§ 3 根轨迹方法的推
广
常规根轨迹－以开环增益 K为可变参量
这些参数必须以 线性乘法因子 形式出现在
特征方程中。
（如某些开环零极点、调节器 PID参数
或者系统的时间常数等）
参数根轨迹－其它参数为变量
1,单参数根轨迹
绘制参数根轨迹的步骤如下,
(2) 列写 等效 系统的 开环传递函数 (GH )e 。
(1) 写出原系统的特征方程式；
l 概念,指具有相同的闭环特征方程,
eGHGH )(11 ???
l 做法,从原系统的特征方程出发，把参变量的乘
积项写到分子上，其余部分写在分母上。这样,
参变量移到 K的位置。
因而具有相同的闭环特征根，即相同的根轨迹。
(3) 把等效系统的参数当作原系统中的增益 K,以常
规根轨迹的绘制规则，绘制参数根轨迹。
绘制参数根轨迹的关键是得到 等效开环传递函数 。
（ 1）等效开环传递函数
以下图所示的调节系统为例说明。
)(sa
KpGc(s)
﹢ ﹣
R(s) Y(s)
,)()(0 sa KKsG pc?开环传递函数：
?eGH ][
0)( ?? pc KKsa闭环特征方程：
pc KKK ?
,)( cc KsG ?1,为变量。以 cK
???? 0:,0,cKK
p
c K
KK ?
闭环特征方程相同。
pc KK
)(sa
2,
)(sa
KpGc(s)
﹢ ﹣
R(s) Y(s)
开环传递函数：
闭环特征方程：
,)()(
pc
dpc
e KKsa
sTKKGH
??
,)()(0 sa sTKKKKsG dpcpc ??
，0)( ??? sTKKKKsa dpcpc
闭环特征方程相同。
pcddpc KKKTTKKK /,??
)1()( sTKsG dcc ?? 为变量。以 dT,
3,
)(sa
KpGc(s)
﹢ ﹣
R(s) Y(s)
)11()(
sT
KsG
i
cc ??
,)( )()(
1
0 ssa
sKKsG iTpc ??
sKKssa
KKGH
pc
Tpc
e
i
?? )()(
1
,/ ipc TKKK ?
闭环特征方程,0)( 1 ???? iTpcpc KKsKKssa
。有相同的闭环特征方程
?
?
?
??
??
0:
0:
iT
K
K
KKT pc
i ?
为变量。以 iT,
参数根轨迹绘制总结,
l 关键点 要把新参数移到原 K的位置上，利用常规
根轨迹的画法。
▲ 等效只等效在闭环特征方程和它的解 (闭环极点 )
上，不等效在闭环传递函数上。
l 移动的原则 是等效系统的闭环特征方程必须和原
系统相同。
必须注意,
▲ 参数根轨迹只用在分析闭环极点对系统的影响,
不能用于分析整个闭环系统。
▲ 闭环零点往往是不相同的，而闭环零点对相同的
闭环过程也有影响。
（ 2）参数根轨迹的画法
绘制当对象的开环极点 p（ 可以认为是时间
常数）变化时的参数根轨迹。
例 4-3-1
① 开环传递函数,
)(
4
pss ?﹢ ﹣
R(s) Y(s)
图 4-11
)(
4)()(
psssHsG ??
开环极点,ppp ??? 21,0
特征方程, 042 ??? pss
K=4
② 等效系统的开环传递函数
4)( 2 ?? s
psGH
e )2)(2( jsjs
ps
???
分析,
l 等效系统有两个开环极点,一个开环零点 0。 2j?
l 根轨迹起点于,终止于零和无穷远处。 2j?
● 渐近线,0,1 8 01/1 8 0 00 ???? a
Im(s)
Re(s)
×
×
● -2
P→∞
∞←P
P=0 j2
-j2
● 求会合点坐标,
,0)(1 ?? eGH,4
2
s
sp ???
042
2
???? ssdsdP,2??s 在根轨迹上2??s
●
4)( 2 ?? s
psGH
e
l 负实轴为根轨迹，有一会合点。
P=0
把 s＝ -2代入 p的公式，求出此点 p=4。
研究开环极点对闭环极点的影响
还可以画出在 p=0时,K从零到无穷大变化时的根轨迹。
此时，系统的开环传递函数为,
2)0()()( s
K
ss
KsHsG ?
??
开环极点,0,0 21 ?? pp
特征方程：,02 ?? Ks,Kjs ??
???? 0:,0,sK
根轨迹为两条从原点出发，沿正负虚轴
趋向无穷远处的轨迹 。
0 ×
j2(K=4)
-j2(K=4)
p=0
×
图 4-13
2js ??在 处两图都有 K=4,p=0。 比较
2、多参数根轨迹
当系统中有两个以上参数变化时的根轨迹
叫作根轨迹族。
根轨迹族的一般做法是,
l 随后，改变第一个参数值，重复前面的过程画出
根轨迹。
每次选定一个参数为常数，让另一个参数从零
变 化到无穷大，画出根轨迹；
有两种做法,
以上述系统为例，绘出当系统开环增益 K和开环极点 p
从零到无穷大变化时的根轨迹族。
（ 1）分别取 K为不同值，画出参数 p变化时的根轨迹。
此时，等效开环传递函数为,
Ks
psGH
e ?? 2)(
K
K
l 复平面上的根轨迹是以原点为圆
心，半径是 的半圆，与实轴
交点在 - 。见图 。
Kj?
l 起点于等效开环传递函数的极
点,止于零和无穷远处。
))(( KjsKjs
ps
??
?
●
-1 -2 -3 P=∞
P=0
j1(K=1)
j2 (K=4)
j3 (K=9)
● ● ●
●
Kjs ??2,1
对应于任何 K,都有 2条根轨迹。
（ 2）分别取 p为不同值，画出参数 K变化时的根轨迹。
此时，开环传递函数为,
)()( pss
KsG
o ??
