§ 4 数学模型表达式之间的对应关系
描述线性定常系统的主要方法（ 下章涉及求解方法 ）
状态空间模型
? 相同的系统可以用以上三种方法描述
? 它们可以互相转换
? 微分方程 （基础）
? 传递函数 （求解方便，适
用零初始条件的线性系统）
? 状态方程 （多变量系统）
输入输出数学模型
4.1 微分方程和传递函数
微分方程与传递函数之间的转换通过 拉氏变换 和 反
拉氏变换 实现。
微分方程,
yayayayay nnnnn ????? ??? '1)2(2)1(1)( ?
在 初始条件为零 的情况下，对上式两端取拉氏变换,
)()()()()( 1)2(2)1(1)( sYassYasYsasYsasYs nnnnn ????? ??? ?
)()()()( 1)1(1)(0 sUbssUbsUsbsUsb mmmm ????? ?? ?
ubububub mmmm ????? ?? '1)1(1)(0 ?
相应的传递函数,
)(
)()(
sU
sYsG ?
如果已知系统的传递函数，可以通过拉氏反变换，
得到系统输入输出关系的微分方程式。
nn
nnn
mm
mm
asasasas
bsbsbsb
?????
?????
?
??
?
?
1
)2(
2
)1(
1
)(
1
)1(
1
)(
0
?
?
)()()()()( 1)2(2)1(1)( sYassYasYsasYsasYs nnnnn ????? ??? ?
)()()()( 1)1(1)(0 sUbssUbsUsbsUsb mmmm ????? ?? ?
yayayayay nnnnn ????? ??? '1)2(2)1(1)( ?
ubububub mmmm ????? ?? '1)1(1)(0 ?
4.2 微分方程和状态方程
把微分方程转换成状态方程的过程有两步,
◆ 把微分方程组表示成矩阵形式。
◆ 把一个 n阶微分方程转换成 n个一阶微分方
程式组。
1、输入函数不含导数项
对于单输入单输出的系统，根据输入函数的形式，
分两种情况讨论。
buyayayayay nnnnn ?????? ??? '1)2(2)1(1)( ?
（ 1）取状态变量
,1 yx ?
,21 xx ??
所以 buyayayax n
nnn ?????? ?? )1(11 ???
buxaxaxa nnn ?????? ? 1211 ?
,32 xx ?? nn xx ??1?…
,2 yx ?? )1( ?? nn yx…
（ 2）用矩阵表示为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
.
2
.
1
n
x
x
x
?
?y
矩阵形式为 CxyBuAxx ????
A,B,C 分别是系统的系数矩阵、控制矩阵和输出矩阵。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? 11
100000
000100
000010
aaa
nn
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
x
x
x
?
u
b
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
＋ ●
? ?0,,0,1 ? ? ? Tnxxx ?21●
状态变量图
buxaxaxax
xx
xy
xx
xx
nnnn
nn
??????
?
?
?
?
?
?
1211
1
1
32
21
??
?
?
?
?
???b +
-a1
+
u yx ?11?nx
nxnx?
? 积分器 a 比值器
+
+ 加法器
?? …
+
-an
-an-1
+
-a2
+
…
2x
例 2-4-1 uyyyy 5623 )2()3()4( ????
解,)3(
4321,'',',yxyxyxyx ????
令
所以
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
uxxxx
xx
xx
xx
5326
4314
43
32
21
?
?
?
?
状态方程为,
xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
3206
1000
0100
0010
? ?xy 0001?
,
5
0
0
0
u
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2、输入函数含导数项
先以二阶系统为例，其微分方程为,
ubububyayay 21021 ????? ?????? （ 2-4-1）
若仍取 x1＝ y,x2＝ y’作为状态变量，则状态方程为
ubububxaxax
xx
21021122
21
??????
?
????
?
控制矩阵 B无法表示，需选择新的状态变量。
若要求得到的状态方程和输出方程的形式为
)3(
)2(
)1(
01
221122
121
uxy
uxaxax
uxx
?
?
?
??
????
??
?
?
可将（ 3）式化为,
01 uyx ???
,120 uxuy ????? ??代入第一式,
可导出：,
102 uuyx ????? ??
代入第二式,uuyx ??????
102 ?????
uuuyauya 210102 )()( ??????????? ??
ubububyayay 21021 ????? ??????
? ? u
x
x
y
u
x
x
aax
x
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
2
1
122
1
01
10
?
?
与（ 2-4-1）比较,
00 b??
可知有,
整理,
yayay 21 ?? ???
uaauau )()( 211201100 ???????????? ???
1110 ba ????
221120 baa ??????
0111 ???? ab
021122 ?????? aab
ubububyayay 21021 ????? ?????? （ 2-4-1）
uuuyauyauuyx 210102102 )()( ?????? ?????????? ????????
