§ 5 控制系统根轨迹设计方法
一,设计准则
系统设计所依据的性能指标为：稳态指标与动态指标。
（ 1）稳态性能指标（稳态误差 es）,
对应于给定输入 x(t)所引起的偏差 esx,
对阶跃响应
p
s Ke ?? 1
1
Kaes
1?加速度响应
Kves
1?斜波响应
esx对 0,1,2型系统有不同的数值。
是位置偏差系数、速
度偏差系数和加速度偏差系数,
avp KKK,,
（ 2）动态性能指标（时域动态性能指标）,
通常以系统的阶跃响应来进行描述,
常用的指标有 上升时间 tr,峰值时间 tp,超调量 σ、
调节时间 ts等。
详细讨论二阶欠阻尼系统的质量指标。
如果高阶系统存在一对闭环主导极点的话，将主导系
统过渡过程的主要形式。
闭环主导极点的定义是,
1、在 S平面上，距离虚轴比较近，且周围没有
其它的零极点。
2、与其它闭环极点距虚轴的距离在 5倍以上。
设计步骤,
i
0
等频线
等
α线
合格区 l 确定系统的根轨迹是否穿过
阴影区域。
l 如果系统的原根轨迹不穿过图示的阴影区域,
就要设计相应的校正装置，增加开环极点和开
环零点，使得校正后的根轨迹落到阴影区域,
从而实现给定的性能要求。
l 如果是，只要调整根轨迹增
益 K就可以完成设计工作。
l 根据提出的性能指标，画出指标
线，确定合格区。
二,校正方法和基本校正装置
（ 1）增加开环极点
增加了新的开环极点可以使得原系统根轨迹的整
体走向在 s平面上向右移（靠近虚轴），其结果是系
统动态性能变坏，但可以改善系统的稳态性能。
（ 2）增加开环零点
增加了新的开环零点，可以使得原系统根轨迹
的整体走向在 s平面上向左移，其结果是系统的动
态性能和稳定性得到改善。
校正方法
（ 3）增加偶极子
实轴上一对距离很近的开环零点和极点，如果附
近没有其他零极点，称为偶极子。
对于校正装置，一般取具有积分性质的偶极子，,II PZ ?
K开 的定义是：当传递函数化为标准形式时的增益项。
①基本不改变原有根轨迹。
②改变开环增益 K开,改善稳态性能。
增加偶极子可以做到,
)1()1(
)1()1()(
1
''
1
0 ??
???
sTsT
sTsTKsG
n
m
?
?开
)()(
)()()(
1
1
0
n
m
psps
zszsKsG
??
???
?
?传递函数的零极点形式
传递函数的标准形式
,
1
1
?
?
?
??
n
i
i
m
i
i
p
zK
K 开
偶极子的传递函数为,由于,因
此，系统的闭环极点 s满足,I
I
I Ps
ZssG
?
??)(
II PZ ?
,1???
I
I
Ps
Zs ?50 ??
?
??
I
I
Ps
Zs
基本上不影响原系统根轨迹的
幅值条件和相角条件。
is
0
?j
?× ●
IZ? IP?
×
而增益的补偿值为,
)(l i m 0 sGK IsI ??
I
I
P
Z? 1? 一般设计 3~10。
所以，可以增加偶极子来增加原开环增益 K的大小，
从而改善稳态误差 es。
（ 4）超前校正装置（微分校正）
微分校正环节用来改善原系统的动态性能，它使根
轨迹向左移，以此改善系统的超调量 σ和调节时间 ts。
其传递函数,
,)(
D
D
D Ps
ZssG
?
?? )()()(
DDD PsZssG ???????
恒有,PD>ZD,
超前校正－
实际微分环节
?j
0
?
S平面
×
DP?
●
DZ?
(a) GD(s)零极点
×
)(sGD?
iS
(b) GD(s)的幅值与幅角
?j
0
?
S平面
● ×
DP? DZ?
0?
