第七节 离散系统的稳定性分析
如上节所讲，采样会破坏系统的稳定性，所
以在设计采样系统时最先考虑的是稳定性。
对采样系统稳定性分析主要建立在 Z变换的
基础上。
连续系统的稳定性
? 连续系统稳定 所有特征根均具有负实部
? 方法,劳斯判据,Hurwitz判据及奈氏判据。
? 在分析采样系统时，可以利用 Z变换与拉氏变
换数学上的关系，找到 Z平面与 S平面之间的周
期映射关系，从而利用原有的各种判据来分析
系统稳定性。
一 稳定条件及 S,E平面对应关
系
射关系。平面稳定区域之间的映，应出
以对时，系统稳定，由此可的左半平面
平面函数极点均位于连续系统中，闭环传递
则，
采样频率
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沿虚轴变化临界稳定
单位圆内系统稳定
平面平面
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稳定区
Im
稳定区 S平面 Z平面
2?s2?S?2?S
S
平
面
? 由此可见,S平面的左半开平面对应于 Z平
面上的单位圆内, Z平面上单位圆上逆时针
增加一个频段，即逆时针转一圈，所以称
? 为主频段，其他称为次频段。
? 可以看出主频段的面积影射成单位圆内，
而且任一次频段包围面积也影射为同一单
位圆，说明 Z与 S平面间的影射不是一一对
应,S中一点对应 Z面中一点，但 Z中一点对
应 S平面中多个点。
]2,2[ ss ???
? 例一,
? 轧钢机压下位置控制系统速度,控制系
统等效时间常数，,采样周期取为
T=100ms,开环增益 K=10
? 分析系统的稳定性
Tu
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K
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开环脉冲传递函数
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ZZ
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）（
）（
闭环特征方程
有一特征根在单位园外,
所以系统不稳定
二,稳定判据
? 1.劳斯判据
? 劳斯判据理论是建立在特征根是否全部具
有负实部的基础上，只能应用于 S平面，而
无法适用于 Z平面。为了判断采样系统的稳
定性，必须采用双线性变换，把 Z平面变换
到另外一复平面中，采用双线性变换和劳
斯稳定判据相结合是离散系统稳定性分析
的一种常用方法。
平面。效于在定量关系上它决不等
系，但是平面具有相同的映射关平面，与平面类似于；同理可得：；所以
即
单位圆内部为设
平面的左半平面。到平面中单位圆内部映射作用：把
或
双线性变换定义：
S
ZSr
ZZ
Z
j
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ZZjr
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Z
Z
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则系统特征方程为：令
系统特征方程例
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双线性变换 +劳斯判据不仅可以用于判
断稳定性，还可以用来分析放大系数、
采样周期对系统稳定性的影响。
0)1()1(2)1(2)1(
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令
＋解：闭环特征方程为：
对稳定性的影响和，利用劳斯判据分析对例
2
4。 32
4
2 4 6 T/Tu
K
增益减小。系统稳定所允许的最大且当采样周期增大时，
时系统允许最大增益值。可以看出当和就表示稳定的
下方界放大系数，如图曲线为临界稳定时对应的临显然
据劳斯判据条件：
32.41
1
)1(2
1
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三。奈氏判据
? 和劳斯稳定判据一样，奈氏稳定判据不能
直接适用于脉冲传函，方法还是采用复数
双线性变换，这样很容易就可以画出采样
系统的 Bode图，举例说明。
稳定性试用奈氏判据判别闭环
）（例：设开环脉冲传函为,
)638.0)(1(
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为伪频率求开环的频率特性，
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- 1 6 0
- 1 4 0
- 1 2 0
- 1 0 0
四,采样系统稳态偏差
? 和连续系统一样，稳态分析也是分析和
设计采样系统的一个重要指标，在连续
系统中稳态偏差与系统的输入信号类型
以及系统本身类型有关，对采样系统也
是如此。同一个采样系统，对于阶跃函
数输入可能没有稳态误差，但是当输入
斜坡函数时，就有可能产生稳态误差，
另外，对同一类型的输入系统产生稳态
误差的大小还取决于该系统脉冲传函的
结构类型，参数。
? 离散系统如上图所示，则
若闭环系统稳定，则由终值定理
?