? 对应于任意 p值都有 2条根轨迹；
? 起点在开环极点 0和 -p；
? 实轴上根轨迹在 -p和 0之间；
? 分离点坐标是 -p/2,分离角为
± 90°；
? 2条根轨迹经 -p/2交点后，分别平
行于虚轴，趋向无穷远处。
× × 0 -3 -2 -1 ∣ ∣ ∣
P=2 P=4
表面看来,
P=2 P=4
上述两图方程不同，但仔细观察，在两图
中，当 K和 p取相同一组值时，特征根 s也取相同值。
● ● ● ●
-1 -2 -3 P=∞
P=0
j1(K=1)
j2(K=4)
j3(K=9)
)()()( pss
KsHsG
?? ))(()( KjsKjs
psGH
e ???
如 K=4,p=4,s=-2,
× 0 -3 -2 -1 ∣ ∣ ∣ ● ●
● ●
31,2,4 jspK ?????
§ 4 控制系统根轨迹分析
l 根轨迹法是一种图解法。
l 即增加校正装置，改变根轨迹的形状，从而满
足系统设计的要求。
l 例如，不仅仅改变调节器参数 Kc,而且改变调
节器结构，给系统增加开环零极点。
l 这种方法清楚的表明了参数变化的影响。
l 它是当系统的某一参数从零变化到无穷大时，根
据开环零极点求取全部闭环极点的方法。
l 但是，在很多时候，只调整增益不能满足系统的
性能。此时必须改造根轨迹。
以下,l 主要分析和讨论影响根轨迹形状的因素如系统特征
根在 S平面上的位置与动态指标的关系,
l 目的在于给出系统设计的指导方向。
l 改变或增加开环零极点对闭环特征根以及系统质量
的影响,
一,特征根与系统动态指标的关系
● 系统的稳定性由闭环特征根决定的。
全部根的实数部分都为负值时，系统才是稳定的，
否则都是不稳定的。 l 线性定常系统的特征方程式有两种性质的特征根,
一种是实数，另一种是成对的共轭复数。
l 一个闭环系统的闭环特征方程式可按因式分解的
方法分解为,
))()(),,, ()(( 111121 ??????????? jsjspspsps q
0))(...( ????????? rrrr jsjs
其中 q+2r＝ n。
))()(),,, ()(( 111121 ??????????? jsjspspsps q
0))(...( ????????? rrrr jsjs
其中 q+2r＝ n。
▲ s平面上每个实数根 -pi,i=1,2,…q 在解中提供一
个指数分量，其过渡过程表现为 。tpi iec ?
▲ 每一对共轭复根 提供一个振荡的分量，
对应的过渡过程表现形式为
?? ???? j
)s i nc o s( tjtAe ti ?????
▲ 线性定常系统的过渡过程是由这两类分量叠加而
成的，高阶系统是由低阶系统组合而成。
▲ 因此，从根的性质就可以估计出原微分方程解 (或
过渡过程 )的形状。
共轭复根
j
5
0
10
-5
×
×
× ×
× ×
1
1
2
2
3
3
见图。
它们对应的单位阶跃响应过渡曲线见图。 的虚部,
1和 3有相同 2和 3 有相同的实部； 轴有相同的夹角；
1和 2对实 在 s左半平面有三类共轭复根,
2002,1 1 ???????? js dj?????
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
1 2
3
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
1 2
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
1
3
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
2 3
j
5
0
10
-5
×
×
× ×
× ×
1
1
2
2
3
3
特征根与系统动态指标的关系
1、超调量 σ和衰减比 n
超调量
%10021 ?? ?
?
?
??
? e
衰减比 2
1
2
??
??
? en
?
??? ? dtg 1
它们与实轴的夹角,
如果两个复根同处在一条从原点发出的射线上时,
?
??? ? 21 1tg
在 s平面上与实轴有相同夹角的直线叫 等 ξ线,
落在等 ξ线上的特征根对应相同的衰减比和超调量。
ζ越小，系统越振荡，超调量越
大，衰减比越小，相对的稳定性变差。
等 ξ线越靠近虚轴,
φ
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
1 2
×
×
×
×
1
2
线等 d?
d
pt ?
?
??
? 2
1
2
2
?
?
?
它是极点虚部的函数。
在 s平面上平行于实轴的直
线叫作 等频线 (等 线 )。 d?
落在这条线上的极点具有相同
的虚部，它们的峰值时间相同，
振荡频率相同。
2、峰值时间 tp
等频线离实轴越远，则 tp越短，
振荡频率越高,tp反比于虚部值。
djjs ?????? ??????? 2002,1 1
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
1
3
d?
j
5
0
10
-5
× ×
× ×
1 3
3、调节时间 ts（ 过渡时间）
%)5(33
0
???????st %)2(44
0
???????st
它是极点实部的函数。
在 s平面上平行于虚轴的直线叫作
等 α线 。
等 α线离虚轴越远，它所
对应的过渡过程时间 ts越
短。 ts与实部值成反比。
线等 ?
落在这条线上的极点具有 相同 的
实部,它们对应 相同 的 过渡时间 。
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
2 3
0???
d?×
×
×
×
2
3
4、余差
余差是系统的 稳态值 与 设定值 之差。
而前面所述的三种是 动态 指标的。
这个指标是系统达到稳定以后的性质，属于 静
态 的,
余差可以从闭环传递函数的 终值定理 求得。
这个指标与过渡过程的暂态部分无关，即与特征
根无关，因而不能表示在根平面上。
综上所述,在五种常用的质量指标中，四种动态
指标可以在根平面中用三种直线表示。
l 衰减比和超调量都可以用等 ζ线代表
i
0
等频线
等
α线
合格区
l 当闭环系统的一对主要特征根落在这个合格
区内时，系统的质量就能够达到原定的要求。
l 它们重合的部分就符合各个指标。
l 这三种直线的合格区域都可以用
阴影表示出来，如图 3-22中所示。
l 振荡频率用等频线代表
l 过渡时间用等 α线代表
二,开环极点对系统质量的影响
例 4-4-1 传递函数为,
)5.0)(2.0)(1.0()(0 ???? sss
KsG
)12)(15)(110(
100
??? sss
K
)1)(1)(1(
100
321 ???
