x x x x? ? ?
则
5 2 2 4 2 2 2 4 2 4 3 3 2 4
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3
3 2 2 2 2 3 2
1 2 3 1 2 3 2 3
2 6 2 3
3
f g x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
第一章 多项式
这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里
多项式的运算一致,n元多项式的运算满足以下运
算律：设 ? ?
12,,,,,,nf g h F x x x? L
则 ⑴ ? ? ? ?f g h f g h? ? ? ? ?（加法结合律）
⑵ f g g f? ? ? （加法交换律）
⑶ ? ? ? ?fg h f g h? （乘法结合律）
（乘法交换律）⑷ fg gf?
⑸ ? ?f g h fh g h? ? ? （乘法分配律）
我们把 F上一切 n个文字
12,,,nx x xL
的集合，连同以上定义的加法和乘法叫做 F上 n个文字
的多项式所成
第一章 多项式
12,,,nx x xL
的多项式环，记作 ? ?
12,,,.nF x x xL
同一元多项式一样，也可以谈论 n元多项式的次数。
设
? ? 11
1
1 2 1
,,
,,,,n
n
n
kk
n k k n
kk
f x x x a x x? ? L
L
LL
12 nk k k? ? ?L
称为单项式 1
1 1
n
n
kkk k na x xL L 的次数，
对 f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就
称为这个多项式 f的次数，记为 ? ?.f?
设 f,g是 F上两个不等于零的 n元多项式，则 f与
g的和与积的次数与 f,g的次数有如下关系：
1,? ? ? ?m a x,,f g f g? ? ? ? ?
2,? ?,f g f g? ? ? ? ? ?
第一章 多项式
结论 1是显然的，但要证明结论 2，还得先考虑
多元多项式的排列顺序，在一元多项式中，我们看
到多项式的升幂（或降幂）排列对许多问题的讨论
是方便的。为此，对多元多项式也引入一种排列顺
序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，
因而称为 字典排列法 。
每一类单项式（ 1）都对应一个 n元数组 ? ?
12,,,nk k kL
为了给单项式之间一个排列顺序的方法，我们
只要对 n元数但定义一个先后顺序就可以了。
其中
ik
为非负整数，这个对应是 1-1的，
设两个单项式分别对应 n元数组 ? ?
1,,nkkL
和 ? ?
1,,nllL
第一章 多项式
考虑,1,2,,.
iik l i n?? L
如果有,jn? 使
1 1 1 10,,0.jjk l k l??? ? ? ?L
而 0jjkl??
则称 n元数组 ? ?1,,nkkL 先于数组 ? ?1,,nllL
记为 ? ? ? ?
11,,,,nnk k l l?LL
于是对应于 ? ?
1,,nkkL
的单项式就排在对应于
? ?1,,nllL 的单项式前面。
例如，对多项式 2 3 2 3 2 4 2
1 2 3 1 2 4 1 3 432f x x x x x x x x x? ? ? ? ?
按字典排列法写出来就是：
? ? 4 2 3 2 3 2 21 4 1 1 2 3 1 2 4 3 4,,3 2f x x x x x x x x x x x? ? ? ? ?L
第一章 多项式
应该注意的是，
把一个多项式按字典排列法书写后，次数较
高的项并不一定排在次数较低的项的前面，例如
上面的首项次数为 4，第二项的次数为 6，而 7.f??
关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下
一节讨论对称多项式时将要用到
定理 1.10.1：
数域 F上两个非零的 n元多项式 ? ?
1,,nf x xL
和
? ?1,,ng x xL 的乘积的首项等于这两个多项式首项
的乘积。
第一章 多项式
证明,设 ? ?
1,,nf x xL
的首项为
1212,0nppp nax x x a ?L
? ?1,,ng x xL 的首项为 1212,0nqqq nb x x x b ?L
为了证明它们的积
1 1 2 212,nnpqp q p q nab x x x ??? L 为 fg的首项，
只要证明数组 ? ?
