第三节 相平面方法
?相轨迹的特点
?相轨迹的绘制方法
?奇点与极限环
?线性系统相平面分析
?非线性系统相平面分析
?总结
适应于二阶非线性系统,
x
?x
?? (,? )x f x x? ? 0
1 上半平面,
, x增加
方向从左到右
2 下半平面,
, x减少
方向从右到左
x
1
x
2
?x? 0
?x? 0
一 相轨迹的特点
3 所有的轨迹如果穿过 x轴，则方向必定是
垂直的。
4 奇点是平衡点,
对所有二阶系统
均在 x轴上
x
1
x
2
d
d
x
x
2
1
0
0
?
二 相轨迹的绘制方法
?解析法,
例 1：给定二阶系统
解：利用
积分得,
??x x? ?? 2 0
?? ? ?x x xx? dd
? ?x xx xdd ? ?? 2 0? ?x x x xd d? ?? 2 0
?x x A2
2
2 2
?
? ?
x
?x
? A
A
例 2 给定系统
解：由方程 可得,
由初始条件可知,
??x M? ?
?x Mt C? ? ? 1x Mt C t C? ? ? ?12 2 1 2
C1 0? C x2 0?
??x M? ? x x( )0 0?? ( )x 0 0?
?x Mt? ? x Mt x? ? ?12 2 0
? ( ) ( )x x x M M x x2 0 02 2? ? ? ? ?
x
?x
M ? 1
x
0
x
?x
M ? ? 1
x
0
?图解法 —— 等倾线法,
等倾线,
穿过曲线 上任意一点的所有相轨迹
均具有相同的斜率，也就是具有相同的运
动方向。
?
d
d
x
x
f x x
f x x
2
1
2 1 2
1 1 2
? ?(,)(,) ?
f x x f x x2 1 2 1 1 2(,) (,)? ?x x2 1? ? ?(,)
x x2 1? ? ?(,)
一组不同的斜率值，就定义了一组不同的等
倾线。所有这些等倾线给出了相轨迹切线
的方向场
例 3 采用等倾线法画出给定系统的相轨迹,
解：系统可以写作
令,则有
?? ?x x x? ? ?2 02?? ?
? ? ?x xx x xdd ? ? ?2 02?? ?
d
d
?x
x ??
? ?? ?? ?x x x? ? ?2 02
?x
x ?
?
?
?
?? ?
2
2
假定,? ? 0 5,??1
?x x? ?? 11 ?
??0 ?x x??
??? ?x?0
? ? ?1 ?x x ? ? 1 0x x? ? ? ?( ) ?1 0?
? ? ?2 ?x x?
? ? ?4 ?x x? 13
x
?x
? ? ? 1
? ? ? 2
? ? ? 4
? ? ?
? ? 0
?图解法 —— 法
A 相轨迹可以看作是一系列的中心在 x轴上的
小圆弧连接而成
B 动力学方程可以写成,
其中 是一个连续的单值函数。
C 将动力学方程左右两边同时加入一函数，
得
?
?? ( ?,,)x f x x t? ?
f x x t( ?,,)
?? ( ?,,)x x f x x t x? ? ? ?? ?2 2
令
D 为便于绘图，可适当选取 和
E 在 邻域内，取
F 新的运动方程为
? ??? ? ?f x x t x( ?,,)
2
2
? ?
),,( 111 txx?
? ?1 1 1 1? ?( ?,,)x x t c o n s t
??x x? ?? ? ?2 2 1
?? ( )x x? ? ?? ?2 1 0
G 对上述方程求解
H 相轨迹为
圆心,
半径,
? ( )x x A2 2 1 2 2? ? ?? ?
? ( )x x B
? ?
?
??
?
?? ? ? ?
2
1 2 2
x
?x
?
P x
x
t(,
?
,)
1
1
1
?
Q (,)?
1
0
? ? ? ?PQ ? ? ??x x1 2 1 1 2? ?
(,)?1 0
例 用 法绘出给定系统的相轨迹
（ 1）系统运动方程为
令 则
?
?? ?x x x? ? ?2 02?? ?
?? ?x x x? ? ?? ??2 2
? ??? ? ?? ? ? ?2 22 ? ?x x
??x x? ?? ? ?2 2
? ( )x x R
? ?
?
??
?
?? ? ? ?
2
2 2
（ 2）对于给定点
? ? ? ?R x x x1 1 2 1 1 22? ? ?? ?? ? ?
