第八章 非线性系统分析
第一节 概论
一 一般情况
非线性系统一般由三部分组成,
被控对象，执行机构，测量装置
执行机构 测量装置 被控对象
?数学描述
定常、时变；
连续、离散
),,(
),,(
tuxgy
tuxfx
?
??
?放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在
输入电压超过放大器的线性工作范围时，呈现饱
和现象 (a),
（ a）
?执行元件的电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和
负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电
枢才会转动。存在着死区而当电枢电压达到定数
值时，电机转速将不再增加呈现饱和现象，如
（ b）,
(b)
?传动机构受加工和装备精度限制，换向时存在着
间歇特性。（ C）
(c)
二 模型线性化
严格的讲，几乎所有的控制系统都是非线性
的，即使采用了一个线性模型并较好地描
述了系统，也只是对这个系统的一个近似
描述罢了。
非线性系统,
),,(
),,,(
utxgy
utxfx
?
??
转化为线性系统,
utDxtCy
utBxtAx
)()(
)()(
??
???
为非线性的微分方程
之间显然液位和输入
为：则液位系统的动态方程
的黏度与阀阻。：比例系数取决于液体
据水力学原理：
：储水槽横截面流出量输入量：液位高度
）置（例如实验室中的水槽装
i
ii
oi
Q
HKQQQ
dt
dH
C
K
HKQ
CQQH
d
????
?
0
0
:,
(d)
?为了继续使用较为成熟的线性系统分析设
计方法，通常是把非线性系统近似线性化。
这种线性化只适用于非线性程度不严重的
情况，例如不灵敏区较小，（ b）中死区较
小，输入信号幅值较小，传动机构空隙不
大时，都可以忽略非线性特征的影响，将
非线性环节视为线性环节，另外系统工作
在某个数值附近的较小范围内，也可以将
非线性系统近似看作线性的。最常见的线
性化方法就是泰勒展开,
?忽略高阶导数项，就可以把非线性函数线
性近似化。应该注意的是泰勒展开 X的某个
小邻域内有效。超出该范围，所做的近似
就失去了意义。这个范围是严格控制的。
)()()()()( 00'00 xxfxxxfxf ?????
），（，
写作通常在工作点附近直接
：小偏差的近似线性方程高阶项省略。这就求出
展开的一次近似，变化较小，所以取泰勒，由于
）（
将它线性化泰勒展开
为非线性函数，，，
附近变化，可以取在
附近，相应的输入量工作在位以液位系统为例，设液
00
0
0
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0
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0
2
2
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1
iii
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通常为零点），，，（非线性函数，工作点为
如
程形式如果给定系统是状态方
,,
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2010201021
222
.
2
11121
2
1
.
1
uuxxff
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非线性系统稳定线性系统稳定 ?
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0000
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三 非线性特性
?实际控制系统中的非线性特性是多种多样
的，一般以解析函数的形式出现，如
u
x
uaxxwxax ???? 322 ???
1 连续非线性特性
特点：非灵敏区；饱和区
x
f(x)
x
f(x)
2 不连续特性
又称继电型非线性元件
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
3 非单值区特性
分类：滞后；间隙
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
滞后指输入值增加或减小时对应的输出值
是不同的。
间隙特性,
x
f(x)
以理想继电器和带有空间滞后的继电器特性为
例，说明分段线性化后的数学表达式
x
f(x)
k
-k ??
?
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0,
0,)(
xk
xkxf
x
f(x)
k
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xaxaxk
xaxaxk
xxf
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?
或
或
死区 饱和 开方
常见非线性特性,
幂函数 滞环 继电
死区双位 滞环继电 死区滞环继电
四 非线性系统的研究方法及特点
?相平面方法
?描述函数法
?李亚普诺夫稳定性理论
相平面方法,
?研究对象是二阶系统，利用系统微分方程
在相平面上建立系统解的几何形象，从而
获得二阶系统的运动性质。
?特点：无需求解非线性微分方程，直接给
出能够显示系统运动特征的相图，从而获
得系统全部运动性质的定性知识。
?独特优越性：系统存在无限多的轨线运动，
只需画出其中几条就可以获得系统全部轨
线的概貌。
例：二阶系统（谐振子）
相轨迹方程为
相轨迹是一组椭圆族，
系统只发生一种类型
的运动 —— 相轨迹所
表示的周期解，且与
初始状态有关。
02 ?? xx ???
22222 ?? Axx ???
x
x’
描述函数法（谐波线性化法）,
?非线性处理的近似方法，控制工程中较为
普及的一种实用方法。
?优点：比较简单，解决问题全面，且适用
于高阶系统和各种非线性特性。
?缺点：数学理论基础不完善，得到的结果
既不是充分的，也不是必要的，而且在近
似过程中会丧失部分非线性信息，从而无
法从谐波线性化方程中取得关于非线性系
统的某些更复杂现象的本质与特性
系统结构
?非线性环节的描述函数近似于一个复数增
益的比例环节，从而可以利用线性系统的
频域分析方法来讨论稳定性。
NL
e
yL in e a r P la nt?
