§ 3 奈魁斯特 (Nyquist)稳定判据及应用
第五章频率特性分析
? 闭环系统稳定的充要条件是闭环特征根均具有负实部；
? 奈魁斯特稳定判据将这个条件转化到频率域, 是在频率
域内判定系统稳定性的准则；
? 与根轨迹分析方法类似,
o 不求取闭环特征根
o 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性
o 能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性
? 奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上；
? 理论依据是复变函数中的 柯西定理 。
一、柯西定理（围线映射）定理
系统闭环传递函数
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sX
sY
??
其中,)()(1)( sHsGsF ?? 是 闭环特征多项式
一、柯西定理（围线映射）定理 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
0)()(1)( ??? sHsGsF
)())((
)())((
21
21
p
z
pspsps
ssssssK
???
????
?
?
的极点
的零点
)(,.,,2,1,
)(,.,,2,1,
sFpip
sFzis
i
i
??
??
是 闭环特征方程。
柯西定理,
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
也将沿着另一曲线连续变化, 把 c’称作 c的 围线映射 。 它们分
别是 s和 F(s)的矢量端点变化的轨迹 。
例：某系统,
)2)(1(
61)()(1)(
?????? sssHsGsF
若,211 js ?? )()(1)( 111 sHsGsF ?? 577.012.1 j??
一、柯西定理（围线映射）定理
j2
1
[s] [F(s)]
﹣ j0.577
1.12
（ 1） 除奇点外（使 F(s)为不定值的解）,F(s)是 s的 单值函数 。
[s]
c
[F(s)]
c′
当 s在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线 C时,在 F(s)平面上也有
一封闭曲线 C’与之对应。 即当 s连续取封闭曲线上数值时,F(s)
)()(1)( sHsGsF ??
（ 2） 当 s 平面上的围线 C不包围 F(s)的 零点 和 极点 时，围线 C’
必定不包围 F(s)平面的 坐标原点 。
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用 一、柯西定理（围线映射）定理
)()(1)( sHsGsF ?? 0
)())((
)())((
21
21 ?
???
????
p
z
pspsps
ssssssK
?
?
的极点
的零点
)(,.,,2,1,
)(,.,,2,1,
sFpip
sFzis
i
i
??
??
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
（ 3） 如果 C以 顺时针 方向包围 F(s)的一个 零点,
一、柯西定理（围线映射）定理
C C’
C C’
[s] [F(s)]
[s] [F(s)]
C’将以 顺时针 方向包围 原点 一次 。
如果 C以 顺时针 方向包围 F(s)的一个 极点,
C’将以 逆时针 方向包围 原点 一次 。
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
（ 4） 如果围线 C以 顺时针 方向包围 F(s)的 z个 零点 和 p个 极点,
一、柯西定理（围线映射）定理
若 z>p,N为正值,顺时针 包围 ;
C C’ [s] [F(s)]
则围线映射 C’将以 顺时针 方向包围 F(s)原点 N次, N=z-p。
若 z<p,N为负值,逆时针 包围。
? 围线映射定理是奈魁斯特稳定判据的核心
? 物理含义是 s平面上任一封闭曲线包围 F(s)的零极点情况
和它的映射在 F(s)平面包围原点的情形有关。
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
1,F(s)的零点和极点
)()(1)( sHsGsF ??
设有 z个零点,p个极点。
设
,)()(
0
0
D
NsHsG ?
? F(s)的极点是 开环 传递函数的 极点；
? F(s)的零点是 闭环极点。
0
00)()(1
D
NDsHsG ???
?
?
?
?
?
?
?
p
i
i
z
i
i
ps
ssK
1
1
)(
)(
)(sF?
)()(1
)()(
sHsG
sGsG
??闭
2、奈魁斯特轨迹
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
l 取根平面上的封闭围线包围全部 s右半平面, 此封闭围线由
整个虚轴 (从 s=-j∞到 s= j∞)和右半平面上半径为无穷大的半圆轨
迹构成, 这一封闭围线称作 奈魁斯特轨迹 。
F(s)的极点是 开环极点
F(s)的零点是 闭环极点
)()(1)( sHsGsF ??
l 考察闭环系统的稳定性问题就可变为考察在奈魁斯特轨迹
内是否包围 F(s)的零点 — 闭环极点问题 。
2、奈魁斯特轨迹
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
l 根据上述的映射定理, 在 s平面的奈魁斯特轨迹包围 F(s)的
零极点问题可以等效为其映射在 F(s)平面上包围原点的问题 。
l 其映射恰好是系统的 开环频率特性 。
l 求出奈魁斯特轨迹的映射, 考察其包围原点的情况, 就可
以知道在 s 右半平面是否有 F(s)的零点, 即 系统的不稳定的闭环
极点, 以此判断系统的 闭环稳定性 。
以上是奈魁斯特稳定判据的基本原理。
2、奈魁斯特轨迹
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
1,沿无穷大半径的半圆路径
2,沿虚轴路径所对应的直线
奈魁斯特轨迹的二个组成部分,
为什么 s平面上的奈魁斯特轨迹
在 F(s)平面上的映射就是系统的
频率特性
（ 1）沿无穷大半径的半圆路径,
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
2、奈魁斯特轨迹
mn
sasasaa
sbsbsbsb
asasasa
bsbsbsb
sHsG
n
n
n
n
n
m
n
m
nmnm
nn
nn
mm
mm
?