所以新变量应取
,01 uyx ??? uuyx 102 ????? ??
状态方程为
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
ux 11 ??? ?
,
10
12
??
?
??
?
??
?
aa
A,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?B
? ?,01?C 0??D
,DuCxy
BuAxx
??
???
ubububyayay 21021 ????? ?????? （ 2-4-1）
推广到高阶系统。设系统的 微分方程 为,
yayayayay nnnnn ????? ??? ?? 1)2(2)1(1)(
（ 1）取状态变量
其中
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???????
??????
????
??
? 011
021122
0111
00
nnnn
aab
aab
ab
b
?
?
ubububub nnnn ????? ?? ?? 1)1(1)(0
uyx 01 ???
uxx 112 ??? ?
uxx 223 ??? ?
uxx nnn 11 ?? ??? ?
?
uuy nnn 1)1(0)1( ??? ????? ?
uuuy 210 ??????? ?????
uuy 10 ????? ??
（ 2）写成矩阵形式
DuCxy
BuAxx
??
???
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
X
?
? ?,001 ??C
,
100
00100
00010
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
aaa
A
nn
???
???
?
?
?
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
B
?
00 bD ???
状态变量图
uxaxaxax
uxx
uxy
uxx
uxx
nnnnn
nnn
?
?
?
?
?
??????
??
??
??
??
?
???
?
?
?
1211
1
1
32
21
??
?
?
?
?
???
-a1
+
u
1x
1?nxnxnx? ?? …
+
-an
-an-1
+
-a2
+
…
2x+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
βn Βn-1 Βn-2 β2 β1 β0
y
例 2-4-2 写出系统状态方程,uuuyyy 4489 ????? ?????????
选择状态变量,
?
?
?
?
?
???
???
???
uxx
uxx
uyx
223
112
01
??
?
系统的状态方程和输出方程为,
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
41
5
1
980
100
010
3
2
1
3
2
1
?
?
?
00 ?b
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
001
x
x
x
y
?
?
?
?
?
?
?
???????????????
???????????
????????
???
4118)5(94
5194
1091
0
03122133
021122
0111
00
aaab
aab
ab
b
4
40
18
09
3
23
12
01
?
??
??
??
b
ba
ba
ba
当输入变量与输出变量的导数阶次相同时,D≠0，否则 D＝ 0
作业,A-2-7
A-2-10
4.3 状态方程和传递矩阵（传递函数）
1、传递矩阵
利用传递函数描述单输入单输出（ SISO）系统
利用 传递矩阵 描述多输入多输出（ MIMO）系统
G1(s) U(s)
Y(s) Y(s)=G
1(s)U(s)
U1(s)
U2(s)
Y1(s)
Y2(s)
G11 G12
G21 G22
例：有 2输入 2输出的系统,
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
susGsusGsy
susGsusGsy
??
??
写为矩阵形式
?
?
?
?
?
?
)(
)(
2
1
sy
sy
即 )()()( sUsGsY ?
U(s)：输入向量的拉氏变换,
Y(s)：输出向量的拉氏变换,
G(s),U(s)与 Y(s)之间的传递矩阵。
其元素 Gij表示第 i个输出对第 j个输入的传递函数。
?
?
?
?
?
?
)()(
)()(
2221
1211
sGsG
sGsG
?
?
?
?
?
?
)(
)(
2
1
su
su＝ ●
如图,
G11(s) Y1(s) U1(s)
G21(s)
G12(s)
G22(s) U2(s) Y2(s)
﹢
﹢
﹢
﹢
?
?
?
?
?
?
)(
)(
2
1
sy
sy
?
?
?
?
?
?
)()(
)()(
2221
1211
sGsG
sGsG
?
?
?
?
?
?
)(
)(
2
1
su
su＝ ●
例 2-4-3 在例 2-1-2中的单贮槽设备中,
Qin
h
A
Qo
)(sGc
图 a 贮槽对象流程图 图 b 控制系统方块图
液位对象为 2输入 1输出的系统。
2入，控制变量,f，扰动量,Qin,1出：液位。
kfQyRdtdyA in ??? 1 （ 2-1-10）
求出此时的系统微分方程为（液位用 y表示）,
H(s)
R(s) Y(s)
－
F(s)
)(sGc )(1 sG
)(2 sG
)(sQin
+
Qo作为控制量,Qin作为扰动量,h作为被控变量。
求（ 1）对象的传递矩阵
设 T=AR，求出各自的传递函数,
)(
)()(
1 sF
sYsG ?
)(
)()(
2 sQ
sYsG
in
?
在 2个信号共同作用下,
)()()()()( 21 sQsGsFsGsY in?? ? ? ?
?
?
?
?
??
)(
)(
)()( 21
sQ
sF
sGsG
in
1??? Ts
Rk
1?? Ts
R H(s)
R(s) Y(s)
－
F(s)
)(sGc )(1 sG
)(2 sG
)(sQin
+
kfQyRdtdyA in ??? 1求,
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
??
