第二章 控制系统的数学模型 主要内容： 建立被控对象的数学模型 控制系统的数学描述方法 微分方程 状态空间方程 传递函数 方块图 信号流图 定义： 控制系统的数学模型：控制系统各变量间关系的数学表达式称之为控制系统的数学模型。本章主要介绍控制系统数学模型的建立和数学模型的主要表示方法。 建立系统的数学模型的两种方法： 机理分析法（简称分析法） 通过对系统各部分运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。（如电学的基尔霍夫定律、力学的牛顿定律、热学的热力学定律等） 实验辨识法 人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，得到的数学模型称为辨识模型，此方法称为系统辨识——是控制理论的一个重要分支。 §1 控制系统的微分方程模型 包括方程的建立、处理和特性分析。 用微分方程描述系统输入输出的动态特性是建立数学模型的一种常用方法。 1.1 数学模型方程的建立 例2-1-1 一个简单的例子： 一电阻和电容的串联网络，其中u为输入电压，求以电容两端电压为输出的微分方程。（电容，电阻）。 如图2-1。注意： (1) 确定输入（自变量）和输出变量（因变量）。输入：，输出： (2) 根据基本定律，列写原始方程（欧姆定律、基尔霍夫定律）。  （2-1-1） (3) 消去中间变量i，得到最终的方程。 把第2式两边求导：，代入第1式。  若设 （2-1-2） 式（2-1-2）是一个一阶线性微分方程，它描述的是该电路输入与输出关系，这个电路是一个一阶线性(定常)系统。通过求解，可以知道输出电压随输入电压变化的过渡过程。 例2-1-2 下图是一个液体贮槽的示意图。要求出液位h对流入量Qin之间的关系式。 （1）确定输入输出变量， 入（自变量）：，出（因变量）：h （2）利用物料（能量）平衡式： 物料（能量）蓄存量的变化率=单位时间进入的物料（能量）- 单位时间流出的物料（能量）  （2-1-3） （3）消去中间变量，（求出除常数外，只含输入输出变量的方程） 在本题中，是中间变量。根据流体力学有  （2-1-4） 其中，：阀的流通面积，：阀的节流系数，设两者均为常数（β为常数）。 把（2-1-4）代入（2-1-3）可得：  （2-1-5） （4） 增量化 在定值调节系统中，人们主要关心的往往是被调参数在平衡点（设定值）附近的变化情况，即参数偏离平衡点的变化量。因此为了研究方便，往往把系统变量转换为增量形式，构成增量方程。如： 进行增量化，①便于方程简化和求解，因为增量化方程使把人们考虑问题的基准线平移到了平衡点，相当于设初始条件（稳态条件）为零。②便于线性化。 步骤： 1、把方程写出稳态方程（稳态的物料平衡式）： 2、将原方程中的变量写成稳态值和增量值之和，代入原方程：  3、改变后的动态方程式减去稳态方程(2)-(1)，得到增量方程式。  （2-1-6） 在不引起混淆的场合，Δ号常常省略。 (5) 线性化 上式表示的贮槽液位的数学模型是一个一阶的非线性系统，因为式（2-1-6）是一个非线性微分方程，工程中大多数系统都是非线性的。我们知道非线性微分方程式的求解，通常是非常复杂的，因此，一个简便的方法就是把非线性方程局部线性化，然后，就可以当作线性系统来处理。因为线性系统理论和方法是非常成熟的。当然这种近似必须满足一定的条件，即在平衡点附近的小范围内是线性的（增量化的理由）。线性化就是在平衡点附近以某一线性数学模型来近似原有对象的非线性数学模型。 将非线性数学模型进行线性化，通常采用的方法是将非线性函数y＝f(x)在平衡点()附近展开成泰勒级数，即  由于增量Δx=很小，展开式中增量的高次项可以忽略，则上式可近似写成线性化方程：  这是一直线（前）/线性（后）方程式，由这个方程式所代表的直线的斜率即是非线性函数y＝f(x)所代表的曲线在(x0、y0)点的导数。也就是说，这直线就是曲线在(x0、y0)的切线，如图示。因而，非线性特性的线性化，实质上就是以过平衡点的切线代替平衡点附近的曲线。 根据公式，对(2-1-6)式中的非线性项（2-1-4）线性化。