校正装置
（ 5）滞后校正装置（积分校正）
积分校正可以改善系统的稳态性能。
在原点附近增加一对积分性质的开环偶极子，增加系
统的开环增益，从而满足稳态要求。
积分校正装置的传递函数为
,)(
I
I
I Ps
ZssG
?
?? )()()(
III PsZssG ???????
?j
0
?
S平面
● ×
×
iP?DZ?
iS恒有 PI < ZI, 滞后校正。
偶极子的性质－增加积分校正基
本不改变系统根轨迹。
积分校正装置对开环增益的补偿值
为：,'
I
I
P
ZK ? 。开 'KK校正后的开环增益为,
0?
（ 6）微分－积分校正
系统的动态性能、稳态性能都不好，可以考虑采用微
分 — 积分校正。
))((
))(()(
ID
ID
DI PsPs
ZsZssG
??
???其传递函数,
校正计算时,
l 最后，选择相应的微分 — 积分
校正装置完成校正设计。
l 然后再计算积分校正，以满足
给定要求的稳态性能。
l 先计算微分校正，根据要求的
动态性能，完成根轨迹的移动。 ?j
0
?
S平面
×
iP?
●
iZ?
×
DP?
●
DZ?
三,根据控制指标设计 K
例 4-5-1 单位反馈控制系统的开环传递函数为
)6)(4()( ??? sss
KsG
o
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量 σ≤17%,
试确定开环增益 K开 。
)1)(1()( 6141
24
0 ??? ssssG
K对上式有
?
?
?
??
n
i
i
m
i
i
p
zK
K
1
1
开
24
K?
5
0
-5
-6 -10 -8 0 2 -4 -2
× × × ● ●
K=44 K=17
例 4-5-1
画出上述系统的根轨迹如图 4-24。
●
●
当 K=17时，根轨迹在实轴上有分离点。
当 K>240时，闭环系统是不稳定的。
要求,17%%10021 ???? ?????e 求出阻尼系数 ζ=0.5,
等 ζ线与实轴夹角为,
?6031 1
2
1 ??
?
?? ?? tgtg
求交点坐标（阻尼角为 600）和对应的 K值。
解,
)6)(4()( ??? sss
KsG
o
正切公式,
t g A t g B
t g Bt g ABAtg
?
???
1)(
交点坐标可根据相角条件计算出,
，设 ????? 3js
0110 180
6
3
4
3120 ?
??????
??
?
?
?
? tgtg 011 60
6
3
4
3 ?
??
??
??
? ?? tgtg
01 8 0)63()4( ????????? ss
360
6
3
4
3
1
6
3
4
3
0 ??
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
tg两边求正切,利用公式,
,13)6)(4( )4()6( 2 ??????? ???????
012102 ?????
22 41024210 ????????
2.1?? 1.22.1 js ???
舍去另一不在根轨迹上的 根。
5
0
-5
-6 -10 -8 0 2 -4 -2
× × × ● ●
K=44 K=17
●
●
)6)(4()( ??? sss
KsG
o
)(
1
sGK ?
448.43 ?? 64 ??? sss K开 =40/24=1.83。
必须判断该点是否是闭环主导极点。
,044)6)(4( ???? sss 。6.7??s
求另一闭环极点（在实轴上）,把 K=44代入特征方程,
求解得
比较三个闭环极点发现，一对
复数极点是系统的一对闭环主
导极点（实部比在 5倍以上）。
可以用这对闭环主导极点的响
应过程分析系统的响应。
5
0
-5
-6 -10 -8 0 2 -4 -2
× × × ● ●
●
●
K=44
K=44
K=44
K=17
)6)(4()( ??? sss
KsG
o1.22.1 js ???从幅值条件求出该点 的 K值,
四,超前补偿器（微分校正）
)1(
1)(
0 ?? sssG? 首先绘制对象的根轨迹,
●
-2
? 考虑为系统增加一个超前补
偿环节 D(s)=s+2,即增加了
一个附加零点 s =－ 2。
超前补偿器使根轨迹左移，
稳定裕度更大。
× ×
◆ K小时，过阻尼系统,◆ K增加，临界阻尼系统,
◆ K继续增加，欠阻尼系统,◆ K大时，仍稳定,
但振荡频率增加，调节时间不变化。
超前补偿器近似于 PD控制
d?
