§ 1.5 多项式的分解
第一章 多项式
在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个
多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在
分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不
能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再
分下去？
这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。
对于 ? ?Fx 中任一个多项式 ? ?,fx ? ?c F c f x? 及
总是 ? ?fx 的因式。 这样的因式称为平凡因式。
我们感兴趣的是，除了平凡因式外,? ?fx
还有没有其他的因式？
第一章 多项式
定义 1.5.1 设 ? ?fx 是 ? ?Fx 中次数大于零的多项式，
若 除F上不可约。 ? ?fx 平凡因式外，在 ? ?Fx 中还有
等价定义：
? ?fx 可分解成 中两个次数都小于 n 的多项式? ?Fx
? ? ? ?,g x h x 的积，即 则称? ? ? ? ? ?,f x g x h x?
? ?fx 在数域 F上可约。
? ?0nn?? ?Fx 中一个 次多项式如果
如果在 ? ?Fx 中,? ?fx 只有平凡因式,则称 ? ?fx 在数域
则称 ? ?fx 在数域 F上可约。其他因式，
一、不可约多项式
1、定义
第一章 多项式
由定义可得：
① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上
多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 2 2x ? 在 C上
可约，在 R中不可约）。
③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2,性质
性质 1 ? ?px 不可约，则 ? ?cp x 也不可约，
0,.c c F??
若
性质 2 若 ? ?px 是不可约多项式,? ? ? ?,f x F x??
第一章 多项式
则 ? ? ? ?p x f x ? ? ? ?? ?,1,p x f x ?
证：设 ? ? ? ?? ? ? ?,,p x f x d x?
由 ? ? ? ? ? ? 1d x f x d x??或 ? ? ? ?.d x cp x?
若 ? ? 1,dx ? 则 ? ? ? ?? ?,1,p x f x ?
若 ? ? ? ?,d x c p x? 则 ? ? ? ?p x f x
性质 3：若 ? ?px 不可约且 ? ? ? ? ? ?p x f x g x
则 ? ? ? ?p x f x 或 ? ? ? ?.p x g x
证,若 ? ? ? ?
,p x f x 则结论成立；
若 ? ? ? ?
p x f x
，又 ? ?px 不可约。
第一章 多项式
由性质 2,? ? ? ?? ?,1,p x f x ? 1,p u f v p g u f g v g? ? ? ?
? ? ? ?,p x g x?
推论,若 ? ?px 不可约且 ? ? ? ? ? ?
1,sp x f x f xL
则 ? ?px 必整除某个 ? ?
,1,if x i s??
二、因式分解
问题,? ? ? ? ? ?,0,f x F x f? ? ? ?? ?fx 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理 1.5.1,? ?Fx 中任一个 ? ?0nn? 次多项式 ? ?fx
都可以分解成 ? ?Fx 中不可约多项式的乘积。
第一章 多项式
证（归纳法）：
n=1时，命题显然成立。
假设命题对一切小于 n的多项式成立，则当
? ?? ?f x n?? 时，
1、若 ? ?fx 不可约成立；
2、若 ? ?fx 可约,? ? ? ? ? ?f x g x h x ? ? ? ?,.g n h n? ? ? ?
由假设知 ? ? ? ?,g x h x 均可分解为不可约 多项式的乘积。
问题,多项式 ? ?
fx 分解成不可约多项式的乘积
是否唯一？
第一章 多项式
若 ? ? ? ? ? ? ? ?12,rf x p x p x p x? L取
12 1.rc c c ?L
则 ? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 2 2,rrf x c p x c p x c p x? L
可见 ? ?fx 分解式不唯一。
定理 1.5.2,? ?Fx 中任一个次数大于零的多项式
? ?fx 分解成不可约多项式的乘积：
? ? ? ? ? ? ? ?12,rf x p x p x p x? L
成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两
个分解式：
? ?fx若不计零次多项式的差异和因式的顺序,分解
第一章 多项式
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2,rsf x p x p x p x q x q x q x?? LL
则有① r=s；
② 适当调整 ? ?
jqx
的位置后，有
? ? ? ? 1,2,,,iri i iq x c p x ?? L）
证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：
当 r=1时，结论显然成立。
假设当 ? ?fx 分解成 r-1个不可约因式时结论成立，
则当 ? ?
fx 分解成 r个因式时，有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2,rsf x p x p x p x q x q x q x?? LL
第一章 多项式
? ?1 1 2( ) ( ) ( )sp x q x q x q xL由于, 故存在某个 iq 使 1 ( ) ( )ip x q x
()iqx为方便起见不防设 就是 。1()qx
1 1 1q c p??
