第 五 章
频 率 特 性 分 析 方 法
频率特性的主要特点,
1,是一种几何图解的近似方法, 适于工程应用 。
2,是频域的分析方法, 系统或环节的动态特性
用频率特性表示 。
3,系统或环节的频率特性容易通过实验获得 。
4,在通讯, 信号处理等信息领域应用广泛 。
本章主要内容,
1、频率特性的定义；
2、频率特性的几种图示方法；
?极坐标图 （ 奈魁斯特图 ） Nyquist√
?对数坐标图 （ 伯徳图 ） Bode √
?对数幅相图 （ 尼柯尔斯图 ） Nichols
3、利用频率特性方法分析和设计控制
系统
§ 1 概述 第五章频率特性分析
一, 频率特性的定义及物理意义
1,定义
系统或环节对 正弦 输入信号的 稳态 响应与输入函数
之比 为频率特性 。
x=Asinωt G(s) y(t)
A是幅值,ω是角频率,
稳态响应, 是频率的函数 。
一阶线性系统
Y(s) 1?TsK
x=Asinωt y(t)
X(s)
第五章频率特性分析
§ 1 概述
一, 频率特性的定义及物理意义
1,定义
22)( ??
??
s
AsX
)()()( sXsGsY ?
tAx ?? s i n当输入 时,
221 ??
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?? s
A
Ts
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A
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1
经拉氏反变换，有,
tjtjT
t
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T
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一, 频率特性的定义及物理意义
1,定义
频率特性是研究系统稳态响应的,
tjtj
ss eaaey
?? ?? ?
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jsjsjsjsTs
KAa )(
))()(1(
????
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jsjsjsjsTs
KAa
??????? )())()(1( jjT
KA
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KA
2)1( ???
??
其中 可以按复变函数中求系数的留数方法求得,aa,
221/1
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A
Ts
K
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a
js
a
Ts
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∴ eey tjtj
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KA
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j
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KA
j
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j
tj
j 2121 21 2222
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第五章频率特性分析
§ 1 概述
一, 频率特性的定义及物理意义
1,定义
式中：, Ta r c tg ??? 1 )(12 Ta r c t g ???????
整理可得,yss
)s i n (
1 222
??
?
?
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T
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221
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22
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?
2,2s i n ?????
??? ??? T
j
ee jj注：欧拉公式,
稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生了变化,
角频率 ω没变。
第五章频率特性分析
§ 1 概述
一, 频率特性的定义及物理意义
1,定义
稳态输出与输入 比较可得,tAx ?? s i n
幅值 比 221 ??? TKAB
(5-1-2） )(2 Ta r c t g ??????相位 差
A
B
2?
1?Ts
K
x=Asinωt )s i n (1 222 ??? ??? tTKAY ss
它们都是 ω和系统特征参数的函数。
推广到一般，得出以下 结论,
1,对线性系统作用正弦信号, 其稳态输出仍是一正弦函数,
频率不变, 幅值和相位发生变化 。
A
B2、幅值比 和相位差 Φ都是输入信号频率 ω的函数,
其函数关系统称为 频率特性。
A
B ∽ ω 的关系称为 幅频特性 。
Φ ∽ ω 的关系称为 相频特性 。
频率特性
3,频率特性与系统 （ 环节 ） 的动态特性有关, 例 T,k。 可以
推论, 尽管频率特性是从系统的稳态响应中得到的, 却反映出
系统的动态特性, 是描述动态特性的一种方法 。
第五章频率特性分析
§ 1 概述
一, 频率特性的定义及物理意义
1,定义
2、物理意义
第五章频率特性分析
§ 1 概述
一, 频率特性的定义及物理意义
三个截面不同的水槽, 时间常数 T1>T2>T3,在输入
的流量调节阀上安装超低频信号发生器, 使输入信号 Qs做正弦
变化, 如图所示, 观察系统输出液位 h的变化,
h1
Qs
Q出
T1
Qs
Q出
h2 T2
Qs
Q出
h3 T3
t?