? sTsTsT K
渐近线,
3
5.02.01.0 ????a
?? 1 8 0,60
3
1 8 0 ?? l夹角 φ,
与实轴交点：,27.0??
与虚轴交点, 001.017.08.0 23 ????? Ksss
,126.0?K 41.0js ??
2151101
3
3
2
2
1
1 ????????? sTsTsT
分离点,-0.146,dK/ds=0
例 4-4-1
)1)(1)(1(
100)(
321
0 ???? sTsTsT
KsG传递函数,
渐近线,?? 180,60???夹角, 与实轴交点：,27.0??a
与虚轴交点,,126.0?K 41.0js ??
时间常数的变化相当于 开环极点 的变化。
根轨迹如图所示。
1
0.5
0
-0.5
-1
-0.1 -0.5 -0.2 0
× × ×
如果,
l 渐近线,25.0??a
?? 1 8 0,60
3
1 8 0 ?? l夹角 φ,
与实轴交点,
将 -0.2 这个开环极点增大到 –0.16，相当于时
间常数 T2 从 5 增大至 6.25，其根轨迹如图所示。
1
0.5
0
-0.5
-1
-0.5 -1.5 -1 0
× ×
l 分离点,-0.13
l 与虚轴交点,
38.0,1.0 jsK ???
可以看出，一个开环极点增大 (向右移动 )，闭环系
统的一对主要复根的轨迹必然会向右移动。
52.012 ???T
)41.0( js ??
（ -0.146）
1
0.5
0
-0.5
-1
-01 -0.3 -0.2 0
开环极点增大,可以通过调整 K保持衰减系数不变
（等 ζ 线），但 过渡过程时间必然增加, 使系统稳
定的 K值下降（ 0.41→0.38) 。
反之,T2↓, 极点左移，相同 ζ, K↑, es,ts↓ 。
× × × ×
0.1
-0.05
-0.2 -0.4
0
0
0.05
-0.1
0.05
-0.05
-0.5 -1.5 -1
0
0
例 4-4-2 研究单极点系统中，增加极点对根轨迹的影响。
×
（ a） 单极点系统
5.0?s K
×
（ b） 双极点
)2.0)(5.0( ?? ss K
1
0.5
0
-0.5
-1
-02 -6 -4 0
× ×
（ c） 三极点
)1.0)(2.0)(5.0( ??? sss Kl 增加开环极点 （在右边增加）
相当于增加系统的时间常数,使根轨迹向右方移动，
降低系统的稳定性，增加系统的过渡时间。
× ×
l 原点处增加一极点
相当于在系统中增加积分作用，与图（ c） 类似，降
低稳定性，但可以消除余差。 作业,A-4-10,A-4-14
三,开环零点对系统质量的影响
在开环传递函数上增加零点,
l 这一控制的效果是在系统中引入超前量，加快
瞬态响应。
l 在前向通道传递函数中增加零点，意味着对系
统增加 微分作用 。
l 可以导致根轨迹向左方面移动，从而 增加 系统
的 稳定性, 减小 系统响应的 过渡时间 。
图 4-17是系统的根轨迹。
? 它在小增益时是稳定的，在大增益时是不稳定的。
? 增加零点后，系统对所有增益值都是稳定的。
? 零点越靠近虚轴，系统性能越好,
? 与增加极点的效果相反。
4-18 4-19 4-20 4-17
例 4-4-3 绘制某开环传递函数的根轨迹，分析 Td的影响。
)1)(1)(4(
1)(
0 ???? ssssG )1)(1)(4(
)( 1
???
??
sss
sKT dTd
相当于增加一个 的开环零点。
dT
z 1??
(1)若 Td=0,
与虚轴无交点。 分离点 s=0.12,
渐近线 φ ＝± 60°,a= -1.3,
系统 闭环特征方程,
044 23 ????? Ksss
无论 K取何值，系统皆不稳定。
根轨迹如图 (a)。
10
0
-10
-5 -15 -10 0 5
× ×
(a) Td=0
增加微分作用的影响
)1( ?? sTK d
×
(2)若选用 Td=0.5,
)1)(1)(4(
)2(5.0)(
0 ???
??
sss
sKsG
增加一个零点 -2。
它具有三个极点及一个零点，表示在图 (b)中。
10
0
-10
-2 -4 0
× ○
(b) Td=0.5
增加微分作用的影响
l 渐近线, φ＝± 90°,
13
)2(114
?
??????a坐标,1??
l 实轴分离点 坐标（重根点）
在 -0.15，与虚轴无交点。
l 关键点的 K值,
原点, s=0,K=4
分离点, s=-0.15,K=4.07,
4:1衰减点, s= -0.8± j3.5, K=35.4。（ ζ=0.707）
l 相应的根轨迹如图 (b)所示。
例 4-4-3
× ×
分析,
结论：微分作用有增强系统稳定性的功能。
l 从这里可以明显地看出微分作用对系统控制质量的
改进。
l 而且放大倍数大一点，闭环特征根会离开虚轴更远
一点，使过渡时间 ts更小一点。
l 只要 K调整的大一点，使 K > 4以后系统总是稳定的。
l 它把根轨迹从原来弯向不稳
定的那部分拉进了稳定区域,
亦即提高了系统的稳定性。
l 从图中的轨迹可以看出，当
增加了 Td＝ 0.5 的微分作用
后，出现 -2的一个零点。
例 4-4-3 10
0
-10
-2 -4 0
× ○
图 4-21 增加微分作用
的影响
(b) Td=0.5
× ×
（ 3）若选用 Td=1.25,增加一 -0.8的零点，微
分作用更强，开环零点更靠近虚轴。
)1)(1)(4(
)8.0(25.1
0 ???