1 1 2 2,,,nnp q p q p q? ? ?L
先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了。
? ? ? ?11,,,,nnf x x g x xLL
的有序数组有三类：
中其他单项式所对应
① ? ?
1 1 2 2,,,nnp q p q p q? ? ?L
第一章 多项式
② ? ?1 1 2 2,,,nnl q l q l q? ? ?L
③ ? ?1 1 2 2,,,nnl k l k l k? ? ?L
其中 ? ? ? ?
1 2 1 2,,,,,,,nnp p p l l l?LL
? ? ? ?1 2 1 2,,,,,,.nnq q q k k k?LL
于是 ? ? ? ?
1 1 1 1,,,,,n n n np q p q p k p k? ? ? ? ?LL
? ? ? ?1 1 1 1,,,,,n n n np q p q l q l q? ? ? ? ?LL
? ? ? ?1 1 1 1,,,,.n n n np q p q l k l k? ? ? ? ?LL
这证明
1 1 2 212 nnpqp q p q na b x x x ??? L 在乘积 fg的首项。
第一章 多项式
推论 1.10.1,0,1,2,,,
if i m?? L
则 12 mf f fL
的首项等于每个
if
的首项的乘积。
如果
推论 1.10.2,如果 ? ? ? ?11,,0,,,0,nnf x x g x x??LL
则 ? ? ? ?
11,,,,0,nnf x x g x x ?LL
现在回到两个 n元多项式的乘积的次数上来，
设 ? ?
1,,nf x xL
是一个 n元多项式，
则称 f是一个 k次齐次多项式，简称 k次齐次。
如果 ? ?
1,,nf x xL
中各项都有同一次数 k，
例如 ? ? 4 3 2 2 2 2 2
1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 2 3,,f x x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ?
就是一个 4次齐次多项式。
第一章 多项式
两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的
次数就等于这两个多项式的次数之和。
任何一个 m次多项式 ? ?
1,,nf x xL
都可以唯一地表成几组齐次多项式的和，即
? ? ? ?11
0
,,,,
m
n i n
i
f x x f x x
?
? ?LL
? ?1,,inf x xL 是 i次齐次多项式，
若 0,
if ?
if
就是 f的一个 i次齐次成分。
数域 F上两个不等于零的 n元多项式的
乘积的次数等于这两个多项式次数的和。
定理 1.10.2：
第一章 多项式
证明：
设 ? ?
1,,,,nf g F x x? L
且 0,0,fg??
它们的次数分别为 m和 s，把 f与 g分别写成齐次
多项式的和：
01 mf f f f? ? ? L
01 sg g g g? ? ? L
这里,
ijfg
或者等于零，或者分别是 i次或 j次齐式
? ?0,1,,; 0,1,,,i m j s??LL并且 0,0,
msfg??
于是
0 0 0 1 0 s m sf g f g f g f g f g? ? ? ? ? ? ?LL
第一章 多项式
由推论 1.10.2,0,msfg ? 且是一个 m+s次齐式，
其余各项
ijfg
或者等于零，或者是一个次数低于 m+s的齐式。
因此 ? ? ? ? ? ?,f g m s f g? ? ? ? ? ? ? ?
同一元多项式一样,F上 n元多项式与多项式函
数是相同的。
对于数域 F上一个 n元多项式 ? ?
1,,nf x xL
对 F中任意 n个数
12,,,nc c cL
如果在 ? ?
1,,nf x xL
中，用
ic
代替
ix
就得到数域 F中一个确定的数，称为,
iixc?
第一章 多项式
1,2,,in? L 时多项式 ? ?1,,nf x xL 的值，
用 ? ?
1,,nf c cL
来表示。
如果 ? ?
1,,0,nf c c ?L
由此一个 n元多项式就确定一个 n元多项式函数。
则数组 ? ?