????
???
?
????
???
?
??
?
?
??
?
???
?
?
?
?
1
1
1
10
1
1
1
10
1
1
10
1
1
10
...
...
...
...
)()(
当 s 趋向无穷大 时, 有
?
?
?
?
??
?? mn
mnsHsG
a
bs
0
0
0)()(l i m
奈魁斯特轨迹的这一部分映射到 F(s)平面上是一个点。
开环传递函数 G(s)H(s)的一般形式为,
)()(lim1)(lim sHsGsF ss ???? ??
?
?
?
??
??
mn
mn
a
b
0
01
1
)()(1)( sHsGsF ??
（ 2）沿虚轴路径,
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
2、奈魁斯特轨迹
当取 s＝ jω(-∞＜ ω＜ +∞)，围线映射 F(jω)＝ 1＋ G(jω)H(jω),其
中 G(jω)H(jω)恰好是系统的 开环频率特性 。
下图是奈魁斯特轨迹在 F(s)平面上的映射图 。
)()(1)( sHsGsF ??
（ 2）沿 jω轴路径,
二、奈魁斯特稳定判据
2、奈魁斯特轨迹
l F(s) 与系统开环传递函数 G(s)H(s)仅相差一个单位量,
即 F(s)－ l＝ G(s)H(s)。
l F(jω)曲线对原点的包围情况与 G(jω)H(jω)曲线对于
(-l,j0)点的包围情况完全相当。
l 只要将 F(jω)曲线向负实轴方向平行移动 1个单位，即是
G(jω)H(jω)曲线。
)()(1)( sHsGsF ??
奈魁斯特轨迹在 G(jω)H(jω)平面上的映射关系,
当奈魁斯特轨迹顺时针包围 F(s)的 z个零点和 P个极点时,
（ 2）沿 jω轴路径,
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
2、奈魁斯特轨迹
在 G(jω)H(jω)平面内的映射围线 G(jω)H(jω) (开环频
率特性 )，必定顺时针包围 (-1,j0)点 N次，且 N＝ z-p。
3、奈魁斯特稳定判据
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
利用开环频率特性 G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。
（ 1） 当系统为 开环稳定 时, 只有当开环频率特性
G(jω)H(jω)不包围 （ -1,j0） 点, 闭环系统才是稳定
的 。
（ 2） 当开环 系统不稳定 时, 若有 P个开环极点在根
的右半平面时, 只有当 G(jω)H(jω)在 ω由 -∞→+∞ 变
化时, 逆时针包围 （ -1,j0） 点 P次, 闭环系统才是
稳定的 。
解释,
(1) 开环稳定情况,
G(jω)H(jω) 不包围 （ -1,j0） 点
3、奈魁斯特稳定判据
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
(2) 开环不稳定情况,
G(jω)H(jω) 逆时针包围 （ -1,j0） 点 p 次
— s右半平面没有 F(s)的极点
— s右半平面有 p个 F(s)的极点 — p个开环极点
= 闭环稳定 = 没有闭环极点在 s右半平面 零点
= 奈氏轨迹不包围 F(s)的
= 闭环稳定 = 没有闭环极点在 s右半平面
= 奈氏轨迹不包围 F(s)的任何零点 时针包围 F(s)的 p个极点
= 奈氏轨迹顺
F(s)的极点是 开环极点
F(s)的零点是 闭环极点
)()(1)( sHsGsF ??
奈魁斯特稳定判据总结
? 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性
? 闭环特征多项式 F(s)=1+G(s)H(s)
? 奈魁斯特轨迹
?奈魁斯特轨迹包围 F(s)=1+G(s)H(s)的零极点问题可以等效为
F(s)包围原点的问题
? 奈魁斯特轨迹 顺时针 包围 F(s)的一个 零点, F(s)顺时针 方向包围 原点 一次
? 奈魁斯特轨迹 顺时针 包围 F(s)的一个 极点, F(s)逆时针 方向包围 原点 一次
? F(s)的极点是开环极点； F(s)的零点是闭环极点
? 奈魁斯特轨迹的围线映射
? 当取 s＝ jω(-∞＜ ω＜ +∞)，围线映射 F(jω)＝ 1＋ G (jω)H(jω)
? F(jω)曲线对原点的包围情况相当于 G(jω)H(jω)曲线对于 (-l,j0)
点的包围情况
? 奈魁斯特轨迹包围 F(s)的零极点问题可以等效为 G(jω)H(jω)包
围（－ 1,j0）点的问题
?奈氏轨迹 顺时针 包围 F(s)的一个 零点, GH顺时针 方向包围 (-1,j0)点一次
? 奈氏轨迹 顺时针 包围 F(s)的一个 极点, GH逆时针 方向包围 (-1,j0)点一次
? 已知开环极点情况，考察 G(jω)H(jω)图是否包围 (-1,j0) 点，
判断闭环系统的稳定性
奈魁斯特稳定判据总结
说明,
3、奈魁斯特稳定判据
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
（ 1） 通常遇到的是开环稳定系统, 此时, 记住第一条, 不用考
虑方向 。
（ 2） 因为 G(jω)H(jω)和 G(-jω)H(-jω)共轭, 与实轴对称, 只画
出一半即可 。 但判断是以 ω由 -∞→+∞ 变化为准 。 方向：以 ω增
加的方向 。
（ 3） 何谓包围：绕点一个 360° 为准叫作包围一次 。
逆包围一次 逆包围 2次 不包围 不包围
4、奈魁斯特稳定判据应用
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
例 1 开环为一阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别系统的闭
环稳定性。
,11 ?? Ts KGH
Ts 1??
