§2 控制系统的状态空间模型 前面所讲的采用系统输入、输出微分方程描述系统的动态特性对于单输入、单输出线性定常系统比较简单实用，现代控制理论采用状态空间的方法建立系统数学模型，而且这两种表示方法可以互相转换。 状态空间法是现代控制理论采用的一种时域方法，这种方法适用于线性系统、非线性系统、单变量系统或多变量系统。通过状态反馈可对系统内的各状态变量进行控制，所以可能实现最优控制。 2.1 状态空间的基本概念 被控对象的变量可以分为三类： （1）控制变量和干扰变量（输入变量）： （2）对象的被控变量（输出变量）：  （3）状态变量：，状态空间表达式中的状态是表征系统动态特性的变量，是确定系统运动状态所需要的最少一组变量。只要知道这组变量的初始值（初始状态）和时的外施作用（外加输入信号），就能够完全唯一的确定在的任何时间的系统状态。 用状态变量描述系统的动态方程称为状态方程，因其能反映系统内各状态变量的信息，所以状态变量描述法又称为内部描述法。 对于线性定常系统，其状态方程的基本形式为  其中，x：n维向量，u：r维向量，y：m维向量。A：n×n维的系数矩阵，B：n×r维的控制矩阵，C：m×n的输出矩阵，D：m×r的直接关联矩阵。 状态变量的选取不是唯一的，只要满足作为状态变量的条件都可以选择做状态变量。从理论上讲，可以有无穷多组状态变量，在选择系统的状态变量时可以选择可以测量或不可测量的变量。状态变量的选择要充分考虑完全表示系统状态和最小数目独立变量这两点。 2.2 状态空间方程的建立 例2-2-1 力学系统 弹簧-质量-阻尼器系统入图示。列出以拉力Fi为输入，以质量单元的位移y为输出的状态方程。 （1）确定输入变量：系统入Fi，出：y （2）基本定理：古典力学系统符合牛顿第二定律  （2-2-1） 合力：， 其中，弹簧阻力，k是弹簧的弹性系数。 壁摩擦力，f是摩擦系数。 代入（2-2-1）式： （2-2-2） 弹簧平移运动是一个二阶线性系统。定义状态向量、控制向量和输出向量   整理（2-2-2）式  可将2阶微分方程表示的系统写成2个一阶微分方程组的形式   这个方程组是用每个状态变量的变化率来描述系统状态的变化规律。可以进一步表示为矩阵形式：  和  以上用矩阵形式表示的系统方程就是系统的状态方程。它由状态方程组成。 其中系统系数矩阵= ，控制矩阵= 输出矩阵 对同一系统可以选择各种不同的状态变量组，因而也可以用不同的状态方程来描述它。但是，只要系统的输入和输出量已经确定，则描述其输入、输出关系式的数学模型却是唯一的。 建立状态方程的步骤： 1．确定系统的输入变量和输出变量。 2．用微分方程表达对象的数学模型，如有非线性特性则作线性化处理。 3．根据微分方程的阶次，选择独立的状态变量，用一阶微分方程组的形式来表达对象的数学模型。 4．整理表达式为的形式。 5．根据输出变量是状态变量的线性组合，得出输出方程 例2-2-2 如图由两个液体贮槽串联组成。 由以前分析可知，经线性化后：   图2-6 液体贮槽 在这个系统中，液位h2作为被控变量，仍通过安装在流出管道上的调节阀的开度f控制液位。因此，f是控制变量。在例2-2中，我们已就相同情况下的一阶贮槽建立了数学模型式（2-1-10）。去除Δ号，为  （2-1-10） 这里，只要再增加第一个贮槽的模型即可。Q1与h1 有关，，R1为阀门的阻力系数。 建立模型： (1) 确定输入输出变量 入(自变量)：Qin(扰动量)、F：(控制量)，出：(因变量)h2 (2) 根据物料守恒定律列出原始方程  整理：  (3) 选择系统的状态变量X、控制变量U和输出变量y 选择 (4) 列写状态方程 上面方程可改写：   (5) 列写输出方程  此例中，二阶贮槽系统的系数矩阵、控制矩阵和输出矩阵是  通过状态方程的求解，我们不仅能够知道被控变量h2随扰动量Qin、控制量f（调节阀流通面积）的变化情形，也可以了解系统内部的变量，如 h1的变化情况。 注意：状态方程各向量的维数（变量个数）问题（判断正误）： 输入输出向量由问题本身决定（假设r个输入m个输出）； 状态变量个数由方程阶次决定，几阶系统有几个状态变量； 各矩阵维数：系数矩阵n×n，控制矩阵n×r，输出矩阵m×n。 状态变量选择不是唯一的，如可选，则状态方程不同。 状态方程只能描述线性系统，非线性系统需线性化后方可使用。