Qs
t?
hss
h1 h2
h3
二、频率特性的获取
第五章频率特性分析
§ 1 概述
三种方法,
（ 1） 解析法 — 如前例一阶系统, 输入正弦信号,
求时域解 y(t),t →∞, 求 yss,与输入之比；
（ 2） 直接由传递函数得知；
（ 3） 由实验测取 。
1,已知系统传递函数, 求频率特性
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析 § 1 概述
对于线性定常系统，将传递函数中的
变量 s 用 jω代替，就得到了频率特性
G( jω)。
G( s ) G( jω)
以一阶环节为例,
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
1)( ?? Ts
KsG
当输入 tAx ?? s i n 时,
相位差,)( Ta r c tg ?? ??
传递函数直接变换后,
1)( ?? Tj
KjG
??
其中,, Ta rc tg???
1 Ta r ct gTa r ct g ?????????? )(12
)( ?jG 为频率特性，是一复数，模
221 ?? T
K 为系统的幅
A
B,其相角 2? 为系统的相位差。 值比
221 T
K
A
B
??
?
输出的幅值比,
1221 ???
?
jeT
K
2
221
?
??
? je
T
K
推广到一般的情况,
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
对于任何线性定常系统，只要将传递
函数中的变量 s用 jω代替，便得到了系统的频率特性。
G( jω)用复数表示,)]([)()( ??? jGjejGjG ??
模 为系统的 幅频特性 (ω),其相角 为
系统的 相频特性 。
)( ?jG AB )]([ ???? jG
)(??
设系统传递函数为,
mnssssssss zszszsKsG
n
m ?
?????????
??????????
)())()((
)())(()(
321
21
其中,是 的极点，实数或共轭复数，
对稳定系统来说，均具有负实部。
njs j,...2,1,?? )(sG
证,
当输入
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
证,)()()( ????? jGjejGjG
tAx ?? s i n 时,
22)( ??
??
s
AsX
)()()( sXsGsY ?
))(()( ????
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b
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2
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???
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AsG
经 拉氏反变换, 有,
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
tjtjtsntsts eaaeebebebty n ?? ???????????? ???? 21 21)(
稳态得,tjtj
ss eaaey ?? ?? ?
其中,
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2
1
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j
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j
A ?? ?? ???? )(
2)(2
与 均为复数,)( ?jG )( ?? jG 可用模和相角表示。
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
22 )](I m [)](R e [)( ??? jGjGjG ??
)](R e [
)](I m [)]([ 1
?
?????? ?
jG
jGtgjG
写成复数的指数形式,
,)()( ???? jejGjG
)(-)( ?? jGjG 与 共轭。
??????? jejGjG )()( ???? jejG )(
tjtj
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AejG
j
Ay ?? ?? ???? )(
2)(2
代入 yss,
)( ?? jGAB )( ???? jG幅值比,相位差
)( ?jG 是频率特性函数。 ∴
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
比较得,tAx ?? s i n与输入
)s i n ()( ??????? tjGA )s i n ( ???? tB )( ?? jGAB
tjjtjj
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AejGe
j
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2)(
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关于频率特性的总结,
1、任何稳定的线性系统，当输入为正弦信号时，稳态后输
出也是正弦信号，频率相同，幅值和相位都发生变化，而且
它们都是频率的函数。
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
2,将传递函数 中的 s 用 代替得, 即为
频率特性 。 为幅值比, 又称 幅频特性 。 为相位差,
又称 相频特性 。
)(sG ?j )( ?jG)( ?jG
)( ?jG )( ?? jG
3、频率特性能反映系统的 动态特性 。
)s i n (()(
)()(
tA
yjG
sX
sYsG ss
?? ???
2、实验测定频率特性
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析 § 1 概述
用超低频信号发生器, 作为输入信号加在相同的输入
端, 当系统稳定后, 同时记录系统输入和输出数据 。 找到在此
刻频率下的幅值比和相位差 。 然后改变 ω, 逐一记录 B/A(ω )
和 φ (ω ),就获得了频率特性 。
直接用频率特性测试仪测取, 直接在 X-Y记录仪上
显示 或 。 jyx ?
?je
A
B
φ
方法①
方法②
例 1：某系统的传递函数
为,2 )2(2)( sssG ??