)(
)(
11
)(
sQ
sF
Ts
R
Ts
RksY
in
（ 2）闭环控制系统的传递矩阵
增加调节器和测量单元构成闭环控制系统。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
)(
)(
)()()(1
)(
)()()(1
)()()(
1
2
1
1
sQ
sR
sHsGsG
sG
sHsGsG
sGsGsY
incc
c
控制系统的传递矩阵,
H(s)
R(s) Y(s)
－
F(s)
)(sGc )(1 sG
)(2 sG
)(sQin
+
控制系统,2入,1出
输入：给定值 R,
扰动量,Qin,
输出：液位 y。
2、由状态方程求传递矩阵（传递函数）
设系统的 状态方程 和 输出方程 为,
BuAxx ???
DuxCy ??
其中,nRx ?,rnRB ??,nnRA ??,rRu ?
,mRy ?,nmRC ?? rmRD ??
初始条件为零时，两式的拉氏变换为
)()()( sBusAxssx ??
)()()( sDusCxsy ??
初始条件为零时，两式的拉氏变换为
)()()( sBusAxssx ??
)()()( sDusCxsy ??
)(][)( 1 sBuAsIsx ???
)(])([)( 1 suDBAsICsy ???? ?
系统传递矩阵（传递函数）为,
)(
)()(
su
sysG ? （ 2-4-1）
利用（ 2-4-1）式，已知系统的状态方程，可以直接
求取系统的传递函数或传递矩阵。
)()(][ sBusxAsI ??
DBAsIC ??? ? 1)(
例 2-4-4 设系统的状态方程为,
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
800
010
000
3
2
1
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??
3
2
1
14
9
7
1
2
1
x
x
x
y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
800
010
000
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
B 0
14
9
7
1
2
1 ?
??
?
??
? ?? DC
1)( ?? AsI
DBAsICsG ??? ? 1)()(
1
800
010
000
00
00
00
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
s
s
s 1
800
010
00
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
s
s
s
行列式）
伴随矩阵）
(d e t
(~1
B
BB ??
因此传递函数为,DBAsICsG ??? ? 1)()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
1
1
8
1
00
0
1
1
0
00
1
14
9
7
1
2
1
s
s
s
)8)(1(
442
??
???
sss
ss
)8)(1(
1
??? sss ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
)1(00
0)8(0
00)8)(1(
ss
ss
ss
行列式）
伴随矩阵）
(d e t
(~1
B
BB ??
1)( ?? AsI
1
800
010
00
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
s
s
s
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8
1
00
0
1
1
0
00
1
s
s
s
4.4 状态方程间的变换
注意：对同一系统，状态变量的选择不是唯一的，因此，状态
方程也可能是不相同的。
sss
sssG
89
44)(
23
2
??
???
（ 1）用分母最高次 s3 除上式的分子、分母
21
321
891
44)(
??
???
??
???
ss
ssssG
（微分方程 → 状态方程，传递函数 → 状态方程）
uuuyyy 4489 ????? ?????????求例 2-4-2 的方程 的状态方程。
3阶系统，其传递函数,
1、同一系统的不同状态方程描述
（ 2）与梅逊公式总增益对比,
可看成
21
321
1 LL
PPPP
??
???
? 相当于有两个回路 L1,L2，有相同节点；
? 三个前向通路，没有与它们不接触的回路,
即 Δk=1,k=1,2,3。
? ???
k
kkPP
1
21
321
891
44)(
??
???
??
???
ss
ssssG
1
y u
4
﹣ 9 ﹣ 8
4 1 S1 S1 S1 1x1x?2x?3x? 1
（ 3）画出等效的信号流图,
（ 4）取三个状态变量 x1,x2,x3，则从信号流图可
得出状态方程和输出方程为,
21 xx ??
输出变量 y是状态变量的线性组合。
32 xx ?? uxxx ???? 323 98?
321 44 xxxy ???
21
321
891
44)(
??
???
??
???
ss
ssssG
1
y u 4
﹣ 9 ﹣ 8
4 1 S1 S1 S1 1x1x?2x?3x? 1
信号流图 21
321
891
44)(
??
???
??
???
ss
ssssG
???1 +
-9
+
-8
+
1
+
4
+ 4 + u y 1x2x3x3x?
状态变量图
写成矩阵形式,
与例 2-4-2 的方程对比,
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
0
980
100
010
3
2
1
3
2
1
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
144
x
x
x
y
?
?
?
?
?
??
??
??
uxx
uxx
uyx
223
112
01
?
?
?
?
? uxy
01 ???
uuuyyy 4489 ????? ?????????
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
41
5
1
980
100
010
3
2
1
3
2
1
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
001
x
x
x
y
方
法
一
方
法
二
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
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?