1?2?
虚部相同时,
ζ 相同时
ζ2 >ζ1, 在相同的振荡频率,后者 ts短。
?dw
??
????
d
p wt
2
????? 33
0w
t s ζ
后者动态响应快。
这种补偿方法存在严重问题,
1） S+2这样的环节在物理上根本
不可能实现。
2）将会放大实际系统普遍存在的
高频噪声，损害控制质量和执
行机构寿命。
× ×
D(s)=s+2
单纯的微分补偿不足取。
解决方法,
在零点左面相当远处选一极点 s = - 20,
使补偿器为：,
20
2)(
?
??
s
ssG
D
实际微分环节
?优点依然存在，但克服了缺点。
? 补偿器增加阻尼,
? 不改变微分性质 。
5
0
-5
-2 -10 0
× × ● ×
? 超前补偿器的零极点的精确选取要通过经验和试
差完成。
? 虽然阶次增加了 1，但仍可用一对闭环主导极点的
性质来近似和分析系统性能。
五,滞后补偿器（积分校正）
为改善系统的闭环静态特性。
例, )1( 1)()( ?? sssHsG
20
2)(
?
??
s
ssG
D
先用超前补偿
1 根据要求动态指标取 ζ=0.707,阻尼角 45°，则 K=31。
? 要求 当 ζ =0.707，给定为 斜坡
输入 时，稳态误差 ≤0.035,
2 当给定为 斜坡输入 时，计算 速度偏差系数,
)()(lim 01 sGss K GK Dsv ?? 202)1(31lim 0 ???? ? ssss ss 1.3?
32.01.3 11
1
1 ???
v
s Ke
5
0
-5
-2 -10 0
× × ● ×
K=31
现增加一个 积分补偿环节。
01.0
1.0)(
?
??
s
ssG
I
)()()(lim 02 sGsGss K GK IDsv ??
0 3 2.03111
2
2 ???
v
s Ke
倍。小于 1012 ss ee?
01.0
1.0
20
2
)1(
131lim
0 ?
?
?
?
??? ? s
s
s
s
ssss
01.0
1.01.3 ?? 31?
加入积分补偿后改善了系统稳态性能。
积分性质的偶极子,
?极点离虚轴近；
?零点离极点近,距离 3～ 10倍 。
5
0
-5
-2 -10 0
× × ● ×
5
0
-5
-.1 0
× × ○ ×
一般设计方法,
极点实部 取零点实部的 1/3~1/10，即取 。10~3?PZ
零点实部 取主导极点实部的 1/5~1/10;
结论,
(1)滞后补偿器的加入会使 根轨迹右移 。
(2)在 z,p都很小,,则主导极点附近根轨迹
右移很小，动态性能降低很小。
0)( ?? sG D
(3)由于补偿器的零频率增益, 故可使校
正后对象 KGD(s)GI(s)G(s)开环放大倍数增加了
倍，则减少了 es,改善了系统的稳态性能。
1)0( ?? pzG D
p
z
总结,根轨迹确定点的求解方法。
（ 1）求取根轨迹上某一点的坐标,
（ 3）已知根轨迹上某一点坐标（ K值已确定）,
求解其它点坐标（闭环极点）。
l 利用几何图形丈量距离。
l 利用幅值条件求解。
（ 2）求取根轨迹上某一点对应的 K值,
利用相角条件，利用正切公式。
l 把确定的 K值代入闭环特征方程，求解。
当 m＜ n－ 1时，特征方程根之和为常数，不随 K值
变化。开环极点是当 K=0时特殊的闭环极点。因已
知，可直接求出 K=0时的特征方程根之和。当又知
K等于确定值时的几个极点坐标，因此可以求出最
后一个特征根的坐标。
如例题,
x-1.2+j2.1-1.2-j1.2= -10,K=44时,
K=0时,
特征根之和