)100s i n ()( 0?? ttX
01 1 8 0,( ?
??
????? ?
?
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?? ?? tgjG
)53s i n (52 0?? ty ss
当输入信号为,
求出它的稳态输出响应。
解,
2)
(2(
?
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j
jjG
?
?????
01 5 352( ?
?? ?? ejG ??
作业,A-5-1(2)
— 第一节结束 —
频 率 特 性 分 析 方 法
频率特性的主要特点,
1,是一种几何图解的近似方法, 适于工程应用 。
2,是频域的分析方法, 系统或环节的动态特性
用频率特性表示 。
3,系统或环节的频率特性容易通过实验获得 。
4,在通讯, 信号处理等信息领域应用广泛 。
本章主要内容,
1、频率特性的定义；
2、频率特性的几种图示方法；
?极坐标图 （ 奈魁斯特图 ） Nyquist√
?对数坐标图 （ 伯徳图 ） Bode √
?对数幅相图 （ 尼柯尔斯图 ） Nichols
3、利用频率特性方法分析和设计控制
系统
§ 1 概述 第五章频率特性分析
一, 频率特性的定义及物理意义
1,定义
系统或环节对 正弦 输入信号的 稳态 响应与输入函数
之比 为频率特性 。
x=Asinωt G(s) y(t)
A是幅值,ω是角频率,
稳态响应, 是频率的函数 。
一阶线性系统
Y(s) 1?TsK
x=Asinωt y(t)
X(s)
第五章频率特性分析
§ 1 概述
一, 频率特性的定义及物理意义
1,定义
22)( ??
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AsX
)()()( sXsGsY ?
tAx ?? s i n当输入 时,
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1
经拉氏反变换，有,
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一, 频率特性的定义及物理意义
1,定义
频率特性是研究系统稳态响应的,
tjtj
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KAa )(
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其中 可以按复变函数中求系数的留数方法求得,aa,
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第五章频率特性分析
§ 1 概述
一, 频率特性的定义及物理意义
1,定义
式中：, Ta r c tg ??? 1 )(12 Ta r c t g ???????
整理可得,yss
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ee jj注：欧拉公式,
稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生了变化,
角频率 ω没变。
第五章频率特性分析
§ 1 概述
一, 频率特性的定义及物理意义
1,定义
稳态输出与输入 比较可得,tAx ?? s i n
幅值 比 221 ??? TKAB
(5-1-2） )(2 Ta r c t g ??????相位 差
A
B
2?
1?Ts
K
x=Asinωt )s i n (1 222 ??? ??? tTKAY ss
它们都是 ω和系统特征参数的函数。
推广到一般，得出以下 结论,
1,对线性系统作用正弦信号, 其稳态输出仍是一正弦函数,
频率不变, 幅值和相位发生变化 。
A
B2、幅值比 和相位差 Φ都是输入信号频率 ω的函数,
其函数关系统称为 频率特性。
A
B ∽ ω 的关系称为 幅频特性 。
Φ ∽ ω 的关系称为 相频特性 。
频率特性
3,频率特性与系统 （ 环节 ） 的动态特性有关, 例 T,k。 可以
推论, 尽管频率特性是从系统的稳态响应中得到的, 却反映出
系统的动态特性, 是描述动态特性的一种方法 。
第五章频率特性分析
§ 1 概述
一, 频率特性的定义及物理意义
1,定义
2、物理意义
第五章频率特性分析
§ 1 概述
一, 频率特性的定义及物理意义
三个截面不同的水槽, 时间常数 T1>T2>T3,在输入
的流量调节阀上安装超低频信号发生器, 使输入信号 Qs做正弦
变化, 如图所示, 观察系统输出液位 h的变化,
h1
Qs
Q出
T1
Qs
Q出
h2 T2
Qs
Q出
h3 T3
t?
Qs
t?