?
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41
5
1
980
100
010
3
2
1
3
2
1
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
3
2
1
001
x
x
x
y
方
法
一
u
x
x
x
x
x
x
?
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1
0
0
980
100
010
3
2
1
3
2
1
?
?
?
? ?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
144
x
x
x
y方法
二
1
y u 4
﹣ 9 ﹣ 8
4 1 S1 S1 S1 1x1x?2x?3x? 1
1 y u -5
﹣ 9 ﹣ 8 41
S1 S1 S1 1x1x?2x?3x?
1
1
注意,
? 系统输入输出变量的选择是由系统决定的
? 状态变量的选择不是唯一的
? 其状态方程和输出方程结构和形式也不是唯一的
? 系统状态变量不一定在物理上是可测量的
? 它们具有数学意义
描述同一系统的不同的状态方程之间，究竟
有什么关系? 它们的统一性又表现在哪里?
对于描述同一系统的不同形式的状态方程,
（ 2）应该可以通过矩阵的线性变换互相转化
（ 1）描述系统本质的一些特征参数必定是相同的
2、状态变换中矩阵特征值的不变性
系统的状态空间表达为,
?
?
?
?
??
Cxy
BuAxx?
? x为 n 维状态变量
? 只有当输入和输出的阶次相等时 D≠0
设 Q为任意非奇异（可逆） n× n 方阵,
用 Q 对 x作线性状态变换,
Qxx ? 即 xQx 1??
代入上式得
?
?
?
?
??
?
??
xCQy
BuxAQxQ
1
11 ?
?
?
?
?
??
?
?
xCQy
Q B uxQ A Qx
1
1?
得,
?
?
?
?
??
xCy
uBxAx?
设,11,,?? ??? CQCQBBQA QA
∵ 线性系统的状态变换有无穷多种
∴ 每个线性系统状态变量的选择有多种
∴ 有多种状态方程的表示形式
xQx 1?? CxyBuAxx ???,?
对于 n× n 矩阵 A,
在系统的状态方程中，矩阵 A的特征值
是系统最重要的特征参数。
sI－ A 为 A 的特征方程
特征方程的解称为特征根。
∣ sI－ A∣ =0 称为是 A 的特征方程,
行列式 ∣ sI－ A∣ 称为是 A 的特征多项式,
CxyBuAxx ???,?
值得注意的是,
AsI ? 1??? Q A QsI 11 ?? ?? Q A QQ s I Q
1)( ??? QAsIQ 1??? QAsIQ AsI ??
（ 1）系统进行状态变换后，其特征多项式不变，
因此，特征值也不变,
（ 2）变换后，传递函数也不变,
BAsICsG 1)()( ???
QBQAsIQCQ 11 )( ?? ??
QBQA QsICQ 111 )( ??? ??
QBQA QQs I QCQ 1111 )( ???? ??
BAsIC 1)( ??? )(sG?
,1?? Q AQA,QBB ? 1?? CQC
本章小结,
（ 1）介绍了从被控对象或控制系统的工艺机理出发,
建立系统或对象数学模型的方法
? 主要目的－分析、设计控制系统
? 前提和基础：已知被控对象的特性－建立数学模型
? 3种方法,
o 机理模型－白箱子
o 系统辨识－黑箱子
o 两者结合－灰箱子
? 控制学科的重要分支
? 客观世界可以认识
? 已建立从装置到企业级的数学模型，成为控制,
管理、营销的基础
（ 2）介绍了三种描述系统或对象的动态特性的方法
? 微分方程 （基本）
? 传递函数 （最常用的工具）（方块图和信号流图）
? 状态方程 （多变量系统）
? 介绍了这几种模型之间的 转换关系 。
微分方程 （基础）－描述变量间特性关系,求解复杂
传递函数 （最常用的工具）微分方程转化为代数方程
从环节的传递函数 → 系统的方块图 → 求系统的传递函数
方块图变换 信号流图 通过公式 状态方程
传递函数 → 信号流图
例,
?
?
?
???
????
2122
21211
1075
4632
uyyy
uuyyy
?
???
求出系统的状态方程。
分析,确定输入输出。
11 yx ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
3
2
1
3
2
1
100
46
00
507
320
010
u
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
3
2
1
2
1
100
001
x
x
x
y
y
21 xx ??
21322 4632 uuxxx ?????? 2313 1057 uxxx ?????
12 yx ?? 23 yx ?
有系统
入？出？几个状态变量？如何设？
作业,A-2-12
A-2-13
例 2-4-4
说明, 系统状态变换时，系统最重要的特性没有改变，
可以通过变换，选择系统最简单的形式，求解和分析,
求特征值
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
980
100
010
1A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
800
010
000
2A
解,
980
10
01
1
?
?
?
??
s
s
s
AsI sss 89 23 ??? )8)(1( ??? sss
的特征值为 0,-1,-8 1A
800
010
00
2
?
