§ 4 控制系统过渡过程的质量指标
通常采用的质量指标有两大类。
1,误差性能指标,系统希望的输出与实际输出
之间误差的某个函数的积分，常用的是 平方误差
积分指标 (ISE),
),()()( tytxte ??设
常用在最优系统的设计当中，求取使 J达到最小
的控制作用。
?
?
?
0
2 )( dtteJ
2,评价系统的单位阶跃响应曲线 （ 过渡过
程 ） 的指标 。 G(s)
4.1以阶跃响应曲线形式表示的质量指标
(1) 峰值时间 tp
阶跃响应曲线达到第一峰值所需要的时间 。
0.15
0.05
0.1
0 t
A
tp
tp愈小，表明控制系统反应愈灵敏。
(2) 最大偏差 A和超调量 σ
被控输出第一个波的峰值与给定
值的差，如图中的 A,A=y(tp)。
随动控制系统,
超调量 %100
)(
)()( ?
?
????
y
yty p (3-4-1)
y(∞)为过渡过程的稳态值。
定值控制系统：
通常采用超调量这个指标,
1.5
0,5
1
0
)(?y
tp t
B
0.15
0.05
0.1
0 t tp
A
偏差 e＝输出 y－设定值 R
0.15
0.05
0.1
0 t tp )(?y ts
A
(3) 衰减比 n
在过渡过程曲线上，同方向上相邻两个波峰值之比。
如图,n=B,B’。
? n愈大, 过渡过程衰减的越快, 反之, n愈小, 过
渡过程的衰减程度也愈小 。
? 一般操作经验希望过程有两、三个周波结束,
一般常取 n=4:1~10:1。
? 当 n＝ 1时，过渡过程则为等幅振荡；
B
B?
(4) 调节时间 ts
阶跃响应到达稳态的时间 。
工程上常取在被控变量进入新稳态值的土 5％或
土 2％的误差范围，并不再超出的时间。
ts 的大小一般与控制系统中的最大时间常数有
关,ts越短，系统响应越快。
0.15
0.05
0.1
0 t tp )(?y
A B B?
ts
1.5
0,5
1
0
B?
tp ts t
B
(5) 上升时间 tr
仅适用随动系统 。 第一次达到系统新稳态值所需
的时间, 定义为上升时间 。
(6) 余差或稳态误差 e(∞)
过渡过程结束时稳态值与给定值之差, 是表示控
制系统精度的重要质量指标 。
)(?y
tr
对于非振荡的过渡过程曲线：从稳态值的 10％上升
到 90％所需的时间。
总结,
1,峰值时间和上升时间反映了系统的初
始快速 。
4、稳态误差反映了系统的调节精度。
3、最大偏差、超调量和衰减比反映了系
统的平稳性。
2、调节时间反映了系统的整体快速性。
1.5
0,5
1
0
B?
tp ts t
B
)(?y
tr
4.2 二阶欠阻尼系统的质量指标
质量指标和二阶系统的两个特征参数 ζ和 ω0值之间存
在定量关系。
单位阶跃响应输出为,
)s i n (
1
1)(
2
0
???
??
??
???
tety d
t
（ 3-4-2）
其中,
2
2
0
2
1s i n,
1
1
??
?
?
?
???
??
?
?
??
tg
d
dj?
0???
1s
2s
0?
?
djjs ??????? ??????? 0
2
002,1 1
0＜ ζ＜ 1
得
)c o s (
)s i n ()(
??
????
?
???
pd
pd
pd t
tttg
???? tgttg p ??? )1( 02or （ 3-4-3）
?
??? 21 ?? tg
峰值时间 tp 就是式 (3-4-2)的一阶导数等于零时所
对应的最小时间 。
tpd
t
d
t
tp tetedt
tdy )c o s ()s i n (
1
)(
00
02
0 ?????
?
?? ???? ???
?
? ??
)s i n (
1
1)(
2
0
???
??
??
???
tety d
t（ 3-4-2）
0?
1,峰值时间 tp
0.15
0.05
0.1
0 t tp )(?y
A B B?
ts
方程 (3-4-3)的解为,
),3,2,1(1 02 ???? mmt p ??? （ 3-4-4）
因为达到峰值的最小时间应 m＝ 1,即
d
pt ?
?
??
? ?
?
?
2
0 1
（ 3-4-5）
???? tgttg p ??? )1( 02（ 3-4-3）
2、最大偏差 A和超调量 σ%
将最大峰值时间代入式 (3-4-2)中, 便得到第一个峰值,
)s i n (
1
1)(
2
1 2
???
??
??
??
??
?
e
ty p
因为 )s i n ()s i n ( ??????
因此 最大偏差
A )()( txty p ?? 11
21 ??? ?
?
?
??
e 21 ??
???
? e
（ 3-4-6）
)s i n (
1
1)(
2
0
???
??
??
???
tety d
t
（ 3-4-2）
,1 2????
d
pt ?
?
??
? ?
?
?
2
0 121
1 ?
??
?
?
?? e
?
%1 0 021 ?? ??
???
e
（ 3-4-7） 图 ζ与超调量的关系
? 超调量 σ仅为衰减系数 ζ的函数, 与 ω0无关 。
?ζ越大, 超调量越小 。
超调量,
%1 0 0)( )()( ?? ??? y yty p
%100
1
11
21
?
??
?
??
??
?
e
0
0
20
40
60
80
100
0.2 0.4 0.6 0.8 1
ζ
超调量,?
)s i n (
1
1)(
2
0
???
??
??
???
tety d
t
问题,ζ=0,1时,σ=？
3、衰减比 n
由式 (3-4-4)可知, 第三个波峰值出现的时间是,
2
0
3 1
3
???
??t
则第三个峰值为,21
3
3 1)(
??
???
