? 控制系统的设计
? 给定控制任务
? 设计控制器（控制规律）
? 选择执行器、传感器（测量仪表）
? 控制系统的分析
? 设计控制系统
? 首先了解被控对象特性
? 建立被控对象的数学模型
设定值
r
﹣
控制器 执行器 被控对象
测量、变送
扰动 f 被控变量
y
反馈量 z
偏差
e
控制变量
u
第二章 控制系统的数学模型
主要内容,
1、建立被控对象的数学模型
2、控制系统的数学描述方法
l 微分方程
l 状态空间方程
l 传递函数
l 方块图
l 信号流图
定义,
控制系统的数学模型,控制系统各变量间关系的数
学表达式称之为控制系统的数学模型。
建立系统的数学模型的两种方法,
? 机理分析法
通过对系统各部分运动机理进行分析，根据它们所
依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。
? 实验辨识法
人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响
应，并用适当的数学模型去逼近，得到的数学模型
称为辨识模型。此方法称为系统辨识 —— 是控制理
论的一个重要分支。
§ 1 控制系统的微分方程模型
用微分方程描述系统输入输出变
量的动态特性是建立数学模型的一种
基本方法。
1.1 数学模型方程的建立
例 2-1-1
+
-
U i
R
C Uc
RC电路网络
(1)确定输入 (自变量 )和输出变量 (因变量 )。
电阻和电容的串联网络，其中 U为输入电压，
Uc为输出，建立两者关系的微分方程。
输入,U; 输出,Uc
uuRi c ??
(3) 消去中间变量 i，得到最终的方程。
对第 2式两边求导：,i
dt
duC c ?
若设 T=RC,
T:时间常数
上式为一阶线性微分方程，因此这个 RC电路是
一阶线性 (定常 )系统。
代入第 1式,
(2) 根据基本定律，列写原始方程（欧姆定律、基尔
霍夫定律）。
uuRiu c ??? ?? i d tCu c
1
R
dt
duC c
uudtduRC cc ??T uu
dt
duT
c
c ??
+
-
U i
R
C Uc ?? id tCu c
（ 2-1-1）
（ 2-1-2）
例 2-1-2 下图是一个液体贮槽的示意图。
要求列出液位 h对流入量 Qin之间的关系式。
Qin
h
A
Qout
图 2-2 液体贮槽
（ 1）确定输入输出变量,
入（自变量）,Qin,出（因变量）,h
（ 2）利用物料（能量）平衡式,
物料 ( 能量 ) 蓄存量的变化率 = 单位时
间进入的物料 ( 能量 ) － 单位时间流出
的物料 ( 能量 )
dt
dVQQ
o u tin ??
（ 2-1-3）
（ 3）消去中间变量 Qout,
Qout是中间变量。根据流体力学有
hfQ o u t ?? （ 2-1-4）
其中,：阀的流通面积,：阀的节流系数，设两者均为常
数（ β为常数）。
f ?
dt
dhA?
h??
Qin
h
A
Qout
（除常数外，只含输入输出变量）
把（ 2-1-4）代入（ 2-1-3）可得,
inQhdt
dhA ??? （ 2-1-5）
dt
dhAQQ
o u tin ??
（ 2-1-3）
hQ o u t ?? （ 2-1-4）
dt
dhAQQ
o u tin ??h? h??
Qin
h
A
Qout
（ 4） 增量化
0hhh ???
? 原因,
① 便于方程简化和求解，相当于设初始条
件（稳态条件）为零。
主要关心被调参数在 平衡点 （设定
值）附近的变化情况，即 参数偏离平衡
点的变化量 。因此，把变量转换为增量
形式，构成增量方程。
? 益处,
② 便于线性化。
Qin
h
A
Qout
如,
inQhdt
dhA ???
? 步骤,
1、把方程写成稳态方程（稳态的物料平衡式）,
00 o u tin QQ ?
2、将原方程中的变量写成稳态值和增量值之和,
(1)
,0 ininin QQQ ???
(2)
000 ino u t QhQ ???
?,0 hhh ???
代入原方程,
hhdt hhdA ?????? 00 )(,0 inin QQ ???
dt
dhAQQ
o u tin ??
3,改变后的动态方程式减去稳态方程 (2)-(1)，得到
增量方程式。
（ 2-1-6）
注意：在不引起混淆的场合,Δ号常常省略。
(2)
inin QQhhdt
hhdA ?????????
00
)(
(1)
000 ino u t QhQ ???