???
s
s
s
AsI sss 89 23 ??? )8)(1( ??? ss
的特征值也是 0,-1,-8 2A
描述线性定常系统的主要方法（ 下章涉及求解方法 ）
状态空间模型
? 相同的系统可以用以上三种方法描述
? 它们可以互相转换
? 微分方程 （基础）
? 传递函数 （求解方便，适
用零初始条件的线性系统）
? 状态方程 （多变量系统）
输入输出数学模型
4.1 微分方程和传递函数
微分方程与传递函数之间的转换通过 拉氏变换 和 反
拉氏变换 实现。
微分方程,
yayayayay nnnnn ????? ??? '1)2(2)1(1)( ?
在 初始条件为零 的情况下，对上式两端取拉氏变换,
)()()()()( 1)2(2)1(1)( sYassYasYsasYsasYs nnnnn ????? ??? ?
)()()()( 1)1(1)(0 sUbssUbsUsbsUsb mmmm ????? ?? ?
ubububub mmmm ????? ?? '1)1(1)(0 ?
相应的传递函数,
)(
)()(
sU
sYsG ?
如果已知系统的传递函数，可以通过拉氏反变换，
得到系统输入输出关系的微分方程式。
nn
nnn
mm
mm
asasasas
bsbsbsb
?????
?????
?
??
?
?
1
)2(
2
)1(
1
)(
1
)1(
1
)(
0
?
?
)()()()()( 1)2(2)1(1)( sYassYasYsasYsasYs nnnnn ????? ??? ?
)()()()( 1)1(1)(0 sUbssUbsUsbsUsb mmmm ????? ?? ?
yayayayay nnnnn ????? ??? '1)2(2)1(1)( ?
ubububub mmmm ????? ?? '1)1(1)(0 ?
4.2 微分方程和状态方程
把微分方程转换成状态方程的过程有两步,
◆ 把微分方程组表示成矩阵形式。
◆ 把一个 n阶微分方程转换成 n个一阶微分方
程式组。
1、输入函数不含导数项
对于单输入单输出的系统，根据输入函数的形式，
分两种情况讨论。
buyayayayay nnnnn ?????? ??? '1)2(2)1(1)( ?
（ 1）取状态变量
,1 yx ?
,21 xx ??
所以 buyayayax n
nnn ?????? ?? )1(11 ???
buxaxaxa nnn ?????? ? 1211 ?
,32 xx ?? nn xx ??1?…
,2 yx ?? )1( ?? nn yx…
（ 2）用矩阵表示为,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
.
2
.
1
n
x
x
x
?
?y
矩阵形式为 CxyBuAxx ????
A,B,C 分别是系统的系数矩阵、控制矩阵和输出矩阵。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
? 11
100000
000100
000010
aaa
nn
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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3
2
1
x
x
x
?
u
b
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
＋ ●
? ?0,,0,1 ? ? ? Tnxxx ?21●
状态变量图
buxaxaxax
xx
xy
xx
xx
nnnn
nn
??????
?
?
?
?
?
?
1211
1
1
32
21
??
?
?
?
?
???b +
-a1
+
u yx ?11?nx
nxnx?
? 积分器 a 比值器
+
+ 加法器
?? …
+
-an
-an-1
+
-a2
+
…
2x
例 2-4-1 uyyyy 5623 )2()3()4( ????
解,)3(
4321,'',',yxyxyxyx ????
令
所以
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
uxxxx
xx
xx
xx
5326
4314
43
32
21
?
?
?
?
状态方程为,
xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
3206
1000
0100
0010
? ?xy 0001?
,
5
0
0
0
u
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2、输入函数含导数项
先以二阶系统为例，其微分方程为,
ubububyayay 21021 ????? ?????? （ 2-4-1）
若仍取 x1＝ y,x2＝ y’作为状态变量，则状态方程为
ubububxaxax
xx
21021122
21
??????
?
????
?
控制矩阵 B无法表示，需选择新的状态变量。
若要求得到的状态方程和输出方程的形式为
)3(
)2(
)1(
01
221122
121
uxy
uxaxax
uxx
?
?
?
??
????
??
?
?
可将（ 3）式化为,
01 uyx ???
,120 uxuy ????? ??代入第一式,
可导出：,
102 uuyx ????? ??
代入第二式,uuyx ??????
102 ?????
uuuyauya 210102 )()( ??????????? ??
ubububyayay 21021 ????? ??????
? ? u
x
x
y
u
x
x
aax
x
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
2
1
122
1
01
10
?
?
与（ 2-4-1）比较,
00 b??
可知有,
整理,
yayay 21 ?? ???
uaauau )()( 211201100 ???????????? ???
1110 ba ????
221120 baa ??????