?? ety
于是,213 ??????? eB
因而衰减比为,
n
（ 3-4-8）
衰减比与衰减系数 ζ的关系如图所示。
21 ??
???
? eB
B
B
??
21
2
??
??
? e
图 3-12 ζ与超调量和
衰减比的关系
0
0
20
40
60
80
100
0.2 0.4 0.6 0.8 1
ζ
超调量,?
衰减比 n
),3,2,1(1 02 ??????? mmt（ 3-4-4）
0.15
0.05
0.1
0 t tp )(?y
A B B?
ts
问题,ζ=0,1时,n=？
2.5
2
1.5
0.5
1
0
-0.5
0 T 2T 3T 4T
4、调节时间 ts
函数 te 0
21
11 ???
??
? 的曲线是
二阶系统过渡过程曲线的包络
线，系统单位阶跃响应曲线总
是包含在这一对包络线之内。
21
11
???
211
0
???
??? te
211
0
???
??? te
21
11
???
图 3-13系统过渡过程的包络线
调节时间定义为阶跃响应曲线
进入最终稳态值土 5％ 或士 2％
范围内所需时间, 则,
%51
1
11
0
2
??
??
? ??? te
)s i n (
1
1)(
2
0
???
??
??
???
tety d
t
因此求出,
5%)105.0l n (
0
2
???
??
????
st
（ 3-4-9）
当 0＜ ζ＜ 0.9时, 可取 ts 的近似值,
%)5(33
0
?????? Tt s
（ 3-4-10）
%51
1
11
0
2
??
??
? ??? te
2%)102.0l n (
0
2
???
??
????
st
%)2(44
0
?????? Tt s
5、上升时间 tr
由方程 3-4-2,令 y(tr)=1,有
1)( ?try
,0
1
1
0
2
?
??
??? rte因 0)s i n ( ?? ??
rd t故
因此,
?
??
??
???
???
?
2
2
0
1
1
a r c t gt r （ 3-4-11）
)s i n (
1
11
0
2
???
??
?? ??? rdt te r
)s i n (
1
1)(
2
0
???
??
??
???
tety d
t
（ 3-4-2）
=0
)0,...2,1 ????? tkkt rd ???
1.5
0,5
1
0
B?
tp ts t
B
)(?y
tr
6、余差 e（ ∞）
余差是系统稳态过程的一个质量指标, 由 终值定
理 求出 。
)(lim1)]()([lim)( tytytxe tt ???? ?????
)(lim)(lim 0 ssYty st ??? ?
（ 3-4-12）
sssGs
1)(lim
0?
?
22
2
0 2
lim
??
?
? ?????
??
sss
1?
归纳,
（ 1）峰值时间 tp、上升时间 tr、调节时间 ts与 ζ和 ω0有关
（ 2）超调量 σ、最大偏差 A、衰减比 n ~ ζ有关。
0?
为什么要计算控制系统的质量指标？
(1) 分析、评价控制系统,
已知 G(s),即特征参数 ζ,ω0,不必求系统的过渡
过程, 根据公式, 就可知系统的质量指标, 对控
制系统做出评价和分析 。
(2) 设计控制系统,
给定系统的质量指标后, 根据以上公式, 可求出 ζ
和 ω0,即确定系统参数 。
一般的做法是,
由超调量等确定 ζ，而由 ts等确定 ω0。
例 3-4-1 已知某反馈控制系统如图所示 。 当 x(s)为单
位阶跃信号时, 试决定结构参数 K和 τ,使得系统的
阶跃响应满足动态性能指标 σ=20%,tp=1s,并计算
上升时间 tr和调节时间 ts。
)1( ?ss
K
1+ τ
X(s) Y(s)
﹣ 解,
思路,
1、求闭环传递函数（标准形式）
2、根据 σ，求 ζ
3、根据 tp，求 ω0。
4、根据 ζ,ω0确定 k和 τ。
5、计算其它。
系统的闭环传递函数为,
1,
)()(1
)()(
sGsH
sGSG
??闭
)1(
)1(
1
)1(
s
ss
K
ss
K
??
?
?
?
?
KsKs
K
????? )1(2
2,根据给定条件,1%,20 st
p ???
利用式 (3-4-7)和 (3-4-5)
%,20%10021 ???? ??
???
e 456.0??求出
)1( ?ss
K
1+ τ
X(s) Y(s)
﹣
3、,1
1 20
st p ?
???
??
(弧度 180° =π弧度 )
sr a d /53.30 ??求出
)1( ?ss
K
1+ τ
X(s) Y(s)
﹣
4,根据二阶系统的标准形式,
KsKs
KsG
???? )1()( 2 ?闭 2002
2
0
2 ?????
??
ss
2
0??K由
02)1 ????? K由（
,5.12?K求出
1 7 8.0??求出
,53.3 2?
,22.3?
5,在上述参数下，计算上升
时间 tr（式 3-4-11）和调节
时间 ts（式 3-4-10）,
,
1 20 ???
????
rt
??? a r c c o s求出
0
3
??
?st
0
4
??
?st 解毕。
,14.31 20 ????
s65.0?,1.1?
14.3
1.1???tr
% ),5(86.1 ?? s
%)2(48.2 ?? s
)1( ?ss
K
1+ τ
X(s) Y(s)
﹣
dj?
0???
1s
2s
0?
?
?? ?c o s
1 7 8.0,5.12 ?? ?k
问题,
1,对非标准的二阶系统单位阶跃响应的质
量指标？
2,对标准二阶系统，幅值不是 1（非单位
）的阶跃信号质量指标？
3,对非二阶系统计算单位阶跃响应的质量
指标？
2
00
2
2
0
2
)(
???
?
??
?
ss
sG
问题 1
X(s) Y(s) ﹣
cK )12(
4)(
20 ?? ssG
闭环传递函数
)(1
)()(
0
0
sGK
sGKsG
c
c
?? c
c
Kss
K
4144
4
2 ????