(1),开环稳定,p=0；
???﹣ 1,j0
﹣ K
0??0??
﹣ 1
K ???
(2) 画开环系统的极坐标图
无论 K取何值，均不包围
-1,j0点，闭环系统稳定。
只要 K>1，逆时针包围 -1,j0点
一次，闭环系统稳定。 K<1，不
包围，闭环系统不稳定。 K＝ 1？
12 ?? Ts
KGH
T1s ?
,开环不稳定,p=1
例 2
4、奈魁斯特稳定判据应用
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
开环为二阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别系统的闭
环稳定性。
12)1( 22 ???? TssT
KGH
﹣ 1 ﹣ 1
P=0 P=1 P=2
﹣ 1 w w
w K
K
﹣ K
K取任意值，曲线
均不包围 (-1,j0)点，
闭环稳定。
（奈氏判据第一条）
K>1，逆时针包围 (-1,j0)
一次，闭环稳定。 K<1，
不包围 (-1,j0)点，闭环
不稳定。 K＝ 1，曲线穿
过 (-1,j0),临界稳定。
K取任意值，均不
包围 (-1,j0)点，有
2个不稳定闭环极
点。闭环不稳定。
(奈氏判据第二条 )
12)2( 22 ???? TssT
KGH
12)3( 22 ???? TssT
KGH
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
若开环极点在虚轴上, 则奈氏轨迹经过时, 开环传递函数为不
定值, 需改进奈氏轨迹 。
G(jω)H (jω)
?
??
A′
B′
C′
D′
在原点取一小半圆,ε为半径，让,θ从 -90° 变化 ??? jes
到 +90° 。改进后的奈魁斯特轨迹图, ??? ???????? 000s
的零极点仍被包围在这个封闭曲线内。
当 ε→ 无穷小时，在原点的小圆 → 0。因此,F(s)在右半平面
改进方法（仅讨论开环极点在原点情况）,
三、奈魁斯特轨迹穿过 G(s)H(s)奇点情况
)1()()( ?? Tss
KsHsG例：
D
??
??
0+
0﹣ A
B
C [S]
例,
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用 三、奈魁斯特轨迹穿过 F（ s）奇点情况
)1()()( ?? Tss
KsHsG
)1(
1)()(
??????? jT
K
jjHjG
2211)()( T
K
Tjj
KjHjG
???
???????
)1()()( ???????????? TjjKjHjG
(1) (BC),0,?????
0180,0,?????? GHGH?
,90,,0 0??????? ? GHGH
(2) (CD)当 s沿着 R=+∞右半圆运动时,其映射在 GH平面上仅
一点 。 当 n>m时,s→∞ 时, GH=0
(3)(DA段 ) s =-∞→0 -时,其映射与 0+→∞ 对称。
Ttgj ????? ? 100
?
??
A′
B′
C′
D′
?
??
A′
B′
C′
D′
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
例,
0
0 )1(
)()(
?
? ?
?
?
???
??
??
?? jjjj
eTe
KeHeG
0?
??
?
?
?
jeK
因此, 映射 GH为半径为 ∞,角度从 +90° 到 -90° 的半圆 （ 顺
时针方向 ） 。
(4) (AB段 ) s从 0-沿小半圆 → 0+时,θ从 -90° ~90°,对应的映射为,
????????????? ?? jjjGsjjjGs )(:0,)(:0 ????
)1()()( ?? Tss
KsHsG
此例系统中，没有开环极点在 s右半平面，开环频率特性曲线
不包围 -1,j0点。因此，该闭环系统稳定。
A′
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用 三、奈魁斯特轨迹穿过 F（ s）奇点情况
当开环传递函数包含因子,.,, ),2,1(/1 ?ns
n
当 s沿半径为 ε( ε,1)的半圆运动时，其映射图形就具有 n个顺时
针方向 的半径为无穷大的 半圆 环绕原点。
例,
?
?
?
?
?
j
j
e
K
sHsG
es
Tss
K
sHsG
2
0
2
)()(l i m
)1(
)()(
?
??
?