(2)-(1),
hhdt hhdA ?????? 0)( 0h??
整理
－ －
inQhhhdt
hdA ?????????
00
)(
0QoutQout
(5) 线性化
? 原因,
工程中大多数系统都是非线性的
非线性微分方程式求解复杂
线性系统理论和方法比较成熟
? 条件,
变量间关系在 平衡点附近的小范围 内是线性的,
把非线性方程 局部线性化 （增量化的理由）
? 方法,将非线性函数 y＝ f(x)在平衡点 ( )
附近展开成泰勒级数，即 00,yx
??????? 200000 )(!2 )(''))((')( xxxfxxxfxfy
y
x
图 2-3 非线性特性的线性化
由于增量 Δx = 很小，展开
式中增量的高次项可以忽略，则上
式可近似写成线性化方程,
)( 0xx ?
))((')( 000 xxxfxfy ???
非线性特性的线性化,实质是以过
平衡点的切线代替平衡点附近的曲
线。
xxfy ??? )(' 0和
y0
x0
△ x
△ y
△ y
△ x
根据公式,对（ 2-1-6）式中的非线性项（ 2-1-4）线
性化。
（ 2-1-7）
将（ 2-1-7）式代入（ 2-1-6）式,
hQ o u t ?? )( 00
0
hhhQQ hho u to u t ????? ?
0
0 2 h
hh ?????
inQhhdt
hdA ??????
02
)(
)612()(
0
00 ??????????
?
in
Q o u tQ o u t
Qhhhdt hdA ???? ?? ??
则非线性的函数即近似为,
将此式在平衡工作点 (h0)处展开成泰勒级数，
并忽略增量 Δh的高次项,
)412( ???? hQ o u t
)612()(
0
00 ??????????
?
in
Q o u tQ o u t
Qhhh
dt
hdA
???? ?? ??
0
0 2 h
hh ????
?????
Q o u t
hh ??? 0
设,1
2 0 Rh ?
? 去掉 Δ号,
inRQhdt
dhAR ??
写成标准形式,
inKQhdt
dhT ?? （ 2-1-8）
K：放大倍数,T：时间常数，具有物理意义。
,,RKART ??
inQhhdt
hdA ??????
02
)(
设
R
1 h inQh
例 2-1-3
当输出流量是两个变量的函数时，使用 2元泰勒
级数展开,
贮槽系统，控制流出量以保证液位稳定。
其流出量的方程为,hfQ
o u t ??
（ 2-1-4）
Qin
h
A
Qout
其中,：阀的节流系数，常数。,调节阀的
流通面积，受调节器的控制，一个输入变量。
? f
把（ 2-1-4）式线性化
hfQ o u t ??
fhhhfQ o u t ??????? 0
0
00
1
2
1 （ 2-1-9）
R
1令 （ R称为阻力系数）,k
把 (2-1-9)式代入
inQhfdt
dhA ??? (2-1-5)式,
得到：（ 各变量分别用稳态值 +增量值表示 ）,
inino u t QQhRfkQdt
hhdA ??????????
00
0 1)(
fkhRQ o u t ????? 10
)()( 000
0
0
0
0
ff
f
Qhh
h
QQ
ff
hh
o u t
ff
hh
o u t
o u t ??
???
?
???
?
?
?
?（ 2-1-4）
(二元的泰勒级数展开式 ),
考虑到平衡关系式,00 ino u t QQ ?
上式可整理为增量化方程,
inino u t QQhRfkQdt
hhdA ??????????
00
0 1)(
fkQhRdt hdA in ??????? 1)( （ 2- -10）
上述方程表示的是在流入量和调节阀开度（调节器
作用）共同作用下，液位的变化关系。已转化为线
性系统。
,0?dtdh此时，
(6) 无因次化
比较 RC电路模型 (2-1-2)
uudtduTRCT cc ???,(2-1-2)
inKQhdt
dhTRKART ????,,(2-1-8)
使用相同的微分方程（两个特征参数 T和 K）描述
不同的物理对象和参数（电压 V，液位 h）。
去除量纲，抽象成统一的一阶线性方程。
抽出不同的物理背景，便于分析、研究共性
的规律
? 目的,
? 方法,
和一阶贮槽模型 (2-1-8)式,
? 步骤,以一阶贮槽模型（ 2-1-8）式为例,
① 两边均被各自的稳态值去除
根据（ 2-1-8）式,00 inKQh ?0?
dtdh
当 时,
② 定义新变量
,,
00 in
in
Q
Qx
h
hy ??
xydtdyT ??