1,,nccL
叫做 ? ?
1,,nf x xL
的一个零点。
对 ? ? ? ?? ?
11,,,,,1,,,nn n ic c F c c c F i n? ? ? ? ?L L L
作映射,? ? ? ?
11,,,,nnc c f c c???LL
这个映射就确定一个由 nF 到 F的函数，
? ?1,,nf c cL 称为多项式 ? ?1,,nf x xL 在
? ?,1iix c i n? ? ? 的值。
第一章 多项式
设 ? ? ? ? ? ?
1 1 1,,,,,,,,n n nf x x g x x F x x?L L L
如果 ? ? ? ?
11,,,,nnf x x g x x?LL
则对 ? ?
1,,,nnc c F??L
都有 ? ? ? ?
11,,,,nnf c c g c c?LL
这说明相等的多项式确定相同的多项式函数。
下面证明其反面也成立。
定理 1.10.3,设 ? ? ? ?11,,,,,nnf x x F x x?LL
如果对任意 ? ?
1,,,nnc c F?L
都有 ? ?
1,,0,nf c c ?L
则 ? ?
1,,0,nf x x ?L
第一章 多项式
证明思路：
当 n=1时结论显然成立，假设对于 F上 n-1个文
字的多项式来说结论成立，现考虑 n个文字的多项式
? ?12,,,nf x x xL,把含有 nx 同一次幂的项归在一起并把
nx 的幂提到括号外，则
? ?1 2 0 1,,,.rn n r nf x x x u u x u x? ? ? ?LL
这里 ? ? ? ?
1 1 1 1,,,,,0,1,,,i i n nu u x x F x x i r??? ? ?L L L
任意取定 ? ?
11,,.nnc c c R ???L
代入得
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 0 1,,,.rc n n n n r ng x f c c x u c u c x u c x?? ? ? ? ?LL
第一章 多项式
? ?11,,,0,1,,,i i nu u c c F i r?? ? ?LL
已知对 ? ?
11,,,,nnnc c c F???L
有 ? ?
11,,,0,nnf c c c? ?L
取 ? ? 1
11,,,,nnnc c c F c F??? ? ?L
则有 ? ?
11,,,0,nnf c c c? ?L
由于定理对一元多项式成立，故有
? ? ? ?11,,0,0,1,,,i i nu c u c c i r?? ? ?LL
又由于对 nF 中 ? ?
11,,,nc c c ??? L
有 ? ? 0,
iuc ?
由归纳假设，故
? ?11,,0,0,1,,,inu x x i r? ??LL
从而 ? ?
1,,0,nf x x ?L
第一章 多项式
前面介绍了一元多项式的基本性质，但是除了
一元多项式外；还有含多个文字的多项式，即多元
多项式，如
22 2,x y x y?? 3 3 2 23 3,x y x y x y? ? ?
下面简单介绍有关多元多项式的一些概念。
设 F是一个数域,12,,,nx x xL 是 n个文字，
形如
1212 nkkk na x x xL — （ 1）
的式子，
其中
12,,,,na F k k k? L
是非负整数，称为一个单项式。
如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么
它们就称为同类项。一些单项式的和
12
12
12
12
,,,
n
n
n
kkk
k k k n
k k k
a x x x? L
L
L
第一章 多项式
就称为 n元多项式，简称多项式，
记为 ? ?
12,,,nf x x xL
— （ 2）
和一元多项式一样,n元多项式也可以定义相
等，相加、相减、相乘。
1,相等,如果 F上两个 n元多项式有完全相同的项
（或者只差一些系数为零的项），则称
这两个多项式是相等的。
2,相加,F上两个 n元多项式 ? ?
12,,,nf x x xL
与
? ?12,,,ng x x xL 的和指的是把分别出现
在这两个多项式中对应的同类项的系数相
加多得的 n元多项式。
第一章 多项式
例如,设 ? ? 3 2 2 3 2 3
1 2 3 1 1 2 1 2 2 3 3,,3 2f x x x x x x x x x x x? ? ? ? ?
