§ 7— 4零状态响应
零状态响应 (zero state response)：即零初始状态
响应, 这是在零初始状态下, 由在初始时刻
施加于电路的输入所产生的响应, 这一响应
与输入有关 。
t＝ 0时开关打开
初始条件,
0)0(u C ?
sC
C Iu
R
1
dt
duC ??
流过电容的电流只能为有界的 (为什么?),因此
电容电压不能跃变, 在 t＝ 0-时 uC=0则在 t＝ 0+
时 uC=0,而 uC= uR,因此 t＝ 0+时 iR=0
因此, 在 t= 0+ 时电流源的全部电流将流向电
容, 使电容充电 。
C
I
dt
du S
0
C ?
?
t>0+时，电容电压逐渐增长，流过电阻的电流
也在逐渐增长，但流过电容的电流却逐渐减
少，因为总电流是一定的。
t??时，几乎所有的电流都流过电阻，电容如
同开路，充电停止，电容电压几乎不再变化。
即,且,
0
dt
du C
? SC RIu ?
t=0+时,uC的变化率为,
直流稳态 (dc steady state)：直流电路中各个元件
的电压和电流都不随时间变化的状态 。
电容电压在初始时刻以及最后到达直流稳态的
情况如图,。
那么这个过程变化的规律是什么呢？
uC= uCh+ uCP
uCh,对应的齐次微分方程的通解
uCP,非齐次微分方程的 特解
sC
C Iu
R
1
dt
duC ?? 的通解为,
解出,
t
RC
1
ch Keu
?
?
Scp RIu ?
0t?
0t ?
uC(t)= uCh+ uCP
sC
C Iu
R
1
dt
duC ?? 的通解为,
0t ?
tRC1Ke ??
SRI?
t=0时,uC(0)=K+RIS=0 得,K=-RIS
因此可得零状态解,
S
t
RC
1
SC RIeRI)t(u ???
?
)e1(RI
t
RC
1
S
?
??
电容电压随时间的变化：从零值开始按指数上
升趋于稳态值, 其时间常数为 RC。 在 t＝ 4τ时,
电容电压与其稳态值相差仅为稳态值的 1.8％,
一般可认为已充电完毕, 电压已达到 RIS 值,
因此, τ越小, 电容电压达到稳态值就越快 。
RL电路的零状态解,
t＝ 0时开关闭合
初始条件,
0)0(i L ?
sL
L URi
dt
diL ??
电感电流不能跃变, 在 t＝ 0-时 iL=0则在 t＝ 0+时
iR=0,而 iL= iR,因此 t＝ 0+时 uR=0
因此, 在 t= 0+ 时电压源的全部压降都加在电
感上 。
L
U
dt
di S
0
L ?
?t>0
+时，电感电流逐渐增长，电阻的电压也在
逐渐增长，则电感上的电压应逐渐减少，因
为总电压是一定的。且电感电流的上升逐渐
缓慢。当 t??时，几乎所有的电压都加在电
阻上，电感如同短路，电感电流几乎不再变
化。
即,且,
0
dt
di L
?
R
U
i SL ?
t=0+时,iL的变化率为,
可以求得 RL电路零状态的通解为,
0t ? )e1(
R
U)t(i tLRS
L
?
??
