§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 第五章频率特性分析
一, 稳定裕度 (适用最小相位系统 -开环稳定系统 )
工程上将 GH曲线离开 (-1,j0)的远近程度, 叫 稳定裕度, 它
是在频率域内衡量系统相对稳定性的指标 。
曲线离 (-1,j0)点的距离从两方面考虑,
即 当 时，相位差与 -180° 差多少？ 1)()( ??? jHjG
当 ∠ 时, 幅值比与 1差多少？ 01 8 0)()( ???? jHjG
前者称为 相位裕度 r,后者称为 幅值裕度 R’。
定义两个频率,
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 一, 稳定裕度 (适用最小相位系统 )
:c?幅值交角频率
:g?相位交角频率
1)) H( jG( j ??? cc
01 8 0)) H ( jG( j ????? gg
相位裕度 )()(180)180()()(
cccc jHjGjHjGr ???? ??????? ??
幅值裕度
)()(1' gg jHjGR ????
对 稳定系统, 必不大于 -180°, 因而 r>0,
必小于 1,因而 R’>0,并有 。
)()( cc jHjG ???
)()( gg jHjG ?? cg ???
对 不稳定系统, 必大于 -180°, 因而 r<0,
必大于 1,因而 R’<0,并有 。
)()( cc jHjG ???
)()( gg jHjG ?? cg ???
当 时,r=0,R’=0。系统稳定裕度为 0，处于 临界稳定 cg ???
对数坐标图上稳定裕度的表示法,
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 一, 稳定裕度 (适用最小相位系统 )
)()(lg201lg20 cc jHjGR ????
20
0
﹣ 20
Glg20
﹣ 90°
﹣ 180°
G? ?
?
r
-R
c? g?
gc ???
闭环稳定系统
20
0
﹣ 20
Glg20
﹣ 90°
﹣ 180°
G? ?
?
20
0
﹣ 20
Glg20
﹣ 90°
﹣ 180°
G? ?
?
r
-R
c?g?
gc ???
闭环不稳定系统
gc ???
临界稳定系统
cg ???
一般, r,R’越大, 系统稳定裕度越大, 但不能盲目追求过大的稳
定裕度 。 工程上, 经常取 R’= 0.5, 00 60~30,65.0lg20 ???? rdbR
)()(lg20 c jHjG ????
幅值裕度,
例 1,
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 一, 稳定裕度 (适用最小相位系统 )
图中所示为一个宇宙飞船控制系统的方块图 。 为了使
相位裕度等于 50°, 试确定增益 K值, 此时, 幅值裕度是多少？
K(s+2)
2
1
S﹣
解,
,)( 2)()( 2? ???? jjKjG
因为相位曲线永远不和 -180° 线相交，所以幅值裕度为无穷大，
没有相位交角频率 。
g?
????????? jjjG 22)( 01 180
2 ?
?? ?tg
例 1,
1)( )2(
38.2
2 ??
??
??j
jK
这个 K值将产生相位裕度 50° 。
8.138.22 38.2 22 ???? K
要求相位裕度为 50°, 意味着 必须等于 -130°,
因此, 。
当 ω=2.38时, 的对数幅值必须等于 0db。
)( cjG ??
)(180 0 cjGr ???? )(38.2,50)( 021 弧度????? cctg
)( ?jG
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 一, 稳定裕度 (适用最小相位系统 )
K(s+2) 21S﹣
,)( 2)()( 2? ???? jjKjG
01 180
2( ????
? ?? tgjG
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
例 2,已知最小相位（单位反馈）开环系统
的渐近对数幅频特性如图所示，试,
(1) 求取系统的开环传递函数 。
(2) 用稳定裕度判断系统稳定性 。
(3) 要求系统具有 30o的稳定裕度，求
开环放大倍数应改变的倍数。
(4) 系统有一延滞环节 时,在什么范围内系统是稳定。 se ?? ?
﹣ 60dB/dec
10 ?0.1 c?
20lgG/dB
﹣ 20dB/dec
﹣ 40dB/dec 40
（ 1）系统开环传递函数的基本形式为
)1101)(11.0 1(
)(
??
?
sss
KsG
解,
解,
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 例 2,
40lg20 ?? ? ????K
)1101)(11.0 1(
10)(
??