0111 ???? ab
021122 ?????? aab
ubububyayay 21021 ????? ?????? （ 2-4-1）
uuuyauyauuyx 210102102 )()( ?????? ?????????? ????????
所以新变量应取
,01 uyx ??? uuyx 102 ????? ??
状态方程为
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
ux 11 ??? ?
,
10
12
??
?
??
?
??
?
aa
A,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?B
? ?,01?C 0??D
,DuCxy
BuAxx
??
???
ubububyayay 21021 ????? ?????? （ 2-4-1）
推广到高阶系统。设系统的 微分方程 为,
yayayayay nnnnn ????? ??? ?? 1)2(2)1(1)(
（ 1）取状态变量
其中
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???????
??????
????
??
? 011
021122
0111
00
nnnn
aab
aab
ab
b
?
?
ubububub nnnn ????? ?? ?? 1)1(1)(0
uyx 01 ???
uxx 112 ??? ?
uxx 223 ??? ?
uxx nnn 11 ?? ??? ?
?
uuy nnn 1)1(0)1( ??? ????? ?
uuuy 210 ??????? ?????
uuy 10 ????? ??
（ 2）写成矩阵形式
DuCxy
BuAxx
??
???
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
X
?
? ?,001 ??C
,
100
00100
00010
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
aaa
A
nn
???
???
?
?
?
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
B
?
00 bD ???
状态变量图
uxaxaxax
uxx
uxy
uxx
uxx
nnnnn
nnn
?
?
?
?
?
??????
??
??
??
??
?
???
?
?
?
1211
1
1
32
21
??
?
?
?
?
???
-a1
+
u
1x
1?nxnxnx? ?? …
+
-an
-an-1
+
-a2
+
…
2x+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
βn Βn-1 Βn-2 β2 β1 β0
y
例 2-4-2 写出系统状态方程,uuuyyy 4489 ????? ?????????
选择状态变量,
?
?
?
?
?
???
???
???
uxx
uxx
uyx
223
112
01
??
?
系统的状态方程和输出方程为,
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
41
5
1
980
100
010
3
2
1
3
2
1
?
?
?
00 ?b
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
001
x
x
x
y
?
?
?
?
?
?
?
???????????????
???????????
????????
???
4118)5(94
5194
1091
0
03122133
021122
0111
00
aaab
aab
ab
b
4
40
18
09
3
23
12
01
?
??
??
??
b
ba
ba
ba
当输入变量与输出变量的导数阶次相同时,D≠0，否则 D＝ 0
作业,A-2-7
A-2-10
4.3 状态方程和传递矩阵（传递函数）
1、传递矩阵
利用传递函数描述单输入单输出（ SISO）系统
利用 传递矩阵 描述多输入多输出（ MIMO）系统
G1(s) U(s)
Y(s) Y(s)=G
1(s)U(s)
U1(s)
U2(s)
Y1(s)
Y2(s)
G11 G12
G21 G22
例：有 2输入 2输出的系统,
)()()()()(
)()()()()(
2221212
2121111
susGsusGsy
susGsusGsy
??
??
写为矩阵形式
?
?
?
?
?
?
)(
)(
2
1
sy
sy
即 )()()( sUsGsY ?
U(s)：输入向量的拉氏变换,
Y(s)：输出向量的拉氏变换,
G(s),U(s)与 Y(s)之间的传递矩阵。
其元素 Gij表示第 i个输出对第 j个输入的传递函数。
?
?
?
?
?
?
)()(
)()(
2221
1211
sGsG
sGsG
?
?
?
?
?
?
)(
)(
2
1
su
su＝ ●
如图,
G11(s) Y1(s) U1(s)
G21(s)
G12(s)
G22(s) U2(s) Y2(s)
﹢
﹢
﹢
﹢
?
?
?
?
?
?
)(
)(
2
1
sy
sy
?
?
?
?
?
?
)()(
)()(
2221
1211
sGsG
sGsG
?
?
?
?
?
?
)(
)(
2
1
su
su＝ ●
例 2-4-3 在例 2-1-2中的单贮槽设备中,
Qin
h
A
Qo
)(sGc
图 a 贮槽对象流程图 图 b 控制系统方块图
液位对象为 2输入 1输出的系统。
2入，控制变量,f，扰动量,Qin,1出：液位。
kfQyRdtdyA in ??? 1 （ 2-1-10）
求出此时的系统微分方程为（液位用 y表示）,
H(s)
R(s) Y(s)
－
F(s)
)(sGc )(1 sG
)(2 sG
)(sQin
+
Qo作为控制量,Qin作为扰动量,h作为被控变量。
求（ 1）对象的传递矩阵
设 T=AR，求出各自的传递函数,
)(
)()(
1 sF
sYsG ?
)(
)()(
2 sQ
sYsG
in
?
在 2个信号共同作用下,
)()()()()( 21 sQsGsFsGsY in?? ? ? ?
