第四章 控制系统的根轨迹分析方法
系统闭环特征方程的 根的位置 决定闭环系统
的 稳定性 和 动态特性。
l 研究 调节器参数 与 闭环特征根 的变化关系,设计
调节器 （设计问题）。
l 研究闭环特征 根的分布与 闭环系统的 动态特性
之间的定性、定量关系（分析问题）；
l 根据控制系统 动态特性要求 决定闭环极点 在根平
面的位置 ；
伊凡思 (W.R,Evans)发明根轨迹法
－几何图解求解特征根
l 系统中某一参数在全部范围内（ 0→∞ ）变化时,
系统闭环特征根随之变化的轨迹。
l 可以推广到其它参数的变化－ 参数根轨迹 。
l 可用于单变量系统和多变量系统。
l 常规根轨迹 法以开环增益 K做为参数画出根轨迹的。
l 利用这些在 s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控
制系统。
本章主要内容
? 以 K为变量的 常规根轨迹 的绘制方法
? 以其它参数为变量的 参数根轨迹 的绘制方法
? 根轨迹分析方法的 应用
－利用根轨迹分析和设计控制系统
§ 1 根轨迹的基本概念
定义,
根轨迹 — 系统中某一参数在全部范围内变化时,
系统闭环特征根随之变化的轨迹。
1、根轨迹举例
例 4-1-1 二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。
－ )1s(s
1
?K
开环传递函数,
)1()()( ?? ss
KsHsG
分析 有 2个开环极点,1p,0p 21 ??? 没有开环零点。
闭环特征方程 0,0)()(1 2 ????? KsssHsG
求出 2个闭环特征根,
K415.05.0s 2,1 ???? （ 4-1-1）
闭环特征根是 K的函数。当 K从 0～ ∞变化,
闭环特征根在根平面上形成根轨迹。
闭环传递函数,
Kss
K
sHsG
sG
???? 2)()(1
)(
K取不同值,
（等于两个开环极点）,0?? K
Im
Re 0
(两根重合于－ 0.5处 ),
4
1?? K
（即 0≤K≤1/4,两根为实根）
,25.00,?? K
× ×
﹣ 1 ﹣ 0.5 (两根为共轭复数根，其实部为－ 0.5)
,41?? K
●
K415.05.0s 2,1 ????
●
)1()()( ?? ss
KsHsG
,1,0 21 ??? ss
,5.0,5.0 21 ???? ss
145.05.02,1 ???? Kjs
??????? )I m (,5.0)R e (,2,12,1 ssK
5.01:,5.00,21 ????? ss
总结,
? 有两个闭环极点，有 2条根轨迹。
? 根轨迹是从 开环极点 出发点。
? 通过选择增益 K,可使闭环极点落
在根轨迹的任何位置上。
? 如果根轨迹上某一点满足动态特
性要求，可以计算该点的 K值实现
设计要求。
Im
Re 0
× ×
﹣ 1 ﹣ 0.5
● ●
)1()()( ?? ss
KsHsG
这是个？阶系统,2
? 根轨迹上的点与 K值一一对应。根轨迹是连续的。
例 4-1-2
2
3
2
3?
5.0??
对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统
的阻尼系数 ξ=0.5,确定系统闭环特征根。
根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。 解,
阻尼角 θ计算如下,
,31
2
?? ???????tg
?60??
???? js 2,1
200 1 ????????
235.0 j???
×
Im
Re 0
×
﹣ 1 ﹣ 0.5
●
? 阻尼系数为 0.5时的射线与根轨迹交点处的 K值可
以计算出来。
? 与（ 4-1-1）式比较得：,314 ??k 即 K=1。
K415.05.0s 2,1 ???? （ 4-1-1）
获得系统的根轨迹有两个方法,
? 图解法：利用 Evans总结的
规律画出根轨迹。
－近似,简单，尤其适合高阶系统
? 解析法：对闭环特征方程解
析求解，逐点描绘。
－精确，工作量大
2
3
2
3?
5.0??
×
Im
Re 0
×
﹣ 1 ﹣ 0.5
●
232,1 5.0 js ???
§ 2 根轨迹的基本性质及绘图规则
1、根轨迹的基本关系式
典型的反馈控制系统如图,
G(s)
H(s)
－
其 开环传递函数,
（ 4-2-1）
)(
)(
sb
saK?
)())((
)())((
21
21
n
m
pspsps
zszszsK
?????
??????
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
m
i
i
ps
zs
K
1
1
)(
)()()( sHsG
其中,K:开环增益,
miz i ?,2,1,? — 开环零点,
— 开环极点。 mnnip i ??,,2,1,?
×
闭环传递函数,
)()(1
)(
sHsG
sG
?
闭环特征方程为,
1)()(,0)()(1 ???? sHsGsHsG 即
?jsHsGj MeesHsGsHsG ?? ? )()()()()()(
1)()( ??sHsG
它们满足,
1)()( ???? sHsG ?5,3,1?l
,1?
0180??? l
G(s)
H(s)
－
G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量,
)
)(
)(
(
1
1
?
?
?
?
?
?
? n
i
i
m
i
i
ps
zs
K
?
?
?
?
?
?
n
i
i
m
i
i
ps
zs
K
1
1
)(
)(
K
1 ?
?
?
?
?
?
?
m
i
i
n
i
i
zs
ps
K
1
1
)(
)(1??
-1
φ
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
m
i
i
ps
zs
KsHsG
1
1
)(
)(
)()(
绘制根轨迹必须满足的基本条件,
（相角公式：积的相角等于相角的和,
商的相角等于相角的差）
)]()()([
)]()()([
21
21
n
m
pspsps
zszszs
??????????
?????????
?
?
0180??? l ?5,3,1?l
幅值条件
m
n
zszszs
pspspsK
???
????
?
?
21
21
相角条件
（积的模等于模的积，商的模等于模的商）
l
ps
zs
K
n
i
i
m
i
i
???
?
?
?
?
?
?
? 0
1
1 1 8 0)
)(
)(
(
?
?
?
?
?
?