?
?
?
则：
当 s的角度,－ 90° → 90 °
G(s)H(s)的角度,
180° → － 180°
??
??
0+
0﹣ A
B
C
D
[S] ?例中，顺时针包围
（－ 1,j0）点两次；
? 没有不稳定开环极点
?右半平面有两个闭环
极点
? 闭环系统不稳定
总结,
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用 三、奈魁斯特轨迹穿过 F（ s）奇点情况
当开环传递函数不存在积分项（ 0型系统），使用开环频
率特性判断闭环系统的稳定性。
当开环传递函数存在积分项（ 1型以上系统），要在开环
频率特性 GH基础上，从 ω=0-出发 顺时针 画连线（半径无穷大）
到 ω=0+处，以此封闭曲线判断闭环系统的稳定性。
四、奈魁斯特稳定判据的物理意义
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
对于开环稳定的系统,
(1) G(jω)H(jω)不包围 (-1,j0)点, 闭环系统稳定 。
(2) G(jω)H(jω)包围 (-1,j0)点, 闭环系统不稳定 。
(3) G(jω)H(jω)通过 (-1,j0)点，闭环系统临界稳定，在虚轴上
存在闭环极点。
当 G(jω)H(jω) 穿过 （ -1,j0） 点,, 恰好满足方程
, 即 。
可求解出一对虚根 。
0???
1)()( 00 ???? jHjG 00000 1 8 0)()(,1)()( ???????? jHjGjHjG
0??j
频域上的（－ 1,j0）点如同根平面上的虚轴一样重要。
此时，系统输出和输入的幅值比为 1，相位差为 -180° 。
例 3 开环传递函数如下,
四、奈魁斯特稳定判据的物理意义 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
)1)(1( ??? sTss
KGH
1,试确定开环放大倍数 K的临界值 Kc与时间常数的关系 。
)1)(1()()( ???????? jTjj
KjHjG
)()1( 32 TjT
K
????????
222 11)()( ????? ???? T
KjHjG
])1(1[)()(
2
1
T
TtgjHjG
?
???? ?
?
???
4222 )1(1 ??? T
K
???
?
01 8 0??
????
从 相角条件 解出,
TT 1020 1 ????
T
TK
T
TK
cc
???
?
1,1
1
解出,
，把 ω0代入 幅值条件,
因此, 使 闭环系统稳定的条件 是,TTK ??? 10
707.0,5.1 0 ???cK设 T=2,
1)( ???? ?? ????jG
2、令 T=2,K取不同值,
四、奈魁斯特稳定判据的物理意义
例 3
(<1.5),(=1.5),(>1.5)作图，用奈魁斯特
稳定判据分析系统的稳定性。
K<1.5，不包围 (-1,j0)点，闭环稳定。
﹣ 1 ﹣ 1
﹣ 1
K=1.5,穿过 (-1,j0)点 2次,,系
统存在 2个共轭虚根, 。 闭
环临界稳定 。
7 0 7.00 ??
707.02,1 js ??
K>1.5,顺时针包围 (-1,j0)点 2次, 系统存
在 2个实部为正的闭环极点 。 闭环不稳定 。
K<1.5 K=1.5
K>1.5
)1)(1( ??? sTss
KGH
开环稳定系统
3、画出该系统的根轨迹证明上述结论。
四、奈魁斯特稳定判据的物理意义
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
例 3
)1)(12()()( ??? sss
KsHsG
①, m=0,n=3,3条根轨迹。
②,实轴上根轨迹。
③, 渐近线,坐标,5.0
3 15.0 ??
003 )12(180 1 8 0,60,2,1,0,0 ????? ll
夹角,
④,与实轴交点,
ds
sssd )]1)(5.0([ ??
，另一解舍去。,05.032 ??? ss
)1)(5.0(
5.0
??? sss
K
)1)(5.0(
'
??? sss
K )5.0'( Kk ?
216.0??s
ds
sssd ]5.05.1[ 23 ??? 0?
-1 -0.5 0
⑤,与虚轴交点,
四、奈魁斯特稳定判据的物理意义 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
例 3 3、画出该系统的根轨迹证明上述结论。
'5.05.1)()(1 23 KssssHsG ?????
'
0
'5.1
5.01
0
5.1
'75.01
2
3
Ks
s
Ks
s
K?
求出 K’<0.75, 即
K<1.5为稳定边界条
件 。 根据辅助方程 075.05.1 2 ??s
707.02,1 js ??求出
结论与利用奈氏稳定判据完全相同 。
从根轨迹上分析,K<1.5，闭环根轨迹均在 s左半平面,稳定 。
7 0 7.0j?K=1.5，闭环系统有 2个虚根，, 系统临界稳定 。
K>1.5,闭环系统始终有 2个实部为正的根,系统不稳定 。
= 0
)5.0'( Kk ?