将此式在平衡工作点(h0)处展开成泰勒级数，并忽略增量Δh的高次项，则非线性的函数即近似为：  （2-1-7） 将（2-1-7）式代入（2-1-6）式，  设 ，去掉Δ号， 写成标准形式，设 （2-1-8） 这就是液位对象以增量形式表示的近似线性化的数学模型。K：放大倍数，T：时间常数，具有物理意义。 当输出流量是两个变量的函数时，使用2元泰勒级数展开： 例2-1-3 如例2-1-2 中的贮槽系统，现在控制流出量以保证液位稳定。其流出量的方程为：  （2-1-4） 其中，：阀的流通面积，：阀的节流系数，为常数。此时，阀的流通面积f受调节器的控制，也是影响液位的因素，作为模型的输入量。 把（2-1-4）式线性化（多元的泰勒级数展开式）：  （2-1-9） 其中项表示由于液位变化引起的流出量的变化，记作（R称为阻力系数），表示由于流出阀开度改变即调节作用而引起的流出量的变化，记作kΔf。 把(2-1-9)式代入(2-1-5)式：，得（各变量分别用稳态值+增量值表示）：  考虑到平衡关系（2-1-3）式：，上式可整理为增量化方程：  （2-1-10） 上述方程表示的是在流入量和调节阀开度（调节器作用）共同作用下，液位的变化关系。 (6) 无因次化 比较RC电路模型（2-1-2）和一阶贮槽模型（2-1-8）式，可发现尽管它们描述的不同物理对象，其输出表示不同的参数（电压V，液位m），但表示的微分方程形式是相同的，都是一阶线性系统，有两个特征参数T和K。这样，有时就可以抽出其不同的物理背景，来研究其共性的规律。因此，可以把方程进一步无因次化，去除量纲，抽象成统一的一阶线性方程。 以一阶贮槽模型（2-1-8）式为例，步骤： ①两边均被各自的稳态值去除 ，根据（2-1-8）式，当。 ② 定义新变量， 还可设，代入上式：，各变量均为无因次的相对值。 总结：建立系统数学模型的一般步骤： 1.首先要确定系统的输入量和输出量。 2.根据物理或化学规律列出描述系统运动规律的一组微分方程，消去中间变量，列出描述系统输入与输出关系的微分方程。 3.方程处理： a线性化（对非线性方程，在平衡点附近做泰勒级数展开，取一阶近似） b增量化：列写静态方程，将原始方程中的变量用稳态值与增量之和表示，将上式方程与静态方程相减。 4.无因次化（①每个变量除以稳态值，②定义无因次的新变量） 1.2 线性系统的特性和分析 用线性微分方程（如2-1-2）式描述的系统称为线性系统。线性系统满足叠加原理，即具有两个重要性质：可叠加性和均匀性（齐次性）。 有一线性系统  当f(t)=f1(t)时，方程有解y1(t), 当f(t)=f2(t)时，方程有解y2(t)，容易验证，当f(t)=f1(t)+f2(t)时，方程解为y1(t)+y2(t)，这就是可叠加性。当f(t)=Af1(t)时，A为常数，则方程的解为y(t)=Ay1(t)，即输出随输入同比例缩放，这就是均匀性（齐次性）。 线性系统的叠加原理表明，两个外力同时作用于系统所产生的总输出，等于各个外力单独作用时分别产生的输出之和，当外作用比例增加时，输出也增加同样的倍数。因此，对线性系统进行分析和设计时，如果有几个外力同时作用于系统，则可以将它们分别处理，然后相加，而且每个外力在数值上可只取单位值1，从而大大简化了线性系统的研究工作。 在例2-1-3中， （2-1-10） 液位受到两个变量的共同作用，根据叠加原理，可分别研究在各个变量（控制变量和扰动变量）单独作用下，液位的过渡过程，然后相加，可以得到整个液位控制系统的全部特性（线性化的益处）。 1.3 纯滞后特性 实际生产过程中，有些对象的输出信号比输入信号迟后一定的时间。如下图的溶解槽中的浓度控制系统。料斗中的加料经过皮带传动经τ时间投入到溶解槽中，从而引起溶液浓度的变化。这种系统输出落后于输入反应的现象称之为纯(时间)滞后现象（输出响应见图2-4）。  图2-4 溶解槽及滞后特性 各阶对象有纯滞后的响应曲线都是无滞后的响应曲线沿时间轴向后平移了滞后时间后得到的。由此可写出一阶有纯滞后对象的特性方程。  一阶无纯滞后对象特性  一阶纯滞后对象特性