§ 1.2 一元多项式的定义和运算
第一章 多项式
一、多项式的概念
中学多项式的定义,n个单项式（不含加法或减
法运算的整式）的代数和叫多项式。
例,4a+3b，
23 2 1,xx?? 31.
25y ?
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是
形式表达式。
后来又把多项式定义为 R上的函数：
? ? 01 nnf x a a x a x? ? ? ?L
但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中
并没有交代。
第一章 多项式
问题,1、高等代数中采用什么观点定义多项式？
2、多项式的形式观点与多项式的函数观点
是否矛盾？
定义 1,设 x是一个文字（或符号）,n是一个非负整数
形式表达式
01
0
n
ni
ni
i
a a x a x a x
?
? ? ? ? ?L — （ 2.1）
其中
01,,,na a a F?L,称为数域 F上的一元多项式。
常数项或
零次项 首项首项系数
na 0na ?
ia 称为 i次项系数。
第一章 多项式
高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方
面推广了中学的多项式定义：
1,这里 x不再局限为实数而是任意的文字或符号。
2,系数可以是任意数域。
例 1.2.1,? ? 231 2 3 9f x x x x? ? ? ?是 Q上多项式；
? ? 232f x x x? ? ?是 R上多项式；
? ? 235f x ix x? ? ? 是 C上多项式。
3
231 3 2,,
1
xxx ax
xx
? ???
?
都不是多项式。
第一章 多项式
定义 2,? ? ? ?,f x g x 是两个多项式，
? ? ? ?f x g x?
c
除系数为 0的项之外，同次项的系数都相等。
多项式的表法唯一 。
方程
01 0nna a x a x? ? ? ?L
是一个条件等式而不是
两个多项式相等。
定义 3,设 ? ?
01,0,nnnf x a a x a x a? ? ? ? ?L
非负整数 n称为 ? ?fx 的次数，记为：
? ?? ?,f x n??
最高次项，
亦称为首项。
第一章 多项式
例 1.2.2,? ? ? ?? ?23 2 1,2,f x x x f x? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?3,0f x f x? ? ?
零次多项式,次数为 0的多项式即非零常数。
零多项式,系数全为 0的多项式。对零多项式不
个多项式不是零多项式。
首一多项式,首项系数为 1的多项式。
二、多项式的运算
定义 4,设 ? ?
01 nnf x a a x a x? ? ? ?L
? ? 01 mmg x b b x b x? ? ? ?L是数域 F上次数分别
定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这
第一章 多项式
为 n和 m的两个多项式 ? ?mn?,
则 ? ?fx 与 ? ?gx 的和 ? ? ? ?f x g x? 为：
? ? ? ? ? ? ? ?0 0 1 1 mnm m n na b a b x a b x a b x? ? ? ? ? ? ? ? ?LL
? ?
0
n
i
ii
i
a b x
?
???
。当 m<n时，取 。
1 0mnbb? ? ? ?L
? ? ? ? ? ? ? ?f x g x f x g x? ? ? ?????? ?
0
n
i
ii
i
a b x
?
???
定义 5,设 ? ? ? ?,f x g x 如上,? ?gx与? ?fx 的积为
? ? ? ? 01 nmnmf x g x c c x c x ??? ? ? ? ?L
第一章 多项式
0 1 1 1 1 0,k k k k k i j
i j k
c a b a b a b a b a b??
??
? ? ? ? ? ? ?L
? ? ? ?
0
nm
k
ij
k i j k
f x g x a b x
?
? ? ?
????
??
??
??
例 1.2.3：设 ? ? ? ?2 3 23 4 5,2 1f x x x g x x x x? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 32 5 5 6f x g x x x x? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
5 4 3
2
3 4 6 5 8 3
1 0 4 3 5 4 5
f x g x x x x
xx
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
其中
0,1,,.k n m??L
相乘积的和作为 kx 的系数。得：
把 中两个系数下标之和为 k的对应项? ? ? ?,f x g x
第一章 多项式
多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：
加法交换律, ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x g x f x? ? ?