4
412 c
c
K
ss
K
?
??
?
例, 纯比例调节器 去控制一个广义传递函数
cK
)12(
4)(
20 ?? ssG
的系统，求单位阶跃响应过程的
质量指标。
对非标准的二阶系统单位阶跃响应的质量指
标
转换成标准二阶系统形式,
)(sG 2
2
0
2 ??
?
?????
???
ss
K
即：,
41
4
c
c
K
KK
?
?
结论,任何线性二阶系统均可表示为 K与二阶标
准系统连乘的形式。
,
4
412 cK???
? 12 ??? ?
闭环传递函数
4
41
)(
2 c
c
K
ss
K
sG
?
??
?
4
412 c
c
K
ss
K
?
??
?
4
41 cK?
4
41 cK?
﹙ ﹚
4
41
4
41
2 c
c
K
ss
K
?
??
?
?
当 K≠1时, 单位阶跃响应输出的质量指标
如何计算？
22
2
2
)(
??
?
?????
???
ss
KsG
)]([)( 1 sYLty ?? )]s i n (
1
11[ ???
??
??? ????
?
teK dt
Ky ?? )(
sss
KsY 1
2
)( 22
2
?
?????
???
??
?
理论上分析, 单位阶跃响应输出成比例 K放大 。
问题 2
因此,
? 时间指标 不变
spr ttt,,
被标准二阶系统的特征参
数 唯一决定。 ????
??? ????? %1 0 0)( )()( y yty p
'A
An ?
? 反映绝对误差的最大偏差 A数值不同, 成比例放大 。
Ky ?? )(●
2.5
2
1.5
0.5
1
0 0 5 10 15 20
3
25 30
A
A
A
A?
A?
A?
K=2
K=1
K=0.5
tr tp ts
线性系统两个重要性质：可叠加性和均匀性
? 相对指标 σ和 n不变
问题 2′
对标准二阶系统，幅值不是 1（非单位）的阶跃信
号的质量指标？
22
2
2
)(
??
?
?????
??
ss
sG
s
R
ss
sY ?
?????
??
??
?
22
2
2
)(
sss
R 1
2 22
2
?
?????
???
??
?
结论,
阶跃信号 R对输出的作用与增益 K相同，使阶跃
响应输出成比例 R放大。
因此,
● 最大偏差 A数值不同，亦成比例 R放大 。
● Ry ?? )(
● 质量指标中,,,
spr ttt
没有变化，符合原公式。
'A
An ?
??? ????? %1 0 0)( )()( y yty p
问题 3
已知非二阶系统的阶跃响应 y(t),求过渡过程的质量
指标 。
解,
利用二阶标准系统单位阶跃响应质量指标的求解
原理，求解质量指标。
,0)(',?pp tyt )()(,?? ytyt rr
（ 第一个满足要求的时间解 ）
?%100
)(
)()
?
?
???
???
y
yty p
作业 A-3-1
A-3-31
A-3-8(1)
4.3 控制系统稳态误差分析
? 稳态误差 （ 余差 ） 是反映控制系统精度
的重要技术指标
? 一般常用阶跃、斜坡或抛物线输入信号
测试稳态误差
? 稳态误差与输入函数的形式有关
? 控制系统的设计任务之一，就是尽量减
小稳态误差
1、稳态偏差与系统分类
X(s) Y(s) ﹣ )(0 sG)(sG
c
)(sGf
)(sH
+ +
+
F(s)
E(s)
Z(s)
偏差 e(t)的拉氏变换为,
)()()()(1 )()()()()()(1 1)( sFsHsGsG sHsGsXsHsGsGsE
oc
f
oc ?
???
)(?e )(lim
0 ssEs??
)()()()(1 )()()()()()(1 sFsHsGsG sHssGsXsHsGsG s
oc
f
oc ?
???
)(lim tet ???
(3-4-14)
上式表明, 偏差与输入信号有关, 还与系统的结
构及参数有关 。
sfsxs eee ???
定义,
给定稳态偏差, 记为 esx ;
)()()()(1lim
0
sXsHsGsG se
ocs
sx ?? ? (3-4-15)
扰动稳态偏差,记为 esf ；
)()()()(1 )()(lim
0
sFsHsGsG sHssGe
oc
f
ssf ?
??
?
(3-4-16)
记 G(s)＝ Gc(s)Go(s),
稳态偏差与系统的开环传递函数 G(s)H(s)有关。
X(s) Y(s) ﹣ )(0 sG)(sGc
)(sGf
)(sH
+ +
+
F(s)
E(s)
Z(s)
在工程上，常根据 G(s)H(s)的形式 来规定控制系统
的,型,。
)1()1)(1(
)1()1)(1()()(
'
2
'
1
21
????
????
sTsTsTs
sTsTsTKsHsG
n
N
m
?
?(3-4-17)
K:开环增益
在分母中包含 sN 项，它表示开环传递函数中包含 N
个积分环节（ 在原点处有 N重极点） 。
N=0,N=1,N=2,则系统分别称为 0型, 1型,
2型系统 。
注意：系统的, 型, 与系统的阶次不同 。
2、给定稳态偏差
（ 1） 输入为单位阶跃函数
此时,)](1[)( 1 tLsX ??
由式 (3-4-15)有,
ssHsG
se
ssx
1
)()(1lim 0 ??? ?
定义稳态位置偏差系数 Kp
)()(lim 0 sHsGK sp ?? (3-4-18)
于是
p
sx Ke ?? 1
1 (3-4-19)
)()(lim1
1
0
sHsG
s ?
?
?
s
1?
)()()()(1lim
0
sXsHsGsG se
ocs
sx ?? ?
(3-4-15)
对于不同类型的系统，计算对应的 Kp值和稳态偏差,
0型系统,
2型系统,
1型系统,
p
sx Ke ?? 1
1 )()(lim
0 sHsGK sp ??