?
m
i
i
n
i
i
zs
ps
K
1
1
)(
)(
注意,1,这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，
所有满足以上两式的 s 值 都是系统的 特征根,把它们
在 s平面上画出，就构成了 根轨迹 。
2,观察两式，均与开环零极点有关，也就是说,根
轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。
相角条件
)]()()([
)]()()([
21
21
n
m
pspsps
zszszs
??????????
?????????
?
?
0180??? l ?5,3,1?l
幅值条件
m
n
zszszs
pspspsK
???
????
?
?
21
21
画法,
1,利用相角条件，找出所有满足相角条件的 s值，连
成根轨迹。 (充分必要条件 )
2,确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的
K值。
例 4-2-1 某系统开环传递函数
))((
)()()(
21
1
psps
zsKsHsG
??
??
分析,
在 s平面上，○表示零点，×表示极点。
2个开环极点 p1和 p2。
设 s是系统的一个闭环特征根,
相角条件,?5,3,11 8 0 0
211 ?????? llppz ???
可以通过幅值条件，求出此 s值下的 K值,
1
21
zs
psps
k
?
??
?
○
×
×
●
1z?
1p?
2p?
s
则它必须满足,
一个开环零点 z1,
2、绘制根轨迹的基本规则
例 4-2-2
)2)(1(
)5()()(
??
??
sss
sKsHsG
要求画出根轨迹。
某单位反馈系统
分析,1个开环零点,3个开环极点,
,51 ??z
0
●
-5
× × ×
-2 -1
,01 ?p,12 ??p 23 ??p
规则一,
根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数 n。
)()(1 sHsG?闭环特征方程 0)2)(1( )5(1 ??? ??? sss sK
0)5()2)(1( ?????? sKsss
闭环系统的阶次为 3,有 3条根轨迹 。
闭环极点数 = 闭环特征方程的阶次
= 开环传递函数的阶次 = 开环极点数
例中，,3
)2)(1(
)5()()( 阶?
??
??
sss
sKsHsG
规则二,根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环
极点，终止于开环零点或无穷远点。
根轨迹是 K从 0→∞ 时的根变化轨迹，因此必须
起于 K=0处，止于 K=∞处 。
观察幅值条件,
m
n
zszszs
pspspsK
???
????
?
?
21
21
nipsK i,..2,1,0 ??? 必有
如果 n > m,m条根轨迹趋向开环的 m 个零点，而
另 n-m条根轨迹趋向无穷远处。
对于例题,3条根轨迹始于 3个开环极点，一条止
于开环零点，另两条（ n-m=2） 趋于无穷远处。
mizsK i,...2,1,???? 必有 )2)(1(
)5()()(
??
??
sss
sKsHsG
*规则三,根轨迹的对称性：根轨迹各分支是连续的，
且对称于实轴。
证明：（ 1）连续性
从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化
时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连
续的。
证明：（ 2）对称性
因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以
根轨迹对称于实轴。
规则四,实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根
轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之
和为奇数。
例如系统的开环零、极点分布如图。
× × × ●
×
×
0 ﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5
1?
2?
4P
5P
0S
要判断 和 之间的线段是否存
在根轨迹，取实验点
3p 1z
,0S
? 开环共轭极点和零点提供的相角
相互抵消,G(s0)的相角由实轴上的
开环零极点决定。 。
? 处在 G(s0)左边的开环零极点提供的角度
均为零,相角条件由其右边的零极点决定。
●
? 奇数个 π,无论如何加减组合，总能
使± lπ(l=1,3,…) 成立。
对于例题,在实轴上的根轨迹,
× × × ●
0 ﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5
一条始于开环极点，止于开环零点,
另两条始于开环极点，止于无穷远处。
)2)(1(
)5()()(
??
??
sss
sKsHsG
规则四,实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹
的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数
渐近线：根轨迹有 n-m条渐进线。
渐近线与实轴的夹角为,..5,3,11 8 0 0 ?
?
?? l
mn
l?
渐近线与实轴的交点为,
mn
zp
n
i
m
j
ji
?
?
??
? ?
? ?1 1
l 它们是针对 n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的
l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状
规则五,
证明,见图 4-5。
● 对于位于根轨迹上某一动点 s0,
● 从各开环零极点到这一点的向
量的相角随 s0轨迹的变化而变化,
● 当 s0到达无穷远处，各相角相等,
令其为 Φ,可写成,
????? 180lnm ??
● 进而求出渐近线夹角：,.,,3,1,1 8 0 ??
?
??? l
mn
l?
图 4－ 5
× × × ● ●
×
×
●
0 ﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5
1?
2?
4P
5P
0S
由对称性知,渐近线一定交于实轴上，其交点实际
上相当于零极点的质量重心。
按照重心的求法，可求知交点的坐标 mn
zp
n
i
m
j
ji
?
?
??
? ?
? ?1 1
对例 4-2-2,
mn
l
?
?? ?1 8 0? ),3,1(2180 ?? ?? ? ll,90 0? )270(90 00?
交点坐标为：,1
2
)5(21 ??? ???? 即（ 1,j0）。
渐近线与实轴夹角为,
)2)(1(
)5()()(
??
??
sss
sKsHsG
1
× 0 × × ●
﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5
规则六,
当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离
点或会合点,大多发生在 实轴 上（仅讨论实根）。
性质,
? 在此点上必出现 重根 。
? 利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴
上两相邻极点间时，必有一 分离点 。
? 若当根轨迹出现在两相邻零点间（包括无穷远零
点）时，必有一 会合点 。
根轨迹的分离点与会合点：分离点与会
合点是方程式 的根。 0?
ds
dk
? 根轨迹在该点上对应的 K取这段实轴区域的极值。
分离点－最大值，会合点－最小值。
× ×
K=0 K=0 K=∞ K=∞
分
离
点
会
合
点
由求极值的公式求出,
它们可以利用 代数重根法 或 极值法 求出。 (介绍后者 )
0)( )(1)()(1 ???? sa sbKsGsH
在实轴根轨迹上，求使 K达到最大（最小）值的 s 值,
0)( )(')()()(' 2 ???? sb sbsasbsadsdK 0)(')()()(' ?? sbsasbsa
注意,求出结果，需经判断，保留合理解。
如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。
)(
)(
sb
saK ??
mn ??