? ? 2 2 3 2 31 2 3 1 2 1 2 2 3 3,,2 3 3 2g x x x x x x x x x x? ? ? ?
则 f与 g的和是
? ? ? ? 3 2 2 3 2 31 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 2 3 3,,,,5 2f x x x g x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?
3,相减,? ?,f g f g? ? ? ?
设 ? ?
12,,,,ng F x x x? L
? ?12,,,.ng F x x x?? L
把 g的系数都换成各自的相反数，所得多项式
叫做 g的负多项式，记为,g?
第一章 多项式
4,相乘,F上两个 n元多项式 ? ?
12,,,nf x x xL
与
? ?12,,,ng x x xL
与 g的每一项相乘，然后把这些乘积相加
（合并同类项）所得的多项式称为 f与 g的
积，记为 fg。
的乘积指的是，先把 f的每一项
例如 ? ? 22
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3,,2f x x x x x x x x x x? ? ?
? ? 3 2 3 21 2 3 1 2 1 2 2 3,,3g x x x x x x x x x? ? ?
则
5 2 2 4 2 2 2 4 2 4 3 3 2 4
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3
3 2 2 2 2 3 2
1 2 3 1 2 3 2 3
2 6 2 3
3
f g x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
第一章 多项式
这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里
多项式的运算一致,n元多项式的运算满足以下运
算律：设 ? ?
12,,,,,,nf g h F x x x? L
则 ⑴ ? ? ? ?f g h f g h? ? ? ? ?（加法结合律）
⑵ f g g f? ? ? （加法交换律）
⑶ ? ? ? ?fg h f g h? （乘法结合律）
（乘法交换律）⑷ fg gf?
⑸ ? ?f g h fh g h? ? ? （乘法分配律）
我们把 F上一切 n个文字
12,,,nx x xL
的集合，连同以上定义的加法和乘法叫做 F上 n个文字
的多项式所成
第一章 多项式
12,,,nx x xL
的多项式环，记作 ? ?
12,,,.nF x x xL
同一元多项式一样，也可以谈论 n元多项式的次数。
设
? ? 11
1
1 2 1
,,
,,,,n
n
n
kk
n k k n
kk
f x x x a x x? ? L
L
LL
12 nk k k? ? ?L
称为单项式 1
1 1
n
n
kkk k na x xL L 的次数，
对 f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就
称为这个多项式 f的次数，记为 ? ?.f?
设 f,g是 F上两个不等于零的 n元多项式，则 f与
g的和与积的次数与 f,g的次数有如下关系：
1,? ? ? ?m a x,,f g f g? ? ? ? ?
2,? ?,f g f g? ? ? ? ? ?
第一章 多项式
结论 1是显然的，但要证明结论 2，还得先考虑
多元多项式的排列顺序，在一元多项式中，我们看
到多项式的升幂（或降幂）排列对许多问题的讨论
是方便的。为此，对多元多项式也引入一种排列顺
序的方法，这种方法是模仿字典排列的原则得出的，
因而称为 字典排列法 。
每一类单项式（ 1）都对应一个 n元数组 ? ?
12,,,nk k kL
为了给单项式之间一个排列顺序的方法，我们
只要对 n元数但定义一个先后顺序就可以了。
其中
ik
为非负整数，这个对应是 1-1的，
设两个单项式分别对应 n元数组 ? ?
1,,nkkL
和 ? ?
1,,nllL
第一章 多项式
考虑,1,2,,.
iik l i n?? L
如果有,jn? 使
1 1 1 10,,0.jjk l k l??? ? ? ?L
而 0jjkl??
则称 n元数组 ? ?1,,nkkL 先于数组 ? ?1,,nllL
记为 ? ? ? ?