这一响应是由零值开始按指数规律上升趋向
稳态值,
R
US
小结,
1.贮能本性：直流电路的零状态响应的物理过
程, 实质上是电路中动态元件的贮能从无到
有逐渐增长的过程 。 因此, 电容电压或电感
电流都是从它的零值开始按指数规律上升到
达它的稳态值的 。 时间常数 τ仍与零输入响应
时相同 。 当电路到达稳态时, 电容相当于开
路, 而电感相当于短路, 由此可确定电容或
电感的稳态值 。 根据置换定理就可求出其他
各个电压和电流 。
2.零状态比例性：若外施激励增大 a倍，则零状
态响应也增大 a倍。它是线性电路激励与响应
呈现性关系的反映，如果有多个独立电源作
用于电路，我们可以运用叠加定理求出零状
态响应。
几个概念,
1.固有响应 (natural response),微分方程通解中的齐次
方程解, 它的模式与输入无关, 即无论输入如何,
这一分量一般具有 Kest的形式, 只是 K的具体数值一
般与输入有关 。 这一分量完全由电路本身所确定,
即由特征根 S所确定的, 输入也只影响这一分量的
大小 。
2.暂态响应 (transient response)：在有损耗的电路中,
这一分量是随着时间的增长而衰减到零的, 在这种
情况下, 这一分量又可称为暂态响应分量 。
3.强制响应 (forced response)：微分方程通解中的特解
分量, 其形式一般与输入形式相问 。 如强制响应为
常最或周期函数,
4.稳态响应 (steady responsse)：为常量或周期函数的强
制响应 。
5.过渡状态,在有损耗的直流动态电路中, 固有响应
即暂态响应 。 随时间的增长, 零状态响应趋近于稳
态响应 。 实际上当 t＝ 4τ时 (理论上 t应为无穷大 ）,
电路可认为进入直流稳态, 零状态响应即等于稳态
响应 。 在 进入直流稳态之前, 称电路处于过渡状态 。
§ 6-4 一阶电路的全响应
多个独立电源作用于线性动态电路，零状态响
应为各个独立电源单独作用时所产生的零状
态响应之和。
而动态电路的响应与初始状态有关，因此，叠
加定理的要有所补充。
例：图示电路中，设在 t＝ 0时开关由 a投向 b，
电路与电流源接通，并设 uC(0)＝ u0≠0。因此。
在 t≥0时，该 RC电路既有输入作用，初始状态
又不为零。
响应方程,
SC
C Iu
R
1
dt
duC ??
初始条件,
0C U)0(u ?
方程通解,
S
RC
t
C RIKe)t(u ??
?
t=0时,
0SC URIK)0(u ???
所以得,
S0 RIUK ??
电路响应,
S
RC
t
S0C RIe)RIU()t(u ???
?
完全响应 (complete response),初始状态和
输入共同作用下的响应，为零输入响应
和零状态响应之和。
线性动态电路的叠加定理,线性动态电路
的完全响应是由来自电源的输入和来自
初始状态输入分别作用时所产生的响应
的代数和，即为零输入响应和零状态响
应之和
?? ??? ?????
零状态响应零输入响应
)e1(RIeU)t(u RC
t
S
RC
t
0C
??
???
响应曲线,
动态电路中，在恒定输入作用下,— 般可分为
两种工作状态 —— 过渡状态和直流稳态。暂
态响应尚未消失的期间属于过渡时期。是电
路从初始状态到与输入相适应的阶段。恒定
的激励要求产生与之相适应的恒定响应，但
由于动态元件，不能瞬间实现。暂态响应起
着调整作用。
?
)(
S
)(
RC
t
S0C RIe)RIU()t(u
稳态响应
强制响应
暂态响应
固有响应
???
?
?? ??? ??
暂态响应与初始状态和稳态量的初始值之差有
关。差值不为零时，才存在暂态响应，起着
调整这一差距的作用，这一调整过程与电路
本身固有的特性有关的，因而取决于电路的
时间常数 τ。实际上，暂态响应一般认为在 t＝
4τ时消失，此后电路的响应全由稳态响应决
定，电路进入了直流稳态。
即：直流线性动态电路在换路后，通常要经过
一段过渡时期才能进入稳态。不是所有的线
性电路都能分出暂态和稳态这两种工作状态
的，但只要是线性电路，完全响应总可分解
为零输入响应和零状态响应的。
例 在 t＝ 0时，恒定电压 US＝ 12V施加于 RC电
路，如图示。已知 uC(0)＝ 4V,R＝ 1Ω,C＝
5F，求 t≥0时的 uC(t)及 iC(t)。
解,
零输入响应,
零状态响应,
?
?
?
t
1C e4)t(u
s5RC ???