x= -7.6。
特征根之和 0-4-6= -10。
作业,A-4-30
一,设计准则
系统设计所依据的性能指标为：稳态指标与动态指标。
（ 1）稳态性能指标（稳态误差 es）,
对应于给定输入 x(t)所引起的偏差 esx,
对阶跃响应
p
s Ke ?? 1
1
Kaes
1?加速度响应
Kves
1?斜波响应
esx对 0,1,2型系统有不同的数值。
是位置偏差系数、速
度偏差系数和加速度偏差系数,
avp KKK,,
（ 2）动态性能指标（时域动态性能指标）,
通常以系统的阶跃响应来进行描述,
常用的指标有 上升时间 tr,峰值时间 tp,超调量 σ、
调节时间 ts等。
详细讨论二阶欠阻尼系统的质量指标。
如果高阶系统存在一对闭环主导极点的话，将主导系
统过渡过程的主要形式。
闭环主导极点的定义是,
1、在 S平面上，距离虚轴比较近，且周围没有
其它的零极点。
2、与其它闭环极点距虚轴的距离在 5倍以上。
设计步骤,
i
0
等频线
等
α线
合格区 l 确定系统的根轨迹是否穿过
阴影区域。
l 如果系统的原根轨迹不穿过图示的阴影区域,
就要设计相应的校正装置，增加开环极点和开
环零点，使得校正后的根轨迹落到阴影区域,
从而实现给定的性能要求。
l 如果是，只要调整根轨迹增
益 K就可以完成设计工作。
l 根据提出的性能指标，画出指标
线，确定合格区。
二,校正方法和基本校正装置
（ 1）增加开环极点
增加了新的开环极点可以使得原系统根轨迹的整
体走向在 s平面上向右移（靠近虚轴），其结果是系
统动态性能变坏，但可以改善系统的稳态性能。
（ 2）增加开环零点
增加了新的开环零点，可以使得原系统根轨迹
的整体走向在 s平面上向左移，其结果是系统的动
态性能和稳定性得到改善。
校正方法
（ 3）增加偶极子
实轴上一对距离很近的开环零点和极点，如果附
近没有其他零极点，称为偶极子。
对于校正装置，一般取具有积分性质的偶极子，,II PZ ?
K开 的定义是：当传递函数化为标准形式时的增益项。
①基本不改变原有根轨迹。
②改变开环增益 K开,改善稳态性能。
增加偶极子可以做到,
)1()1(
)1()1()(
1
''
1
0 ??
???
sTsT
sTsTKsG
n
m
?
?开
)()(
)()()(
1
1
0
n
m
psps
zszsKsG
??
???
?
?传递函数的零极点形式
传递函数的标准形式
,
1
1
?
?
?
??
n
i
i
m
i
i
p
zK
K 开
偶极子的传递函数为,由于,因
此，系统的闭环极点 s满足,I
I
I Ps
ZssG
?
??)(
II PZ ?
,1???
I
I
Ps
Zs ?50 ??
?
??
I
I
Ps
Zs
基本上不影响原系统根轨迹的
幅值条件和相角条件。
is
0
?j
?× ●
IZ? IP?
×
而增益的补偿值为,
)(l i m 0 sGK IsI ??
I
I
P
Z? 1? 一般设计 3~10。
所以，可以增加偶极子来增加原开环增益 K的大小，
从而改善稳态误差 es。
（ 4）超前校正装置（微分校正）
微分校正环节用来改善原系统的动态性能，它使根
轨迹向左移，以此改善系统的超调量 σ和调节时间 ts。
其传递函数,
,)(
D
D
D Ps
ZssG
?
?? )()()(
DDD PsZssG ???????
恒有,PD>ZD,
超前校正－
实际微分环节
?j
0
?
S平面
×
DP?
●
DZ?
(a) GD(s)零极点
×
)(sGD?
iS
(b) GD(s)的幅值与幅角
?j
0
?
S平面
● ×
DP? DZ?
0?
