第五节 采样系统的数学描述及求
解
? 一 数学描述及相互转化
线性系统的数学模型有三种
差分方程
脉冲传递函数 G(Z)=Y(Z)/U(Z)
状态空间表达（状态差分方程）
x(k+1)=A(k)x(k)+B(k)u(k)
y(k)＝ C(k)x(k)+D(k)u(k)
)()1()(
)()1()1()(
10
11
krbmkrbmkrb
kyakyankyanky
m
nn
???????
???????? ?
?
?
? 与连续系统一样，在一定条件下，三者可
以相互转化
? 条件：当初始条件为零时,
y(0)=y(1)=…=y(n -1)=0
u(0)=u(1)=…=u(m -1)=0
因为脉冲传函都是在初始条件为零是定义
的，变换方法与连续系统相同
差分方程 vs脉冲传递函数
? 方法,z变换与反变换
已知系统差分方程为
在零初值条件下，将其进行 z变换得,
)()1()(
)()1()1()(
10
11
krbmkrbmkrb
kyakyankyanky
m
nn
???????
???????? ?
?
?
)()(
)()(
1
1
10
1
1
1
zRbzbzbzb
zYazazaz
mm
mm
nn
nn
?????
????
?
?
?
?
?
?
? 则脉冲传递函数为
? 举例：已知差分方程如下，求 G(z)
? 解：将差分方程进行 z变换得,
m
mm
n
nn
bzbzb
azaz
zR
zYzG
???
?????
?
?
?
?
1
10
1
1
)(
)()(
)()()2( kukyky ???
1
1
)(
)()()(
2
2
?
?
??
z
zG
zUzYzYz
差分方程 vs状态方程
? 由描述离散系统动态特性的差分方程，可用
状态变量为基础列出系统的离散动态方程
（单入单出）,
??
?
?
???
)()(
)()()1(
kXCky
kbukXAkX
A 高阶差分方程转为离散状态空
间方程
? 假定系统差分方程为,
? 算法：取状态变量为
? 经推导可得下列形式的状态方程,
)()()1()1()( 11 krbkyakyankyanky mnn ????????? ??
?
?
?
?
?
?
?
?????
????
?
?
)1()1()(
)1()1()(
)()(
1
12
1
nkykxkx
kykxkx
kykx
nn
?
? 其中
?
?
?
??
???
)()()(
)()()1(
kudkXCky
kbukXAkX
? ? 0,001
,
0
0
0
,
1000
0100
0010
121
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
dc
b
b
aaaa
A
m
nn
?
?
?
?
?????
?
?
? 例 将 2阶差分方程转化离散状态空间方
程。
? y(k+2)+y(k+1)+0.16y(k)=u(k)
? 解：设状态变量为
? 则
? 初始条件 x1(0)=y(0),x2(0)=y(1)
)1()1()(
)()(
12
1
????
?
kykxkx
kykx
? ? )(
)(
)(
01)(
)(
1
0
)(
)(
116.0
10
)1(
)1(
1
2
1
2
1
2
1
kx
kx
kx
ky
ku
kx
kx
kx
kx
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
B 离散状态空间方程转化为高阶差
分方程
? 注意此项转化相对困难，一般以脉冲传递函
数作为中介，即,
? 离散状态空间方程
? 脉冲传递函数
? 高阶差分方程
离散状态方程 vs脉冲传递函数
? 至于由离散状态空间方程求得脉冲传递函数，
则可将动态方程先求 z变换，在零初始条件下
消去中间变量则有
bAzIczG 1)()( ???
? 脉冲传递函数实现至离散状态空间方程的途
径和形式不唯一,
? 直接程序法；嵌套程序法；并联程序法；串
联分解法
? 例：串联分解法,
X(k+1) G(Z)
)3/1(15
4
)2/1(20
3
)4/1(8
3
131024
23
)(
23
2
?
?
?
?
?
?
???
??
?
ZZZ
ZZZ
ZZ
ZG
状态图 1/z
1/z
1/z
1/3
-1/4
-1/2
Y(k) U(k)
1
1
1
4/15
3/8
3/20
? ? )(15/420/38/3)(
)(
1
1
1
)(
3/100
02/10
004/1
)1(
KXKY
KUKXKX
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
状态空间表达
二 离散系统求解
? 1。差分方程求解
? a 递推法（迭代法）求解
? 例 y(k+2)=5y(k+1)-6y(k)+u(k),
? 输入 u(k)=1,单位阶跃,
? 初始条件 y(0)=0,y(1)=0
则 y(0)=0; y(1)=0;
y(2)=5y(1)-6y(0)+u(0)=1;
y(3)=5y(2)-6y(1)+u(0)=6 ;
……
? b Z变换法求解
? 对差分方程做 Z变换
? Z反变换得,
)1)(3)(2()65(
)(
)(
)()(6)(5)(
2
2
???
?
??
??
???
ZZZ
Z
ZZ
ZU
ZY
ZUZYZZYZYZ
?????? ???????????? 12/132/121)1)(3)(2( 1 ZZZZZZZZ
kkkky 15.035.02)( ??????
2.状态方程求解
? A.递推法
?
?
?
??
?
??
?????
??
???
??
1
0
1
1
2
)()0(
)1(...)0()0()(
)1()0()0(X ( 2)
B U ( 0)A X ( 0)X ( 1)
K
i
iKK
KK
iBUAXA
KBUBUAXAKX
BUA B UXA
? B Z变换法求解
? 对状态差分方程做 Z变换
Z反变换得 x(k)
)]()0([)()(
)()0()()(
)()()0()(
1
zBuzxAzIzx
zBuzxzxAzI
zBuzAxzxzzx
???