由归纳假设知，这时有 r-1=s-1。 故 r=s，且
三、标准（典型）分解式
在 ? ?fx 的分解中，可以把每个不可约因式的
1
2 1 1 2 2 2,q c c p c p
? ???,3,4,,
i i iq c p i r?? L
? ? ? ?2 1 2( ) ( )rsp x p x c q x q x?LL
,1,2,,i i iq c p i r?? L
故
第一章 多项式
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，
并把相同的因式合并，于是,? ?fx 的分解式就变成：
? ? ? ? ? ? ? ?1212,lkkknlf x a p x p x p x? L
首项系数? ? ? ?1,,lp x p xL 为 ? ?Fx 的首一不可约多项式，
1,每个多项式的标准分解式是唯一的。
2,利用多项式的标准分解式可以判断一个多项
式是否整除另一个多项式。
式。
1,,lkkL
为自然数，这种分解式称为 ? ?fx 的标准分解
第一章 多项式
3,利用多项式的标准分解式可以直接写出
? ? ? ?? ?,.f x g x
例如,? ? ? ? ? ? ? ?535 3 2 1,f x x x x? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?347 3 1 1,g x x x x? ? ? ?
则 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?3,3 1f x g x x x? ? ?
虽然根据多项式的标准分解式写出
? ? ? ?? ?,f x g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法
还是采用辗转相除法。
第一章 多项式
问：如何求 ? ?fx 的标准分解式？
例 1.5.1,求 ? ? 423 2,f x x x? ? ?
? ? ? ?,Q x R x在 中的标准分解式。
解,利用带余除法，知 1,1xx?? 都是 ? ?fx 的因式，
即有 。? ?2 1x f x?
? ? ? ? ? ?2212f x x x? ? ?? ? ? ? ? ?21 1 2x x x? ? ? ?
如何知道 xa? 是不是 ? ?fx 的一个因式？
xa? 是 ? ?fx 的一个因式的充要条件是 ? ? 0.fa ?
? ?Qx在 上
? ?Rx在 上 ? ? ? ? ? ?22 1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )f x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?
第一章 多项式
例 1.5.2,求 ? ? 4 4f x x?? 在 ? ? ? ? ? ?,,Q x R x C x
上的标准分解式。
解,在 Q上,? ? ? ? ? ?
222 2 ;f x x x? ? ?
在 R上,? ? ? ? ? ? ? ?22 2 2 ;f x x x x? ? ? ?
在 C上,? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2,f x x x x i x i? ? ? ? ?
例 1.5.3：在 R上分解 ? ? 4261f x x x? ? ?
? ? ? ?22( ) 2 2 1 2 2 1f x x x x x? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 1 2 1 2 1x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?
解：
第一章 多项式
在中学代数里我们学过因式分解，就是把一个
多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积。在
分解过程中，有时感到不能再分解了也就认为它不
能再分了，但是当时没有理论根据，到底能不能再
分下去？
这里我们将系统地讨论多项式的分解问题。
对于 ? ?Fx 中任一个多项式 ? ?,fx ? ?c F c f x? 及
总是 ? ?fx 的因式。 这样的因式称为平凡因式。
我们感兴趣的是，除了平凡因式外,? ?fx
还有没有其他的因式？
第一章 多项式
定义 1.5.1 设 ? ?fx 是 ? ?Fx 中次数大于零的多项式，
若 除F上不可约。 ? ?fx 平凡因式外，在 ? ?Fx 中还有
等价定义：
? ?fx 可分解成 中两个次数都小于 n 的多项式? ?Fx
? ? ? ?,g x h x 的积，即 则称? ? ? ? ? ?,f x g x h x?
? ?fx 在数域 F上可约。
? ?0nn?? ?Fx 中一个 次多项式如果
如果在 ? ?Fx 中,? ?fx 只有平凡因式,则称 ? ?fx 在数域
则称 ? ?fx 在数域 F上可约。其他因式，
一、不可约多项式
1、定义
第一章 多项式
由定义可得：
① 一次多项式是不可约多项式（二次及二次以上
多项式是否可约是重点讨论对象）；
② 多项式的可约性与数域有关（例 2 2x ? 在 C上
可约，在 R中不可约）。
③ 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性。
2,性质
性质 1 ? ?px 不可约，则 ? ?cp x 也不可约，
0,.c c F??
若
性质 2 若 ? ?px 是不可约多项式,? ? ? ?,f x F x??
第一章 多项式
则 ? ? ? ?p x f x ? ? ? ?? ?,1,p x f x ?
证：设 ? ? ? ?? ? ? ?,,p x f x d x?
由 ? ? ? ? ? ? 1d x f x d x??或 ? ? ? ?.d x cp x?
若 ? ? 1,dx ? 则 ? ? ? ?? ?,1,p x f x ?
若 ? ? ? ?,d x c p x? 则 ? ? ? ?p x f x
性质 3：若 ? ?px 不可约且 ? ? ? ? ? ?p x f x g x
则 ? ? ? ?p x f x 或 ? ? ? ?.p x g x
证,若 ? ? ? ?
,p x f x 则结论成立；
若 ? ? ? ?
p x f x
，又 ? ?px 不可约。
第一章 多项式
由性质 2,? ? ? ?? ?,1,p x f x ? 1,p u f v p g u f g v g? ? ? ?
? ? ? ?,p x g x?
推论,若 ? ?px 不可约且 ? ? ? ? ? ?
1,sp x f x f xL
则 ? ?px 必整除某个 ? ?
,1,if x i s??