代入,
还可设,
T
t??
各变量均为无因次的相对值。
代入,
inKQhdt
dhT ??
（ 2-1-8）
inKQhdt
dhT ?? （ 2-1-8）
0h
0h
hd
0h
h
0in
in
Q
Q
0inQK
Q
Q
in
in
0
0h0h
00
0
in
in
Q
Q
h
h
dt
h
h
d
T ??
00
0
in
in
Q
Q
h
h
dt
h
h
d
T ??
y
y x
,?? Tddt即
?Td xyd
dy ??
?
总结,
建立系统数学模型的一般步骤,
▲ 消去中间变量，列出描述系统输入与输出关
系的微分方程。
▲ 根据物理或化学规律列出描述系统运动规律
的一组微分方程。
▲ 首先要确定系统的输入量和输出量。
▲ 方程处理,
● 列写静态方程
● 将原始方程中的变量用稳态值与增量之和表示
● 将上式方程与静态方程相减
? 线性化
? 增量化,
● 每个变量除以稳态值
● 定义无因次的新变量
? 无因次化
总结,
建立系统数学模型的一般步骤,
（对非线性方程，在平衡点附近做泰
勒级数展开，取一阶近似）
作业,A－ 2－ 15
只求微分方程式
1.2 线性系统的特性和分析
两个重要性质：可叠加性和均匀性（齐次性）。
线性系统 )()()()(2 tfty
dt
tdy
dt
tyd ???
可叠加性,当 f(t)=f
1(t)时，方程有解 y1(t),
当 f(t)=f2(t)时，方程有解 y2(t),
当 f(t)=f1(t)+f2(t)时，方程解为 y1(t)+y2(t)
表明，两个外力同时作用于
系统所产生的总输出，等于
各个外力单独作用时分别产
生的输出之和。
被控对象
被控对象
f 1
f 1
f 2
f 2
y
+
+
y 1
y 2
y
被控对象
均匀性,
当 f(t)=Af1(t)时,A为常数,y(t)=Ay1(t),
当外作用比例增加时，输出也增加同样的倍数。
线性系统分析要充分利用以上两个性质。
即输出随输入同比例缩放。
)()()()(
2
tftydt tdydt tyd ???
例 2-1-3中,
fkQhRdt hdA in ??????? 1)( （ 2-1-10）
液位受到两个变量的共同作用，根据叠加原理，可
分别研究在各个变量单独作用下，液位的过渡过程，
然后相加，可以得到整个液位控制系统的全部特性。
Qin
h
A
Qout
hfQ o u t ??
1.3 纯滞后特性
某些对象的输出信号响应比输入信号延迟一定的时间。
溶解槽中的浓度控制系统
x
t
y
t
图 2-4 溶解槽及滞后特性
)()()( tKxtydt tdyT ?? 一阶无纯滞后对象特性
)()()( tKxtydttdyT ?????? ?? 一阶纯滞后对象特性
?
? 给定控制任务
? 设计控制器（控制规律）
? 选择执行器、传感器（测量仪表）
? 控制系统的分析
? 设计控制系统
? 首先了解被控对象特性
? 建立被控对象的数学模型
设定值
r
﹣
控制器 执行器 被控对象
测量、变送
扰动 f 被控变量
y
反馈量 z
偏差
e
控制变量
u
第二章 控制系统的数学模型
主要内容,
1、建立被控对象的数学模型
2、控制系统的数学描述方法
l 微分方程
l 状态空间方程
l 传递函数
l 方块图
l 信号流图
定义,
控制系统的数学模型,控制系统各变量间关系的数
学表达式称之为控制系统的数学模型。
建立系统的数学模型的两种方法,
? 机理分析法
通过对系统各部分运动机理进行分析，根据它们所
依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。
? 实验辨识法
人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响
应，并用适当的数学模型去逼近，得到的数学模型
称为辨识模型。此方法称为系统辨识 —— 是控制理
论的一个重要分支。
§ 1 控制系统的微分方程模型
用微分方程描述系统输入输出变
量的动态特性是建立数学模型的一种
基本方法。
1.1 数学模型方程的建立
例 2-1-1
+
-
U i
R
C Uc
RC电路网络
(1)确定输入 (自变量 )和输出变量 (因变量 )。
电阻和电容的串联网络，其中 U为输入电压，
Uc为输出，建立两者关系的微分方程。
输入,U; 输出,Uc
uuRi c ??