Ve812)e1(12e4
)t(u)t(u)t(u
t2.0t2.0t2.0
2C1CC
??? ?????
??
完全响应,
)e1(12)t(u
t
2C
?
?
??
暂态响应,
V12)(u)t(u C3C ???
Ve812)t(u t2.0C ???
t2.0
4C Ke)t(u
??
波形曲线,
???
t
1C e4)t(u
稳态响应,
)e1(12)t(u
t
2C
????
8)0(u)0(uK 3CC ????
完全响应,
Ve812
)t(u)t(u)t(u
t2.0
4C3CC
???
??
或,
Ae8e6.15dtduCi t2.0t2.0CC ?? ????
Ae8
1
e8
R
)t(uUi t2.0t2.0CS
C
?
?
????
小结,零输入响应与钟态响应变化模式是
相同的，但具有不同的常数。
例 电路如图示，已知电压源 uS＝ 2e-tV，电流源
iS＝ 1A，两电源均在 t＝ 0时开始作用于电路，
又电容电压初始值 u(0)＝ 1V，试求 u(t),t≥0。
若 uS＝ e-tV,求 u(t),t≥0。
1、零输入响应,
对电容而言，戴维南等效电阻为 0.5，电路的时
间常数 τ为 0.5s。则,
t2
t
1 ee)0(u)t(u
??? ??
2、零状态响应,
（ 1）电流源单独作用
)e1(
2
1)t(u t2，
2
???
（ 2）电压源单独作用
三要素法
在直流一阶电路中所含电压、电流均可在求得
它们的初始值、稳态值和时间常数后，直接
写出它们的解答式，它们具有相同的时间常
数。这一求解方法称为三要素法。
三要素法步骤：设已知初姑值 uC(0)或 iL(0)
(1)用电压为 uC(0)的直流电压源置换电容或用电
流为 iL(0)的直流电流源置换电感，所得电路
为一直流电阻电路，称为 t＝ 0时的等效电路，
出此电路可求得任一电压或电流初始值，即
ij(0)或 ujk(0)(参考思考题 6— 7)
(2)用开路代替电容或用短路代替电感，所得电路为一
直流电阻电路，称为 t＝ ∞时的等效电路，由此电路
可求得任一电压或电流的稳态值，即 ij(∞)或 ujk(∞)。
(3)求戴维南或诺顿等效电路以计算电路的时间常数 τ
＝ RC或 τ＝ L/R 。
(4)若 0＜ τ＜ ∞，根据所得的三要素，依照 (7— 56)式的
形式，直接得出电压 ujk(t)或电流 ij(t)的解答式。也可
根据算得的三要素先绘出所求电压或电流按指数规
律变化的波形，由波形图写出对应的解答式
例 求图示电路开关打开后各电压、电流的初始
值。已知在开关打开前，电路已处于稳态。
解,三要素法步骤 (1)中所需的电容电压初始
值、电感电流初始值常需根据电路的具体情
况运用电容电压和电感电流的连续性质加以
确定。
t=0-时,
V62030 3010)0(u C ?????
V6)0(u C ??
t=0+时,
0)0(i 1 ??
mA2.020 610)0(i)0(i C ???? ??
V4)0(Ri)0(u R ?? ??
例 求图示电路在开关闭合后，各电压、电流的
初始值。已知在开关闭合前，电路已处于稳
态。
解,先求出开关未闭合时电感的电流 i,，根据
已知条件，此时电路处于稳态，电感可看作
短路，得 t＝ 0-时的等效电路如图示。
A2
41
10)0(i
L ????
A2)0(i)0(i LL ?? ??
t＝ 0+时,
A2)0(i L ??
A10
1
10)0(i ??
?
A8)0(i)0(i)0(i L1 ??? ???
V10)0(Ri)0(u R ?? ??
V8)0(iR)0(u L11R ?? ??
V8)0(u)0(u 1RL ???? ??
