第二节 描述函数方法
?描述函数的定义
?描述函数的类型
?描述函数的计算
?描述函数分析方法
?极限环
?总结
系统结构,
NL
e y
L in e a r P la nt?
?
r
注：绝大多数的线性系统都是低通滤波
器；非线性元件的输出 y主要是由低频成
分组成；非线性元件 NL就等价于一个线
性系统。
NLX ts i n ? Y t1 s i n ?
) ( 1??
?非线性环节：输入为
?如果输出 在时间段 T内是有界可积的
（存在最大最小值），则可以展开为
Fourier级数,
y t( )
? ?y t A A n t B n t
n
n n( ) cos sin? ? ?
?
?
?0
12
? ?
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?
?
?A Y n t
n
n n
0
12
si n( )? ?
x X t? s in ?
一 描述函数定义,
? ?? 2T
A y t n t tn ? ?1
0
2
?
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( ) c o s ( )d
B y t n t tn ? ?
1
0
2
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?
( ) s i n ( )d
Y A Bn n n? ?2 2? n n
n
A
B
? arctan
?则描述函数为,
输出一次谐波的幅值
输出一次谐波的相位
N YX e? 1 1j?
Y1
?1
? Fourier级数特性,
1 y(t)为奇函数,y(t)=-y(-t)，则
? t
y
An ? 0
? t
y
? t
cos ? t
? t
y t t( ) cos ?
2 y(t)为偶函数 y(t)=y(-t)，则
Bn ? 0
? t
y
? t
y
? t
sin ? t
? t
y t t( ) sin ?
3 y(t)为半波对称,则 y t y t( ) ( )? ? ?? ? ?
A k2 0? B k2 0?
? t
y
二 描述函数的类型
?滞环非线性
x
y
t
y
t
x
X
输出为半波对称函数，所以
A A Bk k0 2 2 0? ? ?
Y A t B t1 1 1( ) c o s s i n? ? ?? ?
N Y
X
e? 1 1j?
?单值非线性奇函数
输出为奇函数
x
y
t
y
t
x
An ? 0
Y B t1 1( ) s in? ??
N BX? 1
三 描述函数的计算
例 1 死区＋饱和
x
y
t?
y
t
x
d s
k
?
s
?
d
X
两个重要的角度,
当
当
? d dX? arcs in
? ?t d? y k x d? ?( )
? s sX? arcsin
? ?t s? y k s d? ?( )
????? ds X
d
X
s ?? c o s2c o s2
B y t t t1
0
21
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y t t t( ) sin d
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d
s
k X t d t t( si n ) si n d
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2
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B kX s d s d1 2 12 2 2? ? ? ???? ???? ? ? ? ?( s i n s i n )
? ?? ? ? ?kX s d s d? ? ? ? ?2 2 2 2si n si n
?
X
BN 1?
? ?dsdsk ????
? 2s i n2s i n22 ????
sin ? d dX? d?2sin ? ? ??? ???2 1
2d
X
d
X
sin ? s sX?
s?2sin
? ? ??? ???2 1
2s
X
s
X
纯死区
X s? ? ?s ?
2 sin 2 0? s ?
? ?N k d d? ? ?? ? ? ?2 2sin
? ? ? ? ?
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k
k d
X
d
X
d
X
2
1
2
?
a rc sin
纯饱和
d ? 0 ?d ? 0 sin 2 0? d ?
? ?N k s s? ?? ? ?2 2sin
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?
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2
1
2
k s
X
s
X
s
X?
ar cs in
例 2 理想继电非线性
x
y
t
y
t
x
M
B y t t t1
0
21
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? ?
?
( ) s i n d? ?2
0
?
? ?
?
M t ts in d
? 4M?
N MX? 4?
例 3 具有滞环的继电特性
x
y
t
y
t
x
M
t
1
t
2
t
1
t
2?
?
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? M
X
2 ?
?
? T
x t X t( ) s in? ?
y M t t t t TM t t t? ? ? ? ? ?? ???
?