(3) 消去中间变量 i，得到最终的方程。
对第 2式两边求导：,i
dt
duC c ?
若设 T=RC,
T:时间常数
上式为一阶线性微分方程，因此这个 RC电路是
一阶线性 (定常 )系统。
代入第 1式,
(2) 根据基本定律，列写原始方程（欧姆定律、基尔
霍夫定律）。
uuRiu c ??? ?? i d tCu c
1
R
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+
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（ 2-1-1）
（ 2-1-2）
例 2-1-2 下图是一个液体贮槽的示意图。
要求列出液位 h对流入量 Qin之间的关系式。
Qin
h
A
Qout
图 2-2 液体贮槽
（ 1）确定输入输出变量,
入（自变量）,Qin,出（因变量）,h
（ 2）利用物料（能量）平衡式,
物料 ( 能量 ) 蓄存量的变化率 = 单位时
间进入的物料 ( 能量 ) － 单位时间流出
的物料 ( 能量 )
dt
dVQQ
o u tin ??
（ 2-1-3）
（ 3）消去中间变量 Qout,
Qout是中间变量。根据流体力学有
hfQ o u t ?? （ 2-1-4）
其中,：阀的流通面积,：阀的节流系数，设两者均为常
数（ β为常数）。
f ?
dt
dhA?
h??
Qin
h
A
Qout
（除常数外，只含输入输出变量）
把（ 2-1-4）代入（ 2-1-3）可得,
inQhdt
dhA ??? （ 2-1-5）
dt
dhAQQ
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（ 2-1-3）
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dt
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Qin
h
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Qout
（ 4） 增量化
0hhh ???
? 原因,
① 便于方程简化和求解，相当于设初始条
件（稳态条件）为零。
主要关心被调参数在 平衡点 （设定
值）附近的变化情况，即 参数偏离平衡
点的变化量 。因此，把变量转换为增量
形式，构成增量方程。
? 益处,
② 便于线性化。
Qin
h
A
Qout
如,
inQhdt
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? 步骤,
1、把方程写成稳态方程（稳态的物料平衡式）,
00 o u tin QQ ?
2、将原方程中的变量写成稳态值和增量值之和,
(1)
,0 ininin QQQ ???
(2)
000 ino u t QhQ ???
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代入原方程,
hhdt hhdA ?????? 00 )(,0 inin QQ ???
dt
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o u tin ??
3,改变后的动态方程式减去稳态方程 (2)-(1)，得到
增量方程式。
（ 2-1-6）
注意：在不引起混淆的场合,Δ号常常省略。
(2)
inin QQhhdt
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00
)(
(1)
000 ino u t QhQ ???
(2)-(1),
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整理
－ －
inQhhhdt
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00
)(
0QoutQout
(5) 线性化
? 原因,
工程中大多数系统都是非线性的
非线性微分方程式求解复杂
线性系统理论和方法比较成熟
? 条件,
变量间关系在 平衡点附近的小范围 内是线性的,
把非线性方程 局部线性化 （增量化的理由）
? 方法,将非线性函数 y＝ f(x)在平衡点 ( )
附近展开成泰勒级数，即 00,yx
??????? 200000 )(!2 )(''))((')( xxxfxxxfxfy
y
x
图 2-3 非线性特性的线性化
由于增量 Δx = 很小，展开
式中增量的高次项可以忽略，则上
式可近似写成线性化方程,
)( 0xx ?
))((')( 000 xxxfxfy ???
非线性特性的线性化,实质是以过
平衡点的切线代替平衡点附近的曲
线。
xxfy ??? )(' 0和
y0
x0
△ x
△ y
△ y
△ x
根据公式,对（ 2-1-6）式中的非线性项（ 2-1-4）线
性化。
（ 2-1-7）
将（ 2-1-7）式代入（ 2-1-6）式,
hQ o u t ?? )( 00
0
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02
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则非线性的函数即近似为,
将此式在平衡工作点 (h0)处展开成泰勒级数，
并忽略增量 Δh的高次项,
)412( ???? hQ o u t
)612()(
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in
Q o u tQ o u t
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设,1
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? 去掉 Δ号,
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写成标准形式,
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K：放大倍数,T：时间常数，具有物理意义。
,,RKART ??
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R
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例 2-1-3
当输出流量是两个变量的函数时，使用 2元泰勒
级数展开,
贮槽系统，控制流出量以保证液位稳定。
其流出量的方程为,hfQ
o u t ??