校正装置
（ 5）滞后校正装置（积分校正）
积分校正可以改善系统的稳态性能。
在原点附近增加一对积分性质的开环偶极子，增加系
统的开环增益，从而满足稳态要求。
积分校正装置的传递函数为
,)(
I
I
I Ps
ZssG
?
?? )()()(
III PsZssG ???????
?j
0
?
S平面
● ×
×
iP?DZ?
iS恒有 PI < ZI, 滞后校正。
偶极子的性质－增加积分校正基
本不改变系统根轨迹。
积分校正装置对开环增益的补偿值
为：,'
I
I
P
ZK ? 。开 'KK校正后的开环增益为,
0?
（ 6）微分－积分校正
系统的动态性能、稳态性能都不好，可以考虑采用微
分 — 积分校正。
))((
))(()(
ID
ID
DI PsPs
ZsZssG
??
???其传递函数,
校正计算时,
l 最后，选择相应的微分 — 积分
校正装置完成校正设计。
l 然后再计算积分校正，以满足
给定要求的稳态性能。
l 先计算微分校正，根据要求的
动态性能，完成根轨迹的移动。 ?j
0
?
S平面
×
iP?
●
iZ?
×
DP?
●
DZ?
三,根据控制指标设计 K
例 4-5-1 单位反馈控制系统的开环传递函数为
)6)(4()( ??? sss
KsG
o
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量 σ≤17%,
试确定开环增益 K开 。
)1)(1()( 6141
24
0 ??? ssssG
K对上式有
?
?
?
??
n
i
i
m
i
i
p
zK
K
1
1
开
24
K?
5
0
-5
-6 -10 -8 0 2 -4 -2
× × × ● ●
K=44 K=17
例 4-5-1
画出上述系统的根轨迹如图 4-24。
●
●
当 K=17时，根轨迹在实轴上有分离点。
当 K>240时，闭环系统是不稳定的。
要求,17%%10021 ???? ?????e 求出阻尼系数 ζ=0.5,
等 ζ线与实轴夹角为,
?6031 1
2
1 ??
?
?? ?? tgtg
求交点坐标（阻尼角为 600）和对应的 K值。
解,
)6)(4()( ??? sss
KsG
o
正切公式,
t g A t g B
t g Bt g ABAtg
?
???
1)(
交点坐标可根据相角条件计算出,
，设 ????? 3js
0110 180
6
3
4
3120 ?
??????
??
?
?
?
? tgtg 011 60
6
3
4
3 ?
??
??
??
? ?? tgtg
01 8 0)63()4( ????????? ss
360
6
3
4
3
1
6
3
4
3
0 ??
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
tg两边求正切,利用公式,
,13)6)(4( )4()6( 2 ??????? ???????
012102 ?????
22 41024210 ????????
2.1?? 1.22.1 js ???
舍去另一不在根轨迹上的 根。
5
0
-5
-6 -10 -8 0 2 -4 -2
× × × ● ●
K=44 K=17
●
●
)6)(4()( ??? sss
KsG
o
)(
1
sGK ?
448.43 ?? 64 ??? sss K开 =40/24=1.83。
必须判断该点是否是闭环主导极点。
,044)6)(4( ???? sss 。6.7??s
求另一闭环极点（在实轴上）,把 K=44代入特征方程,
求解得
比较三个闭环极点发现，一对
复数极点是系统的一对闭环主
导极点（实部比在 5倍以上）。
可以用这对闭环主导极点的响
应过程分析系统的响应。
5
0
-5
-6 -10 -8 0 2 -4 -2
× × × ● ●
●
●
K=44
K=44
K=44
K=17
)6)(4()( ??? sss
KsG
o1.22.1 js ???从幅值条件求出该点 的 K值,
四,超前补偿器（微分校正）
)1(
1)(
0 ?? sssG? 首先绘制对象的根轨迹,
●
-2
? 考虑为系统增加一个超前补
偿环节 D(s)=s+2,即增加了
一个附加零点 s =－ 2。
超前补偿器使根轨迹左移，
稳定裕度更大。
× ×
◆ K小时，过阻尼系统,◆ K增加，临界阻尼系统,
◆ K继续增加，欠阻尼系统,◆ K大时，仍稳定,
但振荡频率增加，调节时间不变化。
超前补偿器近似于 PD控制
d?