)1()1)(1(
)1()1)(1()()(
'
2
'
1
21
????
????
sTsTsTs
sTsTsTKsHsG
n
N
m
?
?
K
eKK sxp
?
??
1
1,
Kp＝ ∞,esx=0
Kp=∞,esx=0
（ 2）输入为单位斜坡函数
,1)(,)( 2ssXttx ??
有
20
1
)()(1lim ssHsG
se
ssx
???
? )]()([lim
1
0
sHssGs
s
?
?
?
)()(l i m
1
0
sHssG
s ?
?
定义 稳态速度偏差系数 Kv,
)()(lim 0 sHssGK sv ?? (3-4-20)
v
sx Ke
1? (3-4-21)
)()()()(1lim
0
sXsHsGsG se
ocs
sx ?? ?
(3-4-15)
0型 系统,
3 1 2
2.5
2
1.5
0.5
1
0 0
3
x(t)
y(t)
1型单位反馈系统对斜波输入信号的响应
)()(lim 0 sHssGK sv ??
v
sx Ke
1?
)1()1)(1(
)1()1)(1()()(
'
2
'
1
21
????
????
sTsTsTs
sTsTsTKsHsG
n
N
m
?
?
Kv＝ 0,esx＝ ∞；
Kv=K,esx＝ 1/K；
Kv＝ ∞,esx＝ 0。
1型 系统,
2型 系统,
)1()1)(1(
)1()1)(1(lim)()(lim
'
2
'
1
21
00 ????
?????
?? sTsTsTs
sTsTsTKssHssGK
n
N
m
ssv ?
?
（ 3）输入为单位抛物线（加速度）函数
,1)(,2)( 3
2
ssX
ttx ??
有 )(
)()(1lim 0 sXsHsG
se
ssx
???
? )()(
1l i m
20 sHsGss ??
定义 稳态加速度偏差系数 Ka,
)()(lim 20 sHsGsK sa ?? (3-4-22)
a
sx Ke
1? (3-4-23)
3
1
s 2
0型 系统,
)()(lim 20 sHsGsK sa ??
a
sx Ke
1?
)1()1)(1(
)1()1)(1()()(
'
2
'
1
21
????
????
sTsTsTs
sTsTsTKsHsG
n
N
m
?
?
)1()1)(1(
)1()1)(1(lim)()(lim
'
2
'
1
212
0
2
0 ????
?????
?? sTsTsTs
sTsTsTKssHsGsK
n
N
m
ssa ?
?
Ka＝ 0,esx＝ ∞；
Ka＝ 0,esx＝ ∞；
Ka＝ K,esx＝ 1/K。
1型 系统,
2型 系统,
小结,
表 2 给定信号输入下的给定稳态误差 esx
阶跃输入 x(t)=1 斜坡输入 x(t)=t 抛物线输入 x(t)=1/2t2
1
1
?K
Kp=K ∞ ∞ Kv=0 Ka=0
Kp=∞ 0
K1
Kv=K ∞ Ka=0
0 型 系统
1 型 系统
2 型 系统 Kp=∞ 0 0 Kv=∞
K1
Ka=K
)1()1)(1(
)1()1)(1()()(
'
2
'
1
21
????
????
sTsTsTs
sTsTsTKsHsG
n
N
m
?
?
Kp — 稳态位置偏差系数
Kv — 稳态速度偏差系数
Ka — 稳态加速度偏差系数
对角线上出现的 稳态偏差 具有有限值, 对角线 以
上 出现的稳态偏差为 ∞,对角线 以下 出现的稳态
偏差为 零 。
结论,
① 输入信号形式影响系统的稳态误差 。
② esx与 N有关, 在系统中增加积分器 （ 提高 N）,
稳态性能可以改善 。
③ 开环增益直接影响系统的稳态特性 。 K越大,
稳态误差越小, 增大开环增益可以改善闭环系统
的稳态特性 。
④ 应注意到, 增大 N值和 K值同时也会使控制系统
的稳定性和动态性能变差, 必须在控制精度与稳
定性之间折衷 。
3、扰动稳态偏差
当扰动为单位阶跃函数时, 稳态偏差为,
sfe ssHsG
sHssG f
s
1
)()(1
)()(
lim
0
?
?
?
?
? )()(1
)()(lim
0 sHsG
sHsG f
s ?
??
?
若 esf=0,称系统为 (对于扰动作用 )无差系统 ；
否则称为 有差系统 。
例 3-4-2 已知系统如图所示 。
（ 1） 设给定信号和扰动信号均为单位阶跃信号,
求两个稳态误差 。
（ 2）研究使 esf为零时的调节器结构。
X(s) Y(s) ﹣ +
F(s)
1K s
K2
带扰动的控制系统
E(s)
解,
（ 1）开环传递函数,
s
KKsHsG 21)()( ?为 1型系统,
0?sxe因此,
s
K
KsF
sE
sG f
2
11
)(
)(
)(
?
??
21
2
KKs
K
?
??
时，当 ssF 1)( ? sKKs
Kse
ssf
1lim
21
2
0
?????
? 1
1
K??
)()()( sFsGsE f?
s
K2?
比较
X(s) Y(s)
﹣
+
F(s)
1K s
K2
带扰动的控制系统
E(s)
2
21
2
1
)(
)(
s
KK
s
K
sF
sE
?
?
?
s
KK
s
K
21
2
?
?
?
时，当 ssF 1)( ?
s
s
KK
s
K
se
s
sf
1
lim
21
2
0
?
?
?
??
?
0?