0180
?求出重根角为,
在例题 4-2-2中,
)2)(1(
)5()()(
??
??
sss
sKsHsG
)5(
)2)(1(
?
????
s
sssK
5
23 23
?
????
s
sss
ds
dK
01030182 23 ???? sss
0?
2
232
)5(
)23()5)(263(
?
????????
s
ssssss
2
23
)5(
1030182
?
?????
s
sss
解出,94.6,61.1,4 4 7.0
321 ?????? sss
对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐
标为（ -0.447,j0） 处。
× × × ● 0
﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5 1
－ 0.447
0
0
901 8 0 ??? mn?求出重根角为,
规则七,根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的 K值
利用劳斯判据求出。
根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统
出现虚根。
在例 4-2-2中，系统闭环特征方程式为,
,0)2)(1( )5(1 ??? ?? sss sK
0)5()2)(1( ????? sKsss
即,0)5(23 23 ????? sKsss
Ks
K
s
Ks
Ks
5
0
3
26
53
21
0
1
2
3
?
?
劳
斯
行
列
式
?当 6-2K=0时，特征方程出现
共轭虚根，求出 K＝ 3。
?虚根可利用 s2行的辅助方程求出：
015353 22 ???? sKs
5js ?? －与虚轴的交点
与虚轴的交点为 。5j?
例 4-2-2的根轨迹如图。
× × × ●
0 ﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5 1
K=.084
﹣,447
)2)(1(
)5()()(
??
??
sss
sKsHsG
1、画出开环零极点 2、确定根轨迹根数
3、画出实轴上的根轨迹
4、求渐进线（ n≠m）
5、求分离点 6、求与虚轴交点
3,5 ?Kj
3,5 ?? Kj
7、画出根轨迹 8、求出特殊点对应的 K值
?
?
?
?
?
?
?
m
i
i
n
i
i
zs
ps
K
1
1规则九,K值由根轨迹幅值条件求出,
如分离点（ -0.447,j0） 处的 K值,
5447.0
2447.01447.00447.0
??
???????K
084.0?
规则八,根轨迹的出射角,
在开环复数 极点 px处，根轨迹的 出射角 为,
??
?
??
?????????
n
xi
i
ix
m
j
jxx ppzp
11
)()(180出
在开环复数 零点 zy处，根轨迹的 入射角 为,
??
?
??
?????????
m
yj
j
jy
n
i
iyy zzpz
11
)()(180入
若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此
点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。
证明,设一系统的开环零、极点分布如图所示,
●
×
× ×
×
1P2P
3P
4P
1Z
1P?
3P?
2P?
4P?
Z?
lppppz ??????? 04321 1 8 0)( ?????
0s 3p
点为从 出发的根轨迹上一点。
该点到所有零极点的应符合相角条件,
)(1 8 0 42103 pppzp l ????? ?????? ?
● 当 s0一点点趋近 p3时，可认为
3p? 3p 。出?为 处的出射角
l 而 Φp1,Φp2,Φp4,Φz都分别趋近于各
开环零极点相对于 P3点的向量的相角。
●
出?此时，出射角 可以计算,
)]()()([
)(180
432313
13
pppppp
zpl
?????????
??????? ?出?
)]()()([)(180 43231313 ppppppzp ??????????????
同理可证明入射角。
●
×
× ×
×
1P2P
3P
4P
1Z
1P?
3P?
2P?
4P?
Z?
● )(1 8 0 42103 pppzp l ????? ?????? ?
例 4-2-3 设系统开环零极点图如图 4-7。
其中
●
×
× ×
×
1P2P
3P
4P
1Z
1P?
3P?
2P?
4P?
Z?
图 4-7
,85)( 013 ??? zp,1 3 5)( 013 ??? pp
,45)( 023 ??? pp,90)( 043 ??? pp
确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。
根据公式,
?5904513585180 00000 ???????? 出
考虑到根轨迹的对称性,
出射角 φp3= -5°,φp4= 5°
??
?
??
?????????
n
xi
i
ix
m
j
jxx ppzp
11
)()(180出
例 4-2-4 作 的根轨迹。
]16)4[()( 20 ??? ss
KsG
开环极点 3个,44,0 3,21 jpp ????
分析,n=3,m=0,没有开环零点 。
(在 s平面上的极点处标以“×”,)
根据 规则一、二,三,
根据 规则四,实轴上 0→ -∞为根轨迹。
分别起始于 3个开环极点，
均终止于无穷远处。
根轨迹有三个分支,
×
×
×
图 4-8
根据 规则五,求渐近线,n-m=3条 例 4-2-4
mn
l
?
??? 180?
渐近线与实轴夹角,
??? 601
渐近线与实轴的交点,
mn
zp
n
i
m
j
ji
?
?
??
? ?
? ?1 1
??? 1802
)3 0 0(603 ?????
?5,3,1,03180 ?? ??? ll
03
080
?
??? 767.2??
×
×
×
-2.767
44,0 3,21 jpp ????
﹣ 60°
没有分离点。
例 4-2-4 根据 规则七,求出根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程,0328 23 ???? Ksss
0
32
3
256
8
1
0
1
2
3
K
K
K
S
S
S
S
?
K=256,必对应于一对纯虚根,
2s以 的系数构成辅助方程,
02 5 688 22 ???? sKs
322 ??s 66.532 jjs ????
×
×
×
]16)4[()( 20 ??? ss
KsG
-j5.66
j5.66
例 4-2-4 根据 规则八 求出射角,
对 P2,根轨迹的出射角为,
???????? 1 3 59001 8 02
由对称性知,-4-j4处的射角为 45°
)1(1 ?? ?tg ?135?1??? tg
4
4
?
??? 45
?
2?
3?
44,0 3,21 jpp ????
×
×
×
j5.66
-j5.66
根轨迹完成。
??
?
??
?????????
n
xi
i
ix
m
j
jxx ppzp
11
)()(180出
]16)4[()( 20 ??? ss
KsG
例 4-2-5 作 的根轨迹。
)12(
)1()(
20 ?
