§ 3-6结点电压法
结点电压：在电路中任意选样某一结点为参考
结点，其他结点与此参考结点之间的电压。
结点电压的参考极性：以参考结点为负。其余
独立结点为正。
结点电压法：以结点电压为求解变量，并对独
立结点用 KCL列出用结点电压表达的有关支
路电流方程，任一支路都连接在两个结点上，
根据 KVL可断定支路电压是两个结点电压之
差。
如,
3n1n6
3n2n5
2n1n4
3n3
2n2
1n1
uuu
uuu
uuu
uu
uu
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根据 KCL,
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可得,
3
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1
(
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??????
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整理得,
33S3n332n321n31
22S3n232n221n21
11S3n132n121n11
iuGuGuG
iuGuGuG
iuGuGuG
???
???
???
即,
3S36S3n6532n51n6
3n52n5421n4
6S1S3n62n41n641
uGiu)GGG(uGuG
0uGu)GGG(uG
iiuGuGu)GGG(
???????
??????
??????
进一步可推广到一般。求得结点电压后进一步
可求解各支路电流等变量。
例 3-5 图示电路中 R1＝ R2＝ R5＝ R6＝ 1Ω,R3
＝ R4＝ R7＝ R8＝ 0.5Ω,iS4＝ 2costA,iS13＝ 4A,
uS3＝ 4costV,uS7＝ 3V。列出电路的结点电
压方程。
解：指定参考结点，并对其他结点编号，设结
点电压 un1,un2,un3,un4
7S73S34S4n7433n31n4
3S313S4n33n6322n2
3n22n5211n1
4S13S4n42n11n841
uGuGiu)GGG(uGuG
uGiuGu)GGG(uG
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6tc o s6u6u2u2
tc o s84u2u4u
0uu3u
tc o s24u2uu5
4n3n1n
4n3n2n
3n2n1n
4n2n1n
?????
?????
????
?????
例 3-6 电路如图示，用结点电压法求各支路电
流及输出电压 U0。
解：取参考结点，其他 3个结点的电压分别为
un1,un2,un3，结点电压方程为,
5u)
2
1
2
1
(u
2
1
105
3
15
u
2
1
u)
6
1
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10u5.0uu5.0
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2n
1n
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支路电流及输出电压为,
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A5.7
2
U
I
A5.2
2
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当无伴电压源作入一条支路连接于两个结点之
间时，该支路的电阻为零，即电导为无限大，
支路电流不能通过支路电压表示，节点电压
方程的列出有困难。
一种处理方法：把无伴电压源的电流作为附加
变量列入 KCL方程，每引入这样的一个变量，
同时增加一个结点电压与无伴电压源电压之
间的一个约束关系。把这些约束关系和结点
电压方程合并成一组联立方程，其方程数仍
将与变量数相同。
例 3-7 图示电路中,uS1为无伴电压源的电压。
试列出此电路的结点电压方程。
解：设无伴电压源支路的电流为 i，电路的结点
电压方程为,
1S1n
2S2n321n3
2n31n31
uu
iu)GG(uG
0uGiu)GG(
?
????
????
由这 3个方程可以联立解得 un1,un2和 i
这种方法实际上采用了混合变量，除了结点电
压外，还把无伴电压源支路的电流作为变量。
在回路电流法中，处理无件电流源时也采用
了混合变量。
当电路中有受控电流源时，建立结点电压方程
时，先把控制量用结点电压表示，并暂时把
它当作独立电流源，列出结点电压方程，然
后把用结点电压表示的受控电流源电流移到
方程的左边。
当存在有伴受控电压源时，把控制量用有关结
点电压表示并变换为等效受控电流源。
如果为无伴受控电压源，可参照无伴独立电压
源的处理方法。
例 3-8 图示电路含有 VCCS，其电流 iC＝ Gu2，其
中 u2为电阻 R2上的电压，求该电路的结点电
压方程。
解：控制量为 u2，取 0点为参考点，则,
1nC gui ?
1S1n2n
31
1n
1
1S2n
1
1n
21
iguu)
R
1
R
1
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R
1
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R
1
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1
R
1
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gun1移至方程左边得,
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31
1n
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21
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1
R
1
(
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???