?
?
?
?
??
)(
)(
)()( 21
sQ
sF
sGsG
in
1??? Ts
Rk
1?? Ts
R H(s)
R(s) Y(s)
－
F(s)
)(sGc )(1 sG
)(2 sG
)(sQin
+
kfQyRdtdyA in ??? 1求,
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
??
)(
)(
11
)(
sQ
sF
Ts
R
Ts
RksY
in
（ 2）闭环控制系统的传递矩阵
增加调节器和测量单元构成闭环控制系统。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
)(
)(
)()()(1
)(
)()()(1
)()()(
1
2
1
1
sQ
sR
sHsGsG
sG
sHsGsG
sGsGsY
incc
c
控制系统的传递矩阵,
H(s)
R(s) Y(s)
－
F(s)
)(sGc )(1 sG
)(2 sG
)(sQin
+
控制系统,2入,1出
输入：给定值 R,
扰动量,Qin,
输出：液位 y。
2、由状态方程求传递矩阵（传递函数）
设系统的 状态方程 和 输出方程 为,
BuAxx ???
DuxCy ??
其中,nRx ?,rnRB ??,nnRA ??,rRu ?
,mRy ?,nmRC ?? rmRD ??
初始条件为零时，两式的拉氏变换为
)()()( sBusAxssx ??
)()()( sDusCxsy ??
初始条件为零时，两式的拉氏变换为
)()()( sBusAxssx ??
)()()( sDusCxsy ??
)(][)( 1 sBuAsIsx ???
)(])([)( 1 suDBAsICsy ???? ?
系统传递矩阵（传递函数）为,
)(
)()(
su
sysG ? （ 2-4-1）
利用（ 2-4-1）式，已知系统的状态方程，可以直接
求取系统的传递函数或传递矩阵。
)()(][ sBusxAsI ??
DBAsIC ??? ? 1)(
例 2-4-4 设系统的状态方程为,
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
800
010
000
3
2
1
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
??
3
2
1
14
9
7
1
2
1
x
x
x
y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
800
010
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1)( ?? AsI
DBAsICsG ??? ? 1)()(
1
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00
00
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s
s
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伴随矩阵）
(d e t
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B
BB ??
因此传递函数为,DBAsICsG ??? ? 1)()(
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ss
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1
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0)8(0
00)8)(1(
ss
ss
ss
行列式）
伴随矩阵）
(d e t
(~1
B
BB ??
1)( ?? AsI
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8
1
00
0
1
1
0
00
1
s
s
s
4.4 状态方程间的变换
注意：对同一系统，状态变量的选择不是唯一的，因此，状态
方程也可能是不相同的。
sss
sssG
89
44)(
23
2
??
???
（ 1）用分母最高次 s3 除上式的分子、分母
21
321
891
44)(
??
???
??
???
ss
ssssG
（微分方程 → 状态方程，传递函数 → 状态方程）
uuuyyy 4489 ????? ?????????求例 2-4-2 的方程 的状态方程。
3阶系统，其传递函数,
1、同一系统的不同状态方程描述
（ 2）与梅逊公式总增益对比,
可看成
21
321
1 LL
PPPP
??
???
? 相当于有两个回路 L1,L2，有相同节点；
? 三个前向通路，没有与它们不接触的回路,
即 Δk=1,k=1,2,3。
? ???
k
kkPP
1
21
321
891
44)(
??
???
??
???
ss
ssssG
1
y u
4
﹣ 9 ﹣ 8
4 1 S1 S1 S1 1x1x?2x?3x? 1
（ 3）画出等效的信号流图,
（ 4）取三个状态变量 x1,x2,x3，则从信号流图可
得出状态方程和输出方程为,
21 xx ??
输出变量 y是状态变量的线性组合。
32 xx ?? uxxx ???? 323 98?
321 44 xxxy ???
21
321
891
44)(
??
???
??
???
ss
ssssG
1
y u 4
﹣ 9 ﹣ 8
4 1 S1 S1 S1 1x1x?2x?3x? 1
信号流图 21
321
891
44)(
??
???
??
???
ss
ssssG
???1 +
-9
+
-8
+
1
+
4
+ 4 + u y 1x2x3x3x?
状态变量图
写成矩阵形式,
与例 2-4-2 的方程对比,
u
x
x
x
x
x
x
?
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0
0
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1
3
2
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3
2
1
144
x
x
x
y
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??
??
??
uxx
uxx
uyx
223
112
01
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? uxy
01 ???
uuuyyy 4489 ????? ?????????
u
x
x
x
x
x
x
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3
2
1
3
2
1
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3
2
1
001
x
x
x
y
方
法
一
方
法
二
u
x
x
x
x
x
x
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3
2
1
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3
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1
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x
x
x
y
方
法
一
u
x
x
x
x
x
x
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0
0
980
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3
2
1
144
x
x
x
y方法
二
1
y u 4
﹣ 9 ﹣ 8
4 1 S1 S1 S1 1x1x?2x?3x? 1
1 y u -5
﹣ 9 ﹣ 8 41
S1 S1 S1 1x1x?2x?3x?