加法结合律, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x h x f x g x h x? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
乘法交换律, ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x g x f x? ? ?
乘法结合律, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x h x f x g x h x? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
乘法对加法的分配律,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x h x f x g x f x h x? ? ?????
第一章 多项式
下面证明多项式乘法满足结合律。
证：设
? ? ? ? ? ?3
0 0 0
,,
n m l
ik
i j k
i j k
f x a x g x b x h x c x
? ? ?
? ? ?? ? ?
现证 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?f x g x h x f x g x h x?
这只要比较两边同次项（比如 t次项系数）相等即可。
Q 左边 ? ? ? ?f x g x 中 S次项的系数是：
ij
i j s
ab
??
?
? 左边 ? ? ? ?? ? ? ?f x g x h xt次项的系数是：
i j k i j k
k s t i j s i j k t
a b c a b c
? ? ? ? ? ? ?
?? ?
??
??
? ? ?
Q 右边 ? ? ? ?g x h x 中 r次项的系数是：
jk
j k r
bc
??
?
第一章 多项式
? 右边 ? ? ? ? ? ?? ?f x g x h x的 t次项的系数是：
i j k i j k
i r t j k r i j k t
a b c a b c
? ? ? ? ? ? ?
?? ?
??
??? ? ?
左、右两边同次项的系数相等，
? 乘法满足结合律。
三、多项式的次数定理
定理 2.1.1,设 ? ? ? ?0,0f x g x??
① 当 ? ? ? ? 0f x g x?? 时，则
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?m a x,f x g x f x g x??? ? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?f x g x f x g x? ? ? ? ?②
第一章 多项式
证：设 ? ? ? ?
01,0,nnnf x a a x a x a f n? ? ? ? ? ? ?L
? ? ? ?01,0,mmmg x b b x b x b g m? ? ? ? ? ? ?L
当,mn? 令
1 0mnbb? ? ? ?L
? ? ? ? ? ?
0
n
i
ii
i
f x g x a b x
?
? ? ?? ? ? ? ?? ?f x g x n? ? ?
? ? ? ?
0
,
nm
k
ii
k i j k
f x g x a b x
?
? ? ?
????
??
????
0,0 0n m n ma b a b? ? ? ?
? ? ? ? 0f x g x??
? ? ? ?f x g x n m? ? ? ? ?????
多项式乘法没有零因子 。
第一章 多项式
推论 1：若 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0f x g x f x x? ? ? ? ?或 g
证：若 f=0或 g=0，则必有 fg=0。
反之，若 ? ? ? ?
0,0f x g x??
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 0f x g x f x g x? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 0f x g x??,矛盾。
乘法消去律成立 。
推论 2：若 ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x f x h x? 且 ? ? 0fx ?
则 ? ? ? ?g x h x?
证,? ? ? ? ? ? 0f x g x h x????
??
由于 ? ? 0fx ? 故 ? ? ? ? 0g x h x??
第一章 多项式
定义 5,? ? ? ?F x F? 数 域 上 所 有 一 元 多 项 式 全 体
? ? ? ?nFx ? 次 数 小 与 n 的 一 元 多 项 式 全 体 + 零 多 项 式
对多项式的加、减、乘法是否封闭？
上的多项式环。
对多项式的加、减、乘法封闭，故称为数域 F? ?Fx
? ?nFx
第一章 多项式
一、多项式的概念
中学多项式的定义,n个单项式（不含加法或减
法运算的整式）的代数和叫多项式。
例,4a+3b，
23 2 1,xx?? 31.
25y ?
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是
形式表达式。
后来又把多项式定义为 R上的函数：
? ? 01 nnf x a a x a x? ? ? ?L
但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中
并没有交代。
第一章 多项式
问题,1、高等代数中采用什么观点定义多项式？
2、多项式的形式观点与多项式的函数观点
是否矛盾？
定义 1,设 x是一个文字（或符号）,n是一个非负整数
形式表达式
01
0
n
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ni
i
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?