（ 2-1-4）
Qin
h
A
Qout
其中,：阀的节流系数，常数。,调节阀的
流通面积，受调节器的控制，一个输入变量。
? f
把（ 2-1-4）式线性化
hfQ o u t ??
fhhhfQ o u t ??????? 0
0
00
1
2
1 （ 2-1-9）
R
1令 （ R称为阻力系数）,k
把 (2-1-9)式代入
inQhfdt
dhA ??? (2-1-5)式,
得到：（ 各变量分别用稳态值 +增量值表示 ）,
inino u t QQhRfkQdt
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00
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)()( 000
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?
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?（ 2-1-4）
(二元的泰勒级数展开式 ),
考虑到平衡关系式,00 ino u t QQ ?
上式可整理为增量化方程,
inino u t QQhRfkQdt
hhdA ??????????
00
0 1)(
fkQhRdt hdA in ??????? 1)( （ 2- -10）
上述方程表示的是在流入量和调节阀开度（调节器
作用）共同作用下，液位的变化关系。已转化为线
性系统。
,0?dtdh此时，
(6) 无因次化
比较 RC电路模型 (2-1-2)
uudtduTRCT cc ???,(2-1-2)
inKQhdt
dhTRKART ????,,(2-1-8)
使用相同的微分方程（两个特征参数 T和 K）描述
不同的物理对象和参数（电压 V，液位 h）。
去除量纲，抽象成统一的一阶线性方程。
抽出不同的物理背景，便于分析、研究共性
的规律
? 目的,
? 方法,
和一阶贮槽模型 (2-1-8)式,
? 步骤,以一阶贮槽模型（ 2-1-8）式为例,
① 两边均被各自的稳态值去除
根据（ 2-1-8）式,00 inKQh ?0?
dtdh
当 时,
② 定义新变量
,,
00 in
in
Q
Qx
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hy ??
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代入,
还可设,
T
t??
各变量均为无因次的相对值。
代入,
inKQhdt
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（ 2-1-8）
inKQhdt
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0h
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Q
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Q
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y
y x
,?? Tddt即
?Td xyd
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?
总结,
建立系统数学模型的一般步骤,
▲ 消去中间变量，列出描述系统输入与输出关
系的微分方程。
▲ 根据物理或化学规律列出描述系统运动规律
的一组微分方程。
▲ 首先要确定系统的输入量和输出量。
▲ 方程处理,
● 列写静态方程
● 将原始方程中的变量用稳态值与增量之和表示
● 将上式方程与静态方程相减
? 线性化
? 增量化,
● 每个变量除以稳态值
● 定义无因次的新变量
? 无因次化
总结,
建立系统数学模型的一般步骤,
（对非线性方程，在平衡点附近做泰
勒级数展开，取一阶近似）
作业,A－ 2－ 15
只求微分方程式
1.2 线性系统的特性和分析
两个重要性质：可叠加性和均匀性（齐次性）。
线性系统 )()()()(2 tfty
dt
tdy
dt
tyd ???
可叠加性,当 f(t)=f
1(t)时，方程有解 y1(t),
当 f(t)=f2(t)时，方程有解 y2(t),
当 f(t)=f1(t)+f2(t)时，方程解为 y1(t)+y2(t)
表明，两个外力同时作用于
系统所产生的总输出，等于
各个外力单独作用时分别产
生的输出之和。
被控对象
被控对象
f 1
f 1
f 2
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+
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y 2
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被控对象
均匀性,
当 f(t)=Af1(t)时,A为常数,y(t)=Ay1(t),
当外作用比例增加时，输出也增加同样的倍数。
线性系统分析要充分利用以上两个性质。
即输出随输入同比例缩放。
)()()()(
2
tftydt tdydt tyd ???
例 2-1-3中,
fkQhRdt hdA in ??????? 1)( （ 2-1-10）
液位受到两个变量的共同作用，根据叠加原理，可
分别研究在各个变量单独作用下，液位的过渡过程，
然后相加，可以得到整个液位控制系统的全部特性。
Qin
h
A
Qout
hfQ o u t ??
1.3 纯滞后特性
某些对象的输出信号响应比输入信号延迟一定的时间。
溶解槽中的浓度控制系统
x
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图 2-4 溶解槽及滞后特性
)()()( tKxtydt tdyT ?? 一阶无纯滞后对象特性
)()()( tKxtydttdyT ?????? ?? 一阶纯滞后对象特性
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