11,,,,nnk k l l?LL
于是对应于 ? ?
1,,nkkL
的单项式就排在对应于
? ?1,,nllL 的单项式前面。
例如，对多项式 2 3 2 3 2 4 2
1 2 3 1 2 4 1 3 432f x x x x x x x x x? ? ? ? ?
按字典排列法写出来就是：
? ? 4 2 3 2 3 2 21 4 1 1 2 3 1 2 4 3 4,,3 2f x x x x x x x x x x x? ? ? ? ?L
第一章 多项式
应该注意的是，
把一个多项式按字典排列法书写后，次数较
高的项并不一定排在次数较低的项的前面，例如
上面的首项次数为 4，第二项的次数为 6，而 7.f??
关于多项式的首项有以下定理，这个定理在下
一节讨论对称多项式时将要用到
定理 1.10.1：
数域 F上两个非零的 n元多项式 ? ?
1,,nf x xL
和
? ?1,,ng x xL 的乘积的首项等于这两个多项式首项
的乘积。
第一章 多项式
证明,设 ? ?
1,,nf x xL
的首项为
1212,0nppp nax x x a ?L
? ?1,,ng x xL 的首项为 1212,0nqqq nb x x x b ?L
为了证明它们的积
1 1 2 212,nnpqp q p q nab x x x ??? L 为 fg的首项，
只要证明数组 ? ?
1 1 2 2,,,nnp q p q p q? ? ?L
先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了。
? ? ? ?11,,,,nnf x x g x xLL
的有序数组有三类：
中其他单项式所对应
① ? ?
1 1 2 2,,,nnp q p q p q? ? ?L
第一章 多项式
② ? ?1 1 2 2,,,nnl q l q l q? ? ?L
③ ? ?1 1 2 2,,,nnl k l k l k? ? ?L
其中 ? ? ? ?
1 2 1 2,,,,,,,nnp p p l l l?LL
? ? ? ?1 2 1 2,,,,,,.nnq q q k k k?LL
于是 ? ? ? ?
1 1 1 1,,,,,n n n np q p q p k p k? ? ? ? ?LL
? ? ? ?1 1 1 1,,,,,n n n np q p q l q l q? ? ? ? ?LL
? ? ? ?1 1 1 1,,,,.n n n np q p q l k l k? ? ? ? ?LL
这证明
1 1 2 212 nnpqp q p q na b x x x ??? L 在乘积 fg的首项。
第一章 多项式
推论 1.10.1,0,1,2,,,
if i m?? L
则 12 mf f fL
的首项等于每个
if
的首项的乘积。
如果
推论 1.10.2,如果 ? ? ? ?11,,0,,,0,nnf x x g x x??LL
则 ? ? ? ?
11,,,,0,nnf x x g x x ?LL
现在回到两个 n元多项式的乘积的次数上来，
设 ? ?
1,,nf x xL
是一个 n元多项式，
则称 f是一个 k次齐次多项式，简称 k次齐次。
如果 ? ?
1,,nf x xL
中各项都有同一次数 k，
例如 ? ? 4 3 2 2 2 2 2
1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 2 3,,f x x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ?
就是一个 4次齐次多项式。
第一章 多项式
两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式，它的
次数就等于这两个多项式的次数之和。
任何一个 m次多项式 ? ?
1,,nf x xL
都可以唯一地表成几组齐次多项式的和，即
? ? ? ?11
0
,,,,
m
n i n
i
f x x f x x
?
? ?LL
? ?1,,inf x xL 是 i次齐次多项式，
若 0,
if ?
if
就是 f的一个 i次齐次成分。
数域 F上两个不等于零的 n元多项式的
乘积的次数等于这两个多项式次数的和。
定理 1.10.2：
第一章 多项式
证明：
设 ? ?
1,,,,nf g F x x? L
且 0,0,fg??