此时系统的开环传递函数为,
（ 2）若调节器里含有一个积分器,
2
21
0 )( s
KKsG ? 为 2型系统
X(s) Y(s)
﹣
+
F(s)
1K s
K2
E(s)
s
K1
讨论
通常采用的质量指标有两大类。
1,误差性能指标,系统希望的输出与实际输出
之间误差的某个函数的积分，常用的是 平方误差
积分指标 (ISE),
),()()( tytxte ??设
常用在最优系统的设计当中，求取使 J达到最小
的控制作用。
?
?
?
0
2 )( dtteJ
2,评价系统的单位阶跃响应曲线 （ 过渡过
程 ） 的指标 。 G(s)
4.1以阶跃响应曲线形式表示的质量指标
(1) 峰值时间 tp
阶跃响应曲线达到第一峰值所需要的时间 。
0.15
0.05
0.1
0 t
A
tp
tp愈小，表明控制系统反应愈灵敏。
(2) 最大偏差 A和超调量 σ
被控输出第一个波的峰值与给定
值的差，如图中的 A,A=y(tp)。
随动控制系统,
超调量 %100
)(
)()( ?
?
????
y
yty p (3-4-1)
y(∞)为过渡过程的稳态值。
定值控制系统：
通常采用超调量这个指标,
1.5
0,5
1
0
)(?y
tp t
B
0.15
0.05
0.1
0 t tp
A
偏差 e＝输出 y－设定值 R
0.15
0.05
0.1
0 t tp )(?y ts
A
(3) 衰减比 n
在过渡过程曲线上，同方向上相邻两个波峰值之比。
如图,n=B,B’。
? n愈大, 过渡过程衰减的越快, 反之, n愈小, 过
渡过程的衰减程度也愈小 。
? 一般操作经验希望过程有两、三个周波结束,
一般常取 n=4:1~10:1。
? 当 n＝ 1时，过渡过程则为等幅振荡；
B
B?
(4) 调节时间 ts
阶跃响应到达稳态的时间 。
工程上常取在被控变量进入新稳态值的土 5％或
土 2％的误差范围，并不再超出的时间。
ts 的大小一般与控制系统中的最大时间常数有
关,ts越短，系统响应越快。
0.15
0.05
0.1
0 t tp )(?y
A B B?
ts
1.5
0,5
1
0
B?
tp ts t
B
(5) 上升时间 tr
仅适用随动系统 。 第一次达到系统新稳态值所需
的时间, 定义为上升时间 。
(6) 余差或稳态误差 e(∞)
过渡过程结束时稳态值与给定值之差, 是表示控
制系统精度的重要质量指标 。
)(?y
tr
对于非振荡的过渡过程曲线：从稳态值的 10％上升
到 90％所需的时间。
总结,
1,峰值时间和上升时间反映了系统的初
始快速 。
4、稳态误差反映了系统的调节精度。
3、最大偏差、超调量和衰减比反映了系
统的平稳性。
2、调节时间反映了系统的整体快速性。
1.5
0,5
1
0
B?
tp ts t
B
)(?y
tr
4.2 二阶欠阻尼系统的质量指标
质量指标和二阶系统的两个特征参数 ζ和 ω0值之间存
在定量关系。
单位阶跃响应输出为,
)s i n (
1
1)(
2
0
???
??
??
???
tety d
t
（ 3-4-2）
其中,
2
2
0
2
1s i n,
1
1
??
?
?
?
???
??
?
?
??
tg
d
dj?
0???
1s
2s
0?
?
djjs ??????? ??????? 0
2
002,1 1
0＜ ζ＜ 1
得
)c o s (
)s i n ()(
??
????
?
???
pd
pd
pd t
tttg
???? tgttg p ??? )1( 02or （ 3-4-3）
?
??? 21 ?? tg
峰值时间 tp 就是式 (3-4-2)的一阶导数等于零时所
对应的最小时间 。
tpd
t
d
t
tp tetedt
tdy )c o s ()s i n (
1
)(
00
02
0 ?????
?
?? ???? ???
?
? ??
)s i n (
1
1)(
2
0
???
??
??
???
tety d
t（ 3-4-2）
0?
1,峰值时间 tp
0.15
0.05
0.1
0 t tp )(?y
A B B?
ts
方程 (3-4-3)的解为,
),3,2,1(1 02 ???? mmt p ??? （ 3-4-4）
因为达到峰值的最小时间应 m＝ 1,即
d
pt ?
?
??
? ?
?
?
2
0 1
（ 3-4-5）
???? tgttg p ??? )1( 02（ 3-4-3）
2、最大偏差 A和超调量 σ%
将最大峰值时间代入式 (3-4-2)中, 便得到第一个峰值,
)s i n (
1
1)(
2
1 2
???
??
??
??
??
?
e
ty p
因为 )s i n ()s i n ( ??????
因此 最大偏差
A )()( txty p ?? 11
21 ??? ?
?
?
??
e 21 ??
???
? e
（ 3-4-6）
)s i n (
1
1)(
2
0
???
??
??
???
tety d
t
（ 3-4-2）
,1 2????
d
pt ?
?
??
? ?
?
?
2
0 121
1 ?
??
?
?
?? e
?
%1 0 021 ?? ??
???
e
（ 3-4-7） 图 ζ与超调量的关系
? 超调量 σ仅为衰减系数 ζ的函数, 与 ω0无关 。
?ζ越大, 超调量越小 。
超调量,
%1 0 0)( )()( ?? ??? y yty p
%100
1
11
21
?
??
?
??
??
?
e
0
0
20
40
60
80
100
0.2 0.4 0.6 0.8 1
ζ
超调量,?
)s i n (
1
1)(
2
0
???
??
??
???
tety d
t
问题,ζ=0,1时,σ=？
3、衰减比 n
由式 (3-4-4)可知, 第三个波峰值出现的时间是,
2
0
3 1
3
???
??t
则第三个峰值为,21
3
3 1)(
??
???
?? ety
于是,213 ??????? eB
因而衰减比为,
n
（ 3-4-8）
衰减比与衰减系数 ζ的关系如图所示。
21 ??