例 (1)若已知,i(0)＝ -5A,i(∞)=10A,τ＝ 2s，
试绘出电流 i(t)按指数规律变化的波形图，并
写出其表达式。 (2)若已知 i(0)＝ -5A,i(∞)＝ -
15A,τ=3s，重复 (1)中的要求。
解,
(1)
(2)
Ae1510)e1(155)t(i t5.0/t ??? ??????
Ae1015)e1(105)t(i 3/t/t ??? ???????
例 图示电路,t＝ 0时开关内 a投向 b。试绘出：
i(t),iL(t)的波形图，并写出解析表达式。假
定换路前电路处于稳态。
解,
(1)求 iL(0+)及 i(0+)
A2.1
21
2
21
21
1
3
)0(i)0(i LL
??
?
?
?
?
?
??
? ??
3)0(i2)0(i3 L ?? ??
A2.0)0(i ??
(2)求 iL(∞)及 i(∞)
A8.1)(i ??
A2.1)(i L ??
(3)求 τ
?????? 3512 121R 0 s593/5 3RL
0
????
(4)表达式及波形
Ae
5
8
5
9)e1)(
5
1
5
9(
5
1)t(i /t/t ???? ??????
Ae
5
12
5
6)e1)(
5
12
5
6)t(i /t/t
L
???? ??????
§ 6-5~ § 6-6 阶跃函数和阶跃响应
在动态电路分析问题中，我们常引用阶跃函数
来描述电路的激励和响应。
单位阶跃函数记为 ε(t),其定义为,
?
?
?
??
0t1
0t0
)t(
?
?
延时单位阶跃函数,
?
?
?
??
0
0
tt1
tt0
)t(
?
?
波形图,
分段常量信号（ piecewise-constant signal)
例 7-14 试用阶跃函数表示图 7-52(b),(c) 波形
解,
f(t)=Aε(t)-Aε(t-t0)+ Aε(t-2t0)- Aε(t-3t0)+…
f(t)=ε(t)-2ε(t-t0)+ε(t-2t0)
(单位 )阶跃响应,零状态电路对单位阶跃信号
的响应，用 s(t)表示。
非时变性,非时变电路的电路参数不随时间变
化，若单位阶跃信号作用下的响应为 s(t)，则
在延时单位阶跃信号作用下响应为。
分段常量信号可分解为阶跃信号，根据叠加定
理，各阶跃信号分量单独作用于电路的零状
态响应之和即为该分段常量信号作用下电路
的零状态响应。
如果电路的初始状态不为零，只需再加上电路
的零输入响应，即可求得该电路在分段常量
信号作用下的完全响应。
例 求图示零状态 RL电路在图中所示脉冲电压
作用下的电流 i(t)。已知 L=1H,R＝ 1Ω
解：脉冲电压 u(t)可分解为两个阶跃信号之和
)tt(A)t(A)t(u 0?????
Aε(t-t0)单独作用,τ=L/R=1s
)t()e1(A)t()e1(
R
A
)t(i /t/t ??????? ????
Aε(t)单独作用,τ=L/R=1s
)tt()e1(A
)tt()e1(
R
A
)t(i
0
)tt(
0
/)tt(
0
0
?????
???????
??
???
根据叠加定理得,
)tt()e1(A)t()e1(A
)t(i)t(i)t(i
0
)tt(t 0 ???????
?????
???
例 RC电路如图示，已知 u(t)=5ε(t-2)V，
uC(0)=10V，求电流 i(t)。
解,τ＝ RC＝ 2× l＝ 2s
先求零输入响应。电容初始电压相当 0时作用于
电路，故得,
再求零状态响应，阶跃输入在 t＝ 2s时作用
)t(e5)t(eR )0(u)t(i t5.0/tC ??????? ???
由动态电路叠加定理得,
)2t(e5.2)2t(eR5)t(i )2t(5.0/)2t( ????????? ?????
)2t(e5.2)t(e5)t(i)t(i)t(i )2t(5.0t5.0 ??????????? ???
