§ 2 控制系统的状态空间模型
微分方程
两种表示方法可以互相转换。
状态空间方程
→ 单输入、单输出线性定常系统
→ 多变量系统，现代控制理
论的数学描述方法
2.1 状态空间的基本概念
被控对象的变量可以分为三类,
n 输入变量（控制变量和干扰变量）
Truuuu ],[ 21 ??
n 输出变量（被控变量）
Tmyyyy ],,[ 21 ??
n 状态变量（表征系统内部特征的变量）
Tnxxxx ],[ 21 ??
对于线性定常系统，其状态方程的基本形式为
DuCxy
BuAxx
??
???
其中,
A：系数矩阵 n× n 维,
D：关联矩阵 m× r C：输出矩阵 m× n,
B：控制矩阵 n× r 维,
y,m 维向量。 u,r 维向量,x,n 维向量,
（ 2）状态变量可以测量或不可测量。
（ 1）状态变量的选取不是唯一的,注意,
2.2 状态空间方程的建立
例 2-2-1 力学系统 弹簧 -质量 -阻尼器系统如图示。
列出以拉力 Fi为输入，以质量单元的位移 y为输出的
状态方程。
（ 1）确定输入变量,
M
k
y Fi Fi y
M
Ff Fk
图 2-5 弹簧 -质量 -阻尼器系统
系统入, Fi,出,y
（ 2）基本定理,
maF ?? （ 2-2-1）
古典力学系统符合牛顿第二定律
? ??? fki FFFF合力：
其中，弹簧阻力,kyF
k ??
,dtdyfF f ??壁摩擦力
k是弹簧的弹性系数。
f是摩擦系数。
代入（ 2-2-1）式,
（ 2-2-2）
2
2
dt
ydmF ?? （ 2-2-1）
fki FFF ??ky? dt
dyf?
iFkydt
dyf
dt
ydm ???
2
2
弹簧平移运动是一个二阶线性系统。
Fi
y
M
Ff Fk
2
2
dt
ydm?
（ 3）定义状态向量、控制向量和输出向量
,iFu ?
整理（ 2-2-2）式
iFykdt
dyf
dt
ydm ???
2
2 （ 2-2-2）
yx ?1
yx ??2
dt
dx2
2x 1x u
1x??,yy ?
iFkydt
dyf
dt
ydm ???
2
2
（ 4）可将 2阶微分方程表示的系统写成 2个一阶微分
方程组的形式
2
1 x
dt
dx ?
umxmkxmfdtdx 1122 ????
进一步表示为矩阵形式,
?
?
?
?
?
??
2
1
x
x
x ?
?
?
和 ? ?
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2
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u
x
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m
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01
m
f?
0
m
1
1 0
得到
BuAxx ???
系数矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
???
m
f
m
kA
10
控制矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
B 1
0
输出矩阵 ? ?01?C
Cxy ?输出方程 状态方程
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?
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2
101
x
xy
u
mx
x
m
f
m
kx
?
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?
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??? 1
010
2
1?
归纳建立状态方程的步骤,
（ 1）确定系统的输入变量和输出变量。
（ 4）整理表达式为 的形式。 BuAxx ???
（ 5）根据输出变量是状态变量的线性组合，得出
输出方程 。 Cxy ?
（ 3）根据微分方程的阶次,选择独立的状态变量，用
一阶微分方程组的形式来表达对象的数学模型。
（ 2）用微分方程表达对象的数学模型，如有非线性
特性则作线性化处理。
例 2-2-2 系统由两个液体贮槽串联组成。
由以前分析可知，经线性化后,
Qi
h1
A1
R1 Q1
h2
A2
R2
Qo
图 2-6 液体贮槽
1
1
1 R
hQ ?
,
2
1
20
0
2 h
f
R
??
2hfQ o ?? ?
在这个系统中，液位 h2作为被控变量，调节阀的开度 f
是控制变量。
,1
???
??
h
R
,
2
2 kf
R
h ??
20hk ??
Qi
h1
A1
R1 Q1
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R2
Qo
建立模型,
(1)确定输入输出变量
(2) 根据物料守恒定律列出原始方程
1
1
1 QQdt
dhA
i ??
111
1
1 A
Q
RA
hh i???? 整理,
oQQdt
dhA ??
1
2
2
1
1
R
hQ
i ??
kfRhRh ???
2
2
1
1 f
A
k
RA
h
RA
hh
222
2
12
1
2 ???
?
入 (自变量 ),Qi(扰动量 ),f,(控制量 ) 出,h2
(3) 选择系统的状态变量 x、控制变量 u和输出变量 y
选择
?
?
?
?
?
??