可见式中 G12≠G21，这是由于电路中存在受控源。
这个特点可以推广到具有受控源的一般电路，
即对含受控源的电阻电路，结点电压方程中
有些互导 Gij≠Gji,方程的系数行列式不再对
称，同理，对含受控源的电阻电路，电路电
流方程中，也有些互阻 Rij≠Rji，方程的系数行
列式不对称。
结点电压法的步骤,
(1)指定参考结点，其余结点对参考结点之间的
电压就是结点电压。通常以参考结点为各结
点电压的负极性；
(2)按一般公式 (3— 18)列出结点电压方程，注意
自导总是正的，互导总是负的；并注意各结
点注入电流前面的,+”，,-”号；
(3)当电路中有受控源或无伴电压源时需另行处
理。
本章总结,
介绍了分析线性电阻电路的支路电流法，回路
电流法 (含网孔电流法 ) 和结点电压法，并提
到了 2b法和支路电压法。
就方程数目说,2b法为支路数 b的 2倍；支路电
流 (电压 )法为支路数 b，结点电压法为独立结
点数 (n-1)；回路电流法为独立回路数 (b-n+1)，
其中以 2b法为最多。
支路电流法要求每个支路电压能以支路电流表
示，这使该方法应用受到一定的限制。例如
对于无伴电流源就需要另行处理，支路电压
法也有类似问题存在。 2b法就比较灵活，只
要求写出每个支路的 VCR对任何元件都不难；
回路电流法存在与支路电流法类似的限制。
结点电压法的优点是结点电压容易选择，不存
在选取独立回路的问题，用网孔电流法时，
选取独立回路简便、直观，但仅适用于平面
电路。
作业,P77~78
3-18； 3-20
结点电压：在电路中任意选样某一结点为参考
结点，其他结点与此参考结点之间的电压。
结点电压的参考极性：以参考结点为负。其余
独立结点为正。
结点电压法：以结点电压为求解变量，并对独
立结点用 KCL列出用结点电压表达的有关支
路电流方程，任一支路都连接在两个结点上，
根据 KVL可断定支路电压是两个结点电压之
差。
如,
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进一步可推广到一般。求得结点电压后进一步
可求解各支路电流等变量。
例 3-5 图示电路中 R1＝ R2＝ R5＝ R6＝ 1Ω,R3
＝ R4＝ R7＝ R8＝ 0.5Ω,iS4＝ 2costA,iS13＝ 4A,
uS3＝ 4costV,uS7＝ 3V。列出电路的结点电
压方程。
解：指定参考结点，并对其他结点编号，设结
点电压 un1,un2,un3,un4
7S73S34S4n7433n31n4
3S313S4n33n6322n2
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例 3-6 电路如图示，用结点电压法求各支路电
流及输出电压 U0。
解：取参考结点，其他 3个结点的电压分别为
un1,un2,un3，结点电压方程为,
5u)
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支路电流及输出电压为,
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间时，该支路的电阻为零，即电导为无限大，
支路电流不能通过支路电压表示，节点电压
方程的列出有困难。
一种处理方法：把无伴电压源的电流作为附加
变量列入 KCL方程，每引入这样的一个变量，
同时增加一个结点电压与无伴电压源电压之
间的一个约束关系。把这些约束关系和结点
电压方程合并成一组联立方程，其方程数仍
将与变量数相同。
例 3-7 图示电路中,uS1为无伴电压源的电压。
试列出此电路的结点电压方程。
解：设无伴电压源支路的电流为 i，电路的结点
电压方程为,
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2S2n321n3
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由这 3个方程可以联立解得 un1,un2和 i
这种方法实际上采用了混合变量，除了结点电
压外，还把无伴电压源支路的电流作为变量。
在回路电流法中，处理无件电流源时也采用
了混合变量。
当电路中有受控电流源时，建立结点电压方程
时，先把控制量用结点电压表示，并暂时把
它当作独立电流源，列出结点电压方程，然
后把用结点电压表示的受控电流源电流移到
方程的左边。
当存在有伴受控电压源时，把控制量用有关结
点电压表示并变换为等效受控电流源。
如果为无伴受控电压源，可参照无伴独立电压
源的处理方法。
例 3-8 图示电路含有 VCCS，其电流 iC＝ Gu2，其
中 u2为电阻 R2上的电压，求该电路的结点电
压方程。
解：控制量为 u2，取 0点为参考点，则,
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可见式中 G12≠G21，这是由于电路中存在受控源。
这个特点可以推广到具有受控源的一般电路，
即对含受控源的电阻电路，结点电压方程中
有些互导 Gij≠Gji,方程的系数行列式不再对
称，同理，对含受控源的电阻电路，电路电
流方程中，也有些互阻 Rij≠Rji，方程的系数行
列式不对称。
结点电压法的步骤,
(1)指定参考结点，其余结点对参考结点之间的
电压就是结点电压。通常以参考结点为各结
点电压的负极性；
(2)按一般公式 (3— 18)列出结点电压方程，注意
自导总是正的，互导总是负的；并注意各结
点注入电流前面的,+”，,-”号；
(3)当电路中有受控源或无伴电压源时需另行处
理。
本章总结,
介绍了分析线性电阻电路的支路电流法，回路
电流法 (含网孔电流法 ) 和结点电压法，并提
到了 2b法和支路电压法。
就方程数目说,2b法为支路数 b的 2倍；支路电
流 (电压 )法为支路数 b，结点电压法为独立结
点数 (n-1)；回路电流法为独立回路数 (b-n+1)，
其中以 2b法为最多。
支路电流法要求每个支路电压能以支路电流表
示，这使该方法应用受到一定的限制。例如
对于无伴电流源就需要另行处理，支路电压
法也有类似问题存在。 2b法就比较灵活，只
要求写出每个支路的 VCR对任何元件都不难；
回路电流法存在与支路电流法类似的限制。
结点电压法的优点是结点电压容易选择，不存
在选取独立回路的问题，用网孔电流法时，
选取独立回路简便、直观，但仅适用于平面
电路。
作业,P77~78
3-18； 3-20