? 将离散系统仿照连续系统分为 0,1,2型：
若系统开环脉冲传递函数 G0 (z)中含有
i(i=0,1,2)个 |z|=1的极点，则系统称为 i型
系统。
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? 若定义,则
? 对 1,2型系统易知,故
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五,根的位置与暂态特性关系
? 在连续系统分析中，我们知道闭环传函的 S平
面零极点分布，与输出的暂态特性有密切的
关系。例如极点在 S平面左半平面负实轴上，
相当于单调的衰减过程，左半平面内的共轭
复数极点对应衰减的振荡过程，而衰减的快
慢决定于极点实部到原点的距离。对应于采
样系统，闭环系统脉冲传函极点在 Z平面上的
位置，也与输出的暂态响应有密切关系。
连续系统,
单调发散
振荡发散
等幅振荡
振荡收敛
单调收敛
? 离散系统
单调发散
振荡发散 等幅振荡
振荡收敛
单调收敛
? 特征根位置,
? Z平面沿实轴从右向左
单调发散 单调衰减 振荡衰减
等幅振荡 发散振荡
其他位置单位圆由内向外
振荡衰减 等幅振荡 发散振荡
从右向左振荡频率增加
采样系统闭环极点选取原则
? 由上述分析可知，极点位于单位圆内是稳定
的，但应尽量避免选在左半圆，特别是靠近
负实轴边界处，此处振荡频率高而且衰减很
慢。最好位置选择在单位圆内正实轴上且靠
近原点，此时系统输出单调衰减，且收敛速
度极快。
概念介绍（反映系统动态品质）
? 一,等频线（等 线）
? 在 S平面上，等频线是一条平行于实轴的直
线，频率 恒定
? 对应到 Z平面上，映射成了从原点出发向外
辐射的一条直线，与实轴夹角
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如上节所讲，采样会破坏系统的稳定性，所
以在设计采样系统时最先考虑的是稳定性。
对采样系统稳定性分析主要建立在 Z变换的
基础上。
连续系统的稳定性
? 连续系统稳定 所有特征根均具有负实部
? 方法,劳斯判据,Hurwitz判据及奈氏判据。
? 在分析采样系统时，可以利用 Z变换与拉氏变
换数学上的关系，找到 Z平面与 S平面之间的周
期映射关系，从而利用原有的各种判据来分析
系统稳定性。
一 稳定条件及 S,E平面对应关
系
射关系。平面稳定区域之间的映，应出
以对时，系统稳定，由此可的左半平面
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? 为主频段，其他称为次频段。
? 可以看出主频段的面积影射成单位圆内，
而且任一次频段包围面积也影射为同一单
位圆，说明 Z与 S平面间的影射不是一一对
应,S中一点对应 Z面中一点，但 Z中一点对
应 S平面中多个点。
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有一特征根在单位园外,
所以系统不稳定
二,稳定判据
? 1.劳斯判据
? 劳斯判据理论是建立在特征根是否全部具
有负实部的基础上，只能应用于 S平面，而
无法适用于 Z平面。为了判断采样系统的稳
定性，必须采用双线性变换，把 Z平面变换
到另外一复平面中，采用双线性变换和劳
斯稳定判据相结合是离散系统稳定性分析
的一种常用方法。
平面。效于在定量关系上它决不等
系，但是平面具有相同的映射关平面，与平面类似于；同理可得：；所以
即
单位圆内部为设
平面的左半平面。到平面中单位圆内部映射作用：把
或
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增益减小。系统稳定所允许的最大且当采样周期增大时，
时系统允许最大增益值。可以看出当和就表示稳定的
下方界放大系数，如图曲线为临界稳定时对应的临显然
据劳斯判据条件：
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三。奈氏判据
? 和劳斯稳定判据一样，奈氏稳定判据不能
直接适用于脉冲传函，方法还是采用复数
双线性变换，这样很容易就可以画出采样
系统的 Bode图，举例说明。
稳定性试用奈氏判据判别闭环
）（例：设开环脉冲传函为,
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四,采样系统稳态偏差
? 和连续系统一样，稳态分析也是分析和
设计采样系统的一个重要指标，在连续
系统中稳态偏差与系统的输入信号类型
以及系统本身类型有关，对采样系统也
是如此。同一个采样系统，对于阶跃函
数输入可能没有稳态误差，但是当输入
斜坡函数时，就有可能产生稳态误差，
另外，对同一类型的输入系统产生稳态
误差的大小还取决于该系统脉冲传函的
结构类型，参数。
? 离散系统如上图所示，则
若闭环系统稳定，则由终值定理
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? 将离散系统仿照连续系统分为 0,1,2型：
若系统开环脉冲传递函数 G0 (z)中含有
i(i=0,1,2)个 |z|=1的极点，则系统称为 i型
系统。
)(1
)()(
zG
zRzE
o?