??
sss
sKG
渐近线坐标：,6.1
2
)8.0(114 ????????a φ=± 90°,
实轴分离点坐标,a=-2,与虚轴无交点。
几个关键点的 K值,
相应的根轨迹如图（ c） 所示。
在 分离点 s=-2,K=4
在 原点 s=0,K＝ 4,
例 4-4-3
5
0
-5
-2 -4 0
○
（ c） Td=1.25
增加微分作用的影响
× × ×
例 4-4-3
结论,(c) Td=1.25 (b) Td=0.5 (a) Td=0
（ 1）当 微分时间加大 （开环零点更靠近虚轴时）：一对
复数极点会离开虚轴更远一些，对过渡过程的影响
更
小，使一个靠近原点的实数极点变为决定性的主要
特
征根，过程的振荡减弱，系统更加稳定了。 微分作
用
加大（即开环零点更靠近虚轴）有助于改善系统性
能。
（ 2）但微分作用并不是越大越好，相反，太大系统性
能反而变差，有一个 限度问题 。
例 4-4-4 画出例 4-4-3以 Td为参变量的根轨迹（ K＝ 50） 。
)1)(1)(4(
)1()(
0 ???
??
sss
sTKsG d
等效开环传递函数是
Ksss
sKTGH d
e ????? )1)(1)(4()(
-1 -3 -5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
j
×
●
×
× ? 通过试差法求解 s值
)74.2815.0)(74.2815.0)(63.5(
)0(50)(
jsjss
sTGH d
e ?????
??
)1)(1)(4( ???? sss
KGH
作出根轨迹,再读出 K＝ 50的三个根。
? 或者按 作出
dTK 50?设
等效开环传递函数有一个零点，及三个极点。
74.2815.0,63.5,0 3,211 jssz ?????
-1 -3 -5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
j
×
●
×
×
可得到下列数据 （ K=50）
Td=0.254 0.4 0.565 1.01
渐进线, φ ＝± 90°,a=-2,
与虚轴交点,
05050)1)(1)(4( ?????? sTsss d
046)150(4 23 ????? sTss d
25.0?dT
46
05.1250
464
1501
1
2
3
s
Ts
s
Ts
d
d
?
?
0464 2 ??s
39.3js ??
从复数极点的 出射角,± 138.4°
例 4-4-4
Td > 0.25,系统才稳定；
随着 Td↑,ω↑,振荡频率增加，
根轨迹离虚轴远,ts减少；
但 Td再增加,ts减少减慢，振
荡频率急剧增加，不利于稳定。
Td=1.4
1.12
1.07
0.625
0.528
0.20
§ 5 控制系统根轨迹设计方法
一,设计准则
系统设计所依据的性能指标为：稳态指标与动态指标。
（ 1）稳态性能指标（稳态误差 es）,
对应于给定输入 x(t)所引起的偏差 esx,
对阶跃响应
p
s Ke ?? 1
1
Kaes
1?加速度响应
Kves
1?斜波响应
esx对 0,1,2型系统有不同的数值。
是位置偏差系数、速
度偏差系数和加速度偏差系数,
avp KKK,,
（ 2）动态性能指标（时域动态性能指标）,
通常以系统的阶跃响应来进行描述,
常用的指标有 上升时间 tr,峰值时间 tp,超调量 σ、
调节时间 ts等。
详细讨论二阶欠阻尼系统的质量指标。
如果高阶系统存在一对闭环主导极点的话，将主导系
统过渡过程的主要形式。
闭环主导极点的定义是,
1、在 S平面上，距离虚轴比较近，且周围没有
其它的零极点。
2、与其它闭环极点距虚轴的距离在 5倍以上。
设计步骤,
i
0
等频线
等
α线
合格区 l 确定系统的根轨迹是否穿过
阴影区域。
l 如果系统的原根轨迹不穿过图示的阴影区域,
就要设计相应的校正装置，增加开环极点和开
环零点，使得校正后的根轨迹落到阴影区域,
从而实现给定的性能要求。
l 如果是，只要调整根轨迹增
益 K就可以完成设计工作。
l 根据提出的性能指标，画出指标
线，确定合格区。
二,校正方法和基本校正装置
（ 1）增加开环极点
增加了新的开环极点可以使得原系统根轨迹的整
体走向在 s平面上向右移（靠近虚轴），其结果是系
统动态性能变坏，但可以改善系统的稳态性能。
（ 2）增加开环零点
增加了新的开环零点，可以使得原系统根轨迹
的整体走向在 s平面上向左移，其结果是系统的动
态性能和稳定性得到改善。
校正方法
（ 3）增加偶极子
实轴上一对距离很近的开环零点和极点，如果附
近没有其他零极点，称为偶极子。
对于校正装置，一般取具有积分性质的偶极子，,II PZ ?
K开 的定义是：当传递函数化为标准形式时的增益项。
①基本不改变原有根轨迹。
②改变开环增益 K开,改善稳态性能。
增加偶极子可以做到,
)1()1(
)1()1()(
1
''
1
0 ??
???
sTsT
sTsTKsG
n
m
?
?开
)()(
)()()(
1
1
0
n
m
psps
zszsKsG
??
???
?
?传递函数的零极点形式
传递函数的标准形式
,
1
1
?
?
?