0 1 2
1 2
,
? t hX1 ? a r c si n
? ?t hX T2 2? ?a r c s in? ???? ???? t T1 2
N M
X
e
h
X?
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?
j a r c s in
例 4 继电＋死区＋滞环
x
y
t
y
t
x
M
t
1
t
1
t
2
2 h
? M
t
2
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2 ?
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t t t t t t t
M t t t
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1 2
1 2
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N a
X
b
X
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X
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Mb
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例 5
x
y
t
y
t
x
h
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h
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y
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X h t t
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h X t t
x h t t
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3
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X
+ j 2 4
2h
X
h
X
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四 描述函数分析方法
?等效方块图
?N是非线性环节,Gp（ S）是线性环节的传
递函数。当系统由多个线性和非线性环节
组合而成时，在一些情况下，可以通过等
效变换，使系统简化成这种典型结构。
N E( )e G p ( )j ?
?
?
C ( )j ?R ( )j ?
在非线性系统经过简化后，具有典型结构。当
系统的线性部分具有较好的低通滤波特性。在非
线性环节的输入为正弦信号时，实际输出中必定
含有高次谐波分量，经过线性部分传递之后，由
于低通滤波作用，高次滤波分量将被大大削弱，
因此保证闭环通道内近似地只有一次斜波分量流
通，从而保证对非线性环节可以用描述函数来表
示。描述函数就可以作为一个具有复变增益的比
例环节。这样非线性系统经过谐波线性化后就等
效为线性系统。应用线性系统的频率稳定判据分
析非线性系统的稳定性。
)()()( 21 ANANAN ??)(1 AN )(2 AN
)()()( 21 ANANAN ??
)(1 AN
)(2 AN
等效变换的原则是在参考输入 r(t)=0的条件下，
根据非线性特性的串、并联把非线性部分简化
成一个等效非线性环节，然后在保持等效非线
性环节的输入输出关系不变的基础上来化简线
性部分。
1。非线性并联
2。 串联
根据各线性环节输入输出关系图再求 N（ A）
等效线性环节,
等效线性环节,
?闭环非线性系统的等效传函
?特征方程
)j(1
)j(
)j(
)j(
?
?
?
?
p
p
NG
NG
R
C
?
?
1 0? ?NG p ( )j ?
稳定判据,由 和 判断系统稳定性,
? 当 包围
? 系统不稳定 ;
? 当 不包围
? 系统稳定 ;
? 当 穿过
?系统 临界稳定, 周期振荡
Gp( )j?
Gp( )j?
Gp( )j?
Gp( )j?
?1N
?1N
?1N
?1N
G
p
( )j ?
?
1
N
X ? ?
G
p
( )j ?
?
1
N
X ? ?
G
p
( )j ?
?
1
N
X ? ?
不稳定 极限环 稳定
五 极限环
?定义,
当 穿过 时对应的周期振荡即为极限环
交点的位置确定了极限环的幅值和频率
Gp( )j? ?1N
?极限环的稳定性
G
p
( )j ?
?
1
N
X ? 0
X ? ?
A
D
C
B
E
F
? A & B,极限环
? C,D,E,F,具有各自振幅 X的振荡
? D,不包围
-- 稳定振荡, 振幅衰减, 系统向稳定方向发展
? C,包围
-- 不稳定, 振幅增加, C点向着 B点移动
? F,包围
--不稳定, 振幅增加, F点也向着 B点移动
? E,不包围
-- 稳定, 振幅衰减, E点也向着 B点移动
Gp( )j?
?1N
?1N
?1N
Gp( )j?
Gp( )j?
Gp( )j? ?1N
结论,
A点极限环是不稳定的
B点极限环是稳定的
?极限环的计算：图解法，解析法
Step1 闭环特征方程,
Step2 当 是实函数
0)j()(1 ?? ?pGXN
)(XN
G
p
( )j ?
?
1
N
?
?
Im ( )G p j? ? 0?
Re ( )G Np j? ? ? 1X
Step3 当 为复函数时 )(XN G
p
( )j ?