??
ss
sKsG
该系统 n=3, m=1。
根据 规则一、二、三,
,12,0 32,1 ??? pp 1??z一个零点,有三个开环极点,
● -2 -4 -6 -12 × ×
该根轨迹有三个分支,
分别起始于 p = 0(两条 )和 p = -12处,
有一个分支终止于 z = -1,
另两个分支趋于无穷远。 ×
根据 规则四,
实轴上存在根轨迹是从 -12到 -1之间。
例 4-2-5
根据 规则五,渐近线有 2条,n-m＝ 2。
-5.5
渐近线夹角,
mn
l
?
??? 180? ?3,1?l
??? 901 )2 7 0(90 02 ????
渐近线与实轴的交点,
mn
zp
n
i
m
j
ji
?
?
??
? ?
? ?1 1
2
)1(12 ????
2
11?? 5.5??
× ●
-2 -4 -6 -12 ×
×
)12(
)1()(
20 ?
??
ss
sKsG
例 4-2-5 根据 规则七,
求根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程是,012 23 ???? KKsss
0
0
12
12
12
1
0
1
2
3
Ks
KK
s
Ks
Ks
?
K＞ 0时，第一列元素都为
正值，根轨迹与虚轴交点
于 K=0处。
× ●
-2 -4 -6 -12 ×
×
)12(
)1()(
20 ?
??
ss
sKsG
例 4-2-5 根据 规则六,求分离点和会合点
1
12 23
?
???
s
ssK 0?
ds
dk
0)1( 24152 2
23
?? ???? s sssdsdk 则,024152 23 ??? sss
s1 =-5.18,s2= -2.31,s3＝ 0。
可知一部分根轨迹为圆。
据此，可画出根轨迹。
均在根轨迹上。
大 K→ 分离点,
小 K→ 会合点。
)12(
)1()(
20 ?
??
ss
sKsG
× ●
-2 -4 -6 -12 ×
×
0
0
901 8 0 ??? mn?求出重根角为,
例 4-2-5
利用幅值条件，可求出分离点和会合点处的 K值。
,78.43
1
)12(00
1
111 ?
?
?????
s
sssK
代入幅值条件：把处在 18.5s,11 ??s
47.39
1
12 23 ?
?
???
s
ssK
s1是分离点,s2是会合点。
完整的绘出根轨迹如图 4-9所示。
× ●
-2 -4 -6 -12 ×
×
)12(
)1()(
20 ?
??
ss
sKsG
?
?
?
?
?
?
?
m
i
i
n
i
i
zs
ps
K
1
1
表达式：代入把处在 K31.2s,22 ??s
图 4-9 作业,A-4-7,A-4-11,看书 p130,表 4-1常规根轨迹。
s1 =-5.18,s2= -2.31,s3＝ 0。
Im(s)
Re(s) 0
例 4-2-6 的根轨迹作
]4)1)[(2()( 20 ???? sss
KsG
根据 规则一、二、三,有四个极点,
p1=0,p2= -2,p3,4= -1± j2
分析,n=4,m=0。
该根轨迹共有四个分支,
× ×
×
×
-2 P1
P2
P3
P4
根据 规则四,实轴上存在
根轨迹是从 -2到 0之间。
终止于无穷远。
分别起始于 p1,p2,p3,4,
例 4-2-6
根据 规则五, n-m=4条渐近线
与实轴交点,1
4
41 1
??
?
?
?
?
??
? ?
? ?
mn
ZP
n
i
m
j
ji
渐近线相角分别为,
mn
l
?
??? 180?
4
180 ??? l
?5,3,1?l
???????? 1 3 5,45,1 3 5,45
I (s)
Re(s) 0 × ×
×
×
-2 P1
P2
P3
P4
p1=0,p2= -2,p3,4= -1± j2
-1
1?
2?
4?
根据 规则八,计算出射角和入射角。 例 4-2-6
复数极点 p3= -1+j2的出射角,
4211 8 0 ???????? 出
???? 6.1 1 6121 a r c t g?
??? 4.63122 a r c t g?
?? 904?
??? 90
复数极点 p4,
p4= -1-j2 的出射角为 90°
p1=0,p2= -2,p3,4= -1± j2
Im(s)
Re(s) 0 × ×
×
×
-2 P1
P2
P3
P4
p3= -1± j2
例 4-2-6 根据 规则七,求出根轨迹与虚轴的交点
特征方程,01094 234 ????? Kssss
4
65?K 必对应于虚根
0
0
0
0104
91
0
5.6
4651
2
132
3
4
s
s
Ks
s
Ks
K?
构造辅助方程,05.6 2 ?? Ks
5.25.62 ???? Ks求出,
58.1js ??
4
65?K 时，第一列元素都为正值
j1.58,K=65/4
-j1.58,K=65/4
Im(s)
Re(s) 0 × ×
×
×
-2 P1
P2
P3
P4
]4)1)[(2()( 20 ???? sss
KsG
例 4-2-6 根据 规则六,求根轨迹的分离点和会合点 （重根点）
)1094( 234 ssssK ?????
ds
dk 01018124 23 ????? sss
0)1084)(1( 2 ???? sss
jss 22.11,1 3,21 ?????
均是根轨迹的重根点,
后者符合相角条件。
完整的根轨迹见图 4-10所示。
图 4-10
]4)1)[(2()( 20 ???? sss
KsG
j1.58,K=65/4
-j1.58,K=65/4
Im(s)
Re(s) 0 × ×
×
×
-2 P1
P2
P3
P4
0
1
1 180)
)(
)(
( ???
?
?
?
?
?
?