???
? eB
B
B
??
21
2
??
??
? e
图 3-12 ζ与超调量和
衰减比的关系
0
0
20
40
60
80
100
0.2 0.4 0.6 0.8 1
ζ
超调量,?
衰减比 n
),3,2,1(1 02 ??????? mmt（ 3-4-4）
0.15
0.05
0.1
0 t tp )(?y
A B B?
ts
问题,ζ=0,1时,n=？
2.5
2
1.5
0.5
1
0
-0.5
0 T 2T 3T 4T
4、调节时间 ts
函数 te 0
21
11 ???
??
? 的曲线是
二阶系统过渡过程曲线的包络
线，系统单位阶跃响应曲线总
是包含在这一对包络线之内。
21
11
???
211
0
???
??? te
211
0
???
??? te
21
11
???
图 3-13系统过渡过程的包络线
调节时间定义为阶跃响应曲线
进入最终稳态值土 5％ 或士 2％
范围内所需时间, 则,
%51
1
11
0
2
??
??
? ??? te
)s i n (
1
1)(
2
0
???
??
??
???
tety d
t
因此求出,
5%)105.0l n (
0
2
???
??
????
st
（ 3-4-9）
当 0＜ ζ＜ 0.9时, 可取 ts 的近似值,
%)5(33
0
?????? Tt s
（ 3-4-10）
%51
1
11
0
2
??
??
? ??? te
2%)102.0l n (
0
2
???
??
????
st
%)2(44
0
?????? Tt s
5、上升时间 tr
由方程 3-4-2,令 y(tr)=1,有
1)( ?try
,0
1
1
0
2
?
??
??? rte因 0)s i n ( ?? ??
rd t故
因此,
?
??
??
???
???
?
2
2
0
1
1
a r c t gt r （ 3-4-11）
)s i n (
1
11
0
2
???
??
?? ??? rdt te r
)s i n (
1
1)(
2
0
???
??
??
???
tety d
t
（ 3-4-2）
=0
)0,...2,1 ????? tkkt rd ???
1.5
0,5
1
0
B?
tp ts t
B
)(?y
tr
6、余差 e（ ∞）
余差是系统稳态过程的一个质量指标, 由 终值定
理 求出 。
)(lim1)]()([lim)( tytytxe tt ???? ?????
)(lim)(lim 0 ssYty st ??? ?
（ 3-4-12）
sssGs
1)(lim
0?
?
22
2
0 2
lim
??
?
? ?????
??
sss
1?
归纳,
（ 1）峰值时间 tp、上升时间 tr、调节时间 ts与 ζ和 ω0有关
（ 2）超调量 σ、最大偏差 A、衰减比 n ~ ζ有关。
0?
为什么要计算控制系统的质量指标？
(1) 分析、评价控制系统,
已知 G(s),即特征参数 ζ,ω0,不必求系统的过渡
过程, 根据公式, 就可知系统的质量指标, 对控
制系统做出评价和分析 。
(2) 设计控制系统,
给定系统的质量指标后, 根据以上公式, 可求出 ζ
和 ω0,即确定系统参数 。
一般的做法是,
由超调量等确定 ζ，而由 ts等确定 ω0。
例 3-4-1 已知某反馈控制系统如图所示 。 当 x(s)为单
位阶跃信号时, 试决定结构参数 K和 τ,使得系统的
阶跃响应满足动态性能指标 σ=20%,tp=1s,并计算
上升时间 tr和调节时间 ts。
)1( ?ss
K
1+ τ
X(s) Y(s)
﹣ 解,
思路,
1、求闭环传递函数（标准形式）
2、根据 σ，求 ζ
3、根据 tp，求 ω0。
4、根据 ζ,ω0确定 k和 τ。
5、计算其它。
系统的闭环传递函数为,
1,
)()(1
)()(
sGsH
sGSG
??闭
)1(
)1(
1
)1(
s
ss
K
ss
K
??
?
?
?
?
KsKs
K
????? )1(2
2,根据给定条件,1%,20 st
p ???
利用式 (3-4-7)和 (3-4-5)
%,20%10021 ???? ??
???
e 456.0??求出
)1( ?ss
K
1+ τ
X(s) Y(s)
﹣
3、,1
1 20
st p ?
???
??
(弧度 180° =π弧度 )
sr a d /53.30 ??求出
)1( ?ss
K
1+ τ
X(s) Y(s)
﹣
4,根据二阶系统的标准形式,
KsKs
KsG
???? )1()( 2 ?闭 2002
2
0
2 ?????
??
ss
2
0??K由
02)1 ????? K由（
,5.12?K求出
1 7 8.0??求出
,53.3 2?
,22.3?
5,在上述参数下，计算上升
时间 tr（式 3-4-11）和调节
时间 ts（式 3-4-10）,
,
1 20 ???
????
rt
??? a r c c o s求出
0
3
??
?st
0
4
??
?st 解毕。
,14.31 20 ????
s65.0?,1.1?
14.3
1.1???tr
% ),5(86.1 ?? s
%)2(48.2 ?? s
)1( ?ss
K
1+ τ
X(s) Y(s)
﹣
dj?
0???
1s
2s
0?
?
?? ?c o s
1 7 8.0,5.12 ?? ?k
问题,
1,对非标准的二阶系统单位阶跃响应的质
量指标？
2,对标准二阶系统，幅值不是 1（非单位
）的阶跃信号质量指标？
3,对非二阶系统计算单位阶跃响应的质量
指标？
2
00
2
2
0
2
)(
???
?
??
?
ss
sG
问题 1
X(s) Y(s) ﹣
cK )12(
4)(
20 ?? ssG
闭环传递函数
)(1
)()(
0
0
sGK
sGKsG
c
c
?? c
c
Kss
K
4144
4
2 ????
