第六节 线性反馈系统的综合问题
? 综合问题简介
? 状态反馈和输出反馈
? 极点配置问题
? 镇定问题
? 状态观测器
? 问题的提法
? 性能指标的类型
? 综合问题的研究步骤
? 工程实现中的一些问题
一 综合问题简介
1．问题的提法
综合问题 就是寻找一个适当的控制
作用 u，使得系统在其作用下的运动行
为满足所给出的期望性能指标。这个
性能指标即可能是对其运动过程所给
定的某种期望形式，也可能是对系统
运动状态期望形式所规定的某些特征
向量，再或者就是某个需要去极小和
极大值的一个性能函数。
2．性能指标的类型
综合问题中的期望性能指标可以区分成 非
优化型性能指标 和 优化型性能指标 两种。这
两者之间的差别就在于非优化型性能指标是
一类不等式型的指标，也就是说只有性能值
达到或者好于性能指标，就算实现了综合控
制目标。而优化型指标是一类极值型指标，
就是要求性能指标在所有值中取为最小或是
最大值。
非优化型性能指标
? 镇定问题,以系统的渐近稳定性为性能指
标
? 极点配置问题,以一组期望的闭环系统极
点作为性能指标
? 解耦控制,以多输入多输出系统实现“一
个输入只控制一个输出”作为性能指标
? 跟踪问题,把系统输出 y无静差地跟踪一个外
部信号作为性能指标。这个外部信号可以是
直接给定的某个非零时间函数，也可以使由
某个动态系统的输出产生，再或者是给定参
考信号恒为零，相应的综合问题就可以称为
跟踪，匹配，调节 。
非优化型性能指标
优化型性能指标
? 通常取成相对于状态 x和控制 u的二次型积
分函数,
? 其中,R是正定对称常阵,Q是对称正定常
阵或是满足（ A,Q1/2）能观测的半正定对
称常阵
? ? ??? 0 )())(( dtRuuQxxuJ TT
对于不同的综合问题，需要确定出合适的
加权矩阵 Q和 R，而综合的任务就是要找到一
个控制 u*，使得相应的性能指标 J(u*)取为极
小值，这就是最优控制问题，确切地说是线
性二次型最优控制问题，即 LQ调节器问题
3．综合问题的研究步骤
第一步 建立可综合条件,就是相对于给定
的受控系统和给定的期望性能指标，找
到使相应控制存在并且能实现综合目标
所应满足的条件
第二步 建立相应的综合控制规律算法,利
用这些算法对满足可综合条件的问题，
确定出满足要求的控制律。
4．工程实现中的一些问题
? 状态反馈的构成问题
? 系统模型的不准确和参数摄动问题
? 对外部扰动的影响和抑制问题
二 状态反馈和输出反馈
? 构成形式
? 状态、输出反馈系统的能控性和能观测性
? 状态反馈与输出反馈的比较
1 构成形式
控制作用 u一般是依赖于系统的实际响应,
也就是说控制作用 u可以表示成系统状态或输
出的一个线性向量函数,
简称状态反馈或输出反馈
vFyu
vKxu
???
???
或
状态反馈的构成,
状态反馈的构成,
? 状态空间描述
? 传递函数阵
)(
Cxy
BvxBKAx
?
????
BBKAsICsG K 1)()( ????
输出反馈的构成
输出反馈的构成
状态空间描述
传递函数阵
)(
)(
Cxy
BvxB F CA
vFyBAxx
?
???
?????
BB F CAsICsG F 1)()( ????
说明,
显然两种反馈都改变了系统的系数矩阵，
但并不能说这两种反馈形式在改变系统结构
属性和实现性能指标方面具有相同的功效。
事实上，在改善系统性能方面，状态反馈的
效果要远远优于输出反馈，而输出反馈的作
用要远远小于状态反馈。
2.状态、输出反馈系统的能控性和能
观测性
结论 1,状态反馈的引入不改变系统的能控性，
但可能改变系统的能观测性。
结论 2,输出反馈的引入能够同时不改变系统的
能控性和能观测性
结论 1证明,
? PBH特征向量方法,
对 A的任一特征值 使同时满足
的特征向量
对于反馈控制系统有,
反馈系统与被控系统的能控性判别条件相同 。
i?