??
sss
sG10?K
)1101)(11.0 1(
)(
??
?
sss
KsG
（ 2） 开环对数幅频特性 为（各渐近线方程：）
? ? ?( L
:?????
?
10lg20
:101.0 ?? ?
2
1.0
1
1.0
1
1lg2010lg201lg2010lg20
????? ????
:10?? 3
10
1
1.0
1
10lg2010lg20
???? ???
10 ?0.1 c?
20lgG/dB
﹣ 20dB/dec
﹣ 40dB/dec 40
﹣ 60dB/dec
(2)用稳定裕度判断系统稳定性
（ 2） 开环对数幅频特性 为（各渐近线方程：）
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 例 2,(2) 用稳定裕度判断系统稳定性
解,
系统 开环对数相频特性 为,
101.090)(
???????? a r c tga r c tg?
101.090)( ccc a r c tga r c tg
???????? ?
幅值裕度计算略, R>0,
)(1 8 0 cr ???? ?
在频率范围 (0.1<ω<10)内,
,0)( ??L令 c?求解幅值交角频率 。
相角为,
故 系统稳定 。
?58.168?? ?42.11? >0
10 ?0.1 c?
20lgG/dB
﹣ 20dB/dec
﹣ 40dB/dec 40
2
1lg20(
?? ??L
。1,01lg20 2 ??? cc ?? ??
（ 3）由于
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
例 2,(3)要求系统具有 30o的稳定裕度，
求开环放大倍数应改变的倍数
解,
101.090)(
???????? a r c tga r c tg?
若要求, ?30?r
设 K0为开环放大倍数需改变的倍数,
则系统 开环对数幅频特性 改为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?????
???
?
?
???
??
?
??
10
10
lg20
10
lg20
101.0lg20
10
lg20
1.0
10
lg20
)(
3
0
10
1
1.0
1
0
2
0
1.0
1
0
0
KK
KK
K
L
属于 的频率范围, 1 6 7.0?? c 101.0 ???
0279.00 ?? K
，即 ?1 5 0)( ??c?? 幅值交角频率）求得 (167.0?c?
0167.0lg20 20 ?K所以有
10 ?0.1 c?
20lgG/dB
﹣ 20dB/dec
﹣ 40dB/dec 40
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 例 2,
解,
1???? je
（弧度 → 度） ????? ??? 3.57je (度 )
即加入 延迟环节 后，系统 幅频特性不变, 相频特性 发生 滞后 。
03.57 ???? cr
解得,
因此，若使系统稳定，必须
2.013.57 42.113.57 1,42.11 0 ????? ??
cr
c
r
???
(4) 系统有一延滞环节 时,在什么范围内系统是稳定。 se ?? ?
二、二阶系统稳定裕度与过渡过程的关系
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
标准二阶系统相位裕度 r的表达式,
G x y ﹣
)2()( 0
2
0
???
??
sssG
用 代入 ?? js )(sG
)2()(
2
o
o
jjjG ?????
???得,
)(
)(
sX
sY
2
00
2
2
0
2 ?????
??
ss
)2(
1
)2(
0
2
0
0
2
0
???
?
?
???
?
?
ss
ss
步骤,
二、二阶系统稳定裕度与过渡过程的关系 第五章频率特性分析 § 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
(1) 当 时，可以求出幅值交角频率, 1( ??jG
c?
(2) 代入相角公式, 求出, )(
cjG ??
(3) 求二阶系统相位裕度 r 的表达式,)(180 0
cjGr ????
① 让, 1)( ??jG
240 214 ??????? c
c???
求出,
幅频特性,
2
0
2
1 )(1
1
2
1)(
0
?
???
??
?
?
?
jG
相频特性,)2()(
0???????????? jjjG )
2
1(
2 0
1
?
?
??
??? ?tg
? ?0,??? f
由此可知,r与 ζ有单值对应关系。
二、二阶系统稳定裕度与过渡过程的关系
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
当 r =21o,计算出 ζ=0.216,4212 ?? ????en, n=4:1。
二阶系统的幅值裕度没有意义，因为
,???当 ????? RGH,1 8 0 0
衰减比
)(180 0 cGr ????③
)21(2
0
1
?
?
??