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)(1
)()1(lim)()1(lim)(lim
11 zG
zRzzEzkee
ozzk
ss ?????? ????
? 1 r(t)=1(t)时
? 若定义,则
? 对 1,2型系统易知,故
? Kp ess
? 0型
? 1型
? 2型
)1(1
1]
1)(1
1)1[(lim,
1)( 1 oozss Gz
z
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??pK
)1(oG )1(1 1
oG?
?
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0
0
静态位置误差系数
? 2 r(t)=t*1(t)时
? 若定义,则
? Kv ess
? 0型 0
? 1型
? 2型 0
)()1(
1lim]
)1()(1
1)1[(lim,
)1()( 1212 zGzTz
Tz
zGzez
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)()1(lim1)1( 11 zGzTTG oz ?? ? )1(
1G
T
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?
静态速度误差系数
? 3 r(t)=0.5t2*1(t)时
? 若定义,则
? 令,则
? Ka ess
? 0型 0
? 1型 0
? 2型
)()1(lim)1( 212 zGzG oz ?? ?
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2
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T
G
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1lim]
)1(2
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)(1
1)1[(lim
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2
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2
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T
z
zzT
zG
ze
o
z
o
zss
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静态加速度误差系数
五,根的位置与暂态特性关系
? 在连续系统分析中，我们知道闭环传函的 S平
面零极点分布，与输出的暂态特性有密切的
关系。例如极点在 S平面左半平面负实轴上，
相当于单调的衰减过程，左半平面内的共轭
复数极点对应衰减的振荡过程，而衰减的快
慢决定于极点实部到原点的距离。对应于采
样系统，闭环系统脉冲传函极点在 Z平面上的
位置，也与输出的暂态响应有密切关系。
连续系统,
单调发散
振荡发散
等幅振荡
振荡收敛
单调收敛
? 离散系统
单调发散
振荡发散 等幅振荡
振荡收敛
单调收敛
? 特征根位置,
? Z平面沿实轴从右向左
单调发散 单调衰减 振荡衰减
等幅振荡 发散振荡
其他位置单位圆由内向外
振荡衰减 等幅振荡 发散振荡
从右向左振荡频率增加
采样系统闭环极点选取原则
? 由上述分析可知，极点位于单位圆内是稳定
的，但应尽量避免选在左半圆，特别是靠近
负实轴边界处，此处振荡频率高而且衰减很
慢。最好位置选择在单位圆内正实轴上且靠
近原点，此时系统输出单调衰减，且收敛速
度极快。
概念介绍（反映系统动态品质）
? 一,等频线（等 线）
? 在 S平面上，等频线是一条平行于实轴的直
线，频率 恒定
? 对应到 Z平面上，映射成了从原点出发向外
辐射的一条直线，与实轴夹角
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平面上，极点
线）等衰减系数曲线（等
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线为一对数螺旋线等平面内在 ?
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