作业,A-5-11
A-5-16(3)
第五章频率特性分析
? 闭环系统稳定的充要条件是闭环特征根均具有负实部；
? 奈魁斯特稳定判据将这个条件转化到频率域, 是在频率
域内判定系统稳定性的准则；
? 与根轨迹分析方法类似,
o 不求取闭环特征根
o 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性
o 能了解系统的绝对稳定性和相对稳定性
? 奈魁斯特稳定判据建立在系统极坐标图上；
? 理论依据是复变函数中的 柯西定理 。
一、柯西定理（围线映射）定理
系统闭环传递函数
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sX
sY
??
其中,)()(1)( sHsGsF ?? 是 闭环特征多项式
一、柯西定理（围线映射）定理 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
0)()(1)( ??? sHsGsF
)())((
)())((
21
21
p
z
pspsps
ssssssK
???
????
?
?
的极点
的零点
)(,.,,2,1,
)(,.,,2,1,
sFpip
sFzis
i
i
??
??
是 闭环特征方程。
柯西定理,
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
也将沿着另一曲线连续变化, 把 c’称作 c的 围线映射 。 它们分
别是 s和 F(s)的矢量端点变化的轨迹 。
例：某系统,
)2)(1(
61)()(1)(
?????? sssHsGsF
若,211 js ?? )()(1)( 111 sHsGsF ?? 577.012.1 j??
一、柯西定理（围线映射）定理
j2
1
[s] [F(s)]
﹣ j0.577
1.12
（ 1） 除奇点外（使 F(s)为不定值的解）,F(s)是 s的 单值函数 。
[s]
c
[F(s)]
c′
当 s在根平面上的变化轨迹为一封闭曲线 C时,在 F(s)平面上也有
一封闭曲线 C’与之对应。 即当 s连续取封闭曲线上数值时,F(s)
)()(1)( sHsGsF ??
（ 2） 当 s 平面上的围线 C不包围 F(s)的 零点 和 极点 时，围线 C’
必定不包围 F(s)平面的 坐标原点 。
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用 一、柯西定理（围线映射）定理
)()(1)( sHsGsF ?? 0
)())((
)())((
21
21 ?
???
????
p
z
pspsps
ssssssK
?
?
的极点
的零点
)(,.,,2,1,
)(,.,,2,1,
sFpip
sFzis
i
i
??
??
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
（ 3） 如果 C以 顺时针 方向包围 F(s)的一个 零点,
一、柯西定理（围线映射）定理
C C’
C C’
[s] [F(s)]
[s] [F(s)]
C’将以 顺时针 方向包围 原点 一次 。
如果 C以 顺时针 方向包围 F(s)的一个 极点,
C’将以 逆时针 方向包围 原点 一次 。
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
（ 4） 如果围线 C以 顺时针 方向包围 F(s)的 z个 零点 和 p个 极点,
一、柯西定理（围线映射）定理
若 z>p,N为正值,顺时针 包围 ;
C C’ [s] [F(s)]
则围线映射 C’将以 顺时针 方向包围 F(s)原点 N次, N=z-p。
若 z<p,N为负值,逆时针 包围。
? 围线映射定理是奈魁斯特稳定判据的核心
? 物理含义是 s平面上任一封闭曲线包围 F(s)的零极点情况
和它的映射在 F(s)平面包围原点的情形有关。
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
1,F(s)的零点和极点
)()(1)( sHsGsF ??
设有 z个零点,p个极点。
设
,)()(
0
0
D
NsHsG ?
? F(s)的极点是 开环 传递函数的 极点；
? F(s)的零点是 闭环极点。
0
00)()(1
D
NDsHsG ???
?
?
?
?
?
?
?
p
i
i
z
i
i
ps
ssK
1
1
)(
)(
)(sF?
)()(1
)()(
sHsG
sGsG
??闭
2、奈魁斯特轨迹
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
l 取根平面上的封闭围线包围全部 s右半平面, 此封闭围线由
整个虚轴 (从 s=-j∞到 s= j∞)和右半平面上半径为无穷大的半圆轨
迹构成, 这一封闭围线称作 奈魁斯特轨迹 。
F(s)的极点是 开环极点
F(s)的零点是 闭环极点
)()(1)( sHsGsF ??
l 考察闭环系统的稳定性问题就可变为考察在奈魁斯特轨迹
内是否包围 F(s)的零点 — 闭环极点问题 。
2、奈魁斯特轨迹
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
l 根据上述的映射定理, 在 s平面的奈魁斯特轨迹包围 F(s)的
零极点问题可以等效为其映射在 F(s)平面上包围原点的问题 。
l 其映射恰好是系统的 开环频率特性 。
l 求出奈魁斯特轨迹的映射, 考察其包围原点的情况, 就可
以知道在 s 右半平面是否有 F(s)的零点, 即 系统的不稳定的闭环
极点, 以此判断系统的 闭环稳定性 。
以上是奈魁斯特稳定判据的基本原理。
2、奈魁斯特轨迹
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
1,沿无穷大半径的半圆路径
2,沿虚轴路径所对应的直线
奈魁斯特轨迹的二个组成部分,
为什么 s平面上的奈魁斯特轨迹
在 F(s)平面上的映射就是系统的
频率特性
（ 1）沿无穷大半径的半圆路径,
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
2、奈魁斯特轨迹
mn
sasasaa
sbsbsbsb
asasasa
bsbsbsb
sHsG
n
n
n
n
n
m
n
m
nmnm
nn
nn
mm
mm
?