波形如图示。在 t=2s时电流是不连续。
零状态响应 (zero state response)：即零初始状态
响应, 这是在零初始状态下, 由在初始时刻
施加于电路的输入所产生的响应, 这一响应
与输入有关 。
t＝ 0时开关打开
初始条件,
0)0(u C ?
sC
C Iu
R
1
dt
duC ??
流过电容的电流只能为有界的 (为什么?),因此
电容电压不能跃变, 在 t＝ 0-时 uC=0则在 t＝ 0+
时 uC=0,而 uC= uR,因此 t＝ 0+时 iR=0
因此, 在 t= 0+ 时电流源的全部电流将流向电
容, 使电容充电 。
C
I
dt
du S
0
C ?
?
t>0+时，电容电压逐渐增长，流过电阻的电流
也在逐渐增长，但流过电容的电流却逐渐减
少，因为总电流是一定的。
t??时，几乎所有的电流都流过电阻，电容如
同开路，充电停止，电容电压几乎不再变化。
即,且,
0
dt
du C
? SC RIu ?
t=0+时,uC的变化率为,
直流稳态 (dc steady state)：直流电路中各个元件
的电压和电流都不随时间变化的状态 。
电容电压在初始时刻以及最后到达直流稳态的
情况如图,。
那么这个过程变化的规律是什么呢？
uC= uCh+ uCP
uCh,对应的齐次微分方程的通解
uCP,非齐次微分方程的 特解
sC
C Iu
R
1
dt
duC ?? 的通解为,
解出,
t
RC
1
ch Keu
?
?
Scp RIu ?
0t?
0t ?
uC(t)= uCh+ uCP
sC
C Iu
R
1
dt
duC ?? 的通解为,
0t ?
tRC1Ke ??
SRI?
t=0时,uC(0)=K+RIS=0 得,K=-RIS
因此可得零状态解,
S
t
RC
1
SC RIeRI)t(u ???
?
)e1(RI
t
RC
1
S
?
??
电容电压随时间的变化：从零值开始按指数上
升趋于稳态值, 其时间常数为 RC。 在 t＝ 4τ时,
电容电压与其稳态值相差仅为稳态值的 1.8％,
一般可认为已充电完毕, 电压已达到 RIS 值,
因此, τ越小, 电容电压达到稳态值就越快 。
RL电路的零状态解,
t＝ 0时开关闭合
初始条件,
0)0(i L ?
sL
L URi
dt
diL ??
电感电流不能跃变, 在 t＝ 0-时 iL=0则在 t＝ 0+时
iR=0,而 iL= iR,因此 t＝ 0+时 uR=0
因此, 在 t= 0+ 时电压源的全部压降都加在电
感上 。
L
U
dt
di S
0
L ?
?t>0
+时，电感电流逐渐增长，电阻的电压也在
逐渐增长，则电感上的电压应逐渐减少，因
为总电压是一定的。且电感电流的上升逐渐
缓慢。当 t??时，几乎所有的电压都加在电
阻上，电感如同短路，电感电流几乎不再变
化。
即,且,
0
dt
di L
?
R
U
i SL ?
t=0+时,iL的变化率为,
可以求得 RL电路零状态的通解为,
0t ? )e1(
R
U)t(i tLRS
L
?
??