? l
ps
zs
K n
i
i
m
i
i
系统闭环特征方程的 根的位置 决定闭环系统
的 稳定性 和 动态特性。
l 研究 调节器参数 与 闭环特征根 的变化关系,设计
调节器 （设计问题）。
l 研究闭环特征 根的分布与 闭环系统的 动态特性
之间的定性、定量关系（分析问题）；
l 根据控制系统 动态特性要求 决定闭环极点 在根平
面的位置 ；
伊凡思 (W.R,Evans)发明根轨迹法
－几何图解求解特征根
l 系统中某一参数在全部范围内（ 0→∞ ）变化时,
系统闭环特征根随之变化的轨迹。
l 可以推广到其它参数的变化－ 参数根轨迹 。
l 可用于单变量系统和多变量系统。
l 常规根轨迹 法以开环增益 K做为参数画出根轨迹的。
l 利用这些在 s平面上形成的轨迹分析和设计闭环控
制系统。
本章主要内容
? 以 K为变量的 常规根轨迹 的绘制方法
? 以其它参数为变量的 参数根轨迹 的绘制方法
? 根轨迹分析方法的 应用
－利用根轨迹分析和设计控制系统
§ 1 根轨迹的基本概念
定义,
根轨迹 — 系统中某一参数在全部范围内变化时,
系统闭环特征根随之变化的轨迹。
1、根轨迹举例
例 4-1-1 二阶系统的方块图如下，绘制它的根轨迹。
－ )1s(s
1
?K
开环传递函数,
)1()()( ?? ss
KsHsG
分析 有 2个开环极点,1p,0p 21 ??? 没有开环零点。
闭环特征方程 0,0)()(1 2 ????? KsssHsG
求出 2个闭环特征根,
K415.05.0s 2,1 ???? （ 4-1-1）
闭环特征根是 K的函数。当 K从 0～ ∞变化,
闭环特征根在根平面上形成根轨迹。
闭环传递函数,
Kss
K
sHsG
sG
???? 2)()(1
)(
K取不同值,
（等于两个开环极点）,0?? K
Im
Re 0
(两根重合于－ 0.5处 ),
4
1?? K
（即 0≤K≤1/4,两根为实根）
,25.00,?? K
× ×
﹣ 1 ﹣ 0.5 (两根为共轭复数根，其实部为－ 0.5)
,41?? K
●
K415.05.0s 2,1 ????
●
)1()()( ?? ss
KsHsG
,1,0 21 ??? ss
,5.0,5.0 21 ???? ss
145.05.02,1 ???? Kjs
??????? )I m (,5.0)R e (,2,12,1 ssK
5.01:,5.00,21 ????? ss
总结,
? 有两个闭环极点，有 2条根轨迹。
? 根轨迹是从 开环极点 出发点。
? 通过选择增益 K,可使闭环极点落
在根轨迹的任何位置上。
? 如果根轨迹上某一点满足动态特
性要求，可以计算该点的 K值实现
设计要求。
Im
Re 0
× ×
﹣ 1 ﹣ 0.5
● ●
)1()()( ?? ss
KsHsG
这是个？阶系统,2
? 根轨迹上的点与 K值一一对应。根轨迹是连续的。
例 4-1-2
2
3
2
3?
5.0??
对上述单位反馈的二阶系统，希望闭环系统
的阻尼系数 ξ=0.5,确定系统闭环特征根。
根据以前课程，根据阻尼系数求出阻尼角。 解,
阻尼角 θ计算如下,
,31
2
?? ???????tg
?60??
???? js 2,1
200 1 ????????
235.0 j???
×
Im
Re 0
×
﹣ 1 ﹣ 0.5
●
? 阻尼系数为 0.5时的射线与根轨迹交点处的 K值可
以计算出来。
? 与（ 4-1-1）式比较得：,314 ??k 即 K=1。
K415.05.0s 2,1 ???? （ 4-1-1）
获得系统的根轨迹有两个方法,
? 图解法：利用 Evans总结的
规律画出根轨迹。
－近似,简单，尤其适合高阶系统
? 解析法：对闭环特征方程解
析求解，逐点描绘。
－精确，工作量大
2
3
2
3?
5.0??
×
Im
Re 0
×
﹣ 1 ﹣ 0.5
●
232,1 5.0 js ???
§ 2 根轨迹的基本性质及绘图规则
1、根轨迹的基本关系式
典型的反馈控制系统如图,
G(s)
H(s)
－
其 开环传递函数,
（ 4-2-1）
)(
)(
sb
saK?
)())((
)())((
21
21
n
m
pspsps
zszszsK
?????
??????
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
m
i
i
ps
zs
K
1
1
)(
)()()( sHsG
其中,K:开环增益,
miz i ?,2,1,? — 开环零点,
— 开环极点。 mnnip i ??,,2,1,?
×
闭环传递函数,
)()(1
)(
sHsG
sG
?
闭环特征方程为,
1)()(,0)()(1 ???? sHsGsHsG 即
?jsHsGj MeesHsGsHsG ?? ? )()()()()()(
1)()( ??sHsG
它们满足,
1)()( ???? sHsG ?5,3,1?l
,1?
0180??? l
G(s)
H(s)
－
G(s)H(s)是复数，在复平面上对应一个矢量,
)
)(
)(
(
1
1
?
?
?
?
?
?
? n
i
i
m
i
i
ps
zs
K
?
?
?
?
?
?
n
i
i
m
i
i
ps
zs
K
1
1
)(
)(
K
1 ?
?
?
?
?
?
?
m
i
i
n
i
i
zs
ps
K
1
1
)(
)(1??
-1
φ
?
?
?
?
?
?
?
n
i
i
m
i
i
ps
zs
KsHsG
1
1
)(
)(
)()(
绘制根轨迹必须满足的基本条件,
（相角公式：积的相角等于相角的和,
商的相角等于相角的差）
)]()()([
)]()()([
21
21
n
m
pspsps
zszszs
??????????
?????????
?
?
0180??? l ?5,3,1?l
幅值条件
m
n
zszszs
pspspsK
???
????
?
?
21
21
相角条件
（积的模等于模的积，商的模等于模的商）
l
ps
zs
K
n
i
i
m
i
i
???
?
?
?
?
?
?
? 0
1
1 1 8 0)
)(
)(
(
?
?
?
?
?
?
?
m
i
i
n
i
i
zs
ps
K
1
1
)(
)(
注意,1,这两个条件是从系统闭环特征方程中导出的，
所有满足以上两式的 s 值 都是系统的 特征根,把它们
在 s平面上画出，就构成了 根轨迹 。
2,观察两式，均与开环零极点有关，也就是说,根
轨迹是利用开环零极点求出闭环极点。
相角条件
)]()()([
)]()()([
21
21
n
m
pspsps
zszszs
??????????