1?2?
虚部相同时,
ζ 相同时
ζ2 >ζ1, 在相同的振荡频率,后者 ts短。
?dw
??
????
d
p wt
2
????? 33
0w
t s ζ
后者动态响应快。
这种补偿方法存在严重问题,
1） S+2这样的环节在物理上根本
不可能实现。
2）将会放大实际系统普遍存在的
高频噪声，损害控制质量和执
行机构寿命。
× ×
D(s)=s+2
单纯的微分补偿不足取。
解决方法,
在零点左面相当远处选一极点 s = - 20,
使补偿器为：,
20
2)(
?
??
s
ssG
D
实际微分环节
?优点依然存在，但克服了缺点。
? 补偿器增加阻尼,
? 不改变微分性质 。
5
0
-5
-2 -10 0
× × ● ×
? 超前补偿器的零极点的精确选取要通过经验和试
差完成。
? 虽然阶次增加了 1，但仍可用一对闭环主导极点的
性质来近似和分析系统性能。
五,滞后补偿器（积分校正）
为改善系统的闭环静态特性。
例, )1( 1)()( ?? sssHsG
20
2)(
?
??
s
ssG
D
先用超前补偿
1 根据要求动态指标取 ζ=0.707,阻尼角 45°，则 K=31。
? 要求 当 ζ =0.707，给定为 斜坡
输入 时，稳态误差 ≤0.035,
2 当给定为 斜坡输入 时，计算 速度偏差系数,
)()(lim 01 sGss K GK Dsv ?? 202)1(31lim 0 ???? ? ssss ss 1.3?
32.01.3 11
1
1 ???
v
s Ke
5
0
-5
-2 -10 0
× × ● ×
K=31
现增加一个 积分补偿环节。
01.0
1.0)(
?
??
s
ssG
I
)()()(lim 02 sGsGss K GK IDsv ??
0 3 2.03111
2
2 ???
v
s Ke
倍。小于 1012 ss ee?
01.0
1.0
20
2
)1(
131lim
0 ?
?
?
?
??? ? s
s
s
s
ssss
01.0
1.01.3 ?? 31?
加入积分补偿后改善了系统稳态性能。
积分性质的偶极子,
?极点离虚轴近；
?零点离极点近,距离 3～ 10倍 。
5
0
-5
-2 -10 0
× × ● ×
5
0
-5
-.1 0
× × ○ ×
一般设计方法,
极点实部 取零点实部的 1/3~1/10，即取 。10~3?PZ
零点实部 取主导极点实部的 1/5~1/10;
结论,
(1)滞后补偿器的加入会使 根轨迹右移 。
(2)在 z,p都很小,,则主导极点附近根轨迹
右移很小，动态性能降低很小。
0)( ?? sG D
(3)由于补偿器的零频率增益, 故可使校
正后对象 KGD(s)GI(s)G(s)开环放大倍数增加了
倍，则减少了 es,改善了系统的稳态性能。
1)0( ?? pzG D
p
z
总结,根轨迹确定点的求解方法。
（ 1）求取根轨迹上某一点的坐标,
（ 3）已知根轨迹上某一点坐标（ K值已确定）,
求解其它点坐标（闭环极点）。
l 利用几何图形丈量距离。
l 利用幅值条件求解。
（ 2）求取根轨迹上某一点对应的 K值,
利用相角条件，利用正切公式。
l 把确定的 K值代入闭环特征方程，求解。
当 m＜ n－ 1时，特征方程根之和为常数，不随 K值
变化。开环极点是当 K=0时特殊的闭环极点。因已
知，可直接求出 K=0时的特征方程根之和。当又知
K等于确定值时的几个极点坐标，因此可以求出最
后一个特征根的坐标。
如例题,
x-1.2+j2.1-1.2-j1.2= -10,K=44时,
K=0时,
特征根之和
x= -7.6。
特征根之和 0-4-6= -10。
作业,A-4-30