4
412 c
c
K
ss
K
?
??
?
例, 纯比例调节器 去控制一个广义传递函数
cK
)12(
4)(
20 ?? ssG
的系统，求单位阶跃响应过程的
质量指标。
对非标准的二阶系统单位阶跃响应的质量指
标
转换成标准二阶系统形式,
)(sG 2
2
0
2 ??
?
?????
???
ss
K
即：,
41
4
c
c
K
KK
?
?
结论,任何线性二阶系统均可表示为 K与二阶标
准系统连乘的形式。
,
4
412 cK???
? 12 ??? ?
闭环传递函数
4
41
)(
2 c
c
K
ss
K
sG
?
??
?
4
412 c
c
K
ss
K
?
??
?
4
41 cK?
4
41 cK?
﹙ ﹚
4
41
4
41
2 c
c
K
ss
K
?
??
?
?
当 K≠1时, 单位阶跃响应输出的质量指标
如何计算？
22
2
2
)(
??
?
?????
???
ss
KsG
)]([)( 1 sYLty ?? )]s i n (
1
11[ ???
??
??? ????
?
teK dt
Ky ?? )(
sss
KsY 1
2
)( 22
2
?
?????
???
??
?
理论上分析, 单位阶跃响应输出成比例 K放大 。
问题 2
因此,
? 时间指标 不变
spr ttt,,
被标准二阶系统的特征参
数 唯一决定。 ????
??? ????? %1 0 0)( )()( y yty p
'A
An ?
? 反映绝对误差的最大偏差 A数值不同, 成比例放大 。
Ky ?? )(●
2.5
2
1.5
0.5
1
0 0 5 10 15 20
3
25 30
A
A
A
A?
A?
A?
K=2
K=1
K=0.5
tr tp ts
线性系统两个重要性质：可叠加性和均匀性
? 相对指标 σ和 n不变
问题 2′
对标准二阶系统，幅值不是 1（非单位）的阶跃信
号的质量指标？
22
2
2
)(
??
?
?????
??
ss
sG
s
R
ss
sY ?
?????
??
??
?
22
2
2
)(
sss
R 1
2 22
2
?
?????
???
??
?
结论,
阶跃信号 R对输出的作用与增益 K相同，使阶跃
响应输出成比例 R放大。
因此,
● 最大偏差 A数值不同，亦成比例 R放大 。
● Ry ?? )(
● 质量指标中,,,
spr ttt
没有变化，符合原公式。
'A
An ?
??? ????? %1 0 0)( )()( y yty p
问题 3
已知非二阶系统的阶跃响应 y(t),求过渡过程的质量
指标 。
解,
利用二阶标准系统单位阶跃响应质量指标的求解
原理，求解质量指标。
,0)(',?pp tyt )()(,?? ytyt rr
（ 第一个满足要求的时间解 ）
?%100
)(
)()
?
?
???
???
y
yty p
作业 A-3-1
A-3-31
A-3-8(1)
4.3 控制系统稳态误差分析
? 稳态误差 （ 余差 ） 是反映控制系统精度
的重要技术指标
? 一般常用阶跃、斜坡或抛物线输入信号
测试稳态误差
? 稳态误差与输入函数的形式有关
? 控制系统的设计任务之一，就是尽量减
小稳态误差
1、稳态偏差与系统分类
X(s) Y(s) ﹣ )(0 sG)(sG
c
)(sGf
)(sH
+ +
+
F(s)
E(s)
Z(s)
偏差 e(t)的拉氏变换为,
)()()()(1 )()()()()()(1 1)( sFsHsGsG sHsGsXsHsGsGsE
oc
f
oc ?
???
)(?e )(lim
0 ssEs??
)()()()(1 )()()()()()(1 sFsHsGsG sHssGsXsHsGsG s
oc
f
oc ?
???
)(lim tet ???
(3-4-14)
上式表明, 偏差与输入信号有关, 还与系统的结
构及参数有关 。
sfsxs eee ???
定义,
给定稳态偏差, 记为 esx ;
)()()()(1lim
0
sXsHsGsG se
ocs
sx ?? ? (3-4-15)
扰动稳态偏差,记为 esf ；
)()()()(1 )()(lim
0
sFsHsGsG sHssGe
oc
f
ssf ?
??
?
(3-4-16)
记 G(s)＝ Gc(s)Go(s),
稳态偏差与系统的开环传递函数 G(s)H(s)有关。
X(s) Y(s) ﹣ )(0 sG)(sGc
)(sGf
)(sH
+ +
+
F(s)
E(s)
Z(s)
在工程上，常根据 G(s)H(s)的形式 来规定控制系统
的,型,。
)1()1)(1(
)1()1)(1()()(
'
2
'
1
21
????
????
sTsTsTs
sTsTsTKsHsG
n
N
m
?
?(3-4-17)
K:开环增益
在分母中包含 sN 项，它表示开环传递函数中包含 N
个积分环节（ 在原点处有 N重极点） 。
N=0,N=1,N=2,则系统分别称为 0型, 1型,
2型系统 。
注意：系统的, 型, 与系统的阶次不同 。
2、给定稳态偏差
（ 1） 输入为单位阶跃函数
此时,)](1[)( 1 tLsX ??
由式 (3-4-15)有,
ssHsG
se
ssx
1
)()(1lim 0 ??? ?
定义稳态位置偏差系数 Kp
)()(lim 0 sHsGK sp ?? (3-4-18)
于是
p
sx Ke ?? 1
1 (3-4-19)
)()(lim1
1
0
sHsG
s ?
?
?
s
1?
)()()()(1lim
0
sXsHsGsG se
ocs
sx ?? ?
(3-4-15)
对于不同类型的系统，计算对应的 Kp值和稳态偏差,
0型系统,
2型系统,
1型系统,
p
sx Ke ?? 1
1 )()(lim
0 sHsGK sp ??