?????????
?
?
0180??? l ?5,3,1?l
幅值条件
m
n
zszszs
pspspsK
???
????
?
?
21
21
画法,
1,利用相角条件，找出所有满足相角条件的 s值，连
成根轨迹。 (充分必要条件 )
2,确定某一特征根后，利用幅值条件，求出对应的
K值。
例 4-2-1 某系统开环传递函数
))((
)()()(
21
1
psps
zsKsHsG
??
??
分析,
在 s平面上，○表示零点，×表示极点。
2个开环极点 p1和 p2。
设 s是系统的一个闭环特征根,
相角条件,?5,3,11 8 0 0
211 ?????? llppz ???
可以通过幅值条件，求出此 s值下的 K值,
1
21
zs
psps
k
?
??
?
○
×
×
●
1z?
1p?
2p?
s
则它必须满足,
一个开环零点 z1,
2、绘制根轨迹的基本规则
例 4-2-2
)2)(1(
)5()()(
??
??
sss
sKsHsG
要求画出根轨迹。
某单位反馈系统
分析,1个开环零点,3个开环极点,
,51 ??z
0
●
-5
× × ×
-2 -1
,01 ?p,12 ??p 23 ??p
规则一,
根轨迹的分支数：根轨迹的分支数等于开环极点数 n。
)()(1 sHsG?闭环特征方程 0)2)(1( )5(1 ??? ??? sss sK
0)5()2)(1( ?????? sKsss
闭环系统的阶次为 3,有 3条根轨迹 。
闭环极点数 = 闭环特征方程的阶次
= 开环传递函数的阶次 = 开环极点数
例中，,3
)2)(1(
)5()()( 阶?
??
??
sss
sKsHsG
规则二,根轨迹的起止：每条根轨迹都起始于开环
极点，终止于开环零点或无穷远点。
根轨迹是 K从 0→∞ 时的根变化轨迹，因此必须
起于 K=0处，止于 K=∞处 。
观察幅值条件,
m
n
zszszs
pspspsK
???
????
?
?
21
21
nipsK i,..2,1,0 ??? 必有
如果 n > m,m条根轨迹趋向开环的 m 个零点，而
另 n-m条根轨迹趋向无穷远处。
对于例题,3条根轨迹始于 3个开环极点，一条止
于开环零点，另两条（ n-m=2） 趋于无穷远处。
mizsK i,...2,1,???? 必有 )2)(1(
)5()()(
??
??
sss
sKsHsG
*规则三,根轨迹的对称性：根轨迹各分支是连续的，
且对称于实轴。
证明：（ 1）连续性
从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化
时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连
续的。
证明：（ 2）对称性
因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以
根轨迹对称于实轴。
规则四,实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根
轨迹的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之
和为奇数。
例如系统的开环零、极点分布如图。
× × × ●
×
×
0 ﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5
1?
2?
4P
5P
0S
要判断 和 之间的线段是否存
在根轨迹，取实验点
3p 1z
,0S
? 开环共轭极点和零点提供的相角
相互抵消,G(s0)的相角由实轴上的
开环零极点决定。 。
? 处在 G(s0)左边的开环零极点提供的角度
均为零,相角条件由其右边的零极点决定。
●
? 奇数个 π,无论如何加减组合，总能
使± lπ(l=1,3,…) 成立。
对于例题,在实轴上的根轨迹,
× × × ●
0 ﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5
一条始于开环极点，止于开环零点,
另两条始于开环极点，止于无穷远处。
)2)(1(
)5()()(
??
??
sss
sKsHsG
规则四,实轴上的根轨迹：在实轴的线段上存在根轨迹
的条件是：其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数
渐近线：根轨迹有 n-m条渐进线。
渐近线与实轴的夹角为,..5,3,11 8 0 0 ?
?
?? l
mn
l?
渐近线与实轴的交点为,
mn
zp
n
i
m
j
ji
?
?
??
? ?
? ?1 1
l 它们是针对 n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的
l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状
规则五,
证明,见图 4-5。
● 对于位于根轨迹上某一动点 s0,
● 从各开环零极点到这一点的向
量的相角随 s0轨迹的变化而变化,
● 当 s0到达无穷远处，各相角相等,
令其为 Φ,可写成,
????? 180lnm ??
● 进而求出渐近线夹角：,.,,3,1,1 8 0 ??
?
??? l
mn
l?
图 4－ 5
× × × ● ●
×
×
●
0 ﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5
1?
2?
4P
5P
0S
由对称性知,渐近线一定交于实轴上，其交点实际
上相当于零极点的质量重心。
按照重心的求法，可求知交点的坐标 mn
zp
n
i
m
j
ji
?
?
??
? ?
? ?1 1
对例 4-2-2,
mn
l
?
?? ?1 8 0? ),3,1(2180 ?? ?? ? ll,90 0? )270(90 00?
交点坐标为：,1
2
)5(21 ??? ???? 即（ 1,j0）。
渐近线与实轴夹角为,
)2)(1(
)5()()(
??
??
sss
sKsHsG
1
× 0 × × ●
﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5
规则六,
当两条根轨迹在复平面上相遇又分开的点叫作分离
点或会合点,大多发生在 实轴 上（仅讨论实根）。
性质,
? 在此点上必出现 重根 。
? 利用根轨迹的性质可知，当根轨迹出现在实轴
上两相邻极点间时，必有一 分离点 。
? 若当根轨迹出现在两相邻零点间（包括无穷远零
点）时，必有一 会合点 。
根轨迹的分离点与会合点：分离点与会
合点是方程式 的根。 0?
ds
dk
? 根轨迹在该点上对应的 K取这段实轴区域的极值。
分离点－最大值，会合点－最小值。
× ×
K=0 K=0 K=∞ K=∞
分
离
点
会
合
点
由求极值的公式求出,
它们可以利用 代数重根法 或 极值法 求出。 (介绍后者 )
0)( )(1)()(1 ???? sa sbKsGsH
在实轴根轨迹上，求使 K达到最大（最小）值的 s 值,
0)( )(')()()(' 2 ???? sb sbsasbsadsdK 0)(')()()(' ?? sbsasbsa
注意,求出结果，需经判断，保留合理解。
如果根在实轴根轨迹上，保留，否则，舍去。
)(
)(
sb
saK ??
mn ??