这一响应是由零值开始按指数规律上升趋向
稳态值,
R
US
小结,
1.贮能本性：直流电路的零状态响应的物理过
程, 实质上是电路中动态元件的贮能从无到
有逐渐增长的过程 。 因此, 电容电压或电感
电流都是从它的零值开始按指数规律上升到
达它的稳态值的 。 时间常数 τ仍与零输入响应
时相同 。 当电路到达稳态时, 电容相当于开
路, 而电感相当于短路, 由此可确定电容或
电感的稳态值 。 根据置换定理就可求出其他
各个电压和电流 。
2.零状态比例性：若外施激励增大 a倍，则零状
态响应也增大 a倍。它是线性电路激励与响应
呈现性关系的反映，如果有多个独立电源作
用于电路，我们可以运用叠加定理求出零状
态响应。
几个概念,
1.固有响应 (natural response),微分方程通解中的齐次
方程解, 它的模式与输入无关, 即无论输入如何,
这一分量一般具有 Kest的形式, 只是 K的具体数值一
般与输入有关 。 这一分量完全由电路本身所确定,
即由特征根 S所确定的, 输入也只影响这一分量的
大小 。
2.暂态响应 (transient response)：在有损耗的电路中,
这一分量是随着时间的增长而衰减到零的, 在这种
情况下, 这一分量又可称为暂态响应分量 。
3.强制响应 (forced response)：微分方程通解中的特解
分量, 其形式一般与输入形式相问 。 如强制响应为
常最或周期函数,
4.稳态响应 (steady responsse)：为常量或周期函数的强
制响应 。
5.过渡状态,在有损耗的直流动态电路中, 固有响应
即暂态响应 。 随时间的增长, 零状态响应趋近于稳
态响应 。 实际上当 t＝ 4τ时 (理论上 t应为无穷大 ）,
电路可认为进入直流稳态, 零状态响应即等于稳态
响应 。 在 进入直流稳态之前, 称电路处于过渡状态 。
§ 6-4 一阶电路的全响应
多个独立电源作用于线性动态电路，零状态响
应为各个独立电源单独作用时所产生的零状
态响应之和。
而动态电路的响应与初始状态有关，因此，叠
加定理的要有所补充。
例：图示电路中，设在 t＝ 0时开关由 a投向 b，
电路与电流源接通，并设 uC(0)＝ u0≠0。因此。
在 t≥0时，该 RC电路既有输入作用，初始状态
又不为零。
响应方程,
SC
C Iu
R
1
dt
duC ??
初始条件,
0C U)0(u ?
方程通解,
S
RC
t
C RIKe)t(u ??
?
t=0时,
0SC URIK)0(u ???
所以得,
S0 RIUK ??
电路响应,
S
RC
t
S0C RIe)RIU()t(u ???
?
完全响应 (complete response),初始状态和
输入共同作用下的响应，为零输入响应
和零状态响应之和。
线性动态电路的叠加定理,线性动态电路
的完全响应是由来自电源的输入和来自
初始状态输入分别作用时所产生的响应
的代数和，即为零输入响应和零状态响
应之和
?? ??? ?????
零状态响应零输入响应
)e1(RIeU)t(u RC
t
S
RC
t
0C
??
???
响应曲线,
动态电路中，在恒定输入作用下,— 般可分为
两种工作状态 —— 过渡状态和直流稳态。暂
态响应尚未消失的期间属于过渡时期。是电
路从初始状态到与输入相适应的阶段。恒定
的激励要求产生与之相适应的恒定响应，但
由于动态元件，不能瞬间实现。暂态响应起
着调整作用。
?
)(
S
)(
RC
t
S0C RIe)RIU()t(u
稳态响应
强制响应
暂态响应
固有响应
???
?
?? ??? ??
暂态响应与初始状态和稳态量的初始值之差有
关。差值不为零时，才存在暂态响应，起着
调整这一差距的作用，这一调整过程与电路
本身固有的特性有关的，因而取决于电路的
时间常数 τ。实际上，暂态响应一般认为在 t＝
4τ时消失，此后电路的响应全由稳态响应决
定，电路进入了直流稳态。
即：直流线性动态电路在换路后，通常要经过
一段过渡时期才能进入稳态。不是所有的线
性电路都能分出暂态和稳态这两种工作状态
的，但只要是线性电路，完全响应总可分解
为零输入响应和零状态响应的。
例 在 t＝ 0时，恒定电压 US＝ 12V施加于 RC电
路，如图示。已知 uC(0)＝ 4V,R＝ 1Ω,C＝
5F，求 t≥0时的 uC(t)及 iC(t)。
解,
零输入响应,
零状态响应,
?
?
?
t
1C e4)t(u
s5RC ???