? ? ?1 12? ? ?x
(,? )x x1 1
x
y
x
?
?
?
? 2 ? y
AB
y
B
y
A
y
AB
B
A
?
1
2 ?
?A
三 奇点与极限环
?奇点类型,
稳定焦点
x
?x
?
1
?
2
?
j ?
不稳定焦点
x
?x
?
1
?
2
?
j ?
稳定节点
x
?x
?
1
?
2
?
j ?
?
1
?
2
说明,
1 斜率为 和 的直线是相轨迹
2 斜率为 和 的直线也是渐近线
3 如果,则当 时，所有的相轨
迹均趋向于渐近线
?1 ?2
?1 ?2
? ?1 2? t??
?1
不稳定节点,
如果,则当 时，系统的主要运动
形式为
x
?x
?
1
?
2
?
j ?
?
1
?
2
t??
Ce t?2
? ?1 2?
中点
x
?x
?
1
?
2
?
j ?
鞍点
x
?x
?
1
?
2
?
j ?
?
1
?
2
?极限环：孤立的闭环相轨迹
x
?x
x
?x
Stable limit cycle Untable limit cycle
Semistable limit cycle
x
?x
四 线性系统相平面分析
例 绘出给定二阶系统的相轨迹
解：列出基本方程
K
s Ts( )? 1
?
?
R s( ) E s( ) C s( )
,
C s
R s
K
Ts s K
( )
( ) ? ? ?2
E s
R s
Ts s
Ts s K
( )
( ) ?
?
? ?
2
2
T e e Ke T r r?? ? ?? ?? ? ? ?
输入为阶跃函数,
误差方程为,
r t R t( ) ( )? ? 1 ? ??r r? ? 0
T e e Ke?? ?? ? ? 0
T e e Ke
e R e
?? ?
( ),? ( )
? ? ?
? ?
??
?
0
0 0 0
奇点为
根据二阶系统
稳定焦点
稳定节点
???? ?? 00
2
1xx
e
e
?
?
??
?
0
0?
T K? ?2 0? ? ?
1 4 0? ?KT
1 4 0? ?KT
e
?e
R
e
?e
R
1 4 0? ?KT 1 4 0? ?KT
五 非线性系统相平面分析
例 求出给定系统的相轨迹,
其中非线性环节为,
E s( ) Y s( )?
?
G N
R s( ) K
s Ts( )? 1
M s( )
e
m
k
I II III
e
0
? e
0
m e e eke e e? ????
?
for
for
0
0k?1
解：系统方程为
在 平面上，存在两个微分方程，分成
三个区域。令
C s
M s
K
s Ts
( )
( ) ( )? ? 1
E s R s C s R s Ks Ts M s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? 1
T e e T r r Km?? ? ?? ?? ? ? ?
?e e?
,
e E( )0 0? ?( )e 0 0?
输入为阶跃函数,
奇点,
假设
因为,所以
r t t( ) ( )? 1 ?r?0 ??r?0
T e e Ke
T e e k K e
?? ?
?? ?
? ? ?
? ? ?
??
?
0
0
A r e a s I a n d I I I
A r e a I I
e e? ?0 0,?
1 4 0? ?kK T
k?1 1 4 0? ?KT
? 小输入
(0,0)为稳定节点
? 大输入
(0,0)为稳定焦点
e e? 0
T e e k K e?? ?? ? ? 0
e e? 0
T e e Ke?? ?? ? ? 0
相轨迹
对于 A,C点,(0,0)是稳定焦点
对于 B,D点,(0,0)是稳定节点
e
?e
E
0
I II III
e
0
? e
0 A
B
C
D
加入非线性环节后，加速系统调节过程,
1 当环路中信号较大时,
不完全衰减，误差衰减较快
2 当环路中信号较小时,
严格衰减，完全避免了振荡出现
例 2.具有内部负反馈系统相轨迹的绘制与分析
?对于具有死区特性的非线性系统，当死区范围较
小且线性部分的时间常数教大时，特别容易产生
极限环振荡。在非线性控制系统中采用内部反馈
的方法来抑制或消除极限环振荡。
温度控制系统
0G1GR
X
N
Y Z C
0M
0M
2 K3G
ST
K
0
0
ST
K
1
1
?
?
?
?
?
????
?????
???????
?
?
?
????
???
??
???
?