??
n
i
i
m
i
i
p
zK
K 开
广
常规根轨迹－以开环增益 K为可变参量
这些参数必须以 线性乘法因子 形式出现在
特征方程中。
（如某些开环零极点、调节器 PID参数
或者系统的时间常数等）
参数根轨迹－其它参数为变量
1,单参数根轨迹
绘制参数根轨迹的步骤如下,
(2) 列写 等效 系统的 开环传递函数 (GH )e 。
(1) 写出原系统的特征方程式；
l 概念,指具有相同的闭环特征方程,
eGHGH )(11 ???
l 做法,从原系统的特征方程出发，把参变量的乘
积项写到分子上，其余部分写在分母上。这样,
参变量移到 K的位置。
因而具有相同的闭环特征根，即相同的根轨迹。
(3) 把等效系统的参数当作原系统中的增益 K,以常
规根轨迹的绘制规则，绘制参数根轨迹。
绘制参数根轨迹的关键是得到 等效开环传递函数 。
（ 1）等效开环传递函数
以下图所示的调节系统为例说明。
)(sa
KpGc(s)
﹢ ﹣
R(s) Y(s)
,)()(0 sa KKsG pc?开环传递函数：
?eGH ][
0)( ?? pc KKsa闭环特征方程：
pc KKK ?
,)( cc KsG ?1,为变量。以 cK
???? 0:,0,cKK
p
c K
KK ?
闭环特征方程相同。
pc KK
)(sa
2,
)(sa
KpGc(s)
﹢ ﹣
R(s) Y(s)
开环传递函数：
闭环特征方程：
,)()(
pc
dpc
e KKsa
sTKKGH
??
,)()(0 sa sTKKKKsG dpcpc ??
，0)( ??? sTKKKKsa dpcpc
闭环特征方程相同。
pcddpc KKKTTKKK /,??
)1()( sTKsG dcc ?? 为变量。以 dT,
3,
)(sa
KpGc(s)
﹢ ﹣
R(s) Y(s)
)11()(
sT
KsG
i
cc ??
,)( )()(
1
0 ssa
sKKsG iTpc ??
sKKssa
KKGH
pc
Tpc
e
i
?? )()(
1
,/ ipc TKKK ?
闭环特征方程,0)( 1 ???? iTpcpc KKsKKssa
。有相同的闭环特征方程
?
?
?
??
??
0:
0:
iT
K
K
KKT pc
i ?
为变量。以 iT,
参数根轨迹绘制总结,
l 关键点 要把新参数移到原 K的位置上，利用常规
根轨迹的画法。
▲ 等效只等效在闭环特征方程和它的解 (闭环极点 )
上，不等效在闭环传递函数上。
l 移动的原则 是等效系统的闭环特征方程必须和原
系统相同。
必须注意,
▲ 参数根轨迹只用在分析闭环极点对系统的影响,
不能用于分析整个闭环系统。
▲ 闭环零点往往是不相同的，而闭环零点对相同的
闭环过程也有影响。
（ 2）参数根轨迹的画法
绘制当对象的开环极点 p（ 可以认为是时间
常数）变化时的参数根轨迹。
例 4-3-1
① 开环传递函数,
)(
4
pss ?﹢ ﹣
R(s) Y(s)
图 4-11
)(
4)()(
psssHsG ??
开环极点,ppp ??? 21,0
特征方程, 042 ??? pss
K=4
② 等效系统的开环传递函数
4)( 2 ?? s
psGH
e )2)(2( jsjs
ps
???
分析,
l 等效系统有两个开环极点,一个开环零点 0。 2j?
l 根轨迹起点于,终止于零和无穷远处。 2j?
● 渐近线,0,1 8 01/1 8 0 00 ???? a
Im(s)
Re(s)
×
×
● -2
P→∞
∞←P
P=0 j2
-j2
● 求会合点坐标,
,0)(1 ?? eGH,4
2
s
sp ???
042
2
???? ssdsdP,2??s 在根轨迹上2??s
●
4)( 2 ?? s
psGH
e
l 负实轴为根轨迹，有一会合点。
P=0
把 s＝ -2代入 p的公式，求出此点 p=4。
研究开环极点对闭环极点的影响
还可以画出在 p=0时,K从零到无穷大变化时的根轨迹。
此时，系统的开环传递函数为,
2)0()()( s
K
ss
KsHsG ?
??
开环极点,0,0 21 ?? pp
特征方程：,02 ?? Ks,Kjs ??
???? 0:,0,sK
根轨迹为两条从原点出发，沿正负虚轴
趋向无穷远处的轨迹 。
0 ×
j2(K=4)
-j2(K=4)
p=0
×
图 4-13
2js ??在 处两图都有 K=4,p=0。 比较
2、多参数根轨迹
当系统中有两个以上参数变化时的根轨迹
叫作根轨迹族。
根轨迹族的一般做法是,
l 随后，改变第一个参数值，重复前面的过程画出
根轨迹。
每次选定一个参数为常数，让另一个参数从零
变 化到无穷大，画出根轨迹；
有两种做法,
以上述系统为例，绘出当系统开环增益 K和开环极点 p
从零到无穷大变化时的根轨迹族。
（ 1）分别取 K为不同值，画出参数 p变化时的根轨迹。
此时，等效开环传递函数为,
Ks
psGH
e ?? 2)(
K
K
l 复平面上的根轨迹是以原点为圆
心，半径是 的半圆，与实轴
交点在 - 。见图 。
Kj?
l 起点于等效开环传递函数的极
点,止于零和无穷远处。
))(( KjsKjs
ps
??
?
●
-1 -2 -3 P=∞
P=0
j1(K=1)
j2 (K=4)
j3 (K=9)
● ● ●
●
Kjs ??2,1
对应于任何 K,都有 2条根轨迹。
（ 2）分别取 p为不同值，画出参数 K变化时的根轨迹。
此时，开环传递函数为,
)()( pss
KsG
o ??
