第五节 线性变换及规范型
一,线性变换（坐标变换）
目的：在状态空间分析过程中，为了使所研究
的系统在表达上更简洁，而不改变系统的任
何内在特性，以方便对系统的分析
代数等价,
给定一线性定常系统 ),,,( DCBA?
,Pxx ?
DuxCPuDxCy
PB uxPAPuBxAx
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1
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如果可以引入一非奇异变换
其中 P是非奇异矩阵, 经变换后系统写为,
那么就称这两个状态空间描述是 代数等价 的 。
? 代数等价系统能控性与能观测性保持不变,也
就是说经过非奇异变换之后，两个性质不变，
完全能控（观测）仍对应完全能控（观测），
不完全能控（观测）仍对应不完全能控（观
测），且不完全能控（观测）的程度不变。
? 代数等价系统的输入输出传递函数不变，特征
方程不变
? 对于完全能控或是完全能观测的线性定常系
统，如果单从能控性或是能观测性这两个基
本特性出发构造出一个非奇异变换，那么就
可以把系统的状态空间描述在这一线性变换
下，转化成只有能控系统或能观测系统才具
有的标准形式。通常把这种标准形式的状态
空间描述称为能控规范型，能观测规范型。
二 能控性规范型
给定系统,且系
统是完全能控的，有
特征多项式为
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1
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n
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定义常数及构造变换矩阵
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在变换 下，可以导出系统的
能控标准型
其中
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举例,给定系统
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非奇异变换矩阵,
以及构造常数
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因此可以得到系统的能控性标准型,
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三．能观测规范型
对上述给定系统, 矩阵 A的特征多项式及
常数定义不变, 利用能观测性与能控性
的对偶关系, 可以定义非奇异变换矩阵
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则利用变换关系,可以导出系
统的能观测规范型,
其中
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讨论,
能控性规范型和能观测规范型是通过一种简
单的, 明显的方式把系统的状态空间描述与
反应系统结构特性的特征多项式联系起来,
这对于讨论系统的综合控制及观测器设计问
题给予了很大的方便, 如讨论极点配置问题
上, 利用规范型中系统矩阵与特征多项式之
间的关系可以轻易的写出经过配置后的能控
规范型, 与原始系统加以比较就可以很容易
的找到相应的控制输入 u,其他一些控制问题,
如镇定, 跟踪等都可以转化为适当的极点配
置问题, 另外观测器的设计也是基于能观规
范型提出的 。
四 结构分解
本小节从系统动态方程角度来讨论不完全
能控或不完全能观测系统的结构特性，即
把状态方程按照能控性或能观测性或同时
按照二者进行结构分解。把系统的结构以
明显的方式区分成能控的，不能控的，或
是能观测，不能观测，或者分解成能控且
能观测部分，能控但不能观测部分，不能
控但能观测部分以及不能控又不能观测四
部分。研究系统的结构分解，一方面是为
了了解系统的结构特性，另一方面可以看
出状态空间描述与输入输出描述之间的本
质差别。
对线性系统加以结构分解是基于结论,两
个代数等价系统或是说对系统进行线性
非奇异变换，并不会改变系统的能控性
与能观测性，也不改变系统的不完全能
控及不完全能观测程度。
1 按能控性分解
不完全能控系统,
在 n个状态中只有 k个是能控的，其余 n-
k个状态是不能控的，按能控性进行结
构分解就是找到这 k个能控的状态，并
写出能控子系统与不能控子系统分别对
应的状态方程，采用的方法就是 线性非
奇异变换 。
),,( CBA? nkra n k Q c ??
非奇异变换矩阵的构造
? 从 中任意选取 k个线性无
关列，记作, 此外在从 n维实数空
间中任意选取 n-k个线性无关列向量
并保证这 n-k个列向量与原来的 k个列向量都
是线性无关的，这样就组成了非奇异变换矩
阵,
? ?BAABBQ nc 1?? ?
