第三节 能控性和能观性的判定
一、能控性的判定
1．格拉姆矩阵判据
线性定常系统完全能控的充分必要条件是
存在这样一个时刻 t1>0，使得格拉姆矩阵
是非奇异的,或者在 [0,t]区间,的行
是彼此独立的
dteBBetW t tATAtc T? ??
?
? 101 ),0(
BeAt
注意,格拉姆矩阵判据主要应用于理论分
析，这是因为在实际应用中，首先要计
算出矩阵指数函数 e－ At，而当 A的维数
较大时并非易事。根据格拉姆矩阵判据
可以求出一种将初始点转移到原点所需
的控制变量，且此种控制变量是耗能最
小的。利用格拉姆矩阵判据可以推出一
个较为实用的能控性判据，即秩判据。
2．秩判据
线性定常系统完全能控的充分必要条件是
称矩阵 为系统
的 能控性判别阵, 该结论完全是由线性定
常系统的格拉姆矩阵的非奇异性推导而来,
与格拉姆矩阵判据是完全等价的 。
? ? nBABAABBr a n k n ?? 12 ?
? ?BABAABBQ nc 12 ?? ?
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系统不完全能控〈
阵解：写出能控性判别矩
试判断能控性
，例
32
111111
442211
452312
001
11
11
12
310
020
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C
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3,PBH秩判据
线性定常系统完全能控的充分必要条件是对
矩阵 A的所有特征值, 均有
下式成立,
即 是左互质的 。
nii,.,,,2,1,??
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? ? 复数域或 CsnBAsIr a n k
ninBAIr a n k i
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,
,...,2,1,?
BAsI 和?
所以系统不完全能控
阵的特征值上例
2
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11010
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3
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4,PBH特征向量判据
线性定常系统完全能控的充分必要条件是 A
不能有与 B的所有列相正交的非零左特征向
量, 即对 A的任一特征值 使同时满足
的特征向量
i?
0,?? BA TTiT ????
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此判据与其他能控性判据是完全等价的
由 PBH判据可知, 如果系统是不完全能控
的,, 也就是说该矩阵的
行是线性相关的, 那么必定存在一个非零
的列向量, 使得
即,
这正是 PBH特征向量判据的结论 。
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PBH秩判据与 PBH特征向量判据的关系
5 频域判据
? 线性定常系统完全能控的充分必要条件是
? 的行是彼此独立的
? 或 的行是彼此独立的
? 此判据可以用来导出输入输出描述和状态空
间描述之间的关系。
BeAt
BAsI 1)( ??
6．约当规范型判据
线性定常系统完全能控的充分必要条件是
Case1:当 A矩阵的特征根两两相异时，在导出
的对角线规范型
中，矩阵 不包含元素全为零的行。
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Case2:A的特征值为
时，导出的约当规范型
那么由矩阵 中对应每个约当块的最后一行行
向量是线性无关的 。 换句话说, 矩阵中对应
每个约当块的最后一行行向量中无零行, 且
对应同一特征根的这些行分别是线性无关的 。
n
i
k
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2211 ),(,),(),( ??????? 且重重重 ?
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举例,给出了约当标准型
标准型中一共有三个约当块，系统是完全
能控的，必须保证 B矩阵中对应每个约当
块的最后一行非零，即是 b3,b5,b6是非零
的行向量，对应同一特征根 的这些行
b3,b5分别是线性无关的。
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b
b
b
b
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例 1,
? 若,则系统是能控的
? 若,则 x1,x2,x4不能控,x3能控
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例 2,给出线性定常系统
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秩判据,
因此系统是完全能控的。
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PBH判据,首先计算出特征
值,分别计算
是否都等于 n,
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10015
] [
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二 能观测性判定
1,格拉姆矩阵判据
线性定常系统完全能观测的充分必要条件
是存在这样一个时刻 t1>0,使得格拉姆矩
阵
是非奇异的 。
与能控性格拉姆矩阵判据一样, 此判据主
要用于理论分析, 并且可以用来估计初始
状态 。
dtCeCetW t AtTtAo T??? 101 ),0(
2．秩判据
线性定常系统完全能观测的充分必要条件是
称矩阵 Qo为系统的能观测性判别阵，这个结
论完全是由线性定常系统能观测性的格拉姆
矩阵的非奇异性推导而来，与格拉姆矩阵判
据是完全等价的。
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CA
CA
CA
C
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3,PBH秩判据
线性定常系统完全能观测的充分必要条件
是对矩阵 A的所有特征值,均有
下式成立,
即 sI-A和 C是右互质的。
nii,...,1,??
复数域或 Csn
AsI
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,...,2,1,
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4,PBH特征向量判据
线性定常系统完全能观测的充分必要条件
是 A不能有与 C的所有行相正交的非零右特
征向量, 即对 A的任一特征值 使同时满足
的特征向量 。
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5,频域判据
线性定常系统是完全能观测的
行线性无关
行线性无关
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Ce At
6．约当规范型判据
线性定常系统完全能观测的充分必要条件是
Case1 当 A矩阵的特征根两两相异时, 在导出
的对角线规范型
中, 矩阵 不包含元素全为零的列 。
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C
Case2:A的特征值为
时，导出的约当规范型
那么由矩阵 中对应每个约当块的第一列列向
量是线性无关的 。 换句话说, 矩阵中对应每
个约当块的第一列列向量中无零列, 且对应
同一特征根的这些列分别是线性无关的 。
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i
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举例：给出了约当标准型
标准型中共有三个约当块，要保证系统是完全
能观测的，则 C矩阵中对应每个约当块的第一
列非零，即 c1,c4,c6是非零的列向量，对应同
一特征根的这些列分别是线性无关的，即对应
特征根 的列 c1,c4是线性无关的。
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例：给出线性定常系统
试用上述判据来判定给定系统的状态能观测性。
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秩判据,
系统是完全能观测的。
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5,1 ???PBH判据,首先计算出特值,
分别计算 是否都等于 n,?