Ve812)e1(12e4
)t(u)t(u)t(u
t2.0t2.0t2.0
2C1CC
??? ?????
??
完全响应,
)e1(12)t(u
t
2C
?
?
??
暂态响应,
V12)(u)t(u C3C ???
Ve812)t(u t2.0C ???
t2.0
4C Ke)t(u
??
波形曲线,
???
t
1C e4)t(u
稳态响应,
)e1(12)t(u
t
2C
????
8)0(u)0(uK 3CC ????
完全响应,
Ve812
)t(u)t(u)t(u
t2.0
4C3CC
???
??
或,
Ae8e6.15dtduCi t2.0t2.0CC ?? ????
Ae8
1
e8
R
)t(uUi t2.0t2.0CS
C
?
?
????
小结,零输入响应与钟态响应变化模式是
相同的，但具有不同的常数。
例 电路如图示，已知电压源 uS＝ 2e-tV，电流源
iS＝ 1A，两电源均在 t＝ 0时开始作用于电路，
又电容电压初始值 u(0)＝ 1V，试求 u(t),t≥0。
若 uS＝ e-tV,求 u(t),t≥0。
1、零输入响应,
对电容而言，戴维南等效电阻为 0.5，电路的时
间常数 τ为 0.5s。则,
t2
t
1 ee)0(u)t(u
??? ??
2、零状态响应,
（ 1）电流源单独作用
)e1(
2
1)t(u t2，
2
???
（ 2）电压源单独作用
三要素法
在直流一阶电路中所含电压、电流均可在求得
它们的初始值、稳态值和时间常数后，直接
写出它们的解答式，它们具有相同的时间常
数。这一求解方法称为三要素法。
三要素法步骤：设已知初姑值 uC(0)或 iL(0)
(1)用电压为 uC(0)的直流电压源置换电容或用电
流为 iL(0)的直流电流源置换电感，所得电路
为一直流电阻电路，称为 t＝ 0时的等效电路，
出此电路可求得任一电压或电流初始值，即
ij(0)或 ujk(0)(参考思考题 6— 7)
(2)用开路代替电容或用短路代替电感，所得电路为一
直流电阻电路，称为 t＝ ∞时的等效电路，由此电路
可求得任一电压或电流的稳态值，即 ij(∞)或 ujk(∞)。
(3)求戴维南或诺顿等效电路以计算电路的时间常数 τ
＝ RC或 τ＝ L/R 。
(4)若 0＜ τ＜ ∞，根据所得的三要素，依照 (7— 56)式的
形式，直接得出电压 ujk(t)或电流 ij(t)的解答式。也可
根据算得的三要素先绘出所求电压或电流按指数规
律变化的波形，由波形图写出对应的解答式
例 求图示电路开关打开后各电压、电流的初始
值。已知在开关打开前，电路已处于稳态。
解,三要素法步骤 (1)中所需的电容电压初始
值、电感电流初始值常需根据电路的具体情
况运用电容电压和电感电流的连续性质加以
确定。
t=0-时,
V62030 3010)0(u C ?????
V6)0(u C ??
t=0+时,
0)0(i 1 ??
mA2.020 610)0(i)0(i C ???? ??
V4)0(Ri)0(u R ?? ??
例 求图示电路在开关闭合后，各电压、电流的
初始值。已知在开关闭合前，电路已处于稳
态。
解,先求出开关未闭合时电感的电流 i,，根据
已知条件，此时电路处于稳态，电感可看作
短路，得 t＝ 0-时的等效电路如图示。
A2
41
10)0(i
L ????
A2)0(i)0(i LL ?? ??
t＝ 0+时,
A2)0(i L ??
A10
1
10)0(i ??
?
A8)0(i)0(i)0(i L1 ??? ???
V10)0(Ri)0(u R ?? ??
V8)0(iR)0(u L11R ?? ??
V8)0(u)0(u 1RL ???? ??