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通过这样的非奇异变换,就可以
把原系统按能控性进行结构分解,xPx
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注意,非奇异变换矩阵 P任意的，所以结构分
解后得到的系统总体形式上虽然都一样，但
矩阵中具体的元素值是不同的，唯一确定不
变的是 (能控部分系统矩阵 )是 k维的，
（不能控部分系统矩阵）是 n-k维的。
cA cA
在这样的分解规范表达式中, 系统被明显
的分解成能控部分和不能控部分, 其中
能控部分的 k维方程为,
ccc
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不能控部分的 n-k维子系统如下,
ccc
ccc
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举例,
重新排序,
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x
x
x
x
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x
x
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方块图,
讨论,
? 不能控部分是系统黑箱内部完全不受外
加作用控制的部分。
? 经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即
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c
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系统特征值被分成两部分，能控振型，不
能控振型。
? 经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变，
即,
可见系统的传递函数只能反应出系统能控部分
的特征值，而不会出现不能控部分模态，再
一次证明了输入输出描述是一种不完全的描
述，它只能体现系统能控部分的特性。
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2 按能观测性分解
),,( CBA? nkra n k Q o ?? 不完全能观测系统,
在 n个状态中只有 k个是能观测的，其余 n-k
个状态是不能观测的，按能观测性进行结
构分解就是找到这 k个能观测的状态，并写
出能观测子系统与不能观测子系统分别对
应的状态方程，采用的方法就是 线性非奇
异变换 。
非奇异变换矩阵的构造
从 中任意选取 k个线性无关行，记作
, 此外再从 n维实数空间中任意选
取 n-k个线性无关行向量,并保证这
n-k个行向量与原来的 k个行向量都是线性无关
的，这样就组成了非奇异变换矩阵,
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通过非奇异变换,就可以把原系统
按能观测性进行结构分解,
Qxx ?
注意,非奇异变换矩阵 Q是任意的，所以结构
分解后得到的系统总体形式上虽然都一样，
但矩阵中具体的元素值是不同的，唯一确定
不变的是 (能观测子系统矩阵 )是 k维的,
（不能观测子系统矩阵）是 n-k维的。
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在这样的分解规范表达式中, 系统被明显
的分解成能观测部分和不能观测部分,
其中能观测部分的 k维方程为,
不能控部分的 n-k维子系统如下,
ooo
oooo
xCy
uBxAx
?
???
uBxAxAx ooooo ??? 21?
方块图,
讨论,
? 系统的输出完全体现了可测状态，而不
能观测部分没有输出与之对应。
? 经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即
系统特征值被分成两部分，能观测振型，不
能观测振型。
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0
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21
oo
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? 经非奇异变换后，系统的传递函数保持不
变，即,
? 可见系统的传递函数只能反应出系统能观
测部分的特征值，而不会出现不能观测部
分模态，再一次证明了输入输出描述是一
种不完全的描述。
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3 规范分解
如果系统是不完全能控且不完全能观测的，
那么单纯对系统进行一次分解（按能控性或
是能观测性）并不可能对整个系统的结构有
完全的了解，这时必须进行二次分解，在能
控性分解的基础上再进行能观测性分解，或
是再能观测性分解的基础上进行能控性分解，
这样才可能对系统的结构有更好的了解。
我们把同时按照能控性和能观测性进行结构
分解称为规范分解。
首先进行能控性分解得,
能控部分状态中又包括能观测的和不能观
测的, 且不能控状态部分也同时包括了能
观测和不能观测两部分, 为此要对能控子
系统和不能控子系统再按照能观测性进行
分解,
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系统传递函数为
只反应出能控且能观测那部分的特征值, 而不
能控或是不能观测那部分的特征值模态再传
递函数中并没有体现 。 这些不能控或是不能
观测的模态代表了系统的内部特征, 在有关
文献中被称为隐藏模态 。 所以说状态空间描
述要比输入输出描述全面, 它不光能够反应
出系统的外部特征, 同时也可以体现系统的
内部特征 。
cococo BAsICBAsICsG 11 )()()( ?? ????
信息传递,
不可控, 不可观, 进：由不可控 来,
出：去不可观 。
可控, 不可观, 只进不出, 有从 u及
可控 来的 。
不可控, 可观, 只出不进, 有去 y及
可观 的 。
可控，可观，进：,
出,
oc? oc?
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不可观
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co?
oc?
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卡尔曼 —— 吉伯特定理,
传递函数矩阵只反映系统即可控又可观部分。
一,线性变换（坐标变换）
目的：在状态空间分析过程中，为了使所研究
的系统在表达上更简洁，而不改变系统的任
何内在特性，以方便对系统的分析
代数等价,
给定一线性定常系统 ),,,( DCBA?