? 对应于任意 p值都有 2条根轨迹；
? 起点在开环极点 0和 -p；
? 实轴上根轨迹在 -p和 0之间；
? 分离点坐标是 -p/2,分离角为
± 90°；
? 2条根轨迹经 -p/2交点后，分别平
行于虚轴，趋向无穷远处。
× × 0 -3 -2 -1 ∣ ∣ ∣
P=2 P=4
表面看来,
P=2 P=4
上述两图方程不同，但仔细观察，在两图
中，当 K和 p取相同一组值时，特征根 s也取相同值。
● ● ● ●
-1 -2 -3 P=∞
P=0
j1(K=1)
j2(K=4)
j3(K=9)
)()()( pss
KsHsG
?? ))(()( KjsKjs
psGH
e ???
如 K=4,p=4,s=-2,
× 0 -3 -2 -1 ∣ ∣ ∣ ● ●
● ●
31,2,4 jspK ?????
§ 4 控制系统根轨迹分析
l 根轨迹法是一种图解法。
l 即增加校正装置，改变根轨迹的形状，从而满
足系统设计的要求。
l 例如，不仅仅改变调节器参数 Kc,而且改变调
节器结构，给系统增加开环零极点。
l 这种方法清楚的表明了参数变化的影响。
l 它是当系统的某一参数从零变化到无穷大时，根
据开环零极点求取全部闭环极点的方法。
l 但是，在很多时候，只调整增益不能满足系统的
性能。此时必须改造根轨迹。
以下,l 主要分析和讨论影响根轨迹形状的因素如系统特征
根在 S平面上的位置与动态指标的关系,
l 目的在于给出系统设计的指导方向。
l 改变或增加开环零极点对闭环特征根以及系统质量
的影响,
一,特征根与系统动态指标的关系
● 系统的稳定性由闭环特征根决定的。
全部根的实数部分都为负值时，系统才是稳定的，
否则都是不稳定的。 l 线性定常系统的特征方程式有两种性质的特征根,
一种是实数，另一种是成对的共轭复数。
l 一个闭环系统的闭环特征方程式可按因式分解的
方法分解为,
))()(),,, ()(( 111121 ??????????? jsjspspsps q
0))(...( ????????? rrrr jsjs
其中 q+2r＝ n。
))()(),,, ()(( 111121 ??????????? jsjspspsps q
0))(...( ????????? rrrr jsjs
其中 q+2r＝ n。
▲ s平面上每个实数根 -pi,i=1,2,…q 在解中提供一
个指数分量，其过渡过程表现为 。tpi iec ?
▲ 每一对共轭复根 提供一个振荡的分量，
对应的过渡过程表现形式为
?? ???? j
)s i nc o s( tjtAe ti ?????
▲ 线性定常系统的过渡过程是由这两类分量叠加而
成的，高阶系统是由低阶系统组合而成。
▲ 因此，从根的性质就可以估计出原微分方程解 (或
过渡过程 )的形状。
共轭复根
j
5
0
10
-5
×
×
× ×
× ×
1
1
2
2
3
3
见图。
它们对应的单位阶跃响应过渡曲线见图。 的虚部,
1和 3有相同 2和 3 有相同的实部； 轴有相同的夹角；
1和 2对实 在 s左半平面有三类共轭复根,
2002,1 1 ???????? js dj?????
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
1 2
3
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
1 2
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
1
3
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
2 3
j
5
0
10
-5
×
×
× ×
× ×
1
1
2
2
3
3
特征根与系统动态指标的关系
1、超调量 σ和衰减比 n
超调量
%10021 ?? ?
?
?
??
? e
衰减比 2
1
2
??
??
? en
?
??? ? dtg 1
它们与实轴的夹角,
如果两个复根同处在一条从原点发出的射线上时,
?
??? ? 21 1tg
在 s平面上与实轴有相同夹角的直线叫 等 ξ线,
落在等 ξ线上的特征根对应相同的衰减比和超调量。
ζ越小，系统越振荡，超调量越
大，衰减比越小，相对的稳定性变差。
等 ξ线越靠近虚轴,
φ
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
1 2
×
×
×
×
1
2
线等 d?
d
pt ?
?
??
? 2
1
2
2
?
?
?
它是极点虚部的函数。
在 s平面上平行于实轴的直
线叫作 等频线 (等 线 )。 d?
落在这条线上的极点具有相同
的虚部，它们的峰值时间相同，
振荡频率相同。
2、峰值时间 tp
等频线离实轴越远，则 tp越短，
振荡频率越高,tp反比于虚部值。
djjs ?????? ??????? 2002,1 1
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
1
3
d?
j
5
0
10
-5
× ×
× ×
1 3
3、调节时间 ts（ 过渡时间）
%)5(33
0
???????st %)2(44
0
???????st
它是极点实部的函数。
在 s平面上平行于虚轴的直线叫作
等 α线 。
等 α线离虚轴越远，它所
对应的过渡过程时间 ts越
短。 ts与实部值成反比。
线等 ?
落在这条线上的极点具有 相同 的
实部,它们对应 相同 的 过渡时间 。
y
1.5
0 0.5 2.5 t 1 1.5 2
1
2 3
0???
d?×
×
×
×
2
3
4、余差
余差是系统的 稳态值 与 设定值 之差。
而前面所述的三种是 动态 指标的。
这个指标是系统达到稳定以后的性质，属于 静
态 的,
余差可以从闭环传递函数的 终值定理 求得。
这个指标与过渡过程的暂态部分无关，即与特征
根无关，因而不能表示在根平面上。
综上所述,在五种常用的质量指标中，四种动态
指标可以在根平面中用三种直线表示。
l 衰减比和超调量都可以用等 ζ线代表
i
0
等频线
等
α线
合格区
l 当闭环系统的一对主要特征根落在这个合格
区内时，系统的质量就能够达到原定的要求。
l 它们重合的部分就符合各个指标。
l 这三种直线的合格区域都可以用
阴影表示出来，如图 3-22中所示。
l 振荡频率用等频线代表
l 过渡时间用等 α线代表
二,开环极点对系统质量的影响
例 4-4-1 传递函数为,
)5.0)(2.0)(1.0()(0 ???? sss
KsG
)12)(15)(110(
100
??? sss
K
)1)(1)(1(
100
321 ???