? ? ? ? ?L — （ 2.1）
其中
01,,,na a a F?L,称为数域 F上的一元多项式。
常数项或
零次项 首项首项系数
na 0na ?
ia 称为 i次项系数。
第一章 多项式
高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方
面推广了中学的多项式定义：
1,这里 x不再局限为实数而是任意的文字或符号。
2,系数可以是任意数域。
例 1.2.1,? ? 231 2 3 9f x x x x? ? ? ?是 Q上多项式；
? ? 232f x x x? ? ?是 R上多项式；
? ? 235f x ix x? ? ? 是 C上多项式。
3
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1
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?
都不是多项式。
第一章 多项式
定义 2,? ? ? ?,f x g x 是两个多项式，
? ? ? ?f x g x?
c
除系数为 0的项之外，同次项的系数都相等。
多项式的表法唯一 。
方程
01 0nna a x a x? ? ? ?L
是一个条件等式而不是
两个多项式相等。
定义 3,设 ? ?
01,0,nnnf x a a x a x a? ? ? ? ?L
非负整数 n称为 ? ?fx 的次数，记为：
? ?? ?,f x n??
最高次项，
亦称为首项。
第一章 多项式
例 1.2.2,? ? ? ?? ?23 2 1,2,f x x x f x? ? ? ? ?
? ? ? ?? ?3,0f x f x? ? ?
零次多项式,次数为 0的多项式即非零常数。
零多项式,系数全为 0的多项式。对零多项式不
个多项式不是零多项式。
首一多项式,首项系数为 1的多项式。
二、多项式的运算
定义 4,设 ? ?
01 nnf x a a x a x? ? ? ?L
? ? 01 mmg x b b x b x? ? ? ?L是数域 F上次数分别
定义次数，因此，在谈论多项式的次数时，意味着这
第一章 多项式
为 n和 m的两个多项式 ? ?mn?,
则 ? ?fx 与 ? ?gx 的和 ? ? ? ?f x g x? 为：
? ? ? ? ? ? ? ?0 0 1 1 mnm m n na b a b x a b x a b x? ? ? ? ? ? ? ? ?LL
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第一章 多项式
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其中
0,1,,.k n m??L
相乘积的和作为 kx 的系数。得：
把 中两个系数下标之和为 k的对应项? ? ? ?,f x g x
第一章 多项式
多项式的运算（加、减、乘）满足以下运算规律：
加法交换律, ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x g x f x? ? ?
加法结合律, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x h x f x g x h x? ? ? ? ?? ? ? ?
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第一章 多项式
下面证明多项式乘法满足结合律。
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这只要比较两边同次项（比如 t次项系数）相等即可。
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第一章 多项式
? 右边 ? ? ? ? ? ?? ?f x g x h x的 t次项的系数是：
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左、右两边同次项的系数相等，
? 乘法满足结合律。
三、多项式的次数定理
定理 2.1.1,设 ? ? ? ?0,0f x g x??
① 当 ? ? ? ? 0f x g x?? 时，则
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?m a x,f x g x f x g x??? ? ? ? ???
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第一章 多项式
证：设 ? ? ? ?
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多项式乘法没有零因子 。
第一章 多项式
推论 1：若 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0f x g x f x x? ? ? ? ?或 g
证：若 f=0或 g=0，则必有 fg=0。
反之，若 ? ? ? ?
0,0f x g x??
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? 0f x g x f x g x? ? ? ? ? ?
? ? ? ? 0f x g x??,矛盾。
乘法消去律成立 。
推论 2：若 ? ? ? ? ? ? ? ?f x g x f x h x? 且 ? ? 0fx ?
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证,? ? ? ? ? ? 0f x g x h x????
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第一章 多项式
定义 5,? ? ? ?F x F? 数 域 上 所 有 一 元 多 项 式 全 体
? ? ? ?nFx ? 次 数 小 与 n 的 一 元 多 项 式 全 体 + 零 多 项 式
对多项式的加、减、乘法是否封闭？
上的多项式环。
对多项式的加、减、乘法封闭，故称为数域 F? ?Fx
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