,Pxx ?
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PB uxPAPuBxAx
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1
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如果可以引入一非奇异变换
其中 P是非奇异矩阵, 经变换后系统写为,
那么就称这两个状态空间描述是 代数等价 的 。
? 代数等价系统能控性与能观测性保持不变,也
就是说经过非奇异变换之后，两个性质不变，
完全能控（观测）仍对应完全能控（观测），
不完全能控（观测）仍对应不完全能控（观
测），且不完全能控（观测）的程度不变。
? 代数等价系统的输入输出传递函数不变，特征
方程不变
? 对于完全能控或是完全能观测的线性定常系
统，如果单从能控性或是能观测性这两个基
本特性出发构造出一个非奇异变换，那么就
可以把系统的状态空间描述在这一线性变换
下，转化成只有能控系统或能观测系统才具
有的标准形式。通常把这种标准形式的状态
空间描述称为能控规范型，能观测规范型。
二 能控性规范型
给定系统,且系
统是完全能控的，有
特征多项式为
cxybuAxx ????,,?
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定义常数及构造变换矩阵
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特征多项式为,
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因此可以得到系统的能控性标准型,
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三．能观测规范型
对上述给定系统, 矩阵 A的特征多项式及
常数定义不变, 利用能观测性与能控性
的对偶关系, 可以定义非奇异变换矩阵
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则利用变换关系,可以导出系
统的能观测规范型,
其中
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讨论,
能控性规范型和能观测规范型是通过一种简
单的, 明显的方式把系统的状态空间描述与
反应系统结构特性的特征多项式联系起来,
这对于讨论系统的综合控制及观测器设计问
题给予了很大的方便, 如讨论极点配置问题
上, 利用规范型中系统矩阵与特征多项式之
间的关系可以轻易的写出经过配置后的能控
规范型, 与原始系统加以比较就可以很容易
的找到相应的控制输入 u,其他一些控制问题,
如镇定, 跟踪等都可以转化为适当的极点配
置问题, 另外观测器的设计也是基于能观规
范型提出的 。
四 结构分解
本小节从系统动态方程角度来讨论不完全
能控或不完全能观测系统的结构特性，即
把状态方程按照能控性或能观测性或同时
按照二者进行结构分解。把系统的结构以
明显的方式区分成能控的，不能控的，或
是能观测，不能观测，或者分解成能控且
能观测部分，能控但不能观测部分，不能
控但能观测部分以及不能控又不能观测四
部分。研究系统的结构分解，一方面是为
了了解系统的结构特性，另一方面可以看
出状态空间描述与输入输出描述之间的本
质差别。
对线性系统加以结构分解是基于结论,两
个代数等价系统或是说对系统进行线性
非奇异变换，并不会改变系统的能控性
与能观测性，也不改变系统的不完全能
控及不完全能观测程度。
1 按能控性分解
不完全能控系统,
在 n个状态中只有 k个是能控的，其余 n-
k个状态是不能控的，按能控性进行结
构分解就是找到这 k个能控的状态，并
写出能控子系统与不能控子系统分别对
应的状态方程，采用的方法就是 线性非
奇异变换 。
),,( CBA? nkra n k Q c ??
非奇异变换矩阵的构造
? 从 中任意选取 k个线性无
关列，记作, 此外在从 n维实数空
间中任意选取 n-k个线性无关列向量
并保证这 n-k个列向量与原来的 k个列向量都
是线性无关的，这样就组成了非奇异变换矩
阵,
? ?BAABBQ nc 1?? ?
? ?kpp ?1
? ?nk pp ?1?
? ?nkk ppppP ?? 11 ??