? sTsTsT K
渐近线,
3
5.02.01.0 ????a
?? 1 8 0,60
3
1 8 0 ?? l夹角 φ,
与实轴交点：,27.0??
与虚轴交点, 001.017.08.0 23 ????? Ksss
,126.0?K 41.0js ??
2151101
3
3
2
2
1
1 ????????? sTsTsT
分离点,-0.146,dK/ds=0
例 4-4-1
)1)(1)(1(
100)(
321
0 ???? sTsTsT
KsG传递函数,
渐近线,?? 180,60???夹角, 与实轴交点：,27.0??a
与虚轴交点,,126.0?K 41.0js ??
时间常数的变化相当于 开环极点 的变化。
根轨迹如图所示。
1
0.5
0
-0.5
-1
-0.1 -0.5 -0.2 0
× × ×
如果,
l 渐近线,25.0??a
?? 1 8 0,60
3
1 8 0 ?? l夹角 φ,
与实轴交点,
将 -0.2 这个开环极点增大到 –0.16，相当于时
间常数 T2 从 5 增大至 6.25，其根轨迹如图所示。
1
0.5
0
-0.5
-1
-0.5 -1.5 -1 0
× ×
l 分离点,-0.13
l 与虚轴交点,
38.0,1.0 jsK ???
可以看出，一个开环极点增大 (向右移动 )，闭环系
统的一对主要复根的轨迹必然会向右移动。
52.012 ???T
)41.0( js ??
（ -0.146）
1
0.5
0
-0.5
-1
-01 -0.3 -0.2 0
开环极点增大,可以通过调整 K保持衰减系数不变
（等 ζ 线），但 过渡过程时间必然增加, 使系统稳
定的 K值下降（ 0.41→0.38) 。
反之,T2↓, 极点左移，相同 ζ, K↑, es,ts↓ 。
× × × ×
0.1
-0.05
-0.2 -0.4
0
0
0.05
-0.1
0.05
-0.05
-0.5 -1.5 -1
0
0
例 4-4-2 研究单极点系统中，增加极点对根轨迹的影响。
×
（ a） 单极点系统
5.0?s K
×
（ b） 双极点
)2.0)(5.0( ?? ss K
1
0.5
0
-0.5
-1
-02 -6 -4 0
× ×
（ c） 三极点
)1.0)(2.0)(5.0( ??? sss Kl 增加开环极点 （在右边增加）
相当于增加系统的时间常数,使根轨迹向右方移动，
降低系统的稳定性，增加系统的过渡时间。
× ×
l 原点处增加一极点
相当于在系统中增加积分作用，与图（ c） 类似，降
低稳定性，但可以消除余差。 作业,A-4-10,A-4-14
三,开环零点对系统质量的影响
在开环传递函数上增加零点,
l 这一控制的效果是在系统中引入超前量，加快
瞬态响应。
l 在前向通道传递函数中增加零点，意味着对系
统增加 微分作用 。
l 可以导致根轨迹向左方面移动，从而 增加 系统
的 稳定性, 减小 系统响应的 过渡时间 。
图 4-17是系统的根轨迹。
? 它在小增益时是稳定的，在大增益时是不稳定的。
? 增加零点后，系统对所有增益值都是稳定的。
? 零点越靠近虚轴，系统性能越好,
? 与增加极点的效果相反。
4-18 4-19 4-20 4-17
例 4-4-3 绘制某开环传递函数的根轨迹，分析 Td的影响。
)1)(1)(4(
1)(
0 ???? ssssG )1)(1)(4(
)( 1
???
??
sss
sKT dTd
相当于增加一个 的开环零点。
dT
z 1??
(1)若 Td=0,
与虚轴无交点。 分离点 s=0.12,
渐近线 φ ＝± 60°,a= -1.3,
系统 闭环特征方程,
044 23 ????? Ksss
无论 K取何值，系统皆不稳定。
根轨迹如图 (a)。
10
0
-10
-5 -15 -10 0 5
× ×
(a) Td=0
增加微分作用的影响
)1( ?? sTK d
×
(2)若选用 Td=0.5,
)1)(1)(4(
)2(5.0)(
0 ???
??
sss
sKsG
增加一个零点 -2。
它具有三个极点及一个零点，表示在图 (b)中。
10
0
-10
-2 -4 0
× ○
(b) Td=0.5
增加微分作用的影响
l 渐近线, φ＝± 90°,
13
)2(114
?
??????a坐标,1??
l 实轴分离点 坐标（重根点）
在 -0.15，与虚轴无交点。
l 关键点的 K值,
原点, s=0,K=4
分离点, s=-0.15,K=4.07,
4:1衰减点, s= -0.8± j3.5, K=35.4。（ ζ=0.707）
l 相应的根轨迹如图 (b)所示。
例 4-4-3
× ×
分析,
结论：微分作用有增强系统稳定性的功能。
l 从这里可以明显地看出微分作用对系统控制质量的
改进。
l 而且放大倍数大一点，闭环特征根会离开虚轴更远
一点，使过渡时间 ts更小一点。
l 只要 K调整的大一点，使 K > 4以后系统总是稳定的。
l 它把根轨迹从原来弯向不稳
定的那部分拉进了稳定区域,
亦即提高了系统的稳定性。
l 从图中的轨迹可以看出，当
增加了 Td＝ 0.5 的微分作用
后，出现 -2的一个零点。
例 4-4-3 10
0
-10
-2 -4 0
× ○
图 4-21 增加微分作用
的影响
(b) Td=0.5
× ×
（ 3）若选用 Td=1.25,增加一 -0.8的零点，微
分作用更强，开环零点更靠近虚轴。
)1)(1)(4(
)8.0(25.1
0 ???