0)0(
0)0(
00
00
:
)(
)(
0
010
..
10
010
..
10
0
0
0
10
..
102
10
10
310
cxMkkCTT
cxMkkCTT
XXRCCRX
cxM
cxM
s i g n xMy
ykkCTT
STT
kk
sy
sc
GGG
R
为整个闭环系统微分方程
性非线性环节具有继电特
无内部反馈时，
内部反馈特征为执行机构特性，为被控对象特性，
，假设
2.C<0
C
.C
1.C>0
C
.C
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
0
2
,2
0
2
,1
10
0102
10
0102
CAC
TT
MKK
c
CAC
TT
MKK
c
?
?
对应相轨迹方程：
?整个闭环系统的相轨迹就是这样一组封闭极
限环曲线。无论从任何初始值出发都会产生
振荡。只是振荡的幅度和周期不同。
内部反馈 G3来消除振荡
0
00
00
.
0
02
3
.
0
02
00110
.
0
02
00110
0
.
0
0
0
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?????
??????
???
???
C
K
TK
C
G
C
K
TK
CXMKKTT
C
K
TK
CXMKKTT
ZKCT
ST
K
SZ
SC
ZKCX
点直线：来的虚轴变成一条过原后，相轨迹开关线由原加入内部反馈
闭环系统微分方程为：
）（
）（
）（存在内反馈：
相轨迹,
A
.C
C
开关线
?可见开关线的变化使得相轨迹由原来的封闭曲
线转化成内螺旋形，并最终收敛于原点，这时
系统由极限环的等幅振荡变成了衰减振荡。此
处开关线为一直线。如果能够通过引入内部反
馈来改变开关线，使开关线变成一条过原点且
收敛到原点的相轨迹，那么无论是从任何一点
出发的运动，只要其到达开关线上，就会沿开
关线收敛到原点。这种控制肯定是时间最短的
最优控制，称做 Bang-Bang控制,
六 总结
描述函数方法
相平面分析
系统复杂性
?
1st & 2nd 阶系
统
非线性环节
复杂性
?
分段线性化
时间响应
?
?
稳定性分析
?
?
极限环分析
?
?
精度
?
?
所用方法
等价线性化
图解法
描述函数方法 相平面分析
?相轨迹的特点
?相轨迹的绘制方法
?奇点与极限环
?线性系统相平面分析
?非线性系统相平面分析
?总结
适应于二阶非线性系统,
x
?x
?? (,? )x f x x? ? 0
1 上半平面,
, x增加
方向从左到右
2 下半平面,
, x减少
方向从右到左
x
1
x
2
?x? 0
?x? 0
一 相轨迹的特点
3 所有的轨迹如果穿过 x轴，则方向必定是
垂直的。
4 奇点是平衡点,
对所有二阶系统
均在 x轴上
x
1
x
2
d
d
x
x
2
1
0
0
?
二 相轨迹的绘制方法
?解析法,
例 1：给定二阶系统
解：利用
积分得,
??x x? ?? 2 0
?? ? ?x x xx? dd
? ?x xx xdd ? ?? 2 0? ?x x x xd d? ?? 2 0
?x x A2
2
2 2
?
? ?
x
?x
? A
A
例 2 给定系统
解：由方程 可得,
由初始条件可知,
??x M? ?
?x Mt C? ? ? 1x Mt C t C? ? ? ?12 2 1 2
C1 0? C x2 0?
??x M? ? x x( )0 0?? ( )x 0 0?
?x Mt? ? x Mt x? ? ?12 2 0
? ( ) ( )x x x M M x x2 0 02 2? ? ? ? ?
x
?x
M ? 1
x
0
x
?x
M ? ? 1
x
0
?图解法 —— 等倾线法,
等倾线,
穿过曲线 上任意一点的所有相轨迹
均具有相同的斜率，也就是具有相同的运
动方向。
?
d
d
x
x
f x x
f x x
2
1
2 1 2
1 1 2
? ?(,)(,) ?
f x x f x x2 1 2 1 1 2(,) (,)? ?x x2 1? ? ?(,)
x x2 1? ? ?(,)
一组不同的斜率值，就定义了一组不同的等
倾线。所有这些等倾线给出了相轨迹切线
的方向场
例 3 采用等倾线法画出给定系统的相轨迹,
解：系统可以写作
令,则有
?? ?x x x? ? ?2 02?? ?