0,?? BA TTiT ????
0??
0,)( ??? BBKA TTiT ????
T
i
T
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TT
A
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例：给定系统
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11
1
0
30
21
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?
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1） 判断能控性和能观测性 （ 完全能控, 完
全能观 ） ? ?
2
51
11
2
31
20
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r a n k
CA
C
r a n kr a n k Q
r a n kABBr a n kr a n k Q
o
c
2） 引入反馈,K=[0 4],可得反馈系统,
判断反馈系统能控性和能观测性 （ 完全能
控, 不完全能观测 ）,
? ? xy
uxBuxBKAx
11
1
0
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21
)(
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BKAC
C
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3） 引入反馈,K=[0 5],可得反馈系统,
判断反馈系统能控性和能观测性 （ 完全能
控, 完全能观测 ）,
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r a n kBBKABr a n kr a n k Q
o
c
3．状态反馈与输出反馈的比较
? 从反馈信息性质的角度比较,状态反馈所反
馈的信息是系统的状态，是一种可以完全表
征系统结构的信息，所以状态反馈又称为完
全的系统信息反馈。而输出反馈所反馈的信
息是系统输出，这是一种不完全的系统信息
反馈。一般来说要想是系统获得良好的动态
性能，必须采用完全的信息反馈，也就是状
态反馈。
? 从改善系统性能上比较,状态反馈要比输
出反馈强，但也不是说就不再用输出反馈。
要想使输出反馈也能达到满意的性能，就
应该引入串联补偿器和并联补偿器，构成
一个动态的输出反馈系统。通常情况下，
补偿器是阶次较低的线性系统，它的引入
提高了整个反馈系统的阶次，这也是它的
一个主要缺点。
动态输出反馈,
? 从反馈系统的工程实现角度比较,因为输出
变量是可以直接测量的，因此输出反馈显然
要比状态反馈更容易在工程中实现。从这一
点上来看，输出反馈要优于状态反馈。要想
解决状态反馈的实现问题，就必须引入一个
附加的状态观测器。带有状态观测器的状态
反馈系统也存在着一个明显的缺点：大大地
提高整个反馈系统的阶次。
利用观测器实现状态反馈
? 综合问题简介
? 状态反馈和输出反馈
? 极点配置问题
? 镇定问题
? 状态观测器
? 问题的提法
? 性能指标的类型
? 综合问题的研究步骤
? 工程实现中的一些问题
一 综合问题简介
1．问题的提法
综合问题 就是寻找一个适当的控制
作用 u，使得系统在其作用下的运动行
为满足所给出的期望性能指标。这个
性能指标即可能是对其运动过程所给
定的某种期望形式，也可能是对系统
运动状态期望形式所规定的某些特征
向量，再或者就是某个需要去极小和
极大值的一个性能函数。
2．性能指标的类型
综合问题中的期望性能指标可以区分成 非
优化型性能指标 和 优化型性能指标 两种。这
两者之间的差别就在于非优化型性能指标是
一类不等式型的指标，也就是说只有性能值
达到或者好于性能指标，就算实现了综合控
制目标。而优化型指标是一类极值型指标，
就是要求性能指标在所有值中取为最小或是
最大值。
非优化型性能指标
? 镇定问题,以系统的渐近稳定性为性能指
标
? 极点配置问题,以一组期望的闭环系统极
点作为性能指标
? 解耦控制,以多输入多输出系统实现“一
个输入只控制一个输出”作为性能指标
? 跟踪问题,把系统输出 y无静差地跟踪一个外
部信号作为性能指标。这个外部信号可以是
直接给定的某个非零时间函数，也可以使由
某个动态系统的输出产生，再或者是给定参
考信号恒为零，相应的综合问题就可以称为
跟踪，匹配，调节 。
非优化型性能指标