通过这样的非奇异变换,就可以
把原系统按能控性进行结构分解,xPx
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注意,非奇异变换矩阵 P任意的，所以结构分
解后得到的系统总体形式上虽然都一样，但
矩阵中具体的元素值是不同的，唯一确定不
变的是 (能控部分系统矩阵 )是 k维的，
（不能控部分系统矩阵）是 n-k维的。
cA cA
在这样的分解规范表达式中, 系统被明显
的分解成能控部分和不能控部分, 其中
能控部分的 k维方程为,
ccc
ccccc
xCy
uBxAxAx
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不能控部分的 n-k维子系统如下,
ccc
ccc
xCy
xAx
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举例,
重新排序,
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x
x
x
x
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x
x
x
x
x
x
x
x
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方块图,
讨论,
? 不能控部分是系统黑箱内部完全不受外
加作用控制的部分。
? 经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即
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d e t)d e t ()d e t ( 12
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c
c
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AsI
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AsIAsI
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系统特征值被分成两部分，能控振型，不
能控振型。
? 经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变，
即,
可见系统的传递函数只能反应出系统能控部分
的特征值，而不会出现不能控部分模态，再
一次证明了输入输出描述是一种不完全的描
述，它只能体现系统能控部分的特性。
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ccc
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c
c
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c
c
c
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AsI
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2 按能观测性分解
),,( CBA? nkra n k Q o ?? 不完全能观测系统,
在 n个状态中只有 k个是能观测的，其余 n-k
个状态是不能观测的，按能观测性进行结
构分解就是找到这 k个能观测的状态，并写
出能观测子系统与不能观测子系统分别对
应的状态方程，采用的方法就是 线性非奇
异变换 。
非奇异变换矩阵的构造
从 中任意选取 k个线性无关行，记作
, 此外再从 n维实数空间中任意选
取 n-k个线性无关行向量,并保证这
n-k个行向量与原来的 k个行向量都是线性无关
的，这样就组成了非奇异变换矩阵,
nk qq,,1 ??
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CA
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? ?TTnTkTkT qqqqQ ?? 11 ??
通过非奇异变换,就可以把原系统
按能观测性进行结构分解,
Qxx ?
注意,非奇异变换矩阵 Q是任意的，所以结构
分解后得到的系统总体形式上虽然都一样，
但矩阵中具体的元素值是不同的，唯一确定
不变的是 (能观测子系统矩阵 )是 k维的,
（不能观测子系统矩阵）是 n-k维的。
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oA oA
在这样的分解规范表达式中, 系统被明显
的分解成能观测部分和不能观测部分,
其中能观测部分的 k维方程为,
不能控部分的 n-k维子系统如下,
ooo
oooo
xCy
uBxAx
?
???
uBxAxAx ooooo ??? 21?
方块图,
讨论,
? 系统的输出完全体现了可测状态，而不
能观测部分没有输出与之对应。
? 经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即
系统特征值被分成两部分，能观测振型，不
能观测振型。
)d e t (*)d e t (
0
d e t)d e t ()d e t (
21
oo
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AsI
AsIAsI
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? 经非奇异变换后，系统的传递函数保持不
变，即,
? 可见系统的传递函数只能反应出系统能观
测部分的特征值，而不会出现不能观测部
分模态，再一次证明了输入输出描述是一
种不完全的描述。
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B
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3 规范分解
如果系统是不完全能控且不完全能观测的，
那么单纯对系统进行一次分解（按能控性或
是能观测性）并不可能对整个系统的结构有
完全的了解，这时必须进行二次分解，在能
控性分解的基础上再进行能观测性分解，或
是再能观测性分解的基础上进行能控性分解，
这样才可能对系统的结构有更好的了解。
我们把同时按照能控性和能观测性进行结构
分解称为规范分解。
首先进行能控性分解得,
能控部分状态中又包括能观测的和不能观
测的, 且不能控状态部分也同时包括了能
观测和不能观测两部分, 为此要对能控子
系统和不能控子系统再按照能观测性进行
分解,
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13
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系统传递函数为
只反应出能控且能观测那部分的特征值, 而不
能控或是不能观测那部分的特征值模态再传
递函数中并没有体现 。 这些不能控或是不能
观测的模态代表了系统的内部特征, 在有关
文献中被称为隐藏模态 。 所以说状态空间描
述要比输入输出描述全面, 它不光能够反应
出系统的外部特征, 同时也可以体现系统的
内部特征 。
cococo BAsICBAsICsG 11 )()()( ?? ????
信息传递,
不可控, 不可观, 进：由不可控 来,
出：去不可观 。
可控, 不可观, 只进不出, 有从 u及
可控 来的 。
不可控, 可观, 只出不进, 有去 y及
可观 的 。
可控，可观，进：,
出,
oc? oc?
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不可控
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不可观
oc?
co?
oc?
co?
卡尔曼 —— 吉伯特定理,
传递函数矩阵只反映系统即可控又可观部分。
