§ 4-4特勒根定理
特勒根定理电路理论中对集总电路普遍适用的
基本定理，与基尔霍夫定律等价，它有两种
形式。
特勒根定理 1：对于一个具有 n个结点和 b条支路
的电路，假设各支路电流和支路电压取关联
参考方向，并令 ib,ub分别为 b条支路的电流
和电压。则对任何时间 t，有,
0iu
b
1k
kk ??
?
证明,
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?
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?
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?
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3n6
2n5
3n1n4
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uu
uuu
uuu
uuu
uu
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?
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????
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0iii
0iii
0iii
643
532
421
而,
665544
332211
6
1k
kk
iuiuiu
iuiuiuiu
???
????
?
用结点电压代入后得,
63n52n43n1n
33n2n22n1n11n
6
1k
kk
iuiui)uu(
i)uu(i)uu(iuiu
?????
??????
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或,
)iii(u
)iii(u)iii(uiu
6433n
5322n4211n
6
1k
kk
????
????????
?
括号内为各结点上电流代数和，因此有,
0iu
6
1k
kk ??
?
? 0iu
b
1k
kk ??
?
小结,在证明过程中，只根据电路的拓扑性质
应用了基尔霍夫定律．并不涉及支路的内容，
因此特勒根定理对任何具有线性、非线性、
时不变、时变元件的集总电路都适用。
这个定理实质上是功率守恒的数学表达式，它
表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之
和恒等于零。
特勒根定理 2：如果有两个具有 n个结点和 b条支
路的电路，它们具有相同的图，但由内容不
同的支路构成；假设各支路电流和电压都取
关联参考方向，并分别用 ib,ub和 ib`,ub`表示
两电路中 b条支路的电流和电压，则在任何时
间 t有,
0iu
b
1k
kk ??
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?
0iu
b
1k
kk ??
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证明如下：设两个电路的图如图。分别应用
KVL得,
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???
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??
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3n6
2n5
3n1n4
3n2n3
2n1n2
1n1
uu
uu
uuu
uuu
uuu
uu
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?
?
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?
?
????
????
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???
???
???
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0iii
0iii
643
532
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)iii(u)iii(uiu
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5322n4211n
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??????
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????
????????
0iu
6
1k
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?? 0iu
b
1k
kk ??
?
??
值得注意的是，定理 2不能用功率守桓解释，它
仅仅是对两个具有相同拓扑的电路中，一个
电路的支路电压和另一个电路的支路电流，
或者可以是同一电路在不同时刻的相应支路
电压和支路电流必须遵循的数学关系。由于
它仍具有功率之和的形式，所以有时又称为
,拟功率定理,。应当指出，定理 2同样对支
路内容没有任何限制，这也是此定理普遍适
用的特点。
§ 4-5 互易定理
图示电路 N在方框内仅含线性电阻，不含任何
独立电源和受控源。支路 1为电压源 uS，支路
2为短路，电流为 i2，如果把激励利响应互换
位置，假设把电压源置零，则 1,2两条支路
均为短路；即在激励和响应互换位置前后，
如果把电压源置零，则电路保持不变。
根据特勒根定理 2有,
0iiRiuiu
b
3k
kkk2211 ??? ?
?
???
0iiRiuiu
b
3k
kkk2211 ??? ?
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???
而,
kkk iRu ? kkk iRu
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0iuiuiu
b
3k
kk2211 ??? ?
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??? 0iuiuiu
b
3k
kk2211 ??? ?
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????
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S
1
S
2
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i
u
i
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?
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12
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ii
uu
?
?
?
?
结论：互易定理的第一种形式，即对一个仅含
线性电阻的电路，在单一电压源激励而响应
为电流时，当激励和响应互换位置时，将不
改变同一激励产生的响应。
S
1
S
2
u
i
u
i
?
?
? ?
12
SS
ii
uu
?
?
?
?
互易定理的第二种形式,
22112211 iuiuiuiu
???? ???
S212S1 ii0i0iii
???
??????
S1S2 iuiu
?? ? 即,
S
1
S
2
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12
SS
uu
ii
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?
?
?
互易定理的第三种形式,
22112211 iuiuiuiu
???? ???
S212S1 uu0i0uii
???
?????
2SS1 iuiu
?? ? 即,
S
1
S
2
u
u
i
i
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? ?
12
SS
ui
ui
?
?
?
?
对互易定理的 3种不同形式，其中激励和响应可
能是电压或电流而有所不同，但在它们互换
位置前后，如假设把电压源和电流源置零下
则电路保持不变。在满足这个条件下，互易
定理可以归纳为：对于一个仅含线性电阻的
电路，在单一激励下产生的响应，当激励和
响应互换位置时，其比值保持不变。
§ 4-6 对偶原理
电阻 R的电压、电流关系为 u=Ri，电导 G的电压
电流关系为,i＝ Gu；对 CCVS有 u2=ri1,i1为
控制电流，对于 VCCS有 i2＝ gu1,u1为控制电
压。在这些关系式中，如果把电压 u和电流 i
互换，电阻 R和电导 G互换,r和 g互换，则对
应关系可以彼此转换。这些互换元素称为对
偶元素。所以“电压”和“电流”、”电阻”
和”电导”,,CCVS”和,VCCS”，,r”和
,g”等都是对偶元素。
u
R
R
u
R
u
i
RR
k
k
n
1k
k
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?
? ?
?
i
G
G
i
G
i
u
GG
k
k
n
1k
k
?
?
? ?
?
“串联”和“并联”也是对偶元素。
网孔电流方程,结点电压方程,
2S2m321m2
1S2m21m21
ui)RR(iR
uiRi)RR(
????
???
2S
_
2n
_
3
_
2
_
1n
_
2
_
1S
_
2n
_
2
_
1n
_
2
_
1
_
iu)GG(uG
iuGu)GG(
????