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一、能控性的判定
1．格拉姆矩阵判据
线性定常系统完全能控的充分必要条件是
存在这样一个时刻 t1>0，使得格拉姆矩阵
是非奇异的,或者在 [0,t]区间,的行
是彼此独立的
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注意,格拉姆矩阵判据主要应用于理论分
析，这是因为在实际应用中，首先要计
算出矩阵指数函数 e－ At，而当 A的维数
较大时并非易事。根据格拉姆矩阵判据
可以求出一种将初始点转移到原点所需
的控制变量，且此种控制变量是耗能最
小的。利用格拉姆矩阵判据可以推出一
个较为实用的能控性判据，即秩判据。
2．秩判据
线性定常系统完全能控的充分必要条件是
称矩阵 为系统
的 能控性判别阵, 该结论完全是由线性定
常系统的格拉姆矩阵的非奇异性推导而来,
与格拉姆矩阵判据是完全等价的 。
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线性定常系统完全能控的充分必要条件是对
矩阵 A的所有特征值, 均有
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即 是左互质的 。
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4,PBH特征向量判据
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不能有与 B的所有列相正交的非零左特征向
量, 即对 A的任一特征值 使同时满足
的特征向量
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此判据与其他能控性判据是完全等价的
由 PBH判据可知, 如果系统是不完全能控
的,, 也就是说该矩阵的
行是线性相关的, 那么必定存在一个非零
的列向量, 使得
即,
这正是 PBH特征向量判据的结论 。
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PBH秩判据与 PBH特征向量判据的关系
5 频域判据
? 线性定常系统完全能控的充分必要条件是
? 的行是彼此独立的
? 或 的行是彼此独立的
? 此判据可以用来导出输入输出描述和状态空
间描述之间的关系。
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6．约当规范型判据
线性定常系统完全能控的充分必要条件是
Case1:当 A矩阵的特征根两两相异时，在导出
的对角线规范型
中，矩阵 不包含元素全为零的行。
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Case2:A的特征值为
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那么由矩阵 中对应每个约当块的最后一行行
向量是线性无关的 。 换句话说, 矩阵中对应
每个约当块的最后一行行向量中无零行, 且
对应同一特征根的这些行分别是线性无关的 。
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举例,给出了约当标准型
标准型中一共有三个约当块，系统是完全
能控的，必须保证 B矩阵中对应每个约当
块的最后一行非零，即是 b3,b5,b6是非零
的行向量，对应同一特征根 的这些行
b3,b5分别是线性无关的。
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因此系统是完全能控的。
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PBH判据,首先计算出特征
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二 能观测性判定
1,格拉姆矩阵判据
线性定常系统完全能观测的充分必要条件
是存在这样一个时刻 t1>0,使得格拉姆矩
阵
是非奇异的 。
与能控性格拉姆矩阵判据一样, 此判据主
要用于理论分析, 并且可以用来估计初始
状态 。
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2．秩判据
线性定常系统完全能观测的充分必要条件是
称矩阵 Qo为系统的能观测性判别阵，这个结
论完全是由线性定常系统能观测性的格拉姆
矩阵的非奇异性推导而来，与格拉姆矩阵判
据是完全等价的。
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3,PBH秩判据
线性定常系统完全能观测的充分必要条件
是对矩阵 A的所有特征值,均有
下式成立,
即 sI-A和 C是右互质的。
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4,PBH特征向量判据
线性定常系统完全能观测的充分必要条件
是 A不能有与 C的所有行相正交的非零右特
征向量, 即对 A的任一特征值 使同时满足
的特征向量 。
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5,频域判据
线性定常系统是完全能观测的
行线性无关
行线性无关
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6．约当规范型判据
线性定常系统完全能观测的充分必要条件是
Case1 当 A矩阵的特征根两两相异时, 在导出
的对角线规范型
中, 矩阵 不包含元素全为零的列 。
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Case2:A的特征值为
时，导出的约当规范型
那么由矩阵 中对应每个约当块的第一列列向
量是线性无关的 。 换句话说, 矩阵中对应每
个约当块的第一列列向量中无零列, 且对应
同一特征根的这些列分别是线性无关的 。
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J
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1
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举例：给出了约当标准型
标准型中共有三个约当块，要保证系统是完全
能观测的，则 C矩阵中对应每个约当块的第一
列非零，即 c1,c4,c6是非零的列向量，对应同
一特征根的这些列分别是线性无关的，即对应
特征根 的列 c1,c4是线性无关的。
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xx
654321
2
1
1
1
1
1
0
1
1
01
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例：给出线性定常系统
试用上述判据来判定给定系统的状态能观测性。
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011
0
1
1
050
100
001
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秩判据,
系统是完全能观测的。
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051
101
011
2
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5,1 ???PBH判据,首先计算出特值,
分别计算 是否都等于 n,?
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150
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3
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3
150
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3
2
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