? ? ?x xx x xdd ? ? ?2 02?? ?
d
d
?x
x ??
? ?? ?? ?x x x? ? ?2 02
?x
x ?
?
?
?
?? ?
2
2
假定,? ? 0 5,??1
?x x? ?? 11 ?
??0 ?x x??
??? ?x?0
? ? ?1 ?x x ? ? 1 0x x? ? ? ?( ) ?1 0?
? ? ?2 ?x x?
? ? ?4 ?x x? 13
x
?x
? ? ? 1
? ? ? 2
? ? ? 4
? ? ?
? ? 0
?图解法 —— 法
A 相轨迹可以看作是一系列的中心在 x轴上的
小圆弧连接而成
B 动力学方程可以写成,
其中 是一个连续的单值函数。
C 将动力学方程左右两边同时加入一函数，
得
?
?? ( ?,,)x f x x t? ?
f x x t( ?,,)
?? ( ?,,)x x f x x t x? ? ? ?? ?2 2
令
D 为便于绘图，可适当选取 和
E 在 邻域内，取
F 新的运动方程为
? ??? ? ?f x x t x( ?,,)
2
2
? ?
),,( 111 txx?
? ?1 1 1 1? ?( ?,,)x x t c o n s t
??x x? ?? ? ?2 2 1
?? ( )x x? ? ?? ?2 1 0
G 对上述方程求解
H 相轨迹为
圆心,
半径,
? ( )x x A2 2 1 2 2? ? ?? ?
? ( )x x B
? ?
?
??
?
?? ? ? ?
2
1 2 2
x
?x
?
P x
x
t(,
?
,)
1
1
1
?
Q (,)?
1
0
? ? ? ?PQ ? ? ??x x1 2 1 1 2? ?
(,)?1 0
例 用 法绘出给定系统的相轨迹
（ 1）系统运动方程为
令 则
?
?? ?x x x? ? ?2 02?? ?
?? ?x x x? ? ?? ??2 2
? ??? ? ?? ? ? ?2 22 ? ?x x
??x x? ?? ? ?2 2
? ( )x x R
? ?
?
??
?
?? ? ? ?
2
2 2
（ 2）对于给定点
? ? ? ?R x x x1 1 2 1 1 22? ? ?? ?? ? ?
? ? ?1 12? ? ?x
(,? )x x1 1
x
y
x
?
?
?
? 2 ? y
AB
y
B
y
A
y
AB
B
A
?
1
2 ?
?A
三 奇点与极限环
?奇点类型,
稳定焦点
x
?x
?
1
?
2
?
j ?
不稳定焦点
x
?x
?
1
?
2
?
j ?
稳定节点
x
?x
?
1
?
2
?
j ?
?
1
?
2
说明,
1 斜率为 和 的直线是相轨迹
2 斜率为 和 的直线也是渐近线
3 如果,则当 时，所有的相轨
迹均趋向于渐近线
?1 ?2
?1 ?2
? ?1 2? t??
?1
不稳定节点,
如果,则当 时，系统的主要运动
形式为
x
?x
?
1
?
2
?
j ?
?
1
?
2
t??
Ce t?2
? ?1 2?
中点
x
?x
?
1
?
2
?
j ?
鞍点
x
?x
?
1
?
2
?
j ?
?
1
?
2
?极限环：孤立的闭环相轨迹
x
?x
x
?x
Stable limit cycle Untable limit cycle
Semistable limit cycle
x
?x
四 线性系统相平面分析
例 绘出给定二阶系统的相轨迹
解：列出基本方程
K
s Ts( )? 1
?
?
R s( ) E s( ) C s( )
,
C s
R s
K
Ts s K
( )
( ) ? ? ?2
E s
R s
Ts s
Ts s K
( )
( ) ?
?
? ?
2
2
T e e Ke T r r?? ? ?? ?? ? ? ?
输入为阶跃函数,
误差方程为,
r t R t( ) ( )? ? 1 ? ??r r? ? 0
T e e Ke?? ?? ? ? 0
T e e Ke
e R e
?? ?
( ),? ( )
? ? ?
? ?
??
?
0
0 0 0
奇点为
根据二阶系统
稳定焦点
稳定节点
???? ?? 00
2
1xx
e
e
?
?
??
?
0
0?
T K? ?2 0? ? ?