???
“网孔电流”和“结点电压”是对偶元素，这
两个平面电路称为对偶电路。
对偶原理：两个关系式或两组方程通过对偶元
素互换又能被此转换，这两个关系式或两组
方程就互为对偶。电路中某些元素之间的关
系 (或方程 )用它们的对偶元素对应地置换后，
所得新关系 (或新方程 )也一定成立，前者和后
者互为对偶。
这些关系式或方程组所以能够彼此转换，是它
们的数学表示形式完全相似。
根据对偶原理，如果导出了某一关系式和结论，
就等于解决了和它对偶的另 —·个关系式和结
论。
应当注意：“对偶”和“等效”是不同的概念。
对偶原理不局限于电阻电路：例如，根据电容
和电感的电压电流关系，容易看出它们互为
对偶元素，其他如“短路”和“开路”，
,KCL”和,KVL”，“树支电压”和“连支
电流”等都分别互为对偶。
第五章 含有运算放大器的电阻电路
§ 5-1 运算放大器的电路模型
运算放大器 (简称运放 )是一种包含许多晶体管
的集成电路，它是目前获得广泛应用的一种
多端器件。一般放大器的作用是把输入电压
放大一定倍数后再输送出去，其输出电压与
输入电压的比值称为电压放大倍数或电压增
益。运放是一种高增益 (可达几万倍甚至更高 )、
高输入电阻、低输出电阻的放大器，能完成
加法、积分、微分等数学运算，故被称为运
算放大器，它的应用非常之广。
运放的电路图形符号,
如果在 a端和 b端分别同时加输入电压 u- 和 u+，
则有,
d0 Au)uu(Au ???
??
ud为差动输入电压。若把其中一端接地则有,
或 ??? Auu 0 ?? Auu
0
运放的 ud-u0特性,
ε很小；
A很大，曲线很陡；
运放的电路模型,
实际运放的 Rin都比较高，而 R0则较低，它们的
具体值根据运放的制造工艺有所不同。
本章中把运放的工作范围限制在线性段,-Usat
＜ u0＜ Usat，由于放大倍数 A很大，而 usat一般
为正负十几伏或几伏，这样输入电压就必须
很小，运放的这种工作状态称为“开环运
行”, A称为开环放大倍数。在运放的实际
应用中，通常通过一定的方式将输出的一部
分接回 (反馈 )到输入中去，这种工作状态称为
“闭环运行”。
在理想化情况下，流入每个输入端的电流均为
零，即 Rin为无限大、输出电阻 R0则设为零，
而放大倍数 A作为无限大处理。因为 u0为有限
值，所以 ud=0。
理想运放：在 -Usat＜ u0＜ Usat范围内,Rin =∞，
R0＝ 0，且认为 A＝ ∞，并在运放图形符号中
加,∞”表示，否则用,A”表示。
实际运放的工作要复杂一些。如 A 仅为有限值，
且随着频率的增高而下降。通常，所示电路
模型在输入电压频率较低时足够精确，为了
简化分析，一般假设在理想化条件下工作，
许多场合下不会造成很大的误差。
§ 5-2 比例电路的分析
由运放和电阻构成倒向比例器。输出电压通过
R2反馈到输入回路中。显然，由于 R1的存在
输入电压 uin与运放的倒向输入端电压 u不同。
电路模型,
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1
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2
1n
2in1 R
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R
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1
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1
1
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u
u
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?
??
例,A=50000,Rin=1MΩ,R0=100 Ω,R2=100k
Ω,R1= 10k Ω，则,
0 0 0 2 2.1
1
R
R
u
u
1
2
in
0 ???
如果为理想运放，则 A= ∞,Rin= ∞,R0=0，可
求得,
1
2
in
0
R
R
u
u ??
若对电路求解 可得,A= ∞,i1=i2
2
0
1
in
R
uu
R
uu ??? ?? 而 0uA
u
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则,
2
0
1
in
R
u
R
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1
2
in
0
R
R
u
u ??
§ 5-3 含有理想运算放大器的电路的分析
按理想运放的性质，可得到以下两条规则,
(1)反相端和同相端的输入电流均为零 (虚断
(路 ))；
(2)对于公共端 (地 )，反相输入端的电压与同
相输入端的电压相等 (虚短 (路 ))。
例 5-1 图示电路为同相比例放大器，试求 u0与
uin的关系。
解,0ii
21 ??
21
10
2 RR
Ru
u
?
?
2in uuuu ???
??
21
10
in RR
Ru
u
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?
1
2
in
0
R
R
1
u
u
??
电压跟随器及其隔离作用,
??
??
in
inin0
R
0iuu
例 5-2 图示加法器，试说明其工作原理。
解,
3
3
2
2
1
1
1
0
321
R
uu
R
uu
R
uu
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R
u
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3
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2
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1
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0
?????
??????
?
令
f321 RRRR ???
得,)uuu(u
3210 ????
例 5-3 图示电路中 R5=R6，求 u0/uin。
解：列写结点电压方程
0
R
u
R
u
R
u
4
0
6
0
,
1
in ????
0
R
u
R
u
R
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3
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5
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,
2
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4
0
3
0
2
in
1
in
R
u
R
u
R
u
R
u ???
43
21
in
0
GG
GG
u
u
?
?
??
0uu 2n1n ??
小结,
在解决理想运放问题时注意二条规则,
(1)反相端和同相端的输入电流均为零 (虚断 (路 ))；
(2)对于公共端 (地 )，反相输入端的电压与同相
输入端的电压相等 (虚短 (路 ))。
在解决实际运放问题时注意其电路模型。
作业,P119~120
5-1； 5-3 ； 5-4 ； 5-5