?
1
N
?
Im ( ) ( )
Re ( ) ( )
N X G
N X G
p
p
j
j
?
?
?
? ?
?
?
??
0
1
? X
例 1 分析极限环：给定线性系统
和死区非线性元件
G Kp ( ) ( )(, )j j j j? ? ? ?? ? ?1 1 0 5
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???????
2
1a r c s i n
2
)(
XXX
k
kXN
?
G sp ( )
?
?
C ( )j ?R ( )j ?
?
k
当 K>=3时，系统不稳定，存在极限环，且
极限环是不稳定的。
G
p
( )j ?
?
1
N
K ? 3 K ? 1
? 1
X ? ?
X ? ?
k/
例 2：试用描述函数方法分析,
（ 1） K=15时，非线性系统的运动。
（ 2）欲使系统不出现自振荡，确定 K的临
界值。
u )12.0)(11.0( ?? sss k
1
2
-0.5 -1
存在稳定周期运动。），在交点（
）（
与可见
）（
与负实轴交点为
穿越频率
曲线如图，时，）在（线性部分：
）（）（
线性描述函数为解：查表，得出饱和非
,01
1
1
2.01.0
2.0*1.0*15
07.7
2.0*1.0
11
15
)(
1
5.0
)(
1
)(1a r c s i n
2
21
21
21
2
j
AN
T
TT
TKT
jG
T
TT
TKSG
ANAN
aA
A
a
A
a
A
aC
AN
G
X
G
X
G
??
??
?
?
?
?
??
???
?
???????
????
?
?
?
）提高质量改变参数（如
奈氏判据
曲线
）（
和在复平面上绘制
结构图化简
分析步骤总结：
如黑线。的临界值为
即
无交点
）（
与使，应调整为使系统不出现自振荡
K
AN
T
KK
TT
TKT
AN
TK
G
M A X
G
.4
.3
1
.2
.1
,5.7
02.0
3.0*5.0
5.0
,
1
.2
21
21
?
??
??
?
?
?
例 3 分析极限环，给定非线性环节
Step 1 画出闭环系统的结构图
for
for
?? ?x x? ? 1 ?x x? ? 0
?? ?x x? ? ?1 ?x x? ? 0
G s
p
( )
?
?
c t( )r ? 0
? 1
1
?x x?
e t( )
?? ?x x? x x? ?
u t( )
Step 2 计算系统的传函与描述函数,
G s C sU s s X s
s s X s
s
s sp ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
? ? ?
?
? ??1 1 12
EE
MEN
??
44)( ??
Step 3 稳定性分析
闭环系统是不稳定的，极限环稳定
G
p
( )j ?
?
1
N
? 1 X ? 0
X ? ?
Step 4 计算极限环周期振荡的频率和幅值
G p ( ) ( ) )( )j jj j j(? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ??1 1 2 11
2
2
N E G Ep( ) ( ) )( )j j(? ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ?4 2 11 1
2
2
? rad/s ? ?Im ( ) ( ) )( )N E G p j (? ?? ?? ?? ?1 1 0
2
2??1
? ?Re ( ) ( )N E G Ep j1 ? ? ? ?4 1?E ? ?4 1 2733?,?
Step 5 求解 x微分方程可以得出幅值 X
X ? ?2 2 0 900?,
六 总结
?描述函数方法给出了系统稳定性的有关信
息，但是无法给出系统的瞬时响应信息。
?描述函数方法是一种近似方法：线性部分
是一个低通滤波器； 与 越垂直，
结果就越准确。
Gp( )j? ?1N
More accurate Less accurate
?
1
N
G p ( )j?
?
1
N
G p ( )j?
?采用正弦波作为输入得到的描述函数方法
要比以其他函数为输入得到的描述函数方
法准确。
?采用描述函数方法遇到的困难程度和获得
结果的准确程度与非线性环节的复杂程度
有关。
?对于多个非线性环节的组合，如下图,
N X1 ( )x y zN Y2 ( )
)()( 12 XNYNXZ ?