例 (1)若已知,i(0)＝ -5A,i(∞)=10A,τ＝ 2s，
试绘出电流 i(t)按指数规律变化的波形图，并
写出其表达式。 (2)若已知 i(0)＝ -5A,i(∞)＝ -
15A,τ=3s，重复 (1)中的要求。
解,
(1)
(2)
Ae1510)e1(155)t(i t5.0/t ??? ??????
Ae1015)e1(105)t(i 3/t/t ??? ???????
例 图示电路,t＝ 0时开关内 a投向 b。试绘出：
i(t),iL(t)的波形图，并写出解析表达式。假
定换路前电路处于稳态。
解,
(1)求 iL(0+)及 i(0+)
A2.1
21
2
21
21
1
3
)0(i)0(i LL
??
?
?
?
?
?
??
? ??
3)0(i2)0(i3 L ?? ??
A2.0)0(i ??
(2)求 iL(∞)及 i(∞)
A8.1)(i ??
A2.1)(i L ??
(3)求 τ
?????? 3512 121R 0 s593/5 3RL
0
????
(4)表达式及波形
Ae
5
8
5
9)e1)(
5
1
5
9(
5
1)t(i /t/t ???? ??????
Ae
5
12
5
6)e1)(
5
12
5
6)t(i /t/t
L
???? ??????
§ 6-5~ § 6-6 阶跃函数和阶跃响应
在动态电路分析问题中，我们常引用阶跃函数
来描述电路的激励和响应。
单位阶跃函数记为 ε(t),其定义为,
?
?
?
??
0t1
0t0
)t(
?
?
延时单位阶跃函数,
?
?
?
??
0
0
tt1
tt0
)t(
?
?
波形图,
分段常量信号（ piecewise-constant signal)
例 7-14 试用阶跃函数表示图 7-52(b),(c) 波形
解,
f(t)=Aε(t)-Aε(t-t0)+ Aε(t-2t0)- Aε(t-3t0)+…
f(t)=ε(t)-2ε(t-t0)+ε(t-2t0)
(单位 )阶跃响应,零状态电路对单位阶跃信号
的响应，用 s(t)表示。
非时变性,非时变电路的电路参数不随时间变
化，若单位阶跃信号作用下的响应为 s(t)，则
在延时单位阶跃信号作用下响应为。
分段常量信号可分解为阶跃信号，根据叠加定
理，各阶跃信号分量单独作用于电路的零状
态响应之和即为该分段常量信号作用下电路
的零状态响应。
如果电路的初始状态不为零，只需再加上电路
的零输入响应，即可求得该电路在分段常量
信号作用下的完全响应。
例 求图示零状态 RL电路在图中所示脉冲电压
作用下的电流 i(t)。已知 L=1H,R＝ 1Ω
解：脉冲电压 u(t)可分解为两个阶跃信号之和
)tt(A)t(A)t(u 0?????
Aε(t-t0)单独作用,τ=L/R=1s
)t()e1(A)t()e1(
R
A
)t(i /t/t ??????? ????
Aε(t)单独作用,τ=L/R=1s
)tt()e1(A
)tt()e1(
R
A
)t(i
0
)tt(
0
/)tt(
0
0
?????
???????
??
???
根据叠加定理得,
)tt()e1(A)t()e1(A
)t(i)t(i)t(i
0
)tt(t 0 ???????
?????
???
例 RC电路如图示，已知 u(t)=5ε(t-2)V，
uC(0)=10V，求电流 i(t)。
解,τ＝ RC＝ 2× l＝ 2s
先求零输入响应。电容初始电压相当 0时作用于
电路，故得,
再求零状态响应，阶跃输入在 t＝ 2s时作用
)t(e5)t(eR )0(u)t(i t5.0/tC ??????? ???
由动态电路叠加定理得,
)2t(e5.2)2t(eR5)t(i )2t(5.0/)2t( ????????? ?????
)2t(e5.2)t(e5)t(i)t(i)t(i )2t(5.0t5.0 ??????????? ???
波形如图示。在 t=2s时电流是不连续。