2
1
x
x
X
(4) 列写状态方程
上面方程可改写,
1
1
11
1
1 A
u
RA
xx ????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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11
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RA
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1
A
0 0
0 2A
k?
? ? Xy 10?(5) 列写输出方程
此例中，二阶贮槽系统的 系数矩阵, 控制矩阵 和
输出矩阵 是
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2212
11
11
1 0
RARA
RAA
通过方程求解,
（ 1）能够知道被控变量 h2随扰动量 Qi、控制量 f的
变化情形
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
0
01
A
k
AB ]10[?C
（ 2）可以了解系统内部的变量 h1的变化情况
▲
注意, 对于 r个输入,m个输出的 n阶系统
(1)状态变量个数由方程阶次决定,n 阶系统有 n 个状
态变量；
(2) 各矩阵维数：系数矩阵 n× n，控制矩阵 n× r，输
出矩阵 m× n。
(3)状态变量选择不是唯一的，如可选,
则状态方程不同。
2221 ',hxhx ??
(4) 状态方程只能描述线性系统，非线性系统需线性
化后方可使用。
作业,A-2-16 (1)(3)
微分方程
两种表示方法可以互相转换。
状态空间方程
→ 单输入、单输出线性定常系统
→ 多变量系统，现代控制理
论的数学描述方法
2.1 状态空间的基本概念
被控对象的变量可以分为三类,
n 输入变量（控制变量和干扰变量）
Truuuu ],[ 21 ??
n 输出变量（被控变量）
Tmyyyy ],,[ 21 ??
n 状态变量（表征系统内部特征的变量）
Tnxxxx ],[ 21 ??
对于线性定常系统，其状态方程的基本形式为
DuCxy
BuAxx
??
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其中,
A：系数矩阵 n× n 维,
D：关联矩阵 m× r C：输出矩阵 m× n,
B：控制矩阵 n× r 维,
y,m 维向量。 u,r 维向量,x,n 维向量,
（ 2）状态变量可以测量或不可测量。
（ 1）状态变量的选取不是唯一的,注意,
2.2 状态空间方程的建立
例 2-2-1 力学系统 弹簧 -质量 -阻尼器系统如图示。
列出以拉力 Fi为输入，以质量单元的位移 y为输出的
状态方程。
（ 1）确定输入变量,
M
k
y Fi Fi y
M
Ff Fk
图 2-5 弹簧 -质量 -阻尼器系统
系统入, Fi,出,y
（ 2）基本定理,
maF ?? （ 2-2-1）
古典力学系统符合牛顿第二定律
? ??? fki FFFF合力：
其中，弹簧阻力,kyF
k ??
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k是弹簧的弹性系数。
f是摩擦系数。
代入（ 2-2-1）式,
（ 2-2-2）
2
2
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弹簧平移运动是一个二阶线性系统。
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（ 3）定义状态向量、控制向量和输出向量
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整理（ 2-2-2）式
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2 （ 2-2-2）
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2
2
（ 4）可将 2阶微分方程表示的系统写成 2个一阶微分
方程组的形式
2
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进一步表示为矩阵形式,
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归纳建立状态方程的步骤,
（ 1）确定系统的输入变量和输出变量。
（ 4）整理表达式为 的形式。 BuAxx ???
（ 5）根据输出变量是状态变量的线性组合，得出
输出方程 。 Cxy ?
（ 3）根据微分方程的阶次,选择独立的状态变量，用
一阶微分方程组的形式来表达对象的数学模型。
（ 2）用微分方程表达对象的数学模型，如有非线性
特性则作线性化处理。
例 2-2-2 系统由两个液体贮槽串联组成。
由以前分析可知，经线性化后,
Qi
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R1 Q1
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图 2-6 液体贮槽
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在这个系统中，液位 h2作为被控变量，调节阀的开度 f
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(1)确定输入输出变量
(2) 根据物料守恒定律列出原始方程
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(3) 选择系统的状态变量 x、控制变量 u和输出变量 y
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(4) 列写状态方程
上面方程可改写,
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此例中，二阶贮槽系统的 系数矩阵, 控制矩阵 和
输出矩阵 是
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通过方程求解,
（ 1）能够知道被控变量 h2随扰动量 Qi、控制量 f的
变化情形
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（ 2）可以了解系统内部的变量 h1的变化情况
▲
注意, 对于 r个输入,m个输出的 n阶系统
(1)状态变量个数由方程阶次决定,n 阶系统有 n 个状
态变量；
(2) 各矩阵维数：系数矩阵 n× n，控制矩阵 n× r，输
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(3)状态变量选择不是唯一的，如可选,
则状态方程不同。
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(4) 状态方程只能描述线性系统，非线性系统需线性
化后方可使用。
作业,A-2-16 (1)(3)
