第四节 对偶原理
能控性和能观测性无论是从概念上还是从
判据的形式上都是对偶的，这种对偶关系
反映了系统的能控问题与估计问题之间的
对偶性
对偶系统,
给定线性定常系统,
则它的对偶系统 为,
m
pn
RyCxy
RuRxBuAxx
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,
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d?
pTTTT
mTnTTTTTT
RB
RRCA
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???
?????
,
,,
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对偶系统 又称为 伴随系统, 可以看出给定
系统和对偶系统之间的状态维数一致, 而
给定系统的输入, 输出维数分别等于对偶
系统的输出和输入维数 。
? 给定系统的运动是状态点在状态空间中由
t0到 t的正时向转移, 而对偶系统的运动是
协状态点在状态空间中由 t到 t0的反时向转
移 。
线性系统及其对偶系统之间的关
系,
? 给定系统和对偶系统的方块图是对偶的
对偶原理,
给定系统和对偶系统在能控性和能观测
性上具有以下对应关系,
给定系统的完全能控性等价于对偶系统
的完全能观测性, 给定系统的完全能观
测性等价于对偶系统的完全能控性 。
验证,
给定系统的能控性判别矩阵
对偶系统的能观测性判别矩阵
? ?BAABBQ nc 1?? ?
? ?
Tn
nTT
TT
T
o
BAABB
AB
AB
B
Q
1
1
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二者秩完全相同
给定系统的能观测性判别矩阵
对偶系统的能控性判别矩阵
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o
CA
CA
C
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n
TnTTTT
o
CA
CA
C
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1
1
)(
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?
二者 秩完全相同
用 MATLAB对系统能控性和能观测进
行检测
1,能控性判定,
n=length(A); %获得系统维数
Qc=[B]; %构造能控性判别阵 Qc
for i=1:n-1
Qc=[Qc A^(i)*B];
end
if rank(Qc)==n %如果 Qc秩等于 n,则完全能控
disp('the system is controllable');
else
disp('the system is uncontrollable');
end
2．能观测性判定
n=length(A); %获得系统维数
Qo=[C]; %构造能观测性判别阵 Qo
for i=1:n-1
Qo=[Qo； C*A^(i)];
end
if rank(Qo)==n %如果 Qo的秩等于 n,则完全能观
disp('the system is observable');
else
disp('the system is unobservable');
end