1 4 0? ?KT
1 4 0? ?KT
e
?e
R
e
?e
R
1 4 0? ?KT 1 4 0? ?KT
五 非线性系统相平面分析
例 求出给定系统的相轨迹,
其中非线性环节为,
E s( ) Y s( )?
?
G N
R s( ) K
s Ts( )? 1
M s( )
e
m
k
I II III
e
0
? e
0
m e e eke e e? ????
?
for
for
0
0k?1
解：系统方程为
在 平面上，存在两个微分方程，分成
三个区域。令
C s
M s
K
s Ts
( )
( ) ( )? ? 1
E s R s C s R s Ks Ts M s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? 1
T e e T r r Km?? ? ?? ?? ? ? ?
?e e?
,
e E( )0 0? ?( )e 0 0?
输入为阶跃函数,
奇点,
假设
因为,所以
r t t( ) ( )? 1 ?r?0 ??r?0
T e e Ke
T e e k K e
?? ?
?? ?
? ? ?
? ? ?
??
?
0
0
A r e a s I a n d I I I
A r e a I I
e e? ?0 0,?
1 4 0? ?kK T
k?1 1 4 0? ?KT
? 小输入
(0,0)为稳定节点
? 大输入
(0,0)为稳定焦点
e e? 0
T e e k K e?? ?? ? ? 0
e e? 0
T e e Ke?? ?? ? ? 0
相轨迹
对于 A,C点,(0,0)是稳定焦点
对于 B,D点,(0,0)是稳定节点
e
?e
E
0
I II III
e
0
? e
0 A
B
C
D
加入非线性环节后，加速系统调节过程,
1 当环路中信号较大时,
不完全衰减，误差衰减较快
2 当环路中信号较小时,
严格衰减，完全避免了振荡出现
例 2.具有内部负反馈系统相轨迹的绘制与分析
?对于具有死区特性的非线性系统，当死区范围较
小且线性部分的时间常数教大时，特别容易产生
极限环振荡。在非线性控制系统中采用内部反馈
的方法来抑制或消除极限环振荡。
温度控制系统
0G1GR
X
N
Y Z C
0M
0M
2 K3G
ST
K
0
0
ST
K
1
1
?
?
?
?
?
????
?????
???????
?
?
?
????
???
??
???
?
0)0(
0)0(
00
00
:
)(
)(
0
010
..
10
010
..
10
0
0
0
10
..
102
10
10
310
cxMkkCTT
cxMkkCTT
XXRCCRX
cxM
cxM
s i g n xMy
ykkCTT
STT
kk
sy
sc
GGG
R
为整个闭环系统微分方程
性非线性环节具有继电特
无内部反馈时，
内部反馈特征为执行机构特性，为被控对象特性，
，假设
2.C<0
C
.C
1.C>0
C
.C
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
0
2
,2
0
2
,1
10
0102
10
0102
CAC
TT
MKK
c
CAC
TT
MKK
c
?
?
对应相轨迹方程：
?整个闭环系统的相轨迹就是这样一组封闭极
限环曲线。无论从任何初始值出发都会产生
振荡。只是振荡的幅度和周期不同。
内部反馈 G3来消除振荡
0
00
00
.
0
02
3
.
0
02
00110
.
0
02
00110
0
.
0
0
0
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?????
??????
???
???
C
K
TK
C
G
C
K
TK
CXMKKTT
C
K
TK
CXMKKTT
ZKCT
ST
K
SZ
SC
ZKCX
点直线：来的虚轴变成一条过原后，相轨迹开关线由原加入内部反馈
闭环系统微分方程为：
）（
）（
）（存在内反馈：
相轨迹,
A
.C
C
开关线
?可见开关线的变化使得相轨迹由原来的封闭曲
线转化成内螺旋形，并最终收敛于原点，这时
系统由极限环的等幅振荡变成了衰减振荡。此
处开关线为一直线。如果能够通过引入内部反
馈来改变开关线，使开关线变成一条过原点且
收敛到原点的相轨迹，那么无论是从任何一点
出发的运动，只要其到达开关线上，就会沿开
关线收敛到原点。这种控制肯定是时间最短的
最优控制，称做 Bang-Bang控制,
六 总结
描述函数方法
相平面分析
系统复杂性
?
1st & 2nd 阶系
统
非线性环节
复杂性
?
分段线性化
时间响应
?
?
稳定性分析
?
?
极限环分析
?
?
精度
?
?
所用方法
等价线性化
图解法
描述函数方法 相平面分析