0180
?求出重根角为,
在例题 4-2-2中,
)2)(1(
)5()()(
??
??
sss
sKsHsG
)5(
)2)(1(
?
????
s
sssK
5
23 23
?
????
s
sss
ds
dK
01030182 23 ???? sss
0?
2
232
)5(
)23()5)(263(
?
????????
s
ssssss
2
23
)5(
1030182
?
?????
s
sss
解出,94.6,61.1,4 4 7.0
321 ?????? sss
对上图的观察，后两个根不在根轨迹上，因此交点坐
标为（ -0.447,j0） 处。
× × × ● 0
﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5 1
－ 0.447
0
0
901 8 0 ??? mn?求出重根角为,
规则七,根轨迹与虚轴的交点：交点和相应的 K值
利用劳斯判据求出。
根轨迹与虚轴的交点对应于临界稳定状态，此时系统
出现虚根。
在例 4-2-2中，系统闭环特征方程式为,
,0)2)(1( )5(1 ??? ?? sss sK
0)5()2)(1( ????? sKsss
即,0)5(23 23 ????? sKsss
Ks
K
s
Ks
Ks
5
0
3
26
53
21
0
1
2
3
?
?
劳
斯
行
列
式
?当 6-2K=0时，特征方程出现
共轭虚根，求出 K＝ 3。
?虚根可利用 s2行的辅助方程求出：
015353 22 ???? sKs
5js ?? －与虚轴的交点
与虚轴的交点为 。5j?
例 4-2-2的根轨迹如图。
× × × ●
0 ﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5 1
K=.084
﹣,447
)2)(1(
)5()()(
??
??
sss
sKsHsG
1、画出开环零极点 2、确定根轨迹根数
3、画出实轴上的根轨迹
4、求渐进线（ n≠m）
5、求分离点 6、求与虚轴交点
3,5 ?Kj
3,5 ?? Kj
7、画出根轨迹 8、求出特殊点对应的 K值
?
?
?
?
?
?
?
m
i
i
n
i
i
zs
ps
K
1
1规则九,K值由根轨迹幅值条件求出,
如分离点（ -0.447,j0） 处的 K值,
5447.0
2447.01447.00447.0
??
???????K
084.0?
规则八,根轨迹的出射角,
在开环复数 极点 px处，根轨迹的 出射角 为,
??
?
??
?????????
n
xi
i
ix
m
j
jxx ppzp
11
)()(180出
在开环复数 零点 zy处，根轨迹的 入射角 为,
??
?
??
?????????
m
yj
j
jy
n
i
iyy zzpz
11
)()(180入
若系统存在复数开环零极点，需要知道根轨迹从此
点出发（进入）的方向角度。可根据相角条件求出。
证明,设一系统的开环零、极点分布如图所示,
●
×
× ×
×
1P2P
3P
4P
1Z
1P?
3P?
2P?
4P?
Z?
lppppz ??????? 04321 1 8 0)( ?????
0s 3p
点为从 出发的根轨迹上一点。
该点到所有零极点的应符合相角条件,
)(1 8 0 42103 pppzp l ????? ?????? ?
● 当 s0一点点趋近 p3时，可认为
3p? 3p 。出?为 处的出射角
l 而 Φp1,Φp2,Φp4,Φz都分别趋近于各
开环零极点相对于 P3点的向量的相角。
●
出?此时，出射角 可以计算,
)]()()([
)(180
432313
13
pppppp
zpl
?????????
??????? ?出?
)]()()([)(180 43231313 ppppppzp ??????????????
同理可证明入射角。
●
×
× ×
×
1P2P
3P
4P
1Z
1P?
3P?
2P?
4P?
Z?
● )(1 8 0 42103 pppzp l ????? ?????? ?
例 4-2-3 设系统开环零极点图如图 4-7。
其中
●
×
× ×
×
1P2P
3P
4P
1Z
1P?
3P?
2P?
4P?
Z?
图 4-7
,85)( 013 ??? zp,1 3 5)( 013 ??? pp
,45)( 023 ??? pp,90)( 043 ??? pp
确定根轨迹离开共轭复数根的出射角。
根据公式,
?5904513585180 00000 ???????? 出
考虑到根轨迹的对称性,
出射角 φp3= -5°,φp4= 5°
??
?
??
?????????
n
xi
i
ix
m
j
jxx ppzp
11
)()(180出
例 4-2-4 作 的根轨迹。
]16)4[()( 20 ??? ss
KsG
开环极点 3个,44,0 3,21 jpp ????
分析,n=3,m=0,没有开环零点 。
(在 s平面上的极点处标以“×”,)
根据 规则一、二,三,
根据 规则四,实轴上 0→ -∞为根轨迹。
分别起始于 3个开环极点，
均终止于无穷远处。
根轨迹有三个分支,
×
×
×
图 4-8
根据 规则五,求渐近线,n-m=3条 例 4-2-4
mn
l
?
??? 180?
渐近线与实轴夹角,
??? 601
渐近线与实轴的交点,
mn
zp
n
i
m
j
ji
?
?
??
? ?
? ?1 1
??? 1802
)3 0 0(603 ?????
?5,3,1,03180 ?? ??? ll
03
080
?
??? 767.2??
×
×
×
-2.767
44,0 3,21 jpp ????
﹣ 60°
没有分离点。
例 4-2-4 根据 规则七,求出根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程,0328 23 ???? Ksss
0
32
3
256
8
1
0
1
2
3
K
K
K
S
S
S
S
?
K=256,必对应于一对纯虚根,
2s以 的系数构成辅助方程,
02 5 688 22 ???? sKs
322 ??s 66.532 jjs ????
×
×
×
]16)4[()( 20 ??? ss
KsG
-j5.66
j5.66
例 4-2-4 根据 规则八 求出射角,
对 P2,根轨迹的出射角为,
???????? 1 3 59001 8 02
由对称性知,-4-j4处的射角为 45°
)1(1 ?? ?tg ?135?1??? tg
4
4
?