?
r
?非线性元件的描述函数就等价于线性系统
的频率特性，所以线性系统理论中的频域
结果，如奈氏判据，波特图，霍尔维茨判
据及根轨迹方法等，几乎可以推广到非线
性系统中来研究非线性元件的稳定性、周
期解等。
Lypunov稳定性理论,
?在非线性系统控制中，它是研究系统稳定
性的主要方法
Lypunov第一方法：用级数形式的解来研究
系统稳定性，即将系统在原点展开成泰勒
级数的形式，得到一阶线性近似方程，它
的稳定性就决定了非线性系统的稳定性，
为一般线性化方法奠定了基础，同时也给
出了线性化方法成立的条件
? Lypunov第二方法：无需求解方程而直接
判断解的稳定性。此方法关键是找到一个
正定且有界的 V(x,t)函数，且保证 V函数沿
时间 t的导数为负定的，那么系统就是稳定
的。其中 V(x,t)函数可以看作是能量系统的
能量函数，从物理学角度来讲，如果一个
系统的能量是有限的，且能量随时间的变
化率为负时，那么这个系统的所有运动都
是有界的，而且最终在能量为零时，所有
运动都会返回到平衡位置，即系统达到稳
定。
研究方法的特点
?目前通常用到的（不是全部）非线性方
法有一个基本特点，就是总以某种方式
通过线性化而建立 起来的。换句话说就
是以线性方法为基础加以修补使之能够
适应解决非线性问题的需要。
相平面方法,
?将非线性特性分段线性化之后，将相平
面分成几个区域，使得在每个区域上系
统都是线性的，然后分别在各个区域上
做出相图，从而建立整个非线性系统的
相图,实质是分区线性化方法
描述函数方法,
?一种近似线性化方法，实质是把非线性函数
u=f(x)用某个线性关系 u’=k(A)x’来代替，从
而实现线性化，其中线性化系统 k并不是常
数，而是关于表征系统运动特性的常数 A的
某个函数（即描述函数），上式体现了变量
为谐波时的线性化关系，所以又称为“谐波
线性化”方法。
?注意：谐波线性化只是形式上将非线性
特性进行了线性化，其实仍然保留了非
线性的特性，体现在线性化系数 k(A)与
运动参数 A有关。
Lyapunov第一稳定方法,
?真正的线性化方法，基于泰勒级数展开
并忽略高阶导数项，从而实现一阶线性
化。
Lyapunov第二稳定方法,
?本质上是真正的非线性方法，但是却不
存在一般的构造 V函数方法，目前成功
构造 V函数的方法是鲁里叶与波斯特尼
考夫于 1944年提出的，对线性系统构造
V函数，然后附加一个修正项，作为相
应非线性函数的 V函数，从这一点上来
看，真正的非线性方法也是在线性为基
础的情况下才得以实现的。
第一节 概论
一 一般情况
非线性系统一般由三部分组成,
被控对象，执行机构，测量装置
执行机构 测量装置 被控对象
?数学描述
定常、时变；
连续、离散
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?放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在
输入电压超过放大器的线性工作范围时，呈现饱
和现象 (a),
（ a）
?执行元件的电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和
负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电
枢才会转动。存在着死区而当电枢电压达到定数
值时，电机转速将不再增加呈现饱和现象，如
（ b）,
(b)
?传动机构受加工和装备精度限制，换向时存在着
间歇特性。（ C）
(c)
二 模型线性化
严格的讲，几乎所有的控制系统都是非线性
的，即使采用了一个线性模型并较好地描
述了系统，也只是对这个系统的一个近似
描述罢了。
非线性系统,
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转化为线性系统,
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之间显然液位和输入
为：则液位系统的动态方程
的黏度与阀阻。：比例系数取决于液体
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：储水槽横截面流出量输入量：液位高度
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?为了继续使用较为成熟的线性系统分析设
计方法，通常是把非线性系统近似线性化。
这种线性化只适用于非线性程度不严重的
情况，例如不灵敏区较小，（ b）中死区较
小，输入信号幅值较小，传动机构空隙不
大时，都可以忽略非线性特征的影响，将
非线性环节视为线性环节，另外系统工作
在某个数值附近的较小范围内，也可以将
非线性系统近似看作线性的。最常见的线
性化方法就是泰勒展开,
?忽略高阶导数项，就可以把非线性函数线
性近似化。应该注意的是泰勒展开 X的某个
小邻域内有效。超出该范围，所做的近似
就失去了意义。这个范围是严格控制的。
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写作通常在工作点附近直接
：小偏差的近似线性方程高阶项省略。这就求出
展开的一次近似，变化较小，所以取泰勒，由于
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将它线性化泰勒展开
为非线性函数，，，
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附近，相应的输入量工作在位以液位系统为例，设液
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如
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三 非线性特性
?实际控制系统中的非线性特性是多种多样
的，一般以解析函数的形式出现，如
u
x
uaxxwxax ???? 322 ???