???
???
?
解
? 一 数学描述及相互转化
线性系统的数学模型有三种
差分方程
脉冲传递函数 G(Z)=Y(Z)/U(Z)
状态空间表达（状态差分方程）
x(k+1)=A(k)x(k)+B(k)u(k)
y(k)＝ C(k)x(k)+D(k)u(k)
)()1()(
)()1()1()(
10
11
krbmkrbmkrb
kyakyankyanky
m
nn
???????
???????? ?
?
?
? 与连续系统一样，在一定条件下，三者可
以相互转化
? 条件：当初始条件为零时,
y(0)=y(1)=…=y(n -1)=0
u(0)=u(1)=…=u(m -1)=0
因为脉冲传函都是在初始条件为零是定义
的，变换方法与连续系统相同
差分方程 vs脉冲传递函数
? 方法,z变换与反变换
已知系统差分方程为
在零初值条件下，将其进行 z变换得,
)()1()(
)()1()1()(
10
11
krbmkrbmkrb
kyakyankyanky
m
nn
???????
???????? ?
?
?
)()(
)()(
1
1
10
1
1
1
zRbzbzbzb
zYazazaz
mm
mm
nn
nn
?????
????
?
?
?
?
?
?
? 则脉冲传递函数为
? 举例：已知差分方程如下，求 G(z)
? 解：将差分方程进行 z变换得,
m
mm
n
nn
bzbzb
azaz
zR
zYzG
???
?????
?
?
?
?
1
10
1
1
)(
)()(
)()()2( kukyky ???
1
1
)(
)()()(
2
2
?
?
??
z
zG
zUzYzYz
差分方程 vs状态方程
? 由描述离散系统动态特性的差分方程，可用
状态变量为基础列出系统的离散动态方程
（单入单出）,
??
?
?
???
)()(
)()()1(
kXCky
kbukXAkX
A 高阶差分方程转为离散状态空
间方程
? 假定系统差分方程为,
? 算法：取状态变量为
? 经推导可得下列形式的状态方程,
)()()1()1()( 11 krbkyakyankyanky mnn ????????? ??
?
?
?
?
?
?
?
?????
????
?
?
)1()1()(
)1()1()(
)()(
1
12
1
nkykxkx
kykxkx
kykx
nn
?
? 其中
?
?
?
??
???
)()()(
)()()1(
kudkXCky
kbukXAkX
? ? 0,001
,
0
0
0
,
1000
0100
0010
121
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
dc
b
b
aaaa
A
m
nn
?
?
?
?
?????
?
?
? 例 将 2阶差分方程转化离散状态空间方
程。
? y(k+2)+y(k+1)+0.16y(k)=u(k)
? 解：设状态变量为
? 则
? 初始条件 x1(0)=y(0),x2(0)=y(1)
)1()1()(
)()(
12
1
????
?
kykxkx
kykx
? ? )(
)(
)(
01)(
)(
1
0
)(
)(
116.0
10
)1(
)1(
1
2
1
2
1
2
1
kx
kx
kx
ky
ku
kx
kx
kx
kx
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
B 离散状态空间方程转化为高阶差
分方程
? 注意此项转化相对困难，一般以脉冲传递函
数作为中介，即,
? 离散状态空间方程
? 脉冲传递函数
? 高阶差分方程
离散状态方程 vs脉冲传递函数
? 至于由离散状态空间方程求得脉冲传递函数，
则可将动态方程先求 z变换，在零初始条件下
消去中间变量则有
bAzIczG 1)()( ???
? 脉冲传递函数实现至离散状态空间方程的途
径和形式不唯一,
? 直接程序法；嵌套程序法；并联程序法；串
联分解法
? 例：串联分解法,
X(k+1) G(Z)
)3/1(15
4
)2/1(20
3
)4/1(8
3
131024
23
)(
23
2
?
?
?
?
?
?
???
??
?
ZZZ
ZZZ
ZZ
ZG
状态图 1/z
1/z
1/z
1/3
-1/4
-1/2
Y(k) U(k)
1
1
1
4/15
3/8
3/20
? ? )(15/420/38/3)(
)(
1
1
1
)(
3/100
02/10
004/1
)1(
KXKY
KUKXKX
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
状态空间表达
二 离散系统求解
? 1。差分方程求解
? a 递推法（迭代法）求解
? 例 y(k+2)=5y(k+1)-6y(k)+u(k),
? 输入 u(k)=1,单位阶跃,
? 初始条件 y(0)=0,y(1)=0
则 y(0)=0; y(1)=0;
y(2)=5y(1)-6y(0)+u(0)=1;
y(3)=5y(2)-6y(1)+u(0)=6 ;
……
? b Z变换法求解
? 对差分方程做 Z变换
? Z反变换得,
)1)(3)(2()65(
)(
)(
)()(6)(5)(
2
2
???
?
??
??
???
ZZZ
Z
ZZ
ZU
ZY
ZUZYZZYZYZ
?????? ???????????? 12/132/121)1)(3)(2( 1 ZZZZZZZZ
kkkky 15.035.02)( ??????
2.状态方程求解
? A.递推法
?
?
?
??
?
??
?????
??
???
??
1
0
1
1
2
)()0(
)1(...)0()0()(
)1()0()0(X ( 2)
B U ( 0)A X ( 0)X ( 1)
K
i
iKK
KK
iBUAXA
KBUBUAXAKX
BUA B UXA
? B Z变换法求解
? 对状态差分方程做 Z变换
Z反变换得 x(k)
)]()0([)()(
)()0()()(
)()()0()(
1
zBuzxAzIzx
zBuzxzxAzI
zBuzAxzxzzx
???
???
???
?