??? 45
?
2?
3?
44,0 3,21 jpp ????
×
×
×
j5.66
-j5.66
根轨迹完成。
??
?
??
?????????
n
xi
i
ix
m
j
jxx ppzp
11
)()(180出
]16)4[()( 20 ??? ss
KsG
例 4-2-5 作 的根轨迹。
)12(
)1()(
20 ?
??
ss
sKsG
该系统 n=3, m=1。
根据 规则一、二、三,
,12,0 32,1 ??? pp 1??z一个零点,有三个开环极点,
● -2 -4 -6 -12 × ×
该根轨迹有三个分支,
分别起始于 p = 0(两条 )和 p = -12处,
有一个分支终止于 z = -1,
另两个分支趋于无穷远。 ×
根据 规则四,
实轴上存在根轨迹是从 -12到 -1之间。
例 4-2-5
根据 规则五,渐近线有 2条,n-m＝ 2。
-5.5
渐近线夹角,
mn
l
?
??? 180? ?3,1?l
??? 901 )2 7 0(90 02 ????
渐近线与实轴的交点,
mn
zp
n
i
m
j
ji
?
?
??
? ?
? ?1 1
2
)1(12 ????
2
11?? 5.5??
× ●
-2 -4 -6 -12 ×
×
)12(
)1()(
20 ?
??
ss
sKsG
例 4-2-5 根据 规则七,
求根轨迹与虚轴的交点。
闭环特征方程是,012 23 ???? KKsss
0
0
12
12
12
1
0
1
2
3
Ks
KK
s
Ks
Ks
?
K＞ 0时，第一列元素都为
正值，根轨迹与虚轴交点
于 K=0处。
× ●
-2 -4 -6 -12 ×
×
)12(
)1()(
20 ?
??
ss
sKsG
例 4-2-5 根据 规则六,求分离点和会合点
1
12 23
?
???
s
ssK 0?
ds
dk
0)1( 24152 2
23
?? ???? s sssdsdk 则,024152 23 ??? sss
s1 =-5.18,s2= -2.31,s3＝ 0。
可知一部分根轨迹为圆。
据此，可画出根轨迹。
均在根轨迹上。
大 K→ 分离点,
小 K→ 会合点。
)12(
)1()(
20 ?
??
ss
sKsG
× ●
-2 -4 -6 -12 ×
×
0
0
901 8 0 ??? mn?求出重根角为,
例 4-2-5
利用幅值条件，可求出分离点和会合点处的 K值。
,78.43
1
)12(00
1
111 ?
?
?????
s
sssK
代入幅值条件：把处在 18.5s,11 ??s
47.39
1
12 23 ?
?
???
s
ssK
s1是分离点,s2是会合点。
完整的绘出根轨迹如图 4-9所示。
× ●
-2 -4 -6 -12 ×
×
)12(
)1()(
20 ?
??
ss
sKsG
?
?
?
?
?
?
?
m
i
i
n
i
i
zs
ps
K
1
1
表达式：代入把处在 K31.2s,22 ??s
图 4-9 作业,A-4-7,A-4-11,看书 p130,表 4-1常规根轨迹。
s1 =-5.18,s2= -2.31,s3＝ 0。
Im(s)
Re(s) 0
例 4-2-6 的根轨迹作
]4)1)[(2()( 20 ???? sss
KsG
根据 规则一、二、三,有四个极点,
p1=0,p2= -2,p3,4= -1± j2
分析,n=4,m=0。
该根轨迹共有四个分支,
× ×
×
×
-2 P1
P2
P3
P4
根据 规则四,实轴上存在
根轨迹是从 -2到 0之间。
终止于无穷远。
分别起始于 p1,p2,p3,4,
例 4-2-6
根据 规则五, n-m=4条渐近线
与实轴交点,1
4
41 1
??
?
?
?
?
??
? ?
? ?
mn
ZP
n
i
m
j
ji
渐近线相角分别为,
mn
l
?
??? 180?
4
180 ??? l
?5,3,1?l
???????? 1 3 5,45,1 3 5,45
I (s)
Re(s) 0 × ×
×
×
-2 P1
P2
P3
P4
p1=0,p2= -2,p3,4= -1± j2
-1
1?
2?
4?
根据 规则八,计算出射角和入射角。 例 4-2-6
复数极点 p3= -1+j2的出射角,
4211 8 0 ???????? 出
???? 6.1 1 6121 a r c t g?
??? 4.63122 a r c t g?
?? 904?
??? 90
复数极点 p4,
p4= -1-j2 的出射角为 90°
p1=0,p2= -2,p3,4= -1± j2
Im(s)
Re(s) 0 × ×
×
×
-2 P1
P2
P3
P4
p3= -1± j2
例 4-2-6 根据 规则七,求出根轨迹与虚轴的交点
特征方程,01094 234 ????? Kssss
4
65?K 必对应于虚根
0
0
0
0104
91
0
5.6
4651
2
132
3
4
s
s
Ks
s
Ks
K?
构造辅助方程,05.6 2 ?? Ks
5.25.62 ???? Ks求出,
58.1js ??
4
65?K 时，第一列元素都为正值
j1.58,K=65/4
-j1.58,K=65/4
Im(s)
Re(s) 0 × ×
×
×
-2 P1
P2
P3
P4
]4)1)[(2()( 20 ???? sss
KsG
例 4-2-6 根据 规则六,求根轨迹的分离点和会合点 （重根点）
)1094( 234 ssssK ?????
ds
dk 01018124 23 ????? sss
0)1084)(1( 2 ???? sss
jss 22.11,1 3,21 ?????
均是根轨迹的重根点,
后者符合相角条件。
完整的根轨迹见图 4-10所示。
图 4-10
]4)1)[(2()( 20 ???? sss
KsG
j1.58,K=65/4
-j1.58,K=65/4
Im(s)
Re(s) 0 × ×
×
×
-2 P1
P2
P3
P4
0
1
1 180)
)(
)(
( ???
?
?
?
?
?
?
? l
ps
zs
K n
i
i
m
i
i