它们的次数分别为 m和 s，把 f与 g分别写成齐次
多项式的和：
01 mf f f f? ? ? L
01 sg g g g? ? ? L
这里,
ijfg
或者等于零，或者分别是 i次或 j次齐式
? ?0,1,,; 0,1,,,i m j s??LL并且 0,0,
msfg??
于是
0 0 0 1 0 s m sf g f g f g f g f g? ? ? ? ? ? ?LL
第一章 多项式
由推论 1.10.2,0,msfg ? 且是一个 m+s次齐式，
其余各项
ijfg
或者等于零，或者是一个次数低于 m+s的齐式。
因此 ? ? ? ? ? ?,f g m s f g? ? ? ? ? ? ? ?
同一元多项式一样,F上 n元多项式与多项式函
数是相同的。
对于数域 F上一个 n元多项式 ? ?
1,,nf x xL
对 F中任意 n个数
12,,,nc c cL
如果在 ? ?
1,,nf x xL
中，用
ic
代替
ix
就得到数域 F中一个确定的数，称为,
iixc?
第一章 多项式
1,2,,in? L 时多项式 ? ?1,,nf x xL 的值，
用 ? ?
1,,nf c cL
来表示。
如果 ? ?
1,,0,nf c c ?L
由此一个 n元多项式就确定一个 n元多项式函数。
则数组 ? ?
1,,nccL
叫做 ? ?
1,,nf x xL
的一个零点。
对 ? ? ? ?? ?
11,,,,,1,,,nn n ic c F c c c F i n? ? ? ? ?L L L
作映射,? ? ? ?
11,,,,nnc c f c c???LL
这个映射就确定一个由 nF 到 F的函数，
? ?1,,nf c cL 称为多项式 ? ?1,,nf x xL 在
? ?,1iix c i n? ? ? 的值。
第一章 多项式
设 ? ? ? ? ? ?
1 1 1,,,,,,,,n n nf x x g x x F x x?L L L
如果 ? ? ? ?
11,,,,nnf x x g x x?LL
则对 ? ?
1,,,nnc c F??L
都有 ? ? ? ?
11,,,,nnf c c g c c?LL
这说明相等的多项式确定相同的多项式函数。
下面证明其反面也成立。
定理 1.10.3,设 ? ? ? ?11,,,,,nnf x x F x x?LL
如果对任意 ? ?
1,,,nnc c F?L
都有 ? ?
1,,0,nf c c ?L
则 ? ?
1,,0,nf x x ?L
第一章 多项式
证明思路：
当 n=1时结论显然成立，假设对于 F上 n-1个文
字的多项式来说结论成立，现考虑 n个文字的多项式
? ?12,,,nf x x xL,把含有 nx 同一次幂的项归在一起并把
nx 的幂提到括号外，则
? ?1 2 0 1,,,.rn n r nf x x x u u x u x? ? ? ?LL
这里 ? ? ? ?
1 1 1 1,,,,,0,1,,,i i n nu u x x F x x i r??? ? ?L L L
任意取定 ? ?
11,,.nnc c c R ???L
代入得
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 0 1,,,.rc n n n n r ng x f c c x u c u c x u c x?? ? ? ? ?LL
第一章 多项式
? ?11,,,0,1,,,i i nu u c c F i r?? ? ?LL
已知对 ? ?
11,,,,nnnc c c F???L
有 ? ?
11,,,0,nnf c c c? ?L
取 ? ? 1
11,,,,nnnc c c F c F??? ? ?L
则有 ? ?
11,,,0,nnf c c c? ?L
由于定理对一元多项式成立，故有
? ? ? ?11,,0,0,1,,,i i nu c u c c i r?? ? ?LL
又由于对 nF 中 ? ?
11,,,nc c c ??? L
有 ? ? 0,
iuc ?
由归纳假设，故
? ?11,,0,0,1,,,inu x x i r? ??LL
从而 ? ?
1,,0,nf x x ?L