1 连续非线性特性
特点：非灵敏区；饱和区
x
f(x)
x
f(x)
2 不连续特性
又称继电型非线性元件
x
f(x)
x
f(x)
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3 非单值区特性
分类：滞后；间隙
x
f(x)
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滞后指输入值增加或减小时对应的输出值
是不同的。
间隙特性,
x
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以理想继电器和带有空间滞后的继电器特性为
例，说明分段线性化后的数学表达式
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或
或
死区 饱和 开方
常见非线性特性,
幂函数 滞环 继电
死区双位 滞环继电 死区滞环继电
四 非线性系统的研究方法及特点
?相平面方法
?描述函数法
?李亚普诺夫稳定性理论
相平面方法,
?研究对象是二阶系统，利用系统微分方程
在相平面上建立系统解的几何形象，从而
获得二阶系统的运动性质。
?特点：无需求解非线性微分方程，直接给
出能够显示系统运动特征的相图，从而获
得系统全部运动性质的定性知识。
?独特优越性：系统存在无限多的轨线运动，
只需画出其中几条就可以获得系统全部轨
线的概貌。
例：二阶系统（谐振子）
相轨迹方程为
相轨迹是一组椭圆族，
系统只发生一种类型
的运动 —— 相轨迹所
表示的周期解，且与
初始状态有关。
02 ?? xx ???
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x
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描述函数法（谐波线性化法）,
?非线性处理的近似方法，控制工程中较为
普及的一种实用方法。
?优点：比较简单，解决问题全面，且适用
于高阶系统和各种非线性特性。
?缺点：数学理论基础不完善，得到的结果
既不是充分的，也不是必要的，而且在近
似过程中会丧失部分非线性信息，从而无
法从谐波线性化方程中取得关于非线性系
统的某些更复杂现象的本质与特性
系统结构
?非线性环节的描述函数近似于一个复数增
益的比例环节，从而可以利用线性系统的
频域分析方法来讨论稳定性。
NL
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yL in e a r P la nt?
?
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?非线性元件的描述函数就等价于线性系统
的频率特性，所以线性系统理论中的频域
结果，如奈氏判据，波特图，霍尔维茨判
据及根轨迹方法等，几乎可以推广到非线
性系统中来研究非线性元件的稳定性、周
期解等。
Lypunov稳定性理论,
?在非线性系统控制中，它是研究系统稳定
性的主要方法
Lypunov第一方法：用级数形式的解来研究
系统稳定性，即将系统在原点展开成泰勒
级数的形式，得到一阶线性近似方程，它
的稳定性就决定了非线性系统的稳定性，
为一般线性化方法奠定了基础，同时也给
出了线性化方法成立的条件
? Lypunov第二方法：无需求解方程而直接
判断解的稳定性。此方法关键是找到一个
正定且有界的 V(x,t)函数，且保证 V函数沿
时间 t的导数为负定的，那么系统就是稳定
的。其中 V(x,t)函数可以看作是能量系统的
能量函数，从物理学角度来讲，如果一个
系统的能量是有限的，且能量随时间的变
化率为负时，那么这个系统的所有运动都
是有界的，而且最终在能量为零时，所有
运动都会返回到平衡位置，即系统达到稳
定。
研究方法的特点
?目前通常用到的（不是全部）非线性方
法有一个基本特点，就是总以某种方式
通过线性化而建立 起来的。换句话说就
是以线性方法为基础加以修补使之能够
适应解决非线性问题的需要。
相平面方法,
?将非线性特性分段线性化之后，将相平
面分成几个区域，使得在每个区域上系
统都是线性的，然后分别在各个区域上
做出相图，从而建立整个非线性系统的
相图,实质是分区线性化方法
描述函数方法,
?一种近似线性化方法，实质是把非线性函数
u=f(x)用某个线性关系 u’=k(A)x’来代替，从
而实现线性化，其中线性化系统 k并不是常
数，而是关于表征系统运动特性的常数 A的
某个函数（即描述函数），上式体现了变量
为谐波时的线性化关系，所以又称为“谐波
线性化”方法。
?注意：谐波线性化只是形式上将非线性
特性进行了线性化，其实仍然保留了非
线性的特性，体现在线性化系数 k(A)与
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Lyapunov第一稳定方法,
?真正的线性化方法，基于泰勒级数展开
并忽略高阶导数项，从而实现一阶线性
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?本质上是真正的非线性方法，但是却不
存在一般的构造 V函数方法，目前成功
构造 V函数的方法是鲁里叶与波斯特尼
考夫于 1944年提出的，对线性系统构造
V函数，然后附加一个修正项，作为相
应非线性函数的 V函数，从这一点上来
看，真正的非线性方法也是在线性为基
础的情况下才得以实现的。