二、因式分解
问题,? ? ? ? ? ?,0,f x F x f? ? ? ?? ?fx 是否可分解为
不可约多项式的乘积？
定理 1.5.1,? ?Fx 中任一个 ? ?0nn? 次多项式 ? ?fx
都可以分解成 ? ?Fx 中不可约多项式的乘积。
第一章 多项式
证（归纳法）：
n=1时，命题显然成立。
假设命题对一切小于 n的多项式成立，则当
? ?? ?f x n?? 时，
1、若 ? ?fx 不可约成立；
2、若 ? ?fx 可约,? ? ? ? ? ?f x g x h x ? ? ? ?,.g n h n? ? ? ?
由假设知 ? ? ? ?,g x h x 均可分解为不可约 多项式的乘积。
问题,多项式 ? ?
fx 分解成不可约多项式的乘积
是否唯一？
第一章 多项式
若 ? ? ? ? ? ? ? ?12,rf x p x p x p x? L取
12 1.rc c c ?L
则 ? ? ? ? ? ? ? ?
1 1 2 2,rrf x c p x c p x c p x? L
可见 ? ?fx 分解式不唯一。
定理 1.5.2,? ?Fx 中任一个次数大于零的多项式
? ?fx 分解成不可约多项式的乘积：
? ? ? ? ? ? ? ?12,rf x p x p x p x? L
成不可约因式的乘积分解式是唯一的，此即若有两
个分解式：
? ?fx若不计零次多项式的差异和因式的顺序,分解
第一章 多项式
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2,rsf x p x p x p x q x q x q x?? LL
则有① r=s；
② 适当调整 ? ?
jqx
的位置后，有
? ? ? ? 1,2,,,iri i iq x c p x ?? L）
证（对分解式中的因式个数用数学归纳法证明）：
当 r=1时，结论显然成立。
假设当 ? ?fx 分解成 r-1个不可约因式时结论成立，
则当 ? ?
fx 分解成 r个因式时，有
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2,rsf x p x p x p x q x q x q x?? LL
第一章 多项式
? ?1 1 2( ) ( ) ( )sp x q x q x q xL由于, 故存在某个 iq 使 1 ( ) ( )ip x q x
()iqx为方便起见不防设 就是 。1()qx
1 1 1q c p??
由归纳假设知，这时有 r-1=s-1。 故 r=s，且
三、标准（典型）分解式
在 ? ?fx 的分解中，可以把每个不可约因式的
1
2 1 1 2 2 2,q c c p c p
? ???,3,4,,
i i iq c p i r?? L
? ? ? ?2 1 2( ) ( )rsp x p x c q x q x?LL
,1,2,,i i iq c p i r?? L
故
第一章 多项式
首项系数提出来，使之成为首一不可约多项式，
并把相同的因式合并，于是,? ?fx 的分解式就变成：
? ? ? ? ? ? ? ?1212,lkkknlf x a p x p x p x? L
首项系数? ? ? ?1,,lp x p xL 为 ? ?Fx 的首一不可约多项式，
1,每个多项式的标准分解式是唯一的。
2,利用多项式的标准分解式可以判断一个多项
式是否整除另一个多项式。
式。
1,,lkkL
为自然数，这种分解式称为 ? ?fx 的标准分解
第一章 多项式
3,利用多项式的标准分解式可以直接写出
? ? ? ?? ?,.f x g x
例如,? ? ? ? ? ? ? ?535 3 2 1,f x x x x? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?347 3 1 1,g x x x x? ? ? ?
则 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?3,3 1f x g x x x? ? ?
虽然根据多项式的标准分解式写出
? ? ? ?? ?,f x g x 是简单的，但由于任意多项式的典型
分解式并不容易求得，故求最大公因式的一般方法
还是采用辗转相除法。
第一章 多项式
问：如何求 ? ?fx 的标准分解式？
例 1.5.1,求 ? ? 423 2,f x x x? ? ?
? ? ? ?,Q x R x在 中的标准分解式。
解,利用带余除法，知 1,1xx?? 都是 ? ?fx 的因式，
即有 。? ?2 1x f x?
? ? ? ? ? ?2212f x x x? ? ?? ? ? ? ? ?21 1 2x x x? ? ? ?
如何知道 xa? 是不是 ? ?fx 的一个因式？
xa? 是 ? ?fx 的一个因式的充要条件是 ? ? 0.fa ?
? ?Qx在 上
? ?Rx在 上 ? ? ? ? ? ?22 1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 )f x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?
第一章 多项式
例 1.5.2,求 ? ? 4 4f x x?? 在 ? ? ? ? ? ?,,Q x R x C x
上的标准分解式。
解,在 Q上,? ? ? ? ? ?
222 2 ;f x x x? ? ?
在 R上,? ? ? ? ? ? ? ?22 2 2 ;f x x x x? ? ? ?
在 C上,? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2,f x x x x i x i? ? ? ? ?
例 1.5.3：在 R上分解 ? ? 4261f x x x? ? ?
? ? ? ?22( ) 2 2 1 2 2 1f x x x x x? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 1 2 1 2 1x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?
解：