??? ? ctg
24
1
214
2
????
?? ?tg
② 把 代入相角公式,
c? )
2
1(
2)( 0
1
?
?
??
????? ? c
c tgjG
求出,
步骤,(3) 求二阶系统相位裕度 r的表达式,。
)(180 0 cjGr ????
)2( 01
c
tg ???? ?
三、系统的带宽 第五章频率特性分析 § 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
当闭环系统频率响应的幅值下降到零频率
（ 静态 ） 值 以下 3db时, 对应的频率 称为
带宽频率 。 对应的频率范围 称为
系统的带宽 。
b?
b????0
﹣ 3db
带宽
b?
l 系统将不同程度的衰减频率大于带宽频率的信号分量,
而保留低于带宽频率的信号分量 。
l 带宽表示系统跟踪正弦输入信号的能力和对频率的响应
能力 。
l 对于给定的无阻尼振荡频率, 上升时间随着阻尼系数
的增加而增加, 而带宽随着 的增加而减小, 即大的带宽同
时对应于快的响应特性 。
0?
??
l 为了使系统能够正确的跟踪任意输入信号, 系统必须具
有大的带宽 。 但是, 从抑制噪声的方面讲, 带宽不应该太大 。
设计时需要折中考虑 。
见图。
例 1,
三、系统的带宽 第五章频率特性分析 § 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
RCTTTssGssG ??????? 3,113 1)(,11)( 2121
系统的幅频特性和单位响应曲线见图 。
20
0
Glg20
?
﹣ 20
0.1 1 10
31
1 2
1
2
● 一阶惯性系统在转折频率处的幅频特性为 -3db。
● 系统 1的带宽频率为 1弧度 /秒，带宽为, 10 ???
● 系统 2的带宽频率为 0.33弧度 /秒，带宽为 。 33.00 ???
l 从单位阶跃曲线看, 系统 1 快于系统 2。 对一阶系统, 带
宽频率 近似等于幅值交角频率 。 b? c?
结论：小的 RC，有大的带宽和快的响应速度。
研究下列两个系统，比较它们的带宽和响应速度。
一, 稳定裕度 (适用最小相位系统 -开环稳定系统 )
工程上将 GH曲线离开 (-1,j0)的远近程度, 叫 稳定裕度, 它
是在频率域内衡量系统相对稳定性的指标 。
曲线离 (-1,j0)点的距离从两方面考虑,
即 当 时，相位差与 -180° 差多少？ 1)()( ??? jHjG
当 ∠ 时, 幅值比与 1差多少？ 01 8 0)()( ???? jHjG
前者称为 相位裕度 r,后者称为 幅值裕度 R’。
定义两个频率,
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 一, 稳定裕度 (适用最小相位系统 )
:c?幅值交角频率
:g?相位交角频率
1)) H( jG( j ??? cc
01 8 0)) H ( jG( j ????? gg
相位裕度 )()(180)180()()(
cccc jHjGjHjGr ???? ??????? ??
幅值裕度
)()(1' gg jHjGR ????
对 稳定系统, 必不大于 -180°, 因而 r>0,
必小于 1,因而 R’>0,并有 。
)()( cc jHjG ???
)()( gg jHjG ?? cg ???
对 不稳定系统, 必大于 -180°, 因而 r<0,
必大于 1,因而 R’<0,并有 。
)()( cc jHjG ???
)()( gg jHjG ?? cg ???
当 时,r=0,R’=0。系统稳定裕度为 0，处于 临界稳定 cg ???
对数坐标图上稳定裕度的表示法,
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 一, 稳定裕度 (适用最小相位系统 )
)()(lg201lg20 cc jHjGR ????
20
0
﹣ 20
Glg20
﹣ 90°
﹣ 180°
G? ?
?
r
-R
c? g?
gc ???
闭环稳定系统
20
0
﹣ 20
Glg20
﹣ 90°
﹣ 180°
G? ?
?
20
0
﹣ 20
Glg20
﹣ 90°
﹣ 180°
G? ?
?
r
-R
c?g?
gc ???
闭环不稳定系统
gc ???
临界稳定系统
cg ???