????
???
?
????
???
?
??
?
?
??
?
???
?
?
?
?
1
1
1
10
1
1
1
10
1
1
10
1
1
10
...
...
...
...
)()(
当 s 趋向无穷大 时, 有
?
?
?
?
??
?? mn
mnsHsG
a
bs
0
0
0)()(l i m
奈魁斯特轨迹的这一部分映射到 F(s)平面上是一个点。
开环传递函数 G(s)H(s)的一般形式为,
)()(lim1)(lim sHsGsF ss ???? ??
?
?
?
??
??
mn
mn
a
b
0
01
1
)()(1)( sHsGsF ??
（ 2）沿虚轴路径,
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
2、奈魁斯特轨迹
当取 s＝ jω(-∞＜ ω＜ +∞)，围线映射 F(jω)＝ 1＋ G(jω)H(jω),其
中 G(jω)H(jω)恰好是系统的 开环频率特性 。
下图是奈魁斯特轨迹在 F(s)平面上的映射图 。
)()(1)( sHsGsF ??
（ 2）沿 jω轴路径,
二、奈魁斯特稳定判据
2、奈魁斯特轨迹
l F(s) 与系统开环传递函数 G(s)H(s)仅相差一个单位量,
即 F(s)－ l＝ G(s)H(s)。
l F(jω)曲线对原点的包围情况与 G(jω)H(jω)曲线对于
(-l,j0)点的包围情况完全相当。
l 只要将 F(jω)曲线向负实轴方向平行移动 1个单位，即是
G(jω)H(jω)曲线。
)()(1)( sHsGsF ??
奈魁斯特轨迹在 G(jω)H(jω)平面上的映射关系,
当奈魁斯特轨迹顺时针包围 F(s)的 z个零点和 P个极点时,
（ 2）沿 jω轴路径,
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
2、奈魁斯特轨迹
在 G(jω)H(jω)平面内的映射围线 G(jω)H(jω) (开环频
率特性 )，必定顺时针包围 (-1,j0)点 N次，且 N＝ z-p。
3、奈魁斯特稳定判据
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
利用开环频率特性 G(jω)H(jω)判别系统闭环稳定性。
（ 1） 当系统为 开环稳定 时, 只有当开环频率特性
G(jω)H(jω)不包围 （ -1,j0） 点, 闭环系统才是稳定
的 。
（ 2） 当开环 系统不稳定 时, 若有 P个开环极点在根
的右半平面时, 只有当 G(jω)H(jω)在 ω由 -∞→+∞ 变
化时, 逆时针包围 （ -1,j0） 点 P次, 闭环系统才是
稳定的 。
解释,
(1) 开环稳定情况,
G(jω)H(jω) 不包围 （ -1,j0） 点
3、奈魁斯特稳定判据
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
(2) 开环不稳定情况,
G(jω)H(jω) 逆时针包围 （ -1,j0） 点 p 次
— s右半平面没有 F(s)的极点
— s右半平面有 p个 F(s)的极点 — p个开环极点
= 闭环稳定 = 没有闭环极点在 s右半平面 零点
= 奈氏轨迹不包围 F(s)的
= 闭环稳定 = 没有闭环极点在 s右半平面
= 奈氏轨迹不包围 F(s)的任何零点 时针包围 F(s)的 p个极点
= 奈氏轨迹顺
F(s)的极点是 开环极点
F(s)的零点是 闭环极点
)()(1)( sHsGsF ??
奈魁斯特稳定判据总结
? 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性
? 闭环特征多项式 F(s)=1+G(s)H(s)
? 奈魁斯特轨迹
?奈魁斯特轨迹包围 F(s)=1+G(s)H(s)的零极点问题可以等效为
F(s)包围原点的问题
? 奈魁斯特轨迹 顺时针 包围 F(s)的一个 零点, F(s)顺时针 方向包围 原点 一次
? 奈魁斯特轨迹 顺时针 包围 F(s)的一个 极点, F(s)逆时针 方向包围 原点 一次
? F(s)的极点是开环极点； F(s)的零点是闭环极点
? 奈魁斯特轨迹的围线映射
? 当取 s＝ jω(-∞＜ ω＜ +∞)，围线映射 F(jω)＝ 1＋ G (jω)H(jω)
? F(jω)曲线对原点的包围情况相当于 G(jω)H(jω)曲线对于 (-l,j0)
点的包围情况
? 奈魁斯特轨迹包围 F(s)的零极点问题可以等效为 G(jω)H(jω)包
围（－ 1,j0）点的问题
?奈氏轨迹 顺时针 包围 F(s)的一个 零点, GH顺时针 方向包围 (-1,j0)点一次
? 奈氏轨迹 顺时针 包围 F(s)的一个 极点, GH逆时针 方向包围 (-1,j0)点一次
? 已知开环极点情况，考察 G(jω)H(jω)图是否包围 (-1,j0) 点，
判断闭环系统的稳定性
奈魁斯特稳定判据总结
说明,
3、奈魁斯特稳定判据
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
（ 1） 通常遇到的是开环稳定系统, 此时, 记住第一条, 不用考
虑方向 。
（ 2） 因为 G(jω)H(jω)和 G(-jω)H(-jω)共轭, 与实轴对称, 只画
出一半即可 。 但判断是以 ω由 -∞→+∞ 变化为准 。 方向：以 ω增
加的方向 。
（ 3） 何谓包围：绕点一个 360° 为准叫作包围一次 。
逆包围一次 逆包围 2次 不包围 不包围
4、奈魁斯特稳定判据应用
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
例 1 开环为一阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别系统的闭
环稳定性。
,11 ?? Ts KGH
Ts 1??