优化型性能指标
? 通常取成相对于状态 x和控制 u的二次型积
分函数,
? 其中,R是正定对称常阵,Q是对称正定常
阵或是满足（ A,Q1/2）能观测的半正定对
称常阵
? ? ??? 0 )())(( dtRuuQxxuJ TT
对于不同的综合问题，需要确定出合适的
加权矩阵 Q和 R，而综合的任务就是要找到一
个控制 u*，使得相应的性能指标 J(u*)取为极
小值，这就是最优控制问题，确切地说是线
性二次型最优控制问题，即 LQ调节器问题
3．综合问题的研究步骤
第一步 建立可综合条件,就是相对于给定
的受控系统和给定的期望性能指标，找
到使相应控制存在并且能实现综合目标
所应满足的条件
第二步 建立相应的综合控制规律算法,利
用这些算法对满足可综合条件的问题，
确定出满足要求的控制律。
4．工程实现中的一些问题
? 状态反馈的构成问题
? 系统模型的不准确和参数摄动问题
? 对外部扰动的影响和抑制问题
二 状态反馈和输出反馈
? 构成形式
? 状态、输出反馈系统的能控性和能观测性
? 状态反馈与输出反馈的比较
1 构成形式
控制作用 u一般是依赖于系统的实际响应,
也就是说控制作用 u可以表示成系统状态或输
出的一个线性向量函数,
简称状态反馈或输出反馈
vFyu
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???
???
或
状态反馈的构成,
状态反馈的构成,
? 状态空间描述
? 传递函数阵
)(
Cxy
BvxBKAx
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输出反馈的构成
输出反馈的构成
状态空间描述
传递函数阵
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)(
Cxy
BvxB F CA
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?????
BB F CAsICsG F 1)()( ????
说明,
显然两种反馈都改变了系统的系数矩阵，
但并不能说这两种反馈形式在改变系统结构
属性和实现性能指标方面具有相同的功效。
事实上，在改善系统性能方面，状态反馈的
效果要远远优于输出反馈，而输出反馈的作
用要远远小于状态反馈。
2.状态、输出反馈系统的能控性和能
观测性
结论 1,状态反馈的引入不改变系统的能控性，
但可能改变系统的能观测性。
结论 2,输出反馈的引入能够同时不改变系统的
能控性和能观测性
结论 1证明,
? PBH特征向量方法,
对 A的任一特征值 使同时满足
的特征向量
对于反馈控制系统有,
反馈系统与被控系统的能控性判别条件相同 。
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1） 判断能控性和能观测性 （ 完全能控, 完
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2） 引入反馈,K=[0 4],可得反馈系统,
判断反馈系统能控性和能观测性 （ 完全能
控, 不完全能观测 ）,
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3） 引入反馈,K=[0 5],可得反馈系统,
判断反馈系统能控性和能观测性 （ 完全能
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3．状态反馈与输出反馈的比较
? 从反馈信息性质的角度比较,状态反馈所反
馈的信息是系统的状态，是一种可以完全表
征系统结构的信息，所以状态反馈又称为完
全的系统信息反馈。而输出反馈所反馈的信
息是系统输出，这是一种不完全的系统信息
反馈。一般来说要想是系统获得良好的动态
性能，必须采用完全的信息反馈，也就是状
态反馈。
? 从改善系统性能上比较,状态反馈要比输
出反馈强，但也不是说就不再用输出反馈。
要想使输出反馈也能达到满意的性能，就
应该引入串联补偿器和并联补偿器，构成
一个动态的输出反馈系统。通常情况下，
补偿器是阶次较低的线性系统，它的引入
提高了整个反馈系统的阶次，这也是它的
一个主要缺点。
动态输出反馈,
? 从反馈系统的工程实现角度比较,因为输出
变量是可以直接测量的，因此输出反馈显然
要比状态反馈更容易在工程中实现。从这一
点上来看，输出反馈要优于状态反馈。要想
解决状态反馈的实现问题，就必须引入一个
附加的状态观测器。带有状态观测器的状态
反馈系统也存在着一个明显的缺点：大大地
提高整个反馈系统的阶次。
利用观测器实现状态反馈