一般, r,R’越大, 系统稳定裕度越大, 但不能盲目追求过大的稳
定裕度 。 工程上, 经常取 R’= 0.5, 00 60~30,65.0lg20 ???? rdbR
)()(lg20 c jHjG ????
幅值裕度,
例 1,
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 一, 稳定裕度 (适用最小相位系统 )
图中所示为一个宇宙飞船控制系统的方块图 。 为了使
相位裕度等于 50°, 试确定增益 K值, 此时, 幅值裕度是多少？
K(s+2)
2
1
S﹣
解,
,)( 2)()( 2? ???? jjKjG
因为相位曲线永远不和 -180° 线相交，所以幅值裕度为无穷大，
没有相位交角频率 。
g?
????????? jjjG 22)( 01 180
2 ?
?? ?tg
例 1,
1)( )2(
38.2
2 ??
??
??j
jK
这个 K值将产生相位裕度 50° 。
8.138.22 38.2 22 ???? K
要求相位裕度为 50°, 意味着 必须等于 -130°,
因此, 。
当 ω=2.38时, 的对数幅值必须等于 0db。
)( cjG ??
)(180 0 cjGr ???? )(38.2,50)( 021 弧度????? cctg
)( ?jG
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 一, 稳定裕度 (适用最小相位系统 )
K(s+2) 21S﹣
,)( 2)()( 2? ???? jjKjG
01 180
2( ????
? ?? tgjG
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
例 2,已知最小相位（单位反馈）开环系统
的渐近对数幅频特性如图所示，试,
(1) 求取系统的开环传递函数 。
(2) 用稳定裕度判断系统稳定性 。
(3) 要求系统具有 30o的稳定裕度，求
开环放大倍数应改变的倍数。
(4) 系统有一延滞环节 时,在什么范围内系统是稳定。 se ?? ?
﹣ 60dB/dec
10 ?0.1 c?
20lgG/dB
﹣ 20dB/dec
﹣ 40dB/dec 40
（ 1）系统开环传递函数的基本形式为
)1101)(11.0 1(
)(
??
?
sss
KsG
解,
解,
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 例 2,
40lg20 ?? ? ????K
)1101)(11.0 1(
10)(
??
??
sss
sG10?K
)1101)(11.0 1(
)(
??
?
sss
KsG
（ 2） 开环对数幅频特性 为（各渐近线方程：）
? ? ?( L
:?????
?
10lg20
:101.0 ?? ?
2
1.0
1
1.0
1
1lg2010lg201lg2010lg20
????? ????
:10?? 3
10
1
1.0
1
10lg2010lg20
???? ???
10 ?0.1 c?
20lgG/dB
﹣ 20dB/dec
﹣ 40dB/dec 40
﹣ 60dB/dec
(2)用稳定裕度判断系统稳定性
（ 2） 开环对数幅频特性 为（各渐近线方程：）
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 例 2,(2) 用稳定裕度判断系统稳定性
解,
系统 开环对数相频特性 为,
101.090)(
???????? a r c tga r c tg?
101.090)( ccc a r c tga r c tg
???????? ?
幅值裕度计算略, R>0,
)(1 8 0 cr ???? ?
在频率范围 (0.1<ω<10)内,
,0)( ??L令 c?求解幅值交角频率 。
相角为,
故 系统稳定 。
?58.168?? ?42.11? >0
10 ?0.1 c?
20lgG/dB
﹣ 20dB/dec
﹣ 40dB/dec 40
2
1lg20(
?? ??L
。1,01lg20 2 ??? cc ?? ??
（ 3）由于
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
例 2,(3)要求系统具有 30o的稳定裕度，
求开环放大倍数应改变的倍数
解,
101.090)(
???????? a r c tga r c tg?
若要求, ?30?r
设 K0为开环放大倍数需改变的倍数,
则系统 开环对数幅频特性 改为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?????
???
?
?
???
??
?
??
10
10
lg20
10
lg20
101.0lg20
10
lg20
1.0
10
lg20
)(
3
0
10
1
1.0
1
0
2
0
1.0
1
0
0
KK
KK
K
L
属于 的频率范围, 1 6 7.0?? c 101.0 ???
0279.00 ?? K
，即 ?1 5 0)( ??c?? 幅值交角频率）求得 (167.0?c?
0167.0lg20 20 ?K所以有
10 ?0.1 c?