??
sss
sKG
渐近线坐标：,6.1
2
)8.0(114 ????????a φ=± 90°,
实轴分离点坐标,a=-2,与虚轴无交点。
几个关键点的 K值,
相应的根轨迹如图（ c） 所示。
在 分离点 s=-2,K=4
在 原点 s=0,K＝ 4,
例 4-4-3
5
0
-5
-2 -4 0
○
（ c） Td=1.25
增加微分作用的影响
× × ×
例 4-4-3
结论,(c) Td=1.25 (b) Td=0.5 (a) Td=0
（ 1）当 微分时间加大 （开环零点更靠近虚轴时）：一对
复数极点会离开虚轴更远一些，对过渡过程的影响
更
小，使一个靠近原点的实数极点变为决定性的主要
特
征根，过程的振荡减弱，系统更加稳定了。 微分作
用
加大（即开环零点更靠近虚轴）有助于改善系统性
能。
（ 2）但微分作用并不是越大越好，相反，太大系统性
能反而变差，有一个 限度问题 。
例 4-4-4 画出例 4-4-3以 Td为参变量的根轨迹（ K＝ 50） 。
)1)(1)(4(
)1()(
0 ???
??
sss
sTKsG d
等效开环传递函数是
Ksss
sKTGH d
e ????? )1)(1)(4()(
-1 -3 -5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
j
×
●
×
× ? 通过试差法求解 s值
)74.2815.0)(74.2815.0)(63.5(
)0(50)(
jsjss
sTGH d
e ?????
??
)1)(1)(4( ???? sss
KGH
作出根轨迹,再读出 K＝ 50的三个根。
? 或者按 作出
dTK 50?设
等效开环传递函数有一个零点，及三个极点。
74.2815.0,63.5,0 3,211 jssz ?????
-1 -3 -5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
j
×
●
×
×
可得到下列数据 （ K=50）
Td=0.254 0.4 0.565 1.01
渐进线, φ ＝± 90°,a=-2,
与虚轴交点,
05050)1)(1)(4( ?????? sTsss d
046)150(4 23 ????? sTss d
25.0?dT
46
05.1250
464
1501
1
2
3
s
Ts
s
Ts
d
d
?
?
0464 2 ??s
39.3js ??
从复数极点的 出射角,± 138.4°
例 4-4-4
Td > 0.25,系统才稳定；
随着 Td↑,ω↑,振荡频率增加，
根轨迹离虚轴远,ts减少；
但 Td再增加,ts减少减慢，振
荡频率急剧增加，不利于稳定。
Td=1.4
1.12
1.07
0.625
0.528
0.20
§ 5 控制系统根轨迹设计方法
一,设计准则
系统设计所依据的性能指标为：稳态指标与动态指标。
（ 1）稳态性能指标（稳态误差 es）,
对应于给定输入 x(t)所引起的偏差 esx,
对阶跃响应
p
s Ke ?? 1
1
Kaes
1?加速度响应
Kves
1?斜波响应
esx对 0,1,2型系统有不同的数值。
是位置偏差系数、速
度偏差系数和加速度偏差系数,
avp KKK,,
（ 2）动态性能指标（时域动态性能指标）,
通常以系统的阶跃响应来进行描述,
常用的指标有 上升时间 tr,峰值时间 tp,超调量 σ、
调节时间 ts等。
详细讨论二阶欠阻尼系统的质量指标。
如果高阶系统存在一对闭环主导极点的话，将主导系
统过渡过程的主要形式。
闭环主导极点的定义是,
1、在 S平面上，距离虚轴比较近，且周围没有
其它的零极点。
2、与其它闭环极点距虚轴的距离在 5倍以上。
设计步骤,
i
0
等频线
等
α线
合格区 l 确定系统的根轨迹是否穿过
阴影区域。
l 如果系统的原根轨迹不穿过图示的阴影区域,
就要设计相应的校正装置，增加开环极点和开
环零点，使得校正后的根轨迹落到阴影区域,
从而实现给定的性能要求。
l 如果是，只要调整根轨迹增
益 K就可以完成设计工作。
l 根据提出的性能指标，画出指标
线，确定合格区。
二,校正方法和基本校正装置
（ 1）增加开环极点
增加了新的开环极点可以使得原系统根轨迹的整
体走向在 s平面上向右移（靠近虚轴），其结果是系
统动态性能变坏，但可以改善系统的稳态性能。
（ 2）增加开环零点
增加了新的开环零点，可以使得原系统根轨迹
的整体走向在 s平面上向左移，其结果是系统的动
态性能和稳定性得到改善。
校正方法
（ 3）增加偶极子
实轴上一对距离很近的开环零点和极点，如果附
近没有其他零极点，称为偶极子。
对于校正装置，一般取具有积分性质的偶极子，,II PZ ?
K开 的定义是：当传递函数化为标准形式时的增益项。
①基本不改变原有根轨迹。
②改变开环增益 K开,改善稳态性能。
增加偶极子可以做到,
)1()1(
)1()1()(
1
''
1
0 ??
???
sTsT
sTsTKsG
n
m
?
?开
)()(
)()()(
1
1
0
n
m
psps
zszsKsG
??
???
?
?传递函数的零极点形式
传递函数的标准形式
,
1
1
?
?
?
??
n
i
i
m
i
i
p
zK
K 开