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h1 h2
h3
二、频率特性的获取
第五章频率特性分析
§ 1 概述
三种方法,
（ 1） 解析法 — 如前例一阶系统, 输入正弦信号,
求时域解 y(t),t →∞, 求 yss,与输入之比；
（ 2） 直接由传递函数得知；
（ 3） 由实验测取 。
1,已知系统传递函数, 求频率特性
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析 § 1 概述
对于线性定常系统，将传递函数中的
变量 s 用 jω代替，就得到了频率特性
G( jω)。
G( s ) G( jω)
以一阶环节为例,
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
1)( ?? Ts
KsG
当输入 tAx ?? s i n 时,
相位差,)( Ta r c tg ?? ??
传递函数直接变换后,
1)( ?? Tj
KjG
??
其中,, Ta rc tg???
1 Ta r ct gTa r ct g ?????????? )(12
)( ?jG 为频率特性，是一复数，模
221 ?? T
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A
B,其相角 2? 为系统的相位差。 值比
221 T
K
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输出的幅值比,
1221 ???
?
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K
2
221
?
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K
推广到一般的情况,
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
对于任何线性定常系统，只要将传递
函数中的变量 s用 jω代替，便得到了系统的频率特性。
G( jω)用复数表示,)]([)()( ??? jGjejGjG ??
模 为系统的 幅频特性 (ω),其相角 为
系统的 相频特性 。
)( ?jG AB )]([ ???? jG
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设系统传递函数为,
mnssssssss zszszsKsG
n
m ?
?????????
??????????
)())()((
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321
21
其中,是 的极点，实数或共轭复数，
对稳定系统来说，均具有负实部。
njs j,...2,1,?? )(sG
证,
当输入
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
证,)()()( ????? jGjejGjG
tAx ?? s i n 时,
22)( ??
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经 拉氏反变换, 有,
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
tjtjtsntsts eaaeebebebty n ?? ???????????? ???? 21 21)(
稳态得,tjtj
ss eaaey ?? ?? ?
其中,
????????
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22
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1
1)(
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j
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2)(2
与 均为复数,)( ?jG )( ?? jG 可用模和相角表示。
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
22 )](I m [)](R e [)( ??? jGjGjG ??
)](R e [
)](I m [)]([ 1
?
?????? ?
jG
jGtgjG
写成复数的指数形式,
,)()( ???? jejGjG
)(-)( ?? jGjG 与 共轭。
??????? jejGjG )()( ???? jejG )(
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AejG
j
Ay ?? ?? ???? )(
2)(2
代入 yss,
)( ?? jGAB )( ???? jG幅值比,相位差
)( ?jG 是频率特性函数。 ∴
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
比较得,tAx ?? s i n与输入
)s i n ()( ??????? tjGA )s i n ( ???? tB )( ?? jGAB
tjjtjj
ss ej
AejGe
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2)(2)(
j
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2)(
)()( ??????? ?
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2)(2
关于频率特性的总结,
1、任何稳定的线性系统，当输入为正弦信号时，稳态后输
出也是正弦信号，频率相同，幅值和相位都发生变化，而且
它们都是频率的函数。
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析
§ 1 概述 1,已知系统传递函数, 求频率特性
2,将传递函数 中的 s 用 代替得, 即为
频率特性 。 为幅值比, 又称 幅频特性 。 为相位差,
又称 相频特性 。
)(sG ?j )( ?jG)( ?jG
)( ?jG )( ?? jG
3、频率特性能反映系统的 动态特性 。
)s i n (()(
)()(
tA
yjG
sX
sYsG ss
?? ???
2、实验测定频率特性
二、频率特性的获取 第五章频率特性分析 § 1 概述
用超低频信号发生器, 作为输入信号加在相同的输入
端, 当系统稳定后, 同时记录系统输入和输出数据 。 找到在此
刻频率下的幅值比和相位差 。 然后改变 ω, 逐一记录 B/A(ω )
和 φ (ω ),就获得了频率特性 。
直接用频率特性测试仪测取, 直接在 X-Y记录仪上
显示 或 。 jyx ?
?je
A
B
φ
方法①
方法②
例 1：某系统的传递函数
为,2 )2(2)( sssG ??
)100s i n ()( 0?? ttX
01 1 8 0,( ?
??
????? ?
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当输入信号为,
求出它的稳态输出响应。
解,
2)
(2(
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01 5 352( ?
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作业,A-5-1(2)
— 第一节结束 —