)1()1)(1(
)1()1)(1()()(
'
2
'
1
21
????
????
sTsTsTs
sTsTsTKsHsG
n
N
m
?
?
K
eKK sxp
?
??
1
1,
Kp＝ ∞,esx=0
Kp=∞,esx=0
（ 2）输入为单位斜坡函数
,1)(,)( 2ssXttx ??
有
20
1
)()(1lim ssHsG
se
ssx
???
? )]()([lim
1
0
sHssGs
s
?
?
?
)()(l i m
1
0
sHssG
s ?
?
定义 稳态速度偏差系数 Kv,
)()(lim 0 sHssGK sv ?? (3-4-20)
v
sx Ke
1? (3-4-21)
)()()()(1lim
0
sXsHsGsG se
ocs
sx ?? ?
(3-4-15)
0型 系统,
3 1 2
2.5
2
1.5
0.5
1
0 0
3
x(t)
y(t)
1型单位反馈系统对斜波输入信号的响应
)()(lim 0 sHssGK sv ??
v
sx Ke
1?
)1()1)(1(
)1()1)(1()()(
'
2
'
1
21
????
????
sTsTsTs
sTsTsTKsHsG
n
N
m
?
?
Kv＝ 0,esx＝ ∞；
Kv=K,esx＝ 1/K；
Kv＝ ∞,esx＝ 0。
1型 系统,
2型 系统,
)1()1)(1(
)1()1)(1(lim)()(lim
'
2
'
1
21
00 ????
?????
?? sTsTsTs
sTsTsTKssHssGK
n
N
m
ssv ?
?
（ 3）输入为单位抛物线（加速度）函数
,1)(,2)( 3
2
ssX
ttx ??
有 )(
)()(1lim 0 sXsHsG
se
ssx
???
? )()(
1l i m
20 sHsGss ??
定义 稳态加速度偏差系数 Ka,
)()(lim 20 sHsGsK sa ?? (3-4-22)
a
sx Ke
1? (3-4-23)
3
1
s 2
0型 系统,
)()(lim 20 sHsGsK sa ??
a
sx Ke
1?
)1()1)(1(
)1()1)(1()()(
'
2
'
1
21
????
????
sTsTsTs
sTsTsTKsHsG
n
N
m
?
?
)1()1)(1(
)1()1)(1(lim)()(lim
'
2
'
1
212
0
2
0 ????
?????
?? sTsTsTs
sTsTsTKssHsGsK
n
N
m
ssa ?
?
Ka＝ 0,esx＝ ∞；
Ka＝ 0,esx＝ ∞；
Ka＝ K,esx＝ 1/K。
1型 系统,
2型 系统,
小结,
表 2 给定信号输入下的给定稳态误差 esx
阶跃输入 x(t)=1 斜坡输入 x(t)=t 抛物线输入 x(t)=1/2t2
1
1
?K
Kp=K ∞ ∞ Kv=0 Ka=0
Kp=∞ 0
K1
Kv=K ∞ Ka=0
0 型 系统
1 型 系统
2 型 系统 Kp=∞ 0 0 Kv=∞
K1
Ka=K
)1()1)(1(
)1()1)(1()()(
'
2
'
1
21
????
????
sTsTsTs
sTsTsTKsHsG
n
N
m
?
?
Kp — 稳态位置偏差系数
Kv — 稳态速度偏差系数
Ka — 稳态加速度偏差系数
对角线上出现的 稳态偏差 具有有限值, 对角线 以
上 出现的稳态偏差为 ∞,对角线 以下 出现的稳态
偏差为 零 。
结论,
① 输入信号形式影响系统的稳态误差 。
② esx与 N有关, 在系统中增加积分器 （ 提高 N）,
稳态性能可以改善 。
③ 开环增益直接影响系统的稳态特性 。 K越大,
稳态误差越小, 增大开环增益可以改善闭环系统
的稳态特性 。
④ 应注意到, 增大 N值和 K值同时也会使控制系统
的稳定性和动态性能变差, 必须在控制精度与稳
定性之间折衷 。
3、扰动稳态偏差
当扰动为单位阶跃函数时, 稳态偏差为,
sfe ssHsG
sHssG f
s
1
)()(1
)()(
lim
0
?
?
?
?
? )()(1
)()(lim
0 sHsG
sHsG f
s ?
??
?
若 esf=0,称系统为 (对于扰动作用 )无差系统 ；
否则称为 有差系统 。
例 3-4-2 已知系统如图所示 。
（ 1） 设给定信号和扰动信号均为单位阶跃信号,
求两个稳态误差 。
（ 2）研究使 esf为零时的调节器结构。
X(s) Y(s) ﹣ +
F(s)
1K s
K2
带扰动的控制系统
E(s)
解,
（ 1）开环传递函数,
s
KKsHsG 21)()( ?为 1型系统,
0?sxe因此,
s
K
KsF
sE
sG f
2
11
)(
)(
)(
?
??
21
2
KKs
K
?
??
时，当 ssF 1)( ? sKKs
Kse
ssf
1lim
21
2
0
?????
? 1
1
K??
)()()( sFsGsE f?
s
K2?
比较
X(s) Y(s)
﹣
+
F(s)
1K s
K2
带扰动的控制系统
E(s)
2
21
2
1
)(
)(
s
KK
s
K
sF
sE
?
?
?
s
KK
s
K
21
2
?
?
?
时，当 ssF 1)( ?
s
s
KK
s
K
se
s
sf
1
lim
21
2
0
?
?
?
??
?
0?
此时系统的开环传递函数为,
（ 2）若调节器里含有一个积分器,
2
21
0 )( s
KKsG ? 为 2型系统
X(s) Y(s)
﹣
+
F(s)
1K s
K2
E(s)
s
K1
讨论