(1),开环稳定,p=0；
???﹣ 1,j0
﹣ K
0??0??
﹣ 1
K ???
(2) 画开环系统的极坐标图
无论 K取何值，均不包围
-1,j0点，闭环系统稳定。
只要 K>1，逆时针包围 -1,j0点
一次，闭环系统稳定。 K<1，不
包围，闭环系统不稳定。 K＝ 1？
12 ?? Ts
KGH
T1s ?
,开环不稳定,p=1
例 2
4、奈魁斯特稳定判据应用
二、奈魁斯特稳定判据 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
开环为二阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别系统的闭
环稳定性。
12)1( 22 ???? TssT
KGH
﹣ 1 ﹣ 1
P=0 P=1 P=2
﹣ 1 w w
w K
K
﹣ K
K取任意值，曲线
均不包围 (-1,j0)点，
闭环稳定。
（奈氏判据第一条）
K>1，逆时针包围 (-1,j0)
一次，闭环稳定。 K<1，
不包围 (-1,j0)点，闭环
不稳定。 K＝ 1，曲线穿
过 (-1,j0),临界稳定。
K取任意值，均不
包围 (-1,j0)点，有
2个不稳定闭环极
点。闭环不稳定。
(奈氏判据第二条 )
12)2( 22 ???? TssT
KGH
12)3( 22 ???? TssT
KGH
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
若开环极点在虚轴上, 则奈氏轨迹经过时, 开环传递函数为不
定值, 需改进奈氏轨迹 。
G(jω)H (jω)
?
??
A′
B′
C′
D′
在原点取一小半圆,ε为半径，让,θ从 -90° 变化 ??? jes
到 +90° 。改进后的奈魁斯特轨迹图, ??? ???????? 000s
的零极点仍被包围在这个封闭曲线内。
当 ε→ 无穷小时，在原点的小圆 → 0。因此,F(s)在右半平面
改进方法（仅讨论开环极点在原点情况）,
三、奈魁斯特轨迹穿过 G(s)H(s)奇点情况
)1()()( ?? Tss
KsHsG例：
D
??
??
0+
0﹣ A
B
C [S]
例,
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用 三、奈魁斯特轨迹穿过 F（ s）奇点情况
)1()()( ?? Tss
KsHsG
)1(
1)()(
??????? jT
K
jjHjG
2211)()( T
K
Tjj
KjHjG
???
???????
)1()()( ???????????? TjjKjHjG
(1) (BC),0,?????
0180,0,?????? GHGH?
,90,,0 0??????? ? GHGH
(2) (CD)当 s沿着 R=+∞右半圆运动时,其映射在 GH平面上仅
一点 。 当 n>m时,s→∞ 时, GH=0
(3)(DA段 ) s =-∞→0 -时,其映射与 0+→∞ 对称。
Ttgj ????? ? 100
?
??
A′
B′
C′
D′
?
??
A′
B′
C′
D′
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
例,
0
0 )1(
)()(
?
? ?
?
?
???
??
??
?? jjjj
eTe
KeHeG
0?
??
?
?
?
jeK
因此, 映射 GH为半径为 ∞,角度从 +90° 到 -90° 的半圆 （ 顺
时针方向 ） 。
(4) (AB段 ) s从 0-沿小半圆 → 0+时,θ从 -90° ~90°,对应的映射为,
????????????? ?? jjjGsjjjGs )(:0,)(:0 ????
)1()()( ?? Tss
KsHsG
此例系统中，没有开环极点在 s右半平面，开环频率特性曲线
不包围 -1,j0点。因此，该闭环系统稳定。
A′
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用 三、奈魁斯特轨迹穿过 F（ s）奇点情况
当开环传递函数包含因子,.,, ),2,1(/1 ?ns
n
当 s沿半径为 ε( ε,1)的半圆运动时，其映射图形就具有 n个顺时
针方向 的半径为无穷大的 半圆 环绕原点。
例,
?
?
?
?
?
j
j
e
K
sHsG
es
Tss
K
sHsG
2
0
2
)()(l i m
)1(
)()(
?
??