1
1
注意,
? 系统输入输出变量的选择是由系统决定的
? 状态变量的选择不是唯一的
? 其状态方程和输出方程结构和形式也不是唯一的
? 系统状态变量不一定在物理上是可测量的
? 它们具有数学意义
描述同一系统的不同的状态方程之间，究竟
有什么关系? 它们的统一性又表现在哪里?
对于描述同一系统的不同形式的状态方程,
（ 2）应该可以通过矩阵的线性变换互相转化
（ 1）描述系统本质的一些特征参数必定是相同的
2、状态变换中矩阵特征值的不变性
系统的状态空间表达为,
?
?
?
?
??
Cxy
BuAxx?
? x为 n 维状态变量
? 只有当输入和输出的阶次相等时 D≠0
设 Q为任意非奇异（可逆） n× n 方阵,
用 Q 对 x作线性状态变换,
Qxx ? 即 xQx 1??
代入上式得
?
?
?
?
??
?
??
xCQy
BuxAQxQ
1
11 ?
?
?
?
?
??
?
?
xCQy
Q B uxQ A Qx
1
1?
得,
?
?
?
?
??
xCy
uBxAx?
设,11,,?? ??? CQCQBBQA QA
∵ 线性系统的状态变换有无穷多种
∴ 每个线性系统状态变量的选择有多种
∴ 有多种状态方程的表示形式
xQx 1?? CxyBuAxx ???,?
对于 n× n 矩阵 A,
在系统的状态方程中，矩阵 A的特征值
是系统最重要的特征参数。
sI－ A 为 A 的特征方程
特征方程的解称为特征根。
∣ sI－ A∣ =0 称为是 A 的特征方程,
行列式 ∣ sI－ A∣ 称为是 A 的特征多项式,
CxyBuAxx ???,?
值得注意的是,
AsI ? 1??? Q A QsI 11 ?? ?? Q A QQ s I Q
1)( ??? QAsIQ 1??? QAsIQ AsI ??
（ 1）系统进行状态变换后，其特征多项式不变，
因此，特征值也不变,
（ 2）变换后，传递函数也不变,
BAsICsG 1)()( ???
QBQAsIQCQ 11 )( ?? ??
QBQA QsICQ 111 )( ??? ??
QBQA QQs I QCQ 1111 )( ???? ??
BAsIC 1)( ??? )(sG?
,1?? Q AQA,QBB ? 1?? CQC
本章小结,
（ 1）介绍了从被控对象或控制系统的工艺机理出发,
建立系统或对象数学模型的方法
? 主要目的－分析、设计控制系统
? 前提和基础：已知被控对象的特性－建立数学模型
? 3种方法,
o 机理模型－白箱子
o 系统辨识－黑箱子
o 两者结合－灰箱子
? 控制学科的重要分支
? 客观世界可以认识
? 已建立从装置到企业级的数学模型，成为控制,
管理、营销的基础
（ 2）介绍了三种描述系统或对象的动态特性的方法
? 微分方程 （基本）
? 传递函数 （最常用的工具）（方块图和信号流图）
? 状态方程 （多变量系统）
? 介绍了这几种模型之间的 转换关系 。
微分方程 （基础）－描述变量间特性关系,求解复杂
传递函数 （最常用的工具）微分方程转化为代数方程
从环节的传递函数 → 系统的方块图 → 求系统的传递函数
方块图变换 信号流图 通过公式 状态方程
传递函数 → 信号流图
例,
?
?
?
???
????
2122
21211
1075
4632
uyyy
uuyyy
?
???
求出系统的状态方程。
分析,确定输入输出。
11 yx ?
?
?
?
?
?
?
?
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???
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2
1
3
2
1
3
2
1
100
46
00
507
320
010
u
u
x
x
x
x
x
x
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1
2
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x
x
x
y
y
21 xx ??
21322 4632 uuxxx ?????? 2313 1057 uxxx ?????
12 yx ?? 23 yx ?
有系统
入？出？几个状态变量？如何设？
作业,A-2-12
A-2-13
例 2-4-4
说明, 系统状态变换时，系统最重要的特性没有改变，
可以通过变换，选择系统最简单的形式，求解和分析,
求特征值
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
980
100
010
1A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
??
800
010
000
2A
解,
980
10
01
1
?
?
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??
s
s
s
AsI sss 89 23 ??? )8)(1( ??? sss
的特征值为 0,-1,-8 1A
800
010
00
2
?
???
s
s
s
AsI sss 89 23 ??? )8)(1( ??? ss
的特征值也是 0,-1,-8 2A