20lgG/dB
﹣ 20dB/dec
﹣ 40dB/dec 40
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽 例 2,
解,
1???? je
（弧度 → 度） ????? ??? 3.57je (度 )
即加入 延迟环节 后，系统 幅频特性不变, 相频特性 发生 滞后 。
03.57 ???? cr
解得,
因此，若使系统稳定，必须
2.013.57 42.113.57 1,42.11 0 ????? ??
cr
c
r
???
(4) 系统有一延滞环节 时,在什么范围内系统是稳定。 se ?? ?
二、二阶系统稳定裕度与过渡过程的关系
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
标准二阶系统相位裕度 r的表达式,
G x y ﹣
)2()( 0
2
0
???
??
sssG
用 代入 ?? js )(sG
)2()(
2
o
o
jjjG ?????
???得,
)(
)(
sX
sY
2
00
2
2
0
2 ?????
??
ss
)2(
1
)2(
0
2
0
0
2
0
???
?
?
???
?
?
ss
ss
步骤,
二、二阶系统稳定裕度与过渡过程的关系 第五章频率特性分析 § 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
(1) 当 时，可以求出幅值交角频率, 1( ??jG
c?
(2) 代入相角公式, 求出, )(
cjG ??
(3) 求二阶系统相位裕度 r 的表达式,)(180 0
cjGr ????
① 让, 1)( ??jG
240 214 ??????? c
c???
求出,
幅频特性,
2
0
2
1 )(1
1
2
1)(
0
?
???
??
?
?
?
jG
相频特性,)2()(
0???????????? jjjG )
2
1(
2 0
1
?
?
??
??? ?tg
? ?0,??? f
由此可知,r与 ζ有单值对应关系。
二、二阶系统稳定裕度与过渡过程的关系
第五章频率特性分析
§ 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
当 r =21o,计算出 ζ=0.216,4212 ?? ????en, n=4:1。
二阶系统的幅值裕度没有意义，因为
,???当 ????? RGH,1 8 0 0
衰减比
)(180 0 cGr ????③
)21(2
0
1
?
?
??
??? ? ctg
24
1
214
2
????
?? ?tg
② 把 代入相角公式,
c? )
2
1(
2)( 0
1
?
?
??
????? ? c
c tgjG
求出,
步骤,(3) 求二阶系统相位裕度 r的表达式,。
)(180 0 cjGr ????
)2( 01
c
tg ???? ?
三、系统的带宽 第五章频率特性分析 § 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
当闭环系统频率响应的幅值下降到零频率
（ 静态 ） 值 以下 3db时, 对应的频率 称为
带宽频率 。 对应的频率范围 称为
系统的带宽 。
b?
b????0
﹣ 3db
带宽
b?
l 系统将不同程度的衰减频率大于带宽频率的信号分量,
而保留低于带宽频率的信号分量 。
l 带宽表示系统跟踪正弦输入信号的能力和对频率的响应
能力 。
l 对于给定的无阻尼振荡频率, 上升时间随着阻尼系数
的增加而增加, 而带宽随着 的增加而减小, 即大的带宽同
时对应于快的响应特性 。
0?
??
l 为了使系统能够正确的跟踪任意输入信号, 系统必须具
有大的带宽 。 但是, 从抑制噪声的方面讲, 带宽不应该太大 。
设计时需要折中考虑 。
见图。
例 1,
三、系统的带宽 第五章频率特性分析 § 4 控制系统稳定裕度及系统带宽
RCTTTssGssG ??????? 3,113 1)(,11)( 2121
系统的幅频特性和单位响应曲线见图 。
20
0
Glg20
?
﹣ 20
0.1 1 10
31
1 2
1
2
● 一阶惯性系统在转折频率处的幅频特性为 -3db。
● 系统 1的带宽频率为 1弧度 /秒，带宽为, 10 ???
● 系统 2的带宽频率为 0.33弧度 /秒，带宽为 。 33.00 ???
l 从单位阶跃曲线看, 系统 1 快于系统 2。 对一阶系统, 带
宽频率 近似等于幅值交角频率 。 b? c?
结论：小的 RC，有大的带宽和快的响应速度。
研究下列两个系统，比较它们的带宽和响应速度。