?
?
?
?
则：
当 s的角度,－ 90° → 90 °
G(s)H(s)的角度,
180° → － 180°
??
??
0+
0﹣ A
B
C
D
[S] ?例中，顺时针包围
（－ 1,j0）点两次；
? 没有不稳定开环极点
?右半平面有两个闭环
极点
? 闭环系统不稳定
总结,
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用 三、奈魁斯特轨迹穿过 F（ s）奇点情况
当开环传递函数不存在积分项（ 0型系统），使用开环频
率特性判断闭环系统的稳定性。
当开环传递函数存在积分项（ 1型以上系统），要在开环
频率特性 GH基础上，从 ω=0-出发 顺时针 画连线（半径无穷大）
到 ω=0+处，以此封闭曲线判断闭环系统的稳定性。
四、奈魁斯特稳定判据的物理意义
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
对于开环稳定的系统,
(1) G(jω)H(jω)不包围 (-1,j0)点, 闭环系统稳定 。
(2) G(jω)H(jω)包围 (-1,j0)点, 闭环系统不稳定 。
(3) G(jω)H(jω)通过 (-1,j0)点，闭环系统临界稳定，在虚轴上
存在闭环极点。
当 G(jω)H(jω) 穿过 （ -1,j0） 点,, 恰好满足方程
, 即 。
可求解出一对虚根 。
0???
1)()( 00 ???? jHjG 00000 1 8 0)()(,1)()( ???????? jHjGjHjG
0??j
频域上的（－ 1,j0）点如同根平面上的虚轴一样重要。
此时，系统输出和输入的幅值比为 1，相位差为 -180° 。
例 3 开环传递函数如下,
四、奈魁斯特稳定判据的物理意义 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
)1)(1( ??? sTss
KGH
1,试确定开环放大倍数 K的临界值 Kc与时间常数的关系 。
)1)(1()()( ???????? jTjj
KjHjG
)()1( 32 TjT
K
????????
222 11)()( ????? ???? T
KjHjG
])1(1[)()(
2
1
T
TtgjHjG
?
???? ?
?
???
4222 )1(1 ??? T
K
???
?
01 8 0??
????
从 相角条件 解出,
TT 1020 1 ????
T
TK
T
TK
cc
???
?
1,1
1
解出,
，把 ω0代入 幅值条件,
因此, 使 闭环系统稳定的条件 是,TTK ??? 10
707.0,5.1 0 ???cK设 T=2,
1)( ???? ?? ????jG
2、令 T=2,K取不同值,
四、奈魁斯特稳定判据的物理意义
例 3
(<1.5),(=1.5),(>1.5)作图，用奈魁斯特
稳定判据分析系统的稳定性。
K<1.5，不包围 (-1,j0)点，闭环稳定。
﹣ 1 ﹣ 1
﹣ 1
K=1.5,穿过 (-1,j0)点 2次,,系
统存在 2个共轭虚根, 。 闭
环临界稳定 。
7 0 7.00 ??
707.02,1 js ??
K>1.5,顺时针包围 (-1,j0)点 2次, 系统存
在 2个实部为正的闭环极点 。 闭环不稳定 。
K<1.5 K=1.5
K>1.5
)1)(1( ??? sTss
KGH
开环稳定系统
3、画出该系统的根轨迹证明上述结论。
四、奈魁斯特稳定判据的物理意义
第五章频率特性分析
§ 3 奈魁斯特稳定判据及应用
例 3
)1)(12()()( ??? sss
KsHsG
①, m=0,n=3,3条根轨迹。
②,实轴上根轨迹。
③, 渐近线,坐标,5.0
3 15.0 ??
003 )12(180 1 8 0,60,2,1,0,0 ????? ll
夹角,
④,与实轴交点,
ds
sssd )]1)(5.0([ ??
，另一解舍去。,05.032 ??? ss
)1)(5.0(
5.0
??? sss
K
)1)(5.0(
'
??? sss
K )5.0'( Kk ?
216.0??s
ds
sssd ]5.05.1[ 23 ??? 0?
-1 -0.5 0
⑤,与虚轴交点,
四、奈魁斯特稳定判据的物理意义 第五章频率特性分析 § 3 奈魁斯特稳定判据及应用
例 3 3、画出该系统的根轨迹证明上述结论。
'5.05.1)()(1 23 KssssHsG ?????
'
0
'5.1
5.01
0
5.1
'75.01
2
3
Ks
s
Ks
s
K?
求出 K’<0.75, 即
K<1.5为稳定边界条
件 。 根据辅助方程 075.05.1 2 ??s
707.02,1 js ??求出
结论与利用奈氏稳定判据完全相同 。
从根轨迹上分析,K<1.5，闭环根轨迹均在 s左半平面,稳定 。
7 0 7.0j?K=1.5，闭环系统有 2个虚根，, 系统临界稳定 。
K>1.5,闭环系统始终有 2个实部为正的根,系统不稳定 。
= 0
)5.0'( Kk ?
作业,A-5-11
